(证明大全)证明垂直的众多方法技巧
证明两个平面垂直的方法
证明两个平面垂直的方法
线面垂直到面面垂直，直线a垂直于平面1，直线a平行于或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2。
平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2。
通过2面角的夹角，如果2面角的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的。
面面垂直判定定理
定理
如果一个平面与另一个平面的垂线相交，则这两个平面相互垂直。
推论1
如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面相互垂直。
推论2
如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
(可以理解为法向量垂直的平面互相垂直)
面面垂直性质定理
定理1
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面上垂直于它们的交点的直线就垂直于另一个平面。
定理2
如果两个平面互相垂直，那么垂直于第二个平面并通过第一个平面中的一点的直线在第一个平面中。
定理3
如果两个相交的平面垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
推论:三个成对垂直平面的相交是成对垂直的。
定理4
如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线平行于另一个平面。
(判定定理的推论1的逆定理)
推论:如果两个平面互相垂直，那么垂直于这两个平面的两条垂线互相垂直。
(判定定理的推论2的逆定理)。
怎么证明垂直
怎么证明垂直第一篇：怎么证明垂直怎么证明垂直1、利用勾股定理的逆定理证明勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。
2、利用“三线合一”证明要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。
3、利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
4、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5、利用菱形的对角线互相垂直证明菱形的对角线互相垂直。
6、利用全等三角形证明主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直.赞同5|评论1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。
证明两直线垂直的几种常用方法
数学篇解题指南两条直线垂直是两直线间的一种特殊位置关系.证明两条直线垂直，实际上就是证明两条相交直线所成的角为直角.因为直接判定两条直线垂直的定理不多，且较为分散，所以证明两条直线垂直问题是初中几何证明题中难度较大的一类问题.下面结合一些经典例题就这类问题的证明方法进行剖析.一、证明两条直线所成的角等于已知直角在证明两条直线互相垂直时，若题目中存在明显的已知直角，同学们要注意善用已知条件中的直角，灵活运用三角形全等的知识，证明两条直线相交所成的角等于已知直角，从而得出两条直线垂直.例1如图1所示，已知MN =MP ，NR =PQ ，NQ ⊥MP .求证：PR ⊥MN .分析：本题中要证明PR ⊥MN ，需要证明∠MRP =90°.因为NQ ⊥MP ，所以可知∠MQN =90°，故而需要证明∠MRP =∠MQN ，也就是证明△MRP ≌△MQN .证明：因为MN =MP ，NR ＝PQ ，所以MN -NR ＝MP -PQ ，即MR ＝MQ .在△MRP 和△MQN 中，ìíîïïMN =MP ,∠M =∠M ,MR =MQ ,所以△MRP ≌△MQN （SAS ），所以∠MRP =∠MQN .因为NQ ⊥MP ，所以∠MQN =90°，所以∠MRP =90°，所以PR ⊥MN .评注：本题中的已知直角较为明显，直接利用三角形全等即可得证.但有时直角条件不明显，要证明某个角等于已知直角，需要挖掘隐含条件，或添加辅助线构造直角，然后再利用三角形全等证明两角相等.二、证明两条直线相交所成的邻补角相等两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角.一个角与它的邻补角的和等于180°.它们相等就是两个角分别为180°2=90°，由此即可证明这两条直线是互相垂直的.所以，要证明两条直线垂直，可以借助两条直线相交所成的邻补角相等来证明.例2如图2所示，已知△ABD 与△BDC 均为等边三角形，连接AC ，交BD 于点E .求证：AC ⊥BD .分析：要证明AC ⊥BD ，需要证明∠BEC =90°或∠BEA =90°，即证明∠BEA 与其邻补角∠BEC 相等，而要证明∠BEA =∠BEC ，只需要证明△BAE ≌△BCE .证明两直线垂直的几种常用方法江苏省宿迁市泗洪姜堰实验学校刘为芹图1图219数学篇解题指南证明：因为△ABD 与△BDC 均为等边三角形，所以可知AB =BD =BC ，∠ABD =∠CBD =60°.在△BAE 和△BCE 中，ìíîïïBA =BC ,∠ABD =∠CBD ,BE =BE ,所以△BAE ≌△BCE （SAS ），所以∠BEA =∠BEC =12×180°=90°，所以AC ⊥BD .评注：两条直线相交所成的四个角中，有一组邻补角相等时，可根据邻补角互补，得出这两个角都是90°，由垂直的定义即可得出这两条直线互相垂直．三、证明两相交直线的夹角所处的三角形中，另外两个锐角互余相加等于90°的两个角称作互为余角.直角三角形中的两个锐角是互余的.因此，要证明两条直线垂直，可以证明两条相交直线的夹角所在的三角形中，另外两个锐角互余，那么两条相交直线所成的夹角即为90°.例3如图3所示，已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，BE 、AD 相交于点F .求证：BE ⊥AD .分析：本题中要想证明BE ⊥AD ，只需证明∠EFD =90°，也就是需要证明∠1+∠2=90°，又∠3+∠4=90°，∠2=∠3，这样只需要证明∠1=∠4.而要证明∠1=∠4，只需要证明△BCE ≌△ACD .证明：因为∠BCA =∠DCE =90°，所以∠BCA +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，即∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，ìíïïCE =CD ,AC =CB ,所以有∠4=∠1.又因为∠3+∠4=90°，∠2=∠3，所以∠2+∠1=90°，所以∠EFD =90°，所以BE ⊥AD .例4如图4所示，已知在△ABC 中，AB =BC ，高AD 、BE 交于点F ，BG =GF ，DH ⊥AC 于H ，M 在BE 的延长线上，EM =DH .求证：AG ⊥AM .分析：要想证明AM ⊥AG ，需要证明∠GAM =90°，也就是需要证明∠AGM +∠M =90°.因为∠EAM +∠M =90°，所以只需要证明∠EAM =∠AGM .证明：连接DE 、DG .因为AD 、BE 为△ABC 的高，所以∠EBC =90°-∠C =∠DAC .因为AE =DE ，所以∠DEH =2∠DAC .因为BG =GF =GD ，所以∠DGE =2∠EBC ，所以∠DEH =∠DGE .因为DH ∥BE ，所以∠EDH =∠DEG ，所以△DEH ∽△GED ，所以ED DH =GE ED ，AE EM =GE AE .因为∠AEG =∠AEM =90°，所以△GAE ∽△AME ，所以∠AGM =∠EAM .因为∠EAM +∠AEM =90°，所以∠AGM +∠M =90°，所以∠GAM =90°，所以AG ⊥AM .评注：证明三角形中的两个锐角互余，是证明三角形的一个内角为直角的常用方法，我们由此即可证明三角形的直角边所在的两图3图4。
初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全
初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全
三、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
1初中证明直线垂直平行的方法
1初中证明直线垂直平行的方法
初中证明直线垂直和平行的方法常见有以下几种：
证明直线垂直的方法：
1.垂直交线法：如果两条直线交于一点，并且交角为90度，则可以证明这两条直线是垂直的。
可以使用直尺和量角器来测量交角。
2.垂直斜交线法：如果两条直线的斜率乘积为-1，则可以证明这两条直线是垂直的。
根据斜率的定义，可以求出两条直线的斜率，然后计算斜率的乘积，若为-1则证明两条直线垂直。
3.垂直平移法：如果一条直线上的所有点按照垂直方向平移得到的点仍然在另一条直线上，则可以证明这两条直线是垂直的。
可以分别求出两条直线上的点的坐标，然后将其中一条直线上的点按照垂直方向平移，如果得到的点在另一条直线上，则证明两条直线垂直。
证明直线平行的方法：
1.平行性质法：根据平行线的性质，如果两条直线与第三条直线的交角分别相等，则可以证明这两条直线是平行的。
可以使用直尺和量角器来测量交角。
2.斜率法：如果两条直线的斜率相等，则可以证明这两条直线是平行的。
可以分别求出两条直线的斜率，如果相等则证明两条直线平行。
3.互补角法：如果两条直线间的相邻内角和为180度，则可以证明这两条直线是平行的。
可以使用直尺和量角器求出相邻内角和，如果等于180度则证明两条直线平行。
以上是一些常见的初中证明直线垂直和平行的方法，学生可以根据具体问题选择合适的方法进行证明。
证明过程中需要使用几何图形的性质和一些基本的几何知识，同时需要运用一些几何推理的方法。
初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全[五篇范例]
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初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全[五篇范例]初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全三、证明两直线平行1.垂直于同一条线的线是平行的。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.如果切割三角形的两条边(或延长线)得到的线段成比例，则该线平行于第三条边。
四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.当两条直线相交成直角时，它们是垂直的。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.用半圆上的圆角作为直角。
证明两条直线垂直（直角）的常用方法（一）相交线与平行线1.定义:当两条直线相交成直角时，它们是垂直的。
2.两条平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。
即：若a‖b，a⊥c，则b⊥c。
3.邻补角的平分线互相垂直。
4.到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
（二）三角形5.证直角三角形：直角三角形的两直角边互相垂直。
①三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。
②三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角。
③勾股定理的逆定理：三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。
6.三线合一法：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
7.三角形相似法：证一个三角形与直角三角形相似。
8.三角形全等法：证一个三角形与直角三角形全等。
（三）四边形9.矩形的两邻边互相垂直。
10.菱形的两条对角线垂直等分，每个对角线组等分。
垂直线的证法
垂直线的证法论证两直线垂直常从如下几个方面考虑。
从角考虑：相交成直角的两直线垂直。
相交得邻补角相等的两直线垂直。
直径所张圆周角的两边垂直。
从线考虑：分别与两互相垂直的直线平行的两直线垂直。
一条直线和两平行线中的一条垂直也和另一条垂直。
同圆中夹弧和为半圆的两相交弦垂直。
等腰三角形的顶角平分线和底边垂直。
过三角形顶点和垂心的直线与顶点所对的边垂直。
两圆相交的连心线与公共弦垂直。
从形考虑：与直角三角形相似对应于直角的角的两边垂直。
从有关结论考虑：满足勾股定理逆定理条件的三角形两短边垂直。
一线段的两端到另一线段两端距离的平方差相等时此两线段垂直。
还可从其他方法方面考虑：如同一法、反证法、几何变换等。
一、证明两直线垂直常用的方法：（1）等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线或底边的中线垂直于底边；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）勾股定理的逆定理；（4）全等和相似三角形的利用；(5) 射影定理的逆定理。
二、例题1、在ABC ∆两边AB 和AC 上向外作正方形,ABDE ACFG ，设,,H K M 各为,,BE CG BC 的中点。
证明,MH MK MH MK ⊥=。
2、分别以ABC ∆的边,,AB BC CA 为斜边向外作等腰直角三角形,,DAB EBC FAE 。
求证：（1）AE DF =（2）AE DF ⊥。
3、延长圆内接四边形两组对边至相交，则其交角的平分线互相垂直。
4、设四边形ABCD 同时有外接圆和内接圆，证明两组对边上的切点的连线必互相垂直。
5、设H 是等腰ABC ∆的垂心，K 为AH 的中点，D 是BC 边中点，BH 交AC 于E ，EF BC ⊥于F ，并延长AD 至G 使DG EF =，求证：BK BG ⊥。
6、如图，从等腰三角形ABC 的底边AC 的中点M 作BC 边的垂线MH ，点P 是MH 的中点，证明：AH BP ⊥7、如图，在ABC 中，边BC 等于其余两边之和的一半。
证直线垂直的方法
证直线垂直的方法直线的垂直性是一个基础几何概念，是指两条直线在交点处的夹角为90度，即成为直角。
在数学中，有多种方法可以判断两条直线是否垂直。
下面将介绍几种常用的方法。
方法一：斜率判断法对于两条直线L1和L2，首先需要计算它们的斜率。
斜率是指直线在坐标平面上的倾斜程度。
两条直线L1和L2垂直的条件是，它们的斜率的乘积为-1。
具体步骤如下：1. 计算直线L1的斜率k1。
直线L1可以表示为y = k1*x + b1，其中k1是斜率。
2. 计算直线L2的斜率k2。
直线L2可以表示为y = k2*x + b2，其中k2是斜率。
3. 判断斜率的乘积是否为-1，即k1 * k2 = -1。
如果成立，则两条直线垂直；如果不成立，则两条直线不垂直。
方法二：向量判断法向量也可以用来判断两条直线的垂直性。
两条直线垂直的条件是，它们的方向向量的内积为0。
具体步骤如下：1. 找到直线L1和直线L2的方向向量v1和v2。
方向向量是指直线的方向所对应的向量。
2. 计算方向向量的内积v1·v2。
如果v1·v2 = 0，则两条直线垂直；如果v1·v2 ≠0，则两条直线不垂直。
方法三：距离判断法两条直线也可以通过它们和一个公共点的距离来判断是否垂直。
具体步骤如下：1. 找到两条直线L1和L2的一个公共点P0。
可以通过联立直线方程求解得到。
2. 计算点P0到直线L1的距离d1。
3. 计算点P0到直线L2的距离d2。
4. 如果d1 * d2 = 0，则两条直线垂直；如果d1 * d2 ≠0，则两条直线不垂直。
方法四：正交变换法正交变换是一种保持垂直性的变换。
通过将两条直线进行正交变换，如果变换后的直线重合，则原先的两条直线是垂直的。
具体步骤如下：1. 将直线L1和直线L2表示为矩阵形式。
对于一条直线L：ax + by + c = 0，可以表示为矩阵形式：[a, b, c]。
2. 构造一个正交变换的矩阵T。
证明垂直的方法
证明垂直的方法垂直是指与地面或水平面成90度的方向或位置。
在日常生活和工作中，我们经常需要证明某个物体或者某个方向是垂直的。
本文将介绍几种常用的方法来证明垂直的情况，希望能够帮助大家更好地理解和应用这些方法。
首先，最直观的方法就是使用垂直仪或者水平仪。
垂直仪是一种测量仪器，可以用来检测物体是否垂直。
使用垂直仪的方法非常简单，只需要将垂直仪放置在需要检测的物体上，然后观察指针或者气泡的位置。
如果指针指向垂直方向，或者气泡在中间位置，那么就可以证明这个物体是垂直的。
这种方法在建筑、工程和日常家居装修中经常被使用，可以快速准确地检测出物体是否垂直。
其次，我们可以利用几何知识来证明垂直的方法。
在几何学中，垂直是指两条线段或者两个平面相交成直角的情况。
因此，我们可以通过测量两条线段或者两个平面的夹角来证明它们是否垂直。
通常情况下，我们可以使用量角器或者直角尺来进行测量。
如果两条线段或者两个平面的夹角为90度，那么就可以证明它们是垂直的。
这种方法在数学、物理和工程领域中经常被使用，可以帮助我们准确地判断物体或者方向是否垂直。
另外，我们还可以利用重力来证明垂直的方法。
在地球表面，重力方向是垂直向下的，因此我们可以通过悬挂自由落体或者使用测斜仪来检测垂直方向。
当物体处于静止状态时，它的重力方向就是垂直方向。
因此，我们可以利用这一特性来证明物体是否垂直。
这种方法在地质勘探、地理测量和天文观测中经常被使用，可以帮助我们准确地确定垂直方向。
最后，我们还可以利用光线的反射和折射来证明垂直的方法。
在光学中，当光线与表面垂直时，它会直接穿过或者反射回去。
因此，我们可以通过观察光线的反射和折射情况来判断表面是否垂直。
这种方法在光学实验和光学仪器校准中经常被使用，可以帮助我们准确地检测表面的垂直度。
总之，证明垂直的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行检测。
通过使用垂直仪、几何知识、重力和光学原理，我们可以准确地判断物体或者方向是否垂直，从而更好地应用于实际工作和生活中。
立体几何线线垂直的证明方法
立体几何线线垂直的证明方法在立体几何中，线线垂直是一种非常重要的关系，它在很多问题中都有着重要的应用。
本文将介绍几种线线垂直的证明方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一关系。
一、垂线段的垂线段垂直首先介绍的是垂线段的垂线段垂直的证明方法。
具体来说，如果有两个垂直于同一个平面的线段AB和CD，且它们之间有一条垂线段EF，则EF和CD垂直。
证明如下：1、连接AE和CF，得到平面ACEF。
2、由于AB和CD垂直于平面ACEF，所以它们的交点O在平面ACEF 内。
3、由于EF垂直于平面ACEF，所以它与平面ACEF的任意一条交线都垂直，特别地，它与CF垂直。
4、因此，EF和CD垂直。
二、平面的法线和平面内的任意直线垂直接下来介绍的是平面的法线和平面内的任意直线垂直的证明方法。
具体来说，如果有一个平面P和一条直线L在平面P内，且L与P垂直，则L与P的法线垂直。
证明如下：1、连接L和P的交点O。
2、在平面P内任意取一点A，连接OA。
3、由于L与P垂直，所以OA与L垂直，即OA和L在点O处垂直。
4、由于P的法线垂直于P，所以它与P内任意一条直线都垂直，特别地，它与OA垂直。
5、因此，L与P的法线垂直。
三、垂线段和平面的法线垂直最后介绍的是垂线段和平面的法线垂直的证明方法。
具体来说，如果有一条垂直于平面P的直线L，且L与平面P上的一条线段AB相交于点O，则OA和OB的中垂线与P的法线垂直。
证明如下：1、连接OA和OB，得到线段AB的中垂线CD。
2、连接CO和DO，得到平面COD。
3、由于L垂直于平面P，所以L和P的法线在平面P内的交点O 处垂直。
4、由于OA和OB在点O处相交，所以它们的中垂线CD也经过点O。
5、因此，CD与P的法线垂直。
以上就是三种线线垂直的证明方法，它们都非常简单易懂，但是能够解决很多实际问题。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的证明方法，以便更好地解决问题。
1.初中证明直线垂直、平行的方法
证明两条直线垂直（直角）的常用方法（一）相交线与平行线1.定义法：两条直线相交成直角则两直线垂直。
2.两条平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。
即：若a‖b，a ⊥c，则b⊥c。
3.邻补角的平分线互相垂直。
4.到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
（二）三角形5.证直角三角形：直角三角形的两直角边互相垂直。
①三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。
②三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角。
③勾股定理的逆定理：三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。
6.三线合一法：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
7.三角形相似法：证一个三角形与直角三角形相似。
8.三角形全等法：证一个三角形与直角三角形全等。
（三）四边形9.矩形的两邻边互相垂直。
10.菱形的两条对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。
（四）圆12.半圆或直径所对的圆周角是直角。
13.圆的切线垂直于过切点的半径。
（五）图形变换法14.轴对称图形的对称轴垂直平分对应点之间的连线。
15.同一法或反证法（不要求掌握）证明直线平行的常用方法（一）平行线与相交线：1.在同一平面内，两条不相交的直线互相平行。
2.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行。
3.平行于同一直线的两直线互相平行。
4.平行线的判定方法：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行。
（二）三角形5.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
6.一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。
（三）四边形7.平行四边形的两组对边互相平行。
8.梯形的两底边平行。
9.梯形的中位线平行于两底。
（四）同一法或反证法（不要求掌握）证明两线段相等的常用方法（一）三角形1.等角对等边：两线段在同一三角形中，证明等腰或等边三角形。
教你十招证明两直线垂直
2. 已知 B 为 ACD 的 中 点, 求证: A C CD = AB2 BC2 (如图 8). (用 两个未知
数) 3. 求证托列迷定理: 圆
内接四边形的两组对边乘积
的和等于两条对角线的乘积.
(用三个未知数 ) 4. 设正九边形的一边长为 a, 最短的对角
线的长为 b, 最长的对角线的长为 c, 求证: a + b
3 7
)
=
1 2R
s
in
2 7
+
s
in
3 7
s
in
2 7
s
in
3 7
=
1 2R
s
in
2 7
+
s
in
4 7
s
in
2 7
s
in
3 7
(因为
s in
4 7
=
s in
3 7
)
=
1 2R
2
s
in
3 7
cos
7
s in
2 7
s in
3 7
=
1 2R
2cos 7 2sin 7 cos 7
= 1. 2R sin 7
形 ABCD 中 E、F 分别为 AB、 BC 上的点, 且 BE = BF、BP ∀ CE 于 P, 求证: PD ∀ PF.
证明: 因 为 BP ∀ CE, # ABC = 90%,
所以 # 4 + # BCE =
# 5 + # BCE = 90%, 所以 # 4 = # 5. 又 # BPE = # CPB, 所以 BPE & CPB,
= c(用特殊角 ).
怎么证明垂直
怎么证明垂直怎么证明垂直1、利用勾股定理的逆定理证明勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。
2、利用“三线合一”证明要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。
3、利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
4、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5、利用菱形的对角线互相垂直证明菱形的对角线互相垂直。
6、利用全等三角形证明主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直.赞同35| 评论1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。
立体几何证垂直的方法
立体几何证垂直的方法
证明两条线段垂直的方法通常有以下几种：
1. 垂直线段的定义：根据垂直线段的定义，如果两条线段的斜率乘积为-1，则它们是垂直的。
可以通过计算两条线段的斜率并判断它们的乘积是否为-1。
2. 垂直平分线：如果一条线段上的点到另一条线段的距离都相等且垂直于另一条线段，则它们是垂直的。
可以通过计算两条线段上的某个点到另一条线段的距离，并判断这些距离是否相等。
3. 垂直平行线：如果两条平行线段与第三条互相垂直，则它们本身也是垂直的。
可以通过找到与两条平行线段都垂直的第三条线段，并判断它们之间的关系。
4. 正交投影：如果两条线段在平面上的正交投影相交，则它们是垂直的。
可以将两条线段的正交投影投影到平面上，并判断它们是否相交。
以上是一些常见的证明两条线段垂直的方法，具体证明方法还要根据具体的题目和条件来进行选择和应用。
证明线线垂直的方法
证明线线垂直的方法在几何学中，线线垂直是一个非常基础的概念，而证明两条线垂直的方法也是我们学习几何学时需要掌握的重要知识之一。
在本文中，我们将介绍几种常见的证明线线垂直的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 垂直线的定义。
首先，我们需要了解垂直线的定义。
在平面几何中，如果两条线段相交且相交的四个角都是直角，则这两条线段是垂直的。
这是垂直线的基本定义，也是我们证明线线垂直的起点。
2. 通过垂直平分线证明。
一种常见的证明线线垂直的方法是通过垂直平分线。
所谓垂直平分线，就是将一个角平分成两个相等的直角。
如果两条线段分别与同一条直线相交，且相交点处的角被垂直平分线所平分，那么这两条线段就是垂直的。
这是一种常见且易于理解的证明方法，可以通过画图来直观地展示线线垂直的关系。
3. 通过垂直角的性质证明。
另一种常见的证明线线垂直的方法是通过垂直角的性质。
在几何学中，垂直角是指两条相交直线所形成的四个角中的一对相对角，它们的度数相加等于180度。
因此，如果我们能够证明两条线段所形成的四个角中有一对是垂直角，那么这两条线段就是垂直的。
这种方法通常需要通过角度的计算和推导来完成，是一种较为抽象但也非常有效的证明方法。
4. 通过垂直距离的性质证明。
除了以上两种方法，还可以通过垂直距离的性质来证明线线垂直。
在平面几何中，两条线段如果垂直，则它们之间的距离是相等的。
因此，我们可以通过计算两条线段之间的距离来证明它们是否垂直。
这种方法通常需要运用到距离公式和坐标系等知识，适用于一些较为复杂的几何问题。
总结。
通过以上介绍，我们可以看到，证明线线垂直的方法有多种多样，每种方法都有其独特的特点和适用范围。
在学习几何学时，我们需要灵活运用这些方法，根据具体问题的特点选择合适的证明方法。
通过不断练习和思考，我们可以更好地理解和掌握线线垂直的概念，提高解题能力和数学素养。
希望本文的介绍能够对大家有所帮助，谢谢阅读！。
证明线面垂直的方法
证明线面垂直的方法在几何学中，线面的垂直关系是一个非常重要的概念，它在各种数学问题中都有着重要的应用。
那么，我们如何证明两条线或者一个线和一个平面是垂直的呢？下面将介绍几种常见的方法来证明线面垂直的关系。
方法一，利用垂直距离的定义。
垂直距离是指从一点到一条直线的垂直距离。
如果一条直线上的两点到另一条直线的垂直距离相等，那么这两条直线就是垂直的。
我们可以利用这一性质来证明两条直线的垂直关系。
具体的做法是，首先找到两条直线上的两个点，然后分别求它们到另一条直线的垂直距离，如果这两个垂直距离相等，那么可以得出这两条直线是垂直的结论。
方法二，利用垂直角的性质。
在平面几何中，如果两条线段相交，它们所成的四个角中，相邻的两个角互为补角，且互为垂直角。
因此，我们可以通过证明两个角是垂直角来证明两条线段是垂直的。
具体的做法是，首先找到两条线段的交点，然后证明它们所成的相邻角是垂直角，即它们的度数之和为90度。
如果能够证明这一点，那么就可以得出这两条线段是垂直的结论。
方法三，利用垂直平分线的性质。
在平面几何中，如果一条线段垂直于一条直线，并且平分这条直线，那么这条线段就是这条直线的垂直平分线。
我们可以利用这一性质来证明一条线段和一条直线的垂直关系。
具体的做法是，首先找到一条线段和一条直线，然后证明这条线段垂直于这条直线，并且平分这条直线。
如果能够证明这一点，那么就可以得出这条线段和这条直线是垂直的结论。
方法四，利用垂直投影的性质。
在空间几何中，我们可以利用垂直投影的性质来证明线面的垂直关系。
具体的做法是，首先找到一条线段和一个平面，然后证明这条线段在这个平面上的投影是垂直的。
如果能够证明这一点，那么就可以得出这条线段和这个平面是垂直的结论。
综上所述，证明线面垂直的方法主要包括利用垂直距离的定义、利用垂直角的性质、利用垂直平分线的性质以及利用垂直投影的性质。
通过这些方法，我们可以准确地证明线面的垂直关系，从而在数学和几何问题中得出正确的结论。
必修二垂直证明常见模型及方法
垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）○1 等腰（等边）三角形中的中线○2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。
例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O OE ⊥（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面A B C D 是矩形，已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A . 求证:'A D EF ⊥；BE'ADFG变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC类型二：线面垂直证明方法○1 利用线面垂直的判断定理例2：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O BDE ⊥平面变式1：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =6BC =CE变式1, 在四棱锥P ABCD-，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且PAB ABCD⊥面底面,求证：BC PAB⊥面类型3：面面垂直的证明。
证明两线互相垂直的常用方法
证明两线互相垂直的常用方法我们学习了平面与直线垂直的定义、判定定理和性质定理，大家可以体会线线垂直在证明线面垂直时的重要性，将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法.在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”，同学们下面欣赏常见的线面垂直证明方法.一、利用定义垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
从定义可以看出，只要说明两条直线相交的角是直角，就可以说明两条直线互相垂直。
例1：如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.求证：PC是⊙O的切线；分析：因为点C在圆上，只要说明OC⊥CP即可。
解：∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠ A ,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线例2：（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．分析：线段之间的垂直，只要说明∠BFD=90°，直接计算不出来，通过三角形全等，间接证明角度为90°。
证明：在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，∴ △ACD≌△BCE（SAS）∴ ∠DAC＝∠EBC．∵ ∠ADC＝∠BDF，∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴ ∠BFD=90°∴ AF⊥BE．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．分析：题目同（1）类似，类比（1）思路，这里△ACD和△BCE，显然不全等，考虑相似即可。
证明线面垂直的方法
证明线面垂直的方法在几何学中，线面的垂直关系是非常重要的，而证明线面垂直的方法也是我们在学习和解题过程中经常会用到的。
下面我将介绍一些常见的证明线面垂直的方法，希望能对大家有所帮助。
首先，我们来讨论一下什么是线面的垂直关系。
在空间几何中，如果一条直线和一个平面相交，并且这条直线与平面内的任意一条线都垂直，那么我们就可以说这条直线和这个平面是垂直的。
而要证明这种垂直关系，我们可以采用以下几种方法：方法一，利用垂直平分线的性质。
在平面几何中，我们知道如果一条直线垂直于另一条直线，并且这两条直线的交点在另一条线段的中点上，那么这两条直线就是垂直的。
因此，我们可以利用这个性质来证明线面的垂直关系。
具体做法是，我们可以在平面内画一条垂直平分线，然后证明这条直线与给定的平面相交，并且与平面内的任意一条线都垂直，从而得出结论，这条直线和这个平面是垂直的。
方法二，利用垂直平行线的性质。
在空间几何中，我们还可以利用垂直平行线的性质来证明线面的垂直关系。
具体做法是，我们可以在给定的平面上选择一条直线，然后证明这条直线与平面内的任意一条平行线都垂直，从而得出结论，这条直线和这个平面是垂直的。
方法三，利用投影的性质。
在空间几何中，投影是一个非常重要的概念。
我们知道，如果一条直线与一个平面相交，并且这条直线在平面上的投影是这条直线的垂线段，那么这条直线和这个平面是垂直的。
因此，我们可以利用这个性质来证明线面的垂直关系。
具体做法是，我们可以在给定的平面上选择一条直线，然后证明这条直线在平面上的投影是这条直线的垂线段，从而得出结论，这条直线和这个平面是垂直的。
以上就是几种常见的证明线面垂直的方法，当然在实际的解题过程中，我们可能还会用到其他一些方法。
希望大家能够在学习和解题过程中灵活运用这些方法，提高自己的几何解题能力。
总结。
通过以上的介绍，我们可以看到，证明线面垂直的方法有很多种，而每一种方法都有其特定的应用场景和解题技巧。
证明垂直的方法
证明垂直的方法在日常生活中，我们经常需要证明某个物体或某个方向是垂直的。
无论是在建筑施工中、科学实验中，还是日常生活中的摆放物品，都需要准确地证明垂直方向。
那么，我们应该如何进行垂直的证明呢？下面将介绍几种常见的方法。
首先，最直观的方法是使用垂直仪器。
垂直仪器是一种专门用来测量垂直方向的仪器，常见的有水平仪、测斜仪等。
通过放置垂直仪器，观察其指针或气泡的位置，就可以判断出该位置是否垂直。
这种方法简单直观，适用于许多场景，是常用的垂直证明方法之一。
其次，利用水平线也可以证明垂直。
在地球引力的作用下，水平线在平稳状态下总是处于垂直状态。
因此，我们可以利用水平线来证明垂直。
比如在建筑施工中，可以通过调整水平线的位置，使其与待测垂直方向重合，从而证明该方向是垂直的。
另外，利用几何原理也可以进行垂直的证明。
在数学几何中，垂直是两条线段、两个平面或者一个线段和一个平面相互交叉成直角的关系。
因此，我们可以通过测量角度或者利用垂直距离来证明两个物体或者方向是垂直的。
这种方法需要一定的几何知识作为基础，但在实际操作中也是非常有效的。
除此之外，利用重力也可以进行垂直的证明。
在地球上，重力始终指向地心，因此可以利用重力来证明垂直。
比如在实验室中，可以利用悬挂物体的方式，使其在平衡状态下，从而证明其所在方向是垂直的。
这种方法简单易行，适用于许多实验场景。
综上所述，证明垂直的方法有很多种，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
无论是利用专门的仪器、水平线、几何原理还是重力，都可以有效地证明垂直方向，为我们的工作和生活提供准确的参考。
希望本文介绍的方法能够对大家有所帮助。
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证明垂直的众多方法技巧
垂直是几何的知识，那垂直该怎么证明呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是百分网给大家整理的怎么证明垂直内容，希望大家喜欢。
证明垂直的方法
1、
利用勾股定理的逆定理证明
勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。
2、
利用“三线合一”证明
要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。
3、
利用直角三角形中两锐角互余证明
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
4、
圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5、
利用菱形的对角线互相垂直证明
菱形的对角线互相垂直。
6、
利用全等三角形证明
主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直.
wps演示启用垂直标尺的方法
一、在电脑桌面的wps文字程序图标上双击鼠标左键，将其打开运行。
如图所示;
二、在打开的wps表格窗口中，点击左上角的“wps演示”命令选项。
如图所示;
三、在弹出的“wps演示”命令选项对话框中，选择并点击“选项”命令选项。
如图所示;
四、点击“选项”命令选项后，这个时候会弹出工作簿的“选项”对话框。
如图所示;
五、在“选项”对话框中，选择左侧窗格的“视图”选项并点击它。
如图所示;
六、在“视图”选项的右侧窗格中，找到“显示”组中的“垂直标尺”选项，并将其勾选，然后再点击“确定”按钮即可。
如图所示;
用垂直造句
1)实际证明，贮冷设备中蒸发端以螺旋沿垂直上下延伸结构造型结冰效果最好。
2)阐述哈锅超超临界锅炉的设计特点，对蒸汽参数垂直水冷壁设计过热器与再热器的布置和高热强钢启动系统等作了分析与讨论。
3)还可以设置组合框下拉部分的垂直大小。
4)利用JGYW2型双单摆振动示波装置对两个相互垂直方向的同频率欠阻尼振动的合成进行了实验研究和理论分析，得到了欠阻尼振动合成的部分图形和表达式。