高考数学题型总结：不等式题型及解题方法
不等式九大题型(学生版)--2025年新高考数学一轮复习
基本不等式及其应用【九大题型】【新高考专用】【题型1基本不等式及其应用】【题型2直接法求最值】【题型3配凑法求最值】【题型4常数代换法求最值】【题型5消元法求最值】【题型6齐次化求最值】【题型7多次使用基本不等式求最值】【题型8利用基本不等式解决实际问题】【题型9与其他知识交汇的最值问题】1.基本不等式及其应用考点要求真题统计考情分析(1)了解基本不等式的推导过程(2)会用基本不等式解决最值问题(3)理解基本不等式在实际问题中的应用2020年天津卷：第14题，5分2021年乙卷：第8题，5分2022年I 卷：第12题，5分2023年新高考I 卷：第22题，12分基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.【知识点1基本不等式】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R )当且仅当“a =b ”时取“=”基本不等式ab ≤a +b2(a >0,b >0)当且仅当“a =b ”时取“=”a +b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2025年新高考数学一轮复习基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2.基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P；(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．3.常见的求最值模型(1)模型一：mx+nx≥2mn(m>0,n>0)，当且仅当x=n m时等号成立；(2)模型二：mx+nx−a =m(x−a)+nx−a+ma≥2mn+ma(m>0,n>0)，当且仅当x−a=n m时等号成立；(3)模型三：xax2+bx+c =1ax+b+cx≤12ac+b(a>0,c>0)，当且仅当x=c a时等号成立；(4)模型四：x(n−mx)=mx(n−mx)m≤1m⋅mx+n−mx22=n24m m>0,n>0,0<x<n m，当且仅当x=n2m时等号成立.4.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型1基本不等式及其应用】1(2023·安徽蚌埠·模拟预测)已知实数a,b,c满足a<b<c且abc<0，则下列不等关系一定正确的是()A.ac<bcB.ab<acC.bc +cb>2 D.ba+ab>22(2023·湖南长沙·一模)已知2m=3n=6，则m，n不可能满足的关系是()A.m+n>4B.mn>4C.m2+n2<8D.(m-1)2+(n-1)2>23(2024·山东枣庄·一模)已知a>0,b>0，则“a+b>2”是“a2+b2>2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4(2023·辽宁·二模)数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为( )．A.a+b2≥ab a>0,b>0B.2aba+b≤ab a>0,b>0C.a+b2≤a2+b22a>0,b>0D.a2+b2≥2ab a>0,b>0【题型2直接法求最值】1(2023·湖南岳阳·模拟预测)已知函数f x =3-x-2x，则当x<0时，f x 有()A.最大值3+22B.最小值3+22C.最大值3-22D.最小值3-222(2023·北京东城·一模)已知x>0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.223(22-23高三下·江西·阶段练习)3+1 x21+4x2的最小值为()A.93B.7+42C.83D.7+434(23-24高二下·山东潍坊·阶段练习)函数y=3-4x-x(x>0)的最大值为()A.-1B.1C.-5D.5【题型3配凑法求最值】1(2023·山西忻州·模拟预测)已知a>2，则2a+8a-2的最小值是()A.6B.8C.10D.122(2024·辽宁·一模)已知m >2n >0，则m m -2n +mn的最小值为()A.3+22B.3-22C.2+32D.32-23(2023·河南信阳·模拟预测)若-5<x <-1，则函数f x =x 2+2x +22x +2有()A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-14(23-24高三下·河南·开学考试)已知a >0,b >0，则a +2b +4a +2b +1的最小值为()A.6B.5C.4D.3【题型4常数代换法求最值】1(2024·江苏南通·二模)设x >0，y >0，1x +2y =2，则x +1y 的最小值为()A.32B.22C.32+2 D.32(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知正实数x ，y 满足1x +2y=1，则2xy -3x 的最小值为()A.8B.9C.10D.113(2024·广东湛江·一模)已知ab >0，a 2+ab +2b 2=1，则a 2+2b 2的最小值为()A.8-227B.223C.34D.7-2284(2023·广东广州·模拟预测)已知正实数x ，y 满足2x +y =xy ，则2xy -2x -y 的最小值为()A.2B.4C.8D.9【题型5消元法求最值】1(2024·陕西西安·三模)已知x >0,y >0，xy +2x -y =10，则x +y 的最小值为42-1．2(2023·上海嘉定·一模)已知实数a 、b 满足ab =-6，则a 2+b 2的最小值为12．3(2024·天津河东·一模)若a >0,b >0,ab =2，则a +4b +2b 3b 2+1的最小值为．4(2024·四川德阳·模拟预测)已知正实数x ，y ，z 满足x 2+xy +yz +xz +x +z =6，则3x +2y +z 的最小值是43-2.【题型6齐次化求最值】1(23-24高一上·湖南娄底·期末)已知x >0，则x 2-x +4x 的最小值为()A.5B.3C.-5D.-5或32(23-24高一上·辽宁大连·期末)已知x ，y 为正实数，且x +y =1，则x +6y +3xy的最小值为()A.24B.25C.6+42D.62-33(23-24高二上·安徽六安·阶段练习)设a+b=1,b>0，则1|a|+9|a|b的最小值是()A.7B.6C.5D.44(23-24高三上·浙江绍兴·期末)已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2，则x2+1x+2y2y+1的最小值为()A.34B.94C.32D.92【题型7多次使用基本不等式求最值】1(2023·河南·模拟预测)已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b，则a+b的最小值为()A.5B.52C.52 D.5222(2023·全国·模拟预测)已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+a2c4a4+b2+c2的最大值为()A.12B.24C.22D.343(2024·全国·模拟预测)已知a>0，b>0，c>1，a+2b=2，则1a+2bc+2c-1的最小值为()A.92B.2 C.6 D.2124(23-24高三下·浙江·开学考试)已知a、b、c、d均为正实数，且1a+2b=c2+d2=2，则a+bcd的最小值为()A.3B.22C.3+22D.3+222【题型8利用基本不等式解决实际问题】1(23-24高二下·北京房山·期中)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B，C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为Sm2.(1)用含有x的代数式表示a；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？2(23-24高一上·辽宁朝阳·期末)冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的x百万元在第m(1≤m≤8，且m∈N*)年产生的利润(单位：百万元)G m=mx,m∈N*,1≤m≤44-16-mx2,m∈N*,5≤m≤8，记这4百万元投资从2024年开始的第n年产生的利润之和为f n x .(1)比较f42 与f52 的大小；(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.3(23-24高一上·河南开封·期末)如图，一份印刷品的排版(阴影部分)为矩形，面积为32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为1的空白.记纸张的面积为S，排版矩形的长和宽分别为x，y.(1)用x，y表示S;(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小?并求最小面积.4(23-24高一上·四川成都·期末)如图所示，一条笔直的河流l(忽略河的宽度)两侧各有一个社区A,B (忽略社区的大小)，A社区距离l上最近的点A0的距离是2km,B社区距离l上最近的点B0的距离是1km，且A0B0=4km.点P是线段A0B0上一点，设A0P=akm.现规划了如下三项工程：工程1：在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1km2的文化主题公园，且每平方千米造价为1+92a2亿元；工程3：将直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.记这三项工程的总造价为W 亿元.(1)求实数a 的取值范围；(2)问点P 在何处时，W 最小，并求出该最小值.【题型9与其他知识交汇的最值问题】1(23-24高三上·江苏南通·阶段练习)已知ΔABC 内接于单位圆，且1+tan A 1+tan B =2，(1)求角C(2)求△ABC 面积的最大值．2(23-24高三上·山东青岛·期末)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian d u );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC .(1)求证:四棱锥B -A 1ACC 1为阳马;(2)若C 1C =BC =2,当鳖膈C 1-ABC 体积最大时,求锐二面角C -A 1B -C 1的余弦值.3(2024·广东珠海·一模)已知A 、B 、C 是ΔABC 的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量m=a +b ,c ，n =sin B -sin A ,sin C -sin B ，且m ⊥n.(1)求角A 的大小；(2)若a =2，求ΔABC 面积的最大值.4(2024·黑龙江大庆·一模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，过点1,32 且离心率为12，A ,B 是椭圆上纵坐标不为零的两点，若AF =λFB λ∈R 且AF ≠FB，其中F 为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的方程；(2)求线段AB 的垂直平分线在y 轴上的截距的取值范围．一、单选题1(2023·全国·三模)已知a >0，b >0，且a +b =1，则下列不等式不正确的是()A.ab≤14B.a2+b2≥12C.1a+1b+1>2 D.a+b≤12(2024·甘肃定西·一模)x2+7x2+7的最小值为()A.27B.37C.47D.573(2024·辽宁葫芦岛·一模)已知a>0，b>0，a+b=2，则()A.0<a≤1B.0<ab≤1C.a2+b2>2D.1<b<24(2024·浙江嘉兴·二模)若正数x,y满足x2-2xy+2=0，则x+y的最小值是() A.6 B.62C.22D.25(2024·四川成都·模拟预测)若a,b是正实数，且13a+b+12a+4b=1，则a+b的最小值为()A.45B.23C.1D.26(2024·陕西西安·模拟预测)下列说法错误的是()A.若正实数a,b满足a+b=1，则1a +1b有最小值4B.若正实数a,b满足a+2b=1，则2a+4b≥22C.y=x2+3+1x2+3的最小值为433D.若a>b>1，则ab+1<a+b7(2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2，则()A.a1=a2B.a1<a2C.a1>a2D.a1,a2的大小无法确定8(2024·四川成都·三模)设函数f x =x3-x，正实数a,b满足f a +f b =-2b，若a2+λb2≤1，则实数λ的最大值为()A.2+22B.4C.2+2D.22二、多选题9(2023·全国·模拟预测)已知实数x,y，下列结论正确的是()A.若x+y=3，xy>0，则x2x+1+y2+1y≥3B.若x>0，xy=1，则12x +12y+8x+y的最小值为4C.若x≠0且x≠-1，则yx<y+1x+1D.若x 2-y 2=1，则2x 2+xy 的最小值为1+3210(2023·重庆沙坪坝·模拟预测)某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅a %，第二次涨幅b %；乙：第一次涨幅a +b 2%，第二次涨幅a +b2%；丙：第一次涨幅ab %，第二次涨幅ab %.其中a >b >0，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有()A.方案甲和方案乙工资涨得一样多B.采用方案乙工资涨得比方案丙多C.采用方案乙工资涨得比方案甲多D.采用方案丙工资涨得比方案甲多11(2024·全国·模拟预测)已知a >0，b >0且1a +4b =2，则下列说法正确的是()A.ab 有最小值4B.a +b 有最小值92C.2ab +a 有最小值25D.16a 2+b 2的最小值为42三、填空题12(2024·全国·模拟预测)已知x >1，y >0，且x +2y =2，则1x -1+y 的最小值是．13(2024·上海奉贤·二模)某商品的成本C 与产量q 之间满足关系式C =C q ，定义平均成本C=C q ，其中C =C (q )q ，假设C q =14q 2+100，当产量等于时，平均成本最少.14(2024·全国·模拟预测)记max x 1,x 2,x 3 表示x 1,x 2,x 3这3个数中最大的数．已知a ,b ,c 都是正实数，M =max a ,1a +2b c ,c b，则M 的最小值为．四、解答题15(2023·甘肃张掖·模拟预测)已知正实数x ，y 满足等式1x +3y=2．(1)求xy 的最小值；(2)求3x +y 的最小值．16(2023·全国·模拟预测)已知x,y,z∈0,+∞，且x+y+z=1．(1)求证：yx+zy+xz>1+z-z；(2)求x2+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值．17(2023·陕西安康·模拟预测)已知函数f x =x+a+x-b．(1)当a=2,b=3时，求不等式f x ≥6的解集；(2)设a>0,b>1，若f x 的最小值为2，求1a +1b-1的最小值．18(23-24高一上·贵州铜仁·期末)2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4-2m+1. 已知生产该产品的固定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为8+16xx万元/万件(产品年平均成本)的1.5倍.(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19(2023·全国·模拟预测)已知x，y，z∈0,+∞．(1)若x+y=1，证明：4x+4y≤48；(2)若x+y+z=1，证明yx+zy+xz>1+z-z．11。
高考数学23题不等式多种题型及解法
高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学中的不等式题型占据了相当重要的比重，其中第23题更是被认为是难度较高的题目之一。
不同的不等式类型呈现多种解法，本文将以该题为例，分别探讨不同类型不等式的解法。
1. 绝对值不等式第23题题干如下：若$x+y+z=1$，那么$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$最大值为多少？解法：显然这是一个求最值的问题，用$M\leq\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b})}$来解决本题。
2. 平均数不等式第23题变形如下：设$a,b,c$是正数，且满足$abc=(1-a)(1-b)(1-c)$，求最大值：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$解法：根据平均数不等式，得到：$$9(a+b+c)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$$即：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 3\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$$ 3. 夹逼定理第23题变形如下：对所有的正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$解法：通过夹逼定理，得到：$$2n\sqrt{n}<2\sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}<2n\sqrt{n+1}$$ 即：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$4. 柯西不等式第23题变形如下：对于任意正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}<\frac{2}{\sqrt{n+ 1}}$$解法：通过柯西不等式，得到：$$\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\right)(n+1+n+2+...+ 2n)\geq (\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+...+\sqrt{2n})^2$$即：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}\geq\frac{2}{\sqrt{n+1}}$$结语：高考数学中的不等式题型固然需要掌握多种解法，但更需要在平时的学习中悉心积累、勤于实践。
高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法！最后一种很重要！
开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。
由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。
所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。
适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。
方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。
方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。
总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。
平时练习过程中，应注意观察，总结！。
高考数学中的方程不等式解法总结
高考数学中的方程不等式解法总结高考数学往往是让许多中学生感到头疼的难题，其难点之一便是方程和不等式。
方程和不等式是数学中最基本的概念，也是数学中最常用的两种方法之一。
因为它们在数学中的应用非常广泛，所以高考数学中方程和不等式的考查也非常重要。
本文将对高考数学中的方程不等式解法进行总结。
一、方程解法1. 分离变量法分离变量法是一种较为基础的方程求解方法，该方法只适用于对于有一些特殊形式的方程.例题：求解方程 $y'= \frac{2x}{y}$解析：将方程变形为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x}$ ，两边同时乘以 $dx$ ，得到 $ydy = \frac{1}{2}xdx$，进行积分，得到$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{4}x^2 + C$ 。
再带入初始条件即可求出常数 $C$ .2. 思维转换法这种方法适用于使用较为复杂的方程，通过将难解的方程变为可以求解的形式.例题：求解方程 $\sin x = x^2-2x$解析：利用思维转换法，左右两边同时加上 $1-x$，化简为$\sin x + 1 - x = x^2-x+1$，然后再将左右两边取平方，得到 $(\sin x+1-x)^2 = (x^2-x+1)^2 $。
经过化简，我们可以得到一个较为容易求解的二次方程。
3. 因式分解法针对某些特定形式的方程，我们可以使用因式分解的方法解决.例题：求解方程 $x^2+(a+b)x+ab=0$，其中 $a,b \in \rm{R.}$解析：将该二次方程进行因式分解，得到 $(x+a)(x+b)=0$，解得 $x=-a$ 或 $x=-b$.二、不等式解法1. 分类讨论法分类讨论法是不等式解题的基本方法，通过对不等式的不同情况进行分类，以及比较大小情况，来得出不等式的解.例题：已知 $x,y \in \rm{R}$ ，求 $x^2+y^2 \leq 1$ 的解.解析：首先，将 $x^2+y^2 \leq 1$ 转化为标准形式，得到$x^2+y^2 - 1 \leq 0$。
2025高考数学培优25讲1.不等式拓展
第1章不等式拓展1.1赫尔德不等式一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：赫尔德不等式高中常用形式:（其中,,(1,2,,)i i i a b c i n = 非负）一:()()()3112233a b a b a b +++≥二:()()()3111222333a b c a b c a b c ++++++≥三:()()()111121212,n n n a b z m a a a b b b z z z +++++++++共个字母m≥+ ，取等条件：111::::::(2,,)i i i a b z a b z i n == ，2m =时,赫尔德不等式即柯西不等式.二、【典型例题】1．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y+最小值．2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．1.2柯西不等式1.2.1整式类型一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：1.二维柯西不等式：设a ，b ，c ，d 均为实数，有22222()()()a b c d ac bd ++≥+当且仅当a bc d=时等号成立；向量法证明：()()22222,,,,cos 1cos ()()()m a b n c d m n m n m n ac bd a b c d ac bd θθ⎧==≤⎪⎪⇒=≤⎪⎨⎪⇒+≤⎪⎪⇒++≥+⎩；取等时向量共线，即a b c d =；代数法证明：()()()2222222222222222222222()22()0a b c d ac bd a c a d b c b d a c acbd b d a d b c acbd ad bc ⎧⎪⎪⎨⎪⎪++-+=+++-++=+-=⎩-≥易知取等条件是ad bc =，解答题用到柯西不等式，即可证明；2.n 维柯西不等式：222222222123123112233(......)(......)(......)n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b ++++++++≥++++，其中字母值域均为R ，当且仅当312123......n na a a ab b b b ====时等号成立，n 维向量证明（不作要求）;二、【典型例题】1．（福建·高考真题）设,a b R ∈，2226a b +=，则a b +的最小值是（）A．-B．3-C．3-D．72-2．（江苏·高考真题）若,,x y z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值为．3．（湖南·高考真题）设,x y R ∈,则222211(4)x y y x++的最小值为．4．（全国·高三专题）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=+的最大值为（）C．D．5．（全国·高三专题）设,a b R ∈，且2210a b +=，则a b -的取值范围为______.6．（全国·高三专题）已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=，的最大值为（）A．3B．C．18D．97．（湖北·高考真题）设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b c x y z++=++（）A．14B．13C．12D．34三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知1,1x y >->-，且(1)(1)4x y ++=，则xy 的最大值是．2．（全国·高三专题）已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是．3．（陕西·高考真题）设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，的最小值为．4．（浙江湖州·高三期末）已知x ，y ∈R ，且3x y +=，+的最小值是．5．（全国·高三专题）已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为．6．（重庆卷）已知正数,x y 满足5x y +=的最大值为．7．（全国·高三专题）对于0c >，当非零实数a ，b 满足2222a ab b c -+=且使||a b +最大时，345a b c-+的最小值为．8.（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：()()()22222a b c d ac bd ++≥+，当且仅当a bc d=时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数()f x =的最大值为（）A．B．C．12D．209.（2024·浙江·模拟预测）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=值为（）C．D．10．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．1.2.2分式类型一、【题型总结】▲适用题型：一般出现变量和以及变量的倒数和等类型可以考虑；▲方法原理：模型一：2222222()()()m n a b m n a b++≥+；例如：211()()a b a b ++≥=4；模型二：2[()(1)]()1a b a bx x x x x x+=+-+≥--1二、【典型例题】1．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A．245B．285C．5D．62．（陕西·高考真题）设,x y 为正数，则14()()x y x y++的最小值为（）A．6B．9C．12D．153．（河南开封·高二阶段）已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c ++的最小值为（）A．9B．8C．3D．134．（全国·高三专题）已知1a b c ++=，且,,0a b c >，则222a b b c a c+++++的最小值为()A．1B．3C．6D．95．（天津·耀华中学一模）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121aa b ++的最小值为．6．（浙江台州·高三期末）已知正实数,a b 满足21a b +=，则4432a b b a+的最小值为．三、【习题检测】1．（山东·高考真题）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为．2．（全国·高三专题）已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为．3．（全国·高三专题）设x ，y ，z的最大值是．4．（全国·高三专题）已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是．5．（天津·耀华中学模拟预测）已知实数0a >，0b >，121a b +=，则4312a ba b +--的最小值是．6．（全国·高三专题）已知正数,,x y z 满足321x y z ++=，则24242x y y z x y++++的最小值为．7．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121a ab ++的最小值为．1.2.3待定系数类型一、【题型总结】▲适用题型：直接使用柯西发现系数不匹配则可以考虑；▲方法原理：待定系数：()()()2222222101a b m m a b ma m ⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎣⎦⎣⎦比如已知正数,a b 满足1381a b +=，则2a 解题思路：()()()()()()()()()222222241401112222131333138188511213855343255552138155a b m m a b ma m m a b a m a a b a b m a a b a a b a b b ⎧⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎨⎪=⎪⎩+≥++++=⇒⇒=+≥+=⎧=⎫⎪=⎪⎪⇒⎬⎨⎪⎪+==⎭⎪⎩柯西待定系数化简结果对比中，系数为计算答案时125a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒+⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩最小值为取等二、【典型例题】1．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足341ab +=，则a +的最小值为．2．设a ，b ，c 为正数，且2221a b c ++=，则()a a b c ++的最大值为（）A．312+B．212+C．32D．223.（2024·浙江·一模）若()2s s in i c n os x y y x +++=，则sin x 的最小值是（）A．0B．2C．3-D．12三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知实数0x >，0y >，3x y +=，+的最小值是．2．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足8a +=，则32a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若a ，b 是正实数，且121a b+=，则a b ++的最小值为．4．若实数a ，b ，c ，d 满足1ab bc cd da +++=，则2222234a b c d +++的最小值为（）A．1B．2C．3D．以上答案都不对1.3权方和不等式1.3.1分式类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有22a b x y +和x y +时，也就是柯西不等式中分式类型的题目可以考虑；▲方法原理：由柯西不等式可知222()()()a b x y a b x y++≥+，则,,,0a b x y >时，222()a b a b x y x y ++≥+当a bx y =时，等号成立．同理2222(),a b c a b c x y z x y z ++++≥++当a b cx y z ==时，等号成立．二、【典型例题】1．（山东·高考真题）若直线1x ya b+=()0,0a b >>过点12（，），则2a b +的最小值为．2．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则43y x +的最小值是（）A．245B．285C．5D．6三、【习题检测】1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足()222a b a b x y x y++≥+，当且仅当a b x y =时，等号成立．则函数()31610133f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为（）A．16B．25C．36D．492．已知x >0，y >0，且11121x y y +=++，则x +2y 的最小值为．3．已知1,1a b >>，则2211a b b a +--的最小值是．1.3.2合理配凑类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接用权方和时系数不匹配需要进行配凑，或者需要先进行变形处理；▲方法原理：1.考虑分式上下同时扩大或者缩小；比如：()2,,,0p q a b p qa b ma nb=⎧⎪+>⎪+⎨⎪=⎪⎩2.考虑分子分母同除以相同字母构造目标结构；比如：()()2221111114,,11111112112111111a bm a ba b a b ma b a ba b⎧++=>+=+≥=⎪---⎛⎫⎪---+⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪--⎪⎩若,则当且仅当时取等3.系数不匹配时还可以考虑待定系数法处理；比如已知()min119233,0345a b a ba b a b⎛⎫+=>+⎪++⎝⎭求（1）待定系数：令()()()()923345345a b m a b n a b m n a m n b+=+++=+++（2）对比,a b系数，计算,m n：()()39292323435345233m n ma b a b a bm n n+==⎧⎧⇒⇒+=+++=⎨⎨+==⎩⎩（3）权方和公式计算答案：()()211252634523435333a b a b a b a b++=+≥=++++，()()234359233a b a ba b⎧=⎪++⎨⎪+=⎩当且仅当时取等；二、【典型例题】1．（全国·高三专题）若,x y R+∈，且21x y+=，则22212x yx y+++的最小值为．2．（全国·高三专题）已知正数,,x y z满足321x y z++=，则24242x yy z x y++++的最小值为．3．（全国·高三专题）若正数a，b满足111a b+=，则411a ba b+--的最小值为．三、【习题检测】1．（天津联考）已知实数0x>，1y>-，且1x y+=，则2231x yx y+++的最小值为．2．（天津南开·三模）已知0a >，0b >，1a b +=，则1132a b a b+++的最小值为．3．（全国·高三专题）已知1a >，1b >，则2211a b b a --+的最小值为．4．（金太阳百校联考）已知正数,x y 满足434x y +=，则11321y xy xy ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭的最小值为．1.3.3构造指数差1类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接权方和不等式发现指数不匹配；▲方法原理：权方和不等式拓展：若0,0,0.i i a b m >>>则()()111112121212()()()()()()m m m m n n mm m m n n a a a a a a b b b b b b ++++++++++≥+++ ，当仅当1212n na a ab b b === 时，等号成立.它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.常见变形比如：()()()()33322211122222222211111111x y x y x y x y ⎧+⎪+=+≥⎪⎪+⎨⎪⎪=⎪⎩当且仅当时取等二、【典型例题】1.（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设0,0,,0n n a b n m >>∈>N *，则()()11111123312123123m m m m m n n m m m m mn n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++≥++++ ，当且仅当312123n na a a ab b b b ==== 时，等号成立．根据权方和不等式，若0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，当1x x +sin cos 取得最小值时，x 的值为（）A．12πB．6πC．3πD．512π2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y +最小值．3．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．4．已知122,0,1x y x y>+=的最小值是．5．求()f x =的最大值为．。
江苏省高考数学知识点归纳总结
江苏省高考数学知识点归纳总结一、不等式与方程组在高考数学中，不等式与方程组是一个重要的知识点。
它涉及到数学推理和解题的方法。
针对江苏省高考中常见的不等式与方程组题型，我们进行了归纳总结。
1. 不等式a. 一次不等式：如何确定解的范围、如何判断解集的性质等问题，可以通过绘制数轴、利用符号法等方法进行求解。
b. 二次不等式：常见的二次不等式包括开口向上和开口向下的情况。
根据二次不等式关于未知数 x 的性质，我们可以利用判别式、配方法等来求解。
c. 绝对值不等式：处理绝对值不等式时，需要将绝对值的含义进行分析，根据绝对值的非负性进行讨论，采用分段讨论法或利用性质进行求解。
2. 方程组a. 二元一次方程组：根据方程组的性质，我们可以采用消元法、代入法或加减法等方法求解。
在求解过程中，注意使用变量替换和整理方程的技巧，以简化计算。
b. 三元一次方程组：对于三元方程组，同样可以使用消元法和代入法进行求解。
如果方程组较为复杂，可以考虑转换为矩阵形式进行求解。
c. 二元二次方程组：对于二元二次方程组，我们可以利用消元法、代入法或配方法进行求解。
在使用配方法时，注意将方程组转化为完全平方的形式。
d. 三元二次方程组：解决三元二次方程组时，可以应用代数行列式法、高次系数法等方法进行求解。
将方程组转化为矩阵形式可以简化求解过程。
二、函数与图像函数与图像是高考数学中的一个重要内容，涉及到函数的概念、性质，以及函数的图像表达等。
1. 函数的概念与性质a. 函数定义与性质：函数是一个对应关系，它将某个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
在函数的定义中，需要关注定义域、值域以及函数的性质，如单调性、奇偶性等。
b. 反函数：反函数是函数的一种特殊形式。
通过交换函数的自变量和因变量，可以得到原函数的反函数。
反函数的存在与性质需要通过函数的单调性来判断。
2. 函数的图像表达a. 一次函数：一次函数的图像是一条直线。
根据函数的斜率和截距可以确定图像的斜率和截距。
高考数学重难点第一讲(全国通用) 利用基本不等式求最值8大题型(解析版)(老师专用)
重难点第一讲利用基本不等式求最值8大题型【命题趋势】基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a bλμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：1525⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
【热点题型】第2天掌握直接法及配凑法求最值模型【题型1直接法求最值】例1（辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0x y >>，且12x y +=，则xy 的最大值为（）A．16B．25C．36D．49【答案】C【解析】因为0,0x y >>，12x y +=≥36xy ≤，当且仅当6x y ==时取到等号，故xy 的最大值为36.故选：C【变式1-1】（四川广安·广安二中校考模拟预测）已知3918x y +=，当2x y +取最大值时，则xy 的值为（）B．2C．3D．4【答案】B【解析】由已知3918x y +=可得23318x y +=，则21833x y =+≥+2381x y ≤，所以+24x y ≤，当且仅当=22x y =时取等号，即=2x ，=1y ，此时2xy =.故选：B．【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足2221a b +=,则2ab 的最大值是（）A．13C．9D．19【答案】C【解析】解:由题知2222212a b a b b =+=++≥13≤,当且仅当3a b ==时取等号，所以239ab ．故选:C．【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是（）A．2B．12C．14D．4【答案】D【解析】∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，∴22lg lg 4lg lg 422x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时等号成立．故选：D.【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足()()5236a b a b ++=，则2+a b 的最小值为（）A．16B．12C．8D．4【答案】D【解析】因为()()()()252522a b a b a b a b ⎡⎤+++++≤⎢⎥⎣⎦，所以29(2)364a b +≥.又0,0a b >>.所以24a b +≥，当且仅当,3382a b ==时，等号成立.故选：D 【题型2配凑法求最值】【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知30x -<<，则()f x =值为________．【答案】92-【解析】因为30x -<<，所以()229922x x f x -+==≥-=-，当且仅当229x x -=，即322x =-时取等，所以()f x =92-.【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为______.【答案】[)7,+∞【解析】由题知，1x >，所以10x ->，所以()9()11171f x x x =-++≥=-，当且仅当911x x -=-，即4x =时取等号，所以函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为[)7,+∞.【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（）A．36B．25C．16D．9【答案】B【解析】由7x y +=，得()()1210x y +++=，则()()()()21212252x y x y ⎡⎤+++++≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当12x y +=+，即4,3x y ==时，取等号，所以()()12x y ++的最大值为25.故选：B.【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量()()5,1,1,1m a n b =-=+，若0,0a b >>，且m n ⊥，则113223a b a b+++的最小值为（）A．15B．110C．115D．120【答案】A【解析】根据题意，510m n a b ⋅=-++=，即4a b +=，则()()322320a b a b +++=，又0,0a b >>，故113223a b a b +++()()1113223203223a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭123321122203223205a b a b a b a b ⎛⎫++⎛⎫=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，当且仅当23323223a b a b a b a b++=++，且4a b +=，即2a b ==时取得等号.故选：A.第3天掌握消元法及代换法求最值模型【题型3消元法求最值】【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设220,0,12y x y x ≥≥+=，则的最大值为（）A．122C．324【答案】C【解析】因为2212y x +=，所以22022y x =-≥，解得：[]0,1x ∈，故22232224x x +-===≤⨯=，当且仅当22232x x =-，即x 的最大值为4.【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足2240a ab -+=，则4a b -的最小值为（）A．1C．2D．【答案】B【解析】,0a b > ,2240a ab -+=，则有22a b a=+，224244a a a a b a a ∴-=+-=+ 24a a =，即a =时b =【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（）A．0B．2C．1D．3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==-++-，当且仅当20y x =>时取等号.故xyz的最大值为1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A．0B．3C．94D．1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22114343xy xy x y z x xy y y x ==-++- ，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+ ，当且仅当1y =时取等号，即212x y z +-的最大值是1．故选：D【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知a ，b ，c 均为正实数，2ab ac +=，则118ab c a b c+++++的取值不可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由2ab ac +=得：()2a b c +=，即2b c a+=，所以2211818282222a a aa b c a b c a a a a a+++=++=++++++，由基本不等式得：2211828422a a a b c a b c a a +++=+≥++++，当且仅当222822a a a a +=+，即2a =±【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若22221122124,4,2x y x y x y +=+=⋅=-，则21x y ⋅的最大值为___________．【答案】2【解析】()()()()222222121112211444444204x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭，由212y x -=，所以211222y x x -==≤，所以112x ≤≤，所以()222112142042044x y x x ⎛⎫=-+≤-⨯⎪⎝⎭⋅= ，当且仅当1||x 时，等号成立，所以21x y ⋅2≤，当且仅当21x y ==21x y ==时取等号，所以21x y ⋅的最大值为2．【题型4代换法求最值】【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且41x y +=，则19x y+的最小值是_____．【答案】25【解析】因为0,0x y >>，且41x y +=，所以()1919346913254x y x y x y y x y x +=⎛⎫+=+ ⎪⎝+++⎭+≥=，当且仅当36x y y x =，即13,105x y ==时，等号成立.【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知0a >，0b >，2a b +=，则4ba b +的最小值为_______.【答案】2【解析】因为0a >，0b >，且2a b +=，所以4422222b b a b b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当222b a =时取等号故4b a b +的最小值为2【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为______．【答案】9【解析】由2x y xy +=得211y x+=，又因为0x >，0y >，所以()212222559x y x y x y y x yx ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当3x y ==时等号成立，故2x y +的最小值为9．【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>，()()22722222222222x y x y y x y x x y x y x y +++++=+++=++++++26≥+，当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立，即2272x y x y++++的最小值为6，故选：B.【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ），则111x y ++的最小值为（）A．34B．1C．43D．4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则1122AM AB AC =+ ；又2AG GM =，所以32AM AG = ，又(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ）；所以3222x y AG AP AQ =+，则33x y AG AP AQ =+ ；因为,,G P Q 三点共线，则133x y+=，化得()14x y ++=；由()111111111221141414x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥+=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭；当且仅当11x y y x+=+时，即2,1x y ==时，等号成立，111x y ++的最小值为1故选：B第4天掌握双换元法及齐次化求最值模型【题型5双换元法求最值】【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设1,2x y >->-，且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是__________.【答案】167【解析】令1(0)x a a +=>，2(0)y b b +=>，则1x a =-，2y b =-，因为4x y +=，则有7a b +=，所以2222(1)(2)142412x y a b a b x y a b a b--+=++-++-++14724(a b =--++1141()()7a b a b =+++141(147b a a b =++++1161(577≥+⨯+=；当且仅当2b a =，即714,33a b ==时取等号，则,x y 分别等于48,33时，2212x yx y +++的最小值是167.【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数x ，y满足()()381232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（）A．54B．83C．43D．52【答案】D【解析】()()3838232232x y xy xy x y y x y x x y x y ⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦，令2x y m +=，32x y n +=，则2n m x -=，34m n y -=，38367752322222x y n m xy x y x y m n =+=+-≥-=++，当且仅当362n m m n =且()()381232x y y x y x +=++，即x =y =所以52xy ≥，故xy 有最小值52.故选：D.【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（）A．8B．16C．D．【答案】A【解析】设1,21y b x a -=-=，则()()()110,102y b b x a a =+>=+>所以()()2222114121a b x y y x b a ++++++++=+≥=--()222228⎛=≥=⋅+= ⎝；当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号；所以224121x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知0,0x y >>，若1x y +=，则313213x y y+++的最小值是___________.【答案】85【解析】设()()3213x y k x y y λμ++=+++，由对应系数相等得13123k λλμμ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩，得1319k λμ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩；所以()()1113213939x y x y y ++=+++；整理得()()31132131010x y y =+++即()()()11961310x y y =+++；所以()()()3113196133213103213x y y x y y x y y⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()313196811032135y x y x y y ⎛⎫++=+ ⎪++⎝⎭ .经验证当12x y ==时，等号可取到.【题型6齐次化求最值】【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知,a b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是____________.【答案】2-【解析】222222232a b a ab b a b a b a ab b +++=++++22132ab a ab b =-++1123a b b a=-++，因为,a b 都是负实数，所以20,0a b ba >>，所以2a b b a +≥2a b b a =时等号成立）.所以233a b b a++≥，所以123a b b a≤++，所以1323a b b a -≥=++，所以1113223a b b a-≥+=++.即2a b a b a b+++的最小值是2.【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>，则()2222x y a x xy y +-+≤，即2222x y a x xy y+-+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+，即22222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭，所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____．【答案】2【解析】∵x ，y ＞0，则2223x y xy y ++＝2231x y x y++，设x y ＝t ，t ＞0，则()()2222212143311t t x y t xy y t t +-++++==+++＝（t +1）+41t +当且仅当t +1＝41t +，即t ＝1时取等号，此时x ＝y ，故2223x y xy y ++的最小值为2.第5天掌握构造不等式法及多次使用不等式求最值模型【题型7构造不等式法求最值】【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足212ab a b =++，则ab 的最小值是___________.【答案】9【解析】由212ab a b =++得，212ab ≥，化简得)320≥，解得9ab ≥，所以ab 的最小值是9.【变式7-1】已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______．【答案】4【解析】由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为4.【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是___________．【解析】∵2241x y xy ++=，∴2222325(2)31(2)(2)228x y x y xy x y x y +⎛⎫+-=≥+-=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时，等号成立，此时28(2)5x y +≤，所以2x y +≤2x y +的最大值是5.【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若0x >，0y >，1425y x x y+++=，则2x y +的最小值为___________.【答案】8【解析】因为0x >，0y >，所以20x y +>；由1425y x x y+++=两边同时乘xy ，得22425y y x x xy +++=，即2244254x y xy x y xy xy ++++=+，则()()2229x y x y xy +++=，因为()2222224x y x y xy ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以()()2229999222248x y xy xy x y +=⨯≤⨯=+，故()()()2292228x y x y x y +++≤+，整理得()()22820x y x y +-+≥，即()()2280x y x y ++-≥，所以28x y +≥或20x y +≤（舍去），故2x y +的最小值为8.【题型8多次使用不等式求最值】【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知0,0a b >>，则242ba ba ++的最小值为（）A．B．C．1D．1【答案】B【解析】因为0,0a b >>，所以24422224b a a a b a a ++≥=+≥，当且仅当24b ba =且42a a =，即ab ==即242ba b a ++的最小值为故选：B.【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当02,x a <<不等式()221112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．(0C．(]0,2D．[)2,+∞【答案】B【解析】()221112x a x +≥-恒成立，即()22min 1112x a x ⎡⎤+≥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；02,20x a a x <<∴-> ，又222211222(2)(2)(22)x a x x a x x a x a +≥=≥=+---，上述两个不等式中，等号均在2x a x =-时取到，()m 222in1122x a a x ⎡⎤∴+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，212a ∴≥，解得a ≤0a ≠，又0a >，实数a的取值范围是(0.故选：B.【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，1c >，22a b +=，则1221c a b c ⎛⎫++⎪-⎝⎭的最小值为（）A．92B．2C．6D．212【答案】D【解析】()()121121221925542222baa b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当23a b ==时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）所以()12292911212c c a b c c ⎛⎫++≥-++≥ ⎪--⎝⎭92122=，当且仅当()91221c c -=-，即53c =且23a b ==时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知,,a b c +∈R ，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2222cos 4b a c a b cθ+++ 恒成立，则θ的取值范围是（）A．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为,,,,22a b c ππθ+⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦R ，不等式()2222cos 4b a ca b c θ+++ 恒成立，所以()222max2cos 4b a c a b c θ⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ ，因为,,a b c +∈R，所以)))2222222ab aa b ⎤=≤+=+⎥⎦，当且仅当a =时等号成立；)))2222222bc cc c b ⎤=++⎥⎦，当且仅当c 时等号成立.所以()2222222222244b a c ab bc a b c a b c ++=≤++++=，当且仅当a c ==时等号成立，所以()22224b a c a bc +++，所以cos 2θ≥，又因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C.【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A．12B．14C．22【答案】A【解析】因为a ，b均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=++++12==≤=，当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号，则2222ab bc a b c +++的最大值为12．故选：A．第6天融会贯通限时练习（1）1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x ，y 满足121x y+=，则x +2y 的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】因为x ，y 是正数，所以有()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=时取等号，即当且仅当3x y ==时取等号，故选：C 2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（）A．2B．1C．4D．3【答案】C【解析】因为2x >，所以120,02x x ->>-，由基本不等式得11222422y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立，则y 的最小值为4.故选：C3．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（）A．9lg2B．212C．252D．12【答案】C 【解析】n e 1log l a a =，44l l e og n b b=，因为1a >，1b >，故ln 0a >，ln 0b >，()414114log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=+=⨯++ ⎪⎝⎭14ln 4ln 12517172ln ln 22b a a b ⎛⎛⎫=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当ln ln a b =时，即25e a b ==时等号成立．所以4log lo e e g a b +的最小值为252．故选：C 4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足494a b +=，则ab 的最大值为（）A．19B．16C．13D．12【答案】A【解析】正数,a b 满足494a b +=，由基本不等式得：494a b +=≥19ab ≤，当且仅当49a b =，即12,29a b ==时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A5．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知0a >，0b >，9是3a与27b的等比中项，则22231a b a b+++的最小值为（）A．9+C．7【答案】B【解析】由等比中项定义知：3232739a b a b +⋅==，34a b ∴+=，()2223121121163434544a b b a a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=+++=+++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1521454444⎛++≥++=+= ⎝（当且仅当6b a a b =，即8a =，(433b =时取等号），即22231a b a b +++6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（）A．43B．103C．3D．2【答案】C【解析】在ABC 中，E 为重心，所以21()32AE AB AC =⋅+ 1()3AB AC =+，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，（0x >，0y >）所以1AB AM x = ，1AC AN y = ，所以111133AE AM AN x y =⋅+⋅ .因为M 、E 、N 三点共线，所以11133x y+=，所以11(4)33x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭4143333y x x y =+++533≥+=（当且仅当433y x x y =，即12x =，1y =时取等号）．故4x y +的最小值是3．故选：C．7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数0a b >、，且函数()f x =的定义域为R ，则22a b a+的最小值是（）A．4B．6C．D．2【答案】A【解析】∵()f x =定义域为R，∴22()2()10x a b x a b -+++-≥在R 上恒成立，∴2[2()]4[2()1]0a b a b ∆=-+-⨯+-≤，即：2()2()10a b a b +-++≤∴2(1)0a b +-≤，解得：1a b +=又∵0,0a b >>∴2121212222a b b a b a b a -+=+=+-1212=()()224222a b a b b a b a ++-=++≥=当且仅当22a bb a=，即21,33a b ==时取等号.故选：A.8．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设x y z >>，且11()nn x y y z x z +≥∈---N 恒成立，则n 的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】因为x y z >>，所以0x y ->，0y z ->，0x z ->，所以不等式11n x y y z x z +≥---恒成立等价于11()n x z x y y z ⎛⎫≤-+ --⎝⎭恒成立.因为()()x z x y y z -=-+-≥，11x y y z +≥--所以11()44x z x y y z ⎛⎫-⋅+≥ ⎪--⎝⎭（当且仅当x y y z -=-时等号成立），则要使11()n x z x yy z ⎛⎫≤-⋅+⎪--⎝⎭恒成立，只需使4()n n ≤∈N ，故n 的最大值为4.故选：C第7天融会贯通限时练习（2）1．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a ，b 满足2241a ab b -+=，以下说法正确的是（）A．15a ≤B．1a b +<C．2244453a b ≤+≤D．25a b -≤【答案】ACD【解析】由2241a ab b -+=，可得22410b ab a -+-=，关于b 的方程有解，所以()()224410a a ∆=---≥，所以2415a ≤，即a ≤A 正确；取0,1a b ==，2241a ab b -+=，则1a b +=，故B 错误；由2241a ab b -+=，可得22141122a b ab ab +=+=+⋅，又222244222a b a b ab ++-≤≤，令224t a b =+，则()2122t t t -≤-≤，所以4453t ≤≤，即2244453a b ≤+≤，故C 正确；由2241a ab b -+=，可得()2231a b ab -+=，所以()()23213122a b ab a b -=-=+⋅⋅-，令2u a b =-，由()2222a b a b -⎛⎫⋅-≤ ⎪⎝⎭，可得22318u u ≤+，所以285u ≤，即2a b -≤故D 正确.故选：ACD.2．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a ，b 为正数，且220a b +-=，则（）A．2168a a +>B．219ab+≥5≥D．35422a b a +-<<-【答案】ACD【解析】对于A 选项，()2216840a a a +-=-≥，当且仅当4a =时等号成立，当4a =时，由于220a b +-=，得22286b a =-=-=-，与b 为正数矛盾，故4a ≠，即得2168a a +>，故A 选项正确；对于B 选项，220a b +-= ，12ba ∴+=.又0,0a b >> 212115922222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b aa b =，即23a b ==时等号成立；故B 选项不正确；对于C 选项，220a b +-= ，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()2222224422584555a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，2245a b ∴+≥，当且仅当45a =时等号成立，≥C 选项正确；对于D 选项，220a b +-= ，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()()2552253510122222a ab a a a a a a a a a ---+-+----∴====--<<-----，当01a <<时，221a -<-<-，55522a ∴-<<--，得351422a <--<-，即35422a b a +-<<-，故D 选项正确.故选：ACD3．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若1a b >>，且35a b +=，则（）A．141a b b +--的最小值为24B．141a b b +--的最小值为25C．2ab b a b --+的最大值为14D．2ab b a b --+的最大值为116【答案】BD【解析】由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()()4134541a b b a b -+-=+-=-=，()()()()441411411a b b a b b a b b a b b -+-⎡⎤-+-⎣⎦+=+--()()414171b a b a b b --=++--17≥+25=；当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，141a b b +--的最小值为25．又()()141a b b =-+-=≥()1412a b b -=-=时，等号成立，所以()()21116ab b a b a b b --+=-⋅-≤，故2ab b a b --+的最大值为116．故选：BD .4．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（）A．4y xx=+B．0)y x =>C．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D．144xx y -=+【答案】BD【解析】对于A，当0x >时，44y x x =+≥=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号；当0x <时，44[()]4y x x xx=+=--+-≤-=-，当且仅当4x x-=-，即2x =-时取等号，所以(,4][4,)y ∈-∞-+∞ ，A 错误；对于B，y =，因为0x >1>，4=3x =时取等号，所以0)y x =>的最小值为4，B 正确；对于C，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin (0,1]x ∈，由对勾函数性质可知：4sin [5,)sin y x x=+∈+∞，C 错误；对于D，40x >，1444444x x x x y -=++=≥，当且仅当444x x =，即12x =时取等号，所以144x x y -=+的最小值为4，D 正确.故选：BD5．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______.【答案】94【解析】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎣⎦++++⎝⎭，所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y y y x y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x y x y ++++≥=+，当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94.6．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,a b ∈R ，且221b a -=，则22a b a b+-的最大值为___________.【解析】由题知，,a b ∈R ，且221b a -=，即221b a =+，所以221a b a a b b+-+=，当0a =时，21b =，即1b =±，此时11a b +=±，所以22a b a b+-的最大值为1，当0a ≠时，22221212211212a a a a ab b a a ⎛+⎫++==+≤+= ⎪+⎝⎭，当且仅当1=a 时取等号，此时1ab+≤；所以22a ab b+-.综上，22a ab b+-的最大值.7．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由22831322x xy xy y +=++可得22228(2)3(32)1(32)(2)xy y x xy x xy xy y +++=++，即322223221)6914384384y x xy x x y xy yx xy y y x ++=+++=+；所以222222221691416914383844y y y x xy x x y y y x xy x xxy ++=+=+++++；又因为,x y 均是正数，令()0,y t x =∈+∞，则221614983()4xy f t t t t t =++++=；所以，22221831()4444316149348388183t t t t t t t t t f t t +++++==-=++++-+令2384)183(g t t t t ++=+，则16162112110101899()292718396183272727g t t t t t ⎛⎫=++=+++≥= ⎪++⎝⎭当且仅当1621996183t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即12t =时，等号成立；所以2181455()44184182718332f t t t t +=+=-≥-=+；所以()f t 的最小值为min 5()2f t =;即当1,22y t x y x ====时，即x y ==时，等号成立.8．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数,,a b c 满足222120a ab b c ++-=，则当a bc+取得最大值时，2a b c -+的最大值为______.【答案】916【解析】由222120a ab b c ++-=，可得()()()2222231224a b c a b ab a b a b +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即4a b c +≤，当且仅当a b =时，等号成立，所以当a bc+取得最大值时，a b =，42a b a c +==，所以2223392416a b c a a a ⎛⎫-+=-=--+ ⎪⎝⎭，故当333,,448a b c ===时，2a b c -+取最大值916.。
不等式恒成立、能成立问题【七大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
不等式恒成立、能成立问题【七大题型】【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 (2)【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 (3)【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 (5)【题型4 基本不等式求解恒成立问题】 (7)【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】 (10)【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】 (11)【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】 (13)1、不等式恒成立、能成立问题一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用.【知识点1 不等式恒成立、能成立问题】1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为{a>0，Δ＝b2－4ac<0；一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为{a>0，Δ＝b2－4ac≤0；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为{a<0，Δ≤0.2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min；若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max；若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max.【例1】（2023·福建厦门·二模）“b∈(0,4)”是“∀x∈R，bx2―bx+1>0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】由∀x∈R，bx2―bx+1>0成立求出b的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解答过程】由∀x∈R，bx2―bx+1>0成立，则当b=0时，1>0恒成立，即b=0，当b≠0时，b>0b2―4b<0，解得0<b<4，因此∀x∈R，bx2―bx+1>0成立时，0≤b<4，因为(0,4)[0,4)，所以“b∈(0,4)”是“∀x∈R，bx2―bx+1>0成立”的充分不必要条件.故选：A.【变式1-1】（2023·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x2―2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（）A．(―∞,―2)B．(―∞,―4)C．(―4,4)D．(―2,2)【解题思路】由题知4k2―16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x取何值时，不等式x2―2kx+4>0恒成立，所以，4k2―16<0，解得―2<k<2，所以，k的取值范围是(―2,2)故选：D.【变式1-2】（2023·福建厦门·二模）不等式ax2―2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是（）A．a>2B．a≥1C．a>1D．0<a<12【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论求出a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a=0时，―2x+1>0，得x<12，与题意矛盾，当a≠0时，则a>0Δ=4―4a<0，解得a>1，综上所述，a>1，所以不等式ax2―2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.故选：A.【变式1-3】（2023·四川德阳·模拟预测）已知p:0≤a≤2，q：任意x∈R,ax2―ax+1≥0，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式恒成立解得q：0≤a≤4，结合充分、必要条件的概念即可求解.【解答过程】命题q：一元二次不等式ax2―ax+1≥0对一切实数x都成立，当a=0时，1>0,符合题意；当a≠0时，有a>0Δ≤0，即a>0a2―4a≤0，解为a∈(0,4]，∴q：0≤a≤4．又p：0≤a≤2，设A=[0,2],B=[0,4]，则A是B的真子集，所以p是q成立的充分非必要条件，故选：A．【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当x >0时，不等式：x 2―mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(―8,8)B ．(―∞,8]C ．(―∞,8)D ．(8,+∞)【解题思路】先由x 2―mx +16>0得m <x +16x，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2―mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x≥=8，当且仅当x =16x即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C.【变式2-1】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当x ∈(―1,1)时，不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．(―3,0)B ．[―3,0)C ．―D ．―【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈(―1,1)时，不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f (x )=2kx 2―kx ―38，则f (x )<0在(―1,1)上恒成立，函数f (x )的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f (x )在―,1上单调递增，则有f (―1)=2k +k ―38≤0f (1)=2k ―k ―38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f (x )在―,1上单调递减，则有=2k 16―k 4―38<0，解得―3<k <0.综上可知，k的取值范围是―故选：D.【变式2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意x ∈[m,m +1]，都有x 2+mx ―1<0成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．―23,0B ．―,0C ．―23,0D ．,0【解题思路】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【解答过程】由题意，对于∀x ∈[m,m +1]都有f(x)=x 2+mx ―1<0成立，∴f (m )=m 2+m 2―1<0f (m +1)=(m +1)2+m (m +1)―1<0，解得：―<m <0，即实数m 的取值范围是―,0.故选：B.【变式2-3】（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切x ∈[2,3]，y ∈[3,6]，不等式mx 2―xy +y 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≤6B ．―6≤m ≤0C ．m ≥0D ．0≤m ≤6【解题思路】令t =yx ，分析可得原题意等价于对一切t ∈[1,3]，m ≥t ―t 2恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【解答过程】∵x ∈[2,3]，y ∈[3,6]，则1x ∈[13,12]，∴yx ∈[1,3]，又∵mx 2―xy +y 2≥0，且x ∈[2,3],x 2>0，可得m ≥y x―，令t =yx ∈[1,3]，则原题意等价于对一切t ∈[1,3]，m ≥t ―t 2恒成立，∵y =t ―t 2的开口向下，对称轴t =12，则当t =1时，y =t ―t 2取到最大值y max =1―12=0，故实数m 的取值范围是m ≥0.故选：C.【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“∃―1≤a ≤3，ax 2―(2a ―1)x +3―a <0”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．{x |―1≤x ≤4 }B ．x |0≤xC ．x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4D ．x |―1≤x <0或53<x ≤4【解题思路】由题意可得：命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解.【解答过程】由题意可得：命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题，即ax 2―(2a ―1)x +3―a =(x 2―2x ―1)a +x +3≥0对a ∈[―1,3]恒成立，则―(x 2―2x ―1)+x +3≥03(x 2―2x ―1)+x +3≥0，解得―1≤x ≤0或53≤x ≤4，即实数x 的取值范围为x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4.故选：C.【变式3-1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）当1≤m ≤2时，mx 2―mx ―1<0恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A<x <B<x <C <x<D <x <【解题思路】将不等式整理成关于m 的一次函数，利用一次函数性质解不等式即可求得结果.【解答过程】根据题意可将不等式整理成关于m 的一次函数(x 2―x )m ―1<0，由一次函数性质可知(x 2―x )×1―1<0(x 2―x )×2―1<0 ，即x 2―x ―1<02x 2―2x ―1<0；<x <<x <<x <故选：B.【变式3-2】（23-24高一下·河南濮阳·期中）已知当―1≤a ≤1时，x 2+(a ―4)x +4―2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(―∞,3)B ．(―∞,1]∪[3,+∞)C ．(―∞,1)D ．(―∞,1)∪(3,+∞)【解题思路】将x2+(a―4)x+4―2a>0化为(x―2)a+x2―4x+4>0，将a看成主元，令f(a)=(x―2) a+x2―4x+4，分x=2，x>2和x<2三种情况讨论，从而可得出答案.【解答过程】解：x2+(a―4)x+4―2a>0恒成立，即(x―2)a+x2―4x+4>0，对任意得a∈[―1,1]恒成立，令f(a)=(x―2)a+x2―4x+4，a∈[―1,1]，当x=2时，f(a)=0，不符题意，故x≠2，当x>2时，函数f(a)在a∈[―1,1]上递增，则f(a)min=f(―1)=―x+2+x2―4x+4>0，解得x>3或x<2（舍去），当x<2时，函数f(a)在a∈[―1,1]上递减，则f(a)min=f(1)=x―2+x2―4x+4>0，解得x<1或x>2（舍去），综上所述，实数x的取值范围是(―∞,1)∪(3,+∞).故选：D.【变式3-3】（2008·宁夏·高考真题）已知a1>a2>a3>0，则使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是（ ）A．B．0,C．D．(a i>0)，【解题思路】由(1―a i x)2<1可求得0<x<2a i【解答过程】由(1―a i x)2<1，得：1―2a i x+a2i x2<1，(a i>0)，即x(a2i x―2a i)<0，解之得0<x<2a i因为a1>a2>a3>0，使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立，；所以0<x<2a1故选：B.【题型4 基本不等式求解恒成立问题】【例4】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的x∈(0,+∞)，x2―2mx+1>0恒成立，则m的取值范围为（）A．[1,+∞)B．(―1,1)C．(―∞,1]D．(―∞,1)【解题思路】参变分离可得2m <x +1x 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，利用基本不等式求出x +1x 的最小值，即可求出参数的取值范围.【解答过程】因为对任意的x ∈(0,+∞)，x 2―2mx +1>0恒成立，所以对任意的x ∈(0,+∞)，2m <x 2+1x=x +1x 恒成立，又x +1x ≥=2，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号，所以2m <2，解得m <1，即m 的取值范围为(―∞,1).故选：D.【变式4-1】（22-23高三上·河南·期末）已知a >0，b ∈R ，若x >0时，关于x 的不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立，则b +4a 的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．【解题思路】根据题意设y =ax ―2，y =x 2+bx ―5，由一次函数以及不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0分析得x =2a 时，y =x 2+bx ―5=0，变形后代入b +4a ，然后利用基本不等式求解.【解答过程】设y =ax ―2（x >0），y =x 2+bx ―5（x >0），因为a >0，所以当0<x <2a 时，y =ax ―2<0；当x =2a 时，y =ax ―2=0；当x >2a 时，y =ax ―2>0；由不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立，得：ax ―2≤0x 2+bx ―5≤0 或ax ―2≥0x 2+bx ―5≥0 ，即当0<x ≤2a 时，x 2+bx ―5≤0恒成立，当x ≥2a 时，x 2+bx ―5≥0恒成立，所以当x =2a 时，y =x 2+bx ―5=0，则4a 2+2b a―5=0，即b =5a 2―2a ，则当a >0时，b +4a =5a 2―2a +4a =5a 2+2a ≥=当且仅当5a2=2a ，即a =所以b +4a 的最小值为故选：B.【变式4-2】（23-24高三上·山东威海·期中）关于x 的不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，则实数a 的取值范围为（ ）A +∞B ．―∞C ．―D ．―∞,∪+∞【解题思路】不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2―|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，分x =0和a ≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.【解答过程】解：不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2―|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，当x =0时，a ≥0，当a ≠0时，a ≥|x |x 2+2=1|x |+2|x |，因为1|x |+2|x |≤=所以a ≥综上所述a ∈+∞.故选：A.【变式4-3】（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知x >0,y >0，且1x+2+1y =27，若x +2+y >m 2+5m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(―4,7)B ．(―2,7)C ．(―4,2)D ．(―7,2)【解题思路】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧最小值，结合x +2+y >m 2+5m 恒成立得到不等式，解一元二次不等式求参数范围【解答过程】因为x >0,y >0，且1x+2+1y =27，所以x +2+y =72×(x +2+y =72×1+1+y x+2+≥72×2+=14，当且仅当y =x +2=7时取等号，又因为x +2+y >m 2+5m 恒成立，所以14>m 2+5m ，解得―7<m <2.所以实数m的取值范围是(―7,2).故选：D.【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】【例5】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数x，使得mx2―(m―2)x+m<0成立，则实数m的取值范围为（）A．(―∞,2)B．(―∞,0]∪C．―∞D．(―∞,1)【解题思路】分别在m=0、m>0和m<0的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.【解答过程】①当m=0时，不等式化为2x<0，解得：x<0，符合题意；②当m>0时，y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向上的二次函数，；只需Δ=(m―2)2―4m2=―3m2―4m+4>0，即0<m<23③当m<0时，y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x，使得mx2―(m―2)x+m<0成立；综上所述：实数m的取值范围为―∞故选：C.【变式5-1】（22-23高一上··阶段练习）若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解，则实数a 的取值范围是（）A．{a|a≥―2 }B．{a|a≤―2 }C．{a|a≥―6 }D．{a|a≤―6 }【解题思路】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【解答过程】若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解,则Δ=16+4(2+a)≥0，解得a≥―6.故选：C.【变式5-2】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若不等式―x2+ax―1>0有解，则实数a的取值范围为（）A．a<―2或a>2B．―2<a<2C．a≠±2D．1<a<3【解题思路】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.【解答过程】不等式―x2+ax―1>0有解，即不等式x2―ax+1<0有解，因此Δ=a2―4>0，解得a<―2或a>2，所以实数a的取值范围为a<―2或a>2.故选：A.【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解，则实数a 的取值范围是（）A．{a|―1≤a≤4 }B．{a|―1<a<4 }C．{a|a≥4 或a≤―1}D．{a|―4≤a≤1 }【解题思路】由题意知x2―4x+a2―3a≤0在R上有解，等价于Δ≥0，解不等式即可求实数a的取值范围.【解答过程】因为关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解，即x2―4x+a2―3a≤0在R上有解，只需y=x2―4x+a2―3a的图象与x轴有公共点，所以Δ=(―4)2―4×(a2―3a)≥0，即a2―3a―4≤0，所以(a―4)(a+1)≤0，解得：―1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|―1≤a≤4 }，故选：A.【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】【例6】（2023·福建宁德·模拟预测）命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥1B．a≥4C．a≥―2D．a≤4【解题思路】根据能成立问题求a的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x∈[1,2],x2≤a，则(x2)min≤a，即a≥1，∴a的取值范围[1,+∞)由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为[1,+∞)的真子集，结合选项可知B对应的集合为[4,+∞)为[1,+∞)的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B，故选：B.【变式6-1】（22-23高二上·河南·开学考试）设a为实数，若关于x的不等式x2―ax+7≥0在区间(2,7)上有实数解，则a的取值范围是（）A．(―∞,8)B．(―∞,8]C．(―∞D．―∞【解题思路】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【解答过程】由题意，因为x ∈(2,7)，故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解，则a <x +，又g (x )=x +7x在上单调递减，在上单调递增，且g (2)=2+72=112，g (7)=7+77=8>g (2)，故x +<8.故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解则a <8.故选：A.【变式6-2】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．―374,3B ．―C ．―374D ．(―3,3)【解题思路】化简不等式3―|3x ―a |>x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立，即至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式―x 2―2x +3>|3x ―a |成立，画出y =―x 2―2x +3(x <0)以及y =|3x ―a |的图象如下图所示，其中―x 2―2x +3>0.当y =3x ―a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时，由y =3x ―ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2+5x ―a ―3=0，Δ=25+4a +12=0,a =―374.当y =―3x +a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时，由y =―3x +ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2―x +a ―3=0①，由Δ=1―4a +12=0解得a =134，代入①得x 2―x +14=x=0，解得x =12，不符合题意.当y =―3x +a 过(0,3)时，a =3.结合图象可知a 的取值范围是―374,3.故选：A.【变式6-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“∀x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,―2),(6,+∞)B ．(―∞,―2)C ．[―2,6]D ．[2+【解题思路】根据题意可知“∃x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题，然后参变分离，将问题转化为最值问题，利用基本不等式可解.【解答过程】因为“∀x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题，所以“∃x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题，即a <―x 20+3x 0+1在(0,+∞)内有解，即a <―.因为―x 20+3x 0+1=―(x 0+1)2―2(x 0+1)+4x 0+1=―x 0+1―2≤―2，当且仅当x 0=1时等号成立，所以=―2，所以实数a 的取值范围为(―∞,―2).故选：B.【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】【例7】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于x 的不等式2x ―1>m(x 2―1).(1)是否存在实数m ，使不等式对任意x ∈R 恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于m ∈[―2,2]恒成立，求实数x 的取值范围；(3)若不等式对x ∈[2,+∞)有解，求m 的取值范围.【解题思路】将2x ―1>m(x 2―1)转化为mx 2―2x +(1―m)<0，（1）讨论m =0和m ≠0时的情况；（2）f(m)=(x 2―1)m ―(2x ―1)，显然该函数单调，所以只需f(2)<0f(―2)<0即可.（3）讨论当m =0时，当m <0时，当m >0时，如何对x ∈[2,+∞)有解，其中m <0，m >0，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可.【解答过程】（1）原不等式等价于mx2―2x+(1―m)<0，当m=0时，―2x+1<0，即x>12，不恒成立；当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则m<0且Δ=4―4m(1―m)<0，无解；综上，不存在实数m，使不等式恒成立.（2）设f(m)=(x2―1)m―(2x―1)，当m∈[―2,2]时，f(m)<0恒成立，当且仅当f(2)<0f(―2)<0，即2x2―2x―1<0―2x2―2x+3<0，解得<x<x<x><x<所以x的取值范围是.（3）若不等式对x∈[2,+∞)有解，等价于x∈[2,+∞)时，mx2―2x―m)<0有解.令g(x)=mx2―2x+(1―m)，当m=0时，―2x+1<0即x>12，此时显然在x∈[2,+∞)有解；当m<0时，x∈[2,+∞)时，结合一元二次函数图象，mx2―2x+(1―m)<0显然有解；当m>0时，y=g(x)对称轴为x=1m，Δ=4―4m(1―m)=4m2―4m+4=(2m―1)2+3>0，∵x∈[2,+∞)时，mx2―2x+(1―m)<0有解，∴结合一元二次函数图象，易得：g(2)<0或g(2)≥01m>2，解得m<1或m≥1m<12（无解），又∵m>0，∴0<m<1;综上所述，m的取值范围为(―∞,1).【变式7-1】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设函数y=ax2―(2a+3)x+6,a∈R．(1)若y+2>0恒成立，求实数a的取值范围：(2)当a=1时，∀t>―2，关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解；（2）根据已知条件及二次函数的性质即可求解.【解答过程】（1）y+2>0恒成立，即ax2―(2a+3)x+8>0恒成立，当a=0时，―3x+8>0，解得x<83，舍去；当a≠0时，a>04a2―20a+9<0，解得12<a<92所以实数a（2）当a=1时，∀t>―2，关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解，则―2是x2―2x+3―m≤0的解，因为抛物线y=x2―2x+3开口向上，对称轴x=1，所以11―m≤0，解得m≥11，所以m的取值范围为[11,+∞)．【变式7-2】（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数f(x)=2x2―ax+a2―4，g(x)=x2―x+a2―314，(a∈R)(1)当a=1时，解不等式f(x)>g(x)；(2)若任意x>0，都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；(3)若∀x1∈[0,1]，∃x2∈[0,1]，使得不等式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）作差后解一元二次不等式即可.（2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；解法二：分离参数，构造函数k=x+154x，利用基本不等式求解最值即可求解；（3）把问题转化为f(x)min>g(x)min，利用动轴定区间分类讨论即可求解.【解答过程】（1）当a=1时，f(x)=2x2―x―3，g(x)=x2―x―274所以f(x)―g(x)=x2+154>0，所以f(x)>g(x)，所以f(x)>g(x)的解集为R.（2）若对任意x>0，都有f(x)>g(x)成立，即x2+(1―a)x+154>0在x>0恒成立，解法一：设ℎ(x )=x 2+(1―a )x +154，x >0，对称轴x =a―12，由题意，只须ℎ(x )min >0，①当a―12≤0，即a ≤1时，ℎ(x )在0，+∞上单调递增，所以ℎ(x )>ℎ(0)=154，符合题意，所以a ≤1；②当a―12>0，即a >1时，ℎ(x )在+∞单调递增，所以ℎ(x )>=―(a―1)24+154>0，解得1<a <1+a >1，所以1<a <1+综上，a <1+解法二：不等式可化为(a ―1)x <x 2+154，即a ―1<x +154x ，设k =x +154x ，x >0，由题意，只须a ―1<k (x )min ，k =x +154x ≥=当且仅当x =154x 即x =k min =所以a ―1<a <1+（3）若对任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[0,1]，使得不等式f (x 1)>g (x 2)成立，即只需满足f (x )min >g (x )min ，x ∈[0,1]，g (x )=x 2―x +a 2―314，对称轴x =12，g (x )在0,递增，g (x )min ==a 2―8，f (x )=2x 2―ax +a 2―4，x ∈[0,1]，对称轴x =a4，①a4≤0即a ≤0时，f (x )在[0,1]递增，f (x )min =f (0)=a 2―4>g (x )min =a 2―8恒成立；②0<a4<1即0<a <4时，f (x )在0,,1递增，f (x )min ==78a 2―4，g (x )min =a 2―8，所以78a 2―4>a 2―8，故0<a <4；③a4≥1即a ≥4时，f (x )在[0,1]递减，f (x )min =f (1)=a 2―a ―2，g (x )min =a 2―8，所以a 2―a ―2>a 2―8，解得4≤a <6，综上：a ∈(―∞,6).【变式7-3】（23-24高一上·山东威海·期中）已知函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R)(1)解关于x 的不等式f(x)≤6―3a ；(2)若对任意的x ∈[1,4]，f(x)+a +5≥0恒成立，求实数a 的取值范围(3)已知g(x)=mx +7―3m ，当a =1时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【解题思路】（1）由不等式f(x)≤6―3a 转化为(x ―3)(x ―a)≤0，分a <3，a =3，a >3讨论求解；（2）将对任意的x ∈[1,4]，f(x)+a +5≥0恒成立，转化为对任意的x ∈[1,4]，a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立，当x =1，恒成立，当x ∈(1,4]时，a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立，利用基本不等式求解；（3）分析可知函数f (x )在区间[1,4]上的值域是函数g (x )在区间[1,4]上的值域的子集，分m =0、m <0、m >0三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数m 的不等式组，综合可得出实数m 的取值范围.【解答过程】（1）因为函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R)，所以f(x)≤6―3a ，即为x 2―(a +3)x +3a ≤0，所以(x ―3)(x ―a)≤0，当a <3时，解得a ≤x ≤3，当a =3时，解得x =3，当a >3时，解得3≤x ≤a ， 综上，当a <3时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤3}，当a ≥3时，不等式的解集为{x |3≤x ≤a }（2）因为对任意的x ∈[1,4],f(x)+a +5≥0恒成立，所以对任意的x ∈[1,4]，a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立，当x =1时，0≤9恒成立，所以对任意的x ∈(1,4]时，a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立， 令(x ―1)+9x―1―1≥1=5，当且仅当x ―1=9x―1，即x =4时取等号，所以a ≤5，所以实数a 的取值范围是(―∞,5]（3）当a =1时，f(x)=x 2―4x +6，因为x ∈[1,4]，所以函数f(x)的值域是[2,6]，因为对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2[1,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集，当m >0时，g(x)∈[7―2m,m +7]，则m >07―2m ≤2m +7≥6，解得m ≥52当m <0时，g(x)∈[m +7,7―2m]，则m <07―2m ≥6m +7≤2，解得m ≤―5，当m =0时，g(x)∈{7}，不成立；综上，实数m 的取值范围(―∞,―5]∪+∞.一、单选题1．（2023·河南·模拟预测）已知命题“∃x 0∈[―1,1]，―x 20+3x0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,―2)B ．(―∞,4)C ．(―2,+∞)D ．(4,+∞)【解题思路】由题知x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈[―1,1]，―x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈[―1,1]，a >x 20―3x 0”为真命题，所以，x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min ，因为，y =x 2―3x =x―94，所以，当x ∈[―1,1]时，y min =―2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min=―2，即实数a 的取值范围是(―2,+∞)故选：C.2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2≤k ≤18B ．―18<k <―2C ．2<k <18D ．0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+(k ―6)x +2>0可化为―6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=(k ―6)2―4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C.3．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(―2,2)B ．(2,+∞)C ．(―∞,2)D ．(―∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x ≥=2，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(―∞,2).故选：C.4．（2023·宁夏中卫·二模）已知点A(1,4)在直线x +y=1(a >0,b >0)上，若关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[―6,1]B ．[―1,6]C ．(―∞,―1]∪[6,+∞)D ．(―∞,―6]∪[1,+∞)【解题思路】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得a +b 的最小值，从而将问题转化9≥t 2+5t +3，解之即可.【解答过程】因为点A(1,4)在直线xa +yb =1(a >0,b >0)上，所以1a +4b =1，故a +b =(a +b +=ba +4a b+5≥=9，当且仅当ba =4a b且1a +4b =1，即a =3,b =6时等号成立，因为关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立，所以9≥t 2+5t +3，解得―6≤t ≤1，所以t ∈[―6,1].故选：A.5．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）若两个正实数x ，y 满足1x +4y =2，且不等式x +y4<m 2―m 有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(―1,2)B ．(―∞,―2)∪(1,+∞)C ．(―2,1)D ．(―∞,―1)∪(2,+∞)【解题思路】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.【解答过程】x +y4=+=+1+y 4x≥12(1+1+2)=2，要使得不等式x +y4<m 2―m 有解，只需m 2―m >2有解即可，解得m >2或者m <―1，故选：D.6．（23-24高一上·全国·单元测试）不等式2x 2―axy +y 2≥0，对于任意1≤x ≤2及1≤y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a|a ≤B ．a|a ≥C ．a|a ≤D ．a|a【解题思路】由于在不等式2x 2―axy +y 2≥0中出现两个变量，对其进行变形令t =xy 则转化为含参数t 的不等式2t 2―at +1≥0，在t ∈,2上恒成立的问题，然后进行分离参数求最值即可.【解答过程】由y ∈[1,3]，则不等式2x 2―axy +y 2≥0两边同时乘以1y 2不等式可化为：+1≥0，令t =xy ，则不等式转化为：2t 2―at +1≥0，在t ∈,2上恒成立，由2t 2―at +1≥0可得a ≤2t 2+1t即a ≤2t +，又2t +1t ≥=t =t =2t +1t 取得最小值故可得a ≤故选：A ．7．（2023·江西九江·二模）已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2―a <0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,+∞)B ．[1,+∞)C ．(―∞,1)D ．(―∞,1]【解题思路】首先由p 为假命题，得出¬p 为真命题，即∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0恒成立，由Δ≤0，即可求出实数a 的取值范围．【解答过程】因为命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2―a <0，所以¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0，又因为p 为假命题，所以¬p 即∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0恒成立，所以Δ≤0，即22―4(2―a)≤0，解得a ≤1，故选：D ．8．（2024·上海黄浦·模拟预测）已知不等式ρ：ax 2+bx +c <0(a ≠0)有实数解．结论（1）：设x 1，x 2是ρ的两个解，则对于任意的x 1，x 2，不等式x 1+x 2<―ba 和x 1⋅x 2<ca 恒成立；结论（2）：设x 0是ρ的一个解，若总存在x 0，使得ax 02―bx 0+c <0，则c <0，下列说法正确的是（ ）A ．结论①、②都成立B ．结论①、②都不成立C ．结论①成立，结论②不成立D ．结论①不成立，结论②成立【解题思路】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.【解答过程】当a<0且Δ=b2―4ac<0时，ρ：ax2+bx+c<0(a≠0)的解为全体实数，故对任意的x1，x2，x1+x2与―ba的关系不确定，例如：ρ：―x2+2x―2<0,取x1=1，x2=4,而―ba =2，所以x1⋅x2=4>ca=2，故结论①不成立.当a<0且Δ=b2―4ac>0时，ρ：ax2+bx+c<0的解为x|x<p或x>q，其中p,q是ax2+bx+c=0的两个根.当x0<p,―x0>q此时ax02―bx0+c<0，但c值不确定，比如：ρ：―x2+x+2<0，取x0 =―3，则―x02―x0+2<0，但c>0，故结论②不成立.故选：B.二、多选题9．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式(a―1)x2―2(a―1)x―4<0恒成立，则实数a可能是（）A．―2B．0C．―4D．1【解题思路】首先当a=1，不等式为―4<0恒成立，故满足题意；其次a≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a―1<0Δ<0，解不等式组即可.【解答过程】当a=1时，不等式为―4<0恒成立，故满足题意；当a≠1时，要满足a―1<0Δ<0，而Δ=4(a―1)2+16(a―1)=4(―1)(a+3)，所以解得―3<a<1；综上，实数a的取值范围是(―3,1]；所以对比选项得，实数a可能是―2，0，1.故选：ABD.10．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（）A．不等式4x2―5x+1>0的解集是x|x>14或x<1B．不等式2x2―x―6≤0的解集是x|x≤―32或x≥2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是∅D．若关于x的不等式2x2+px―3<0的解集是(q,1)，则p+q的值为―12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2―5x +1>0⇔(x ―1)(4x ―1)>0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2―x ―6≤0⇔(x ―2)(2x +3)≤0⇔―32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2―84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q,1是一元二次方程2x 2+px ―3=0的两根，从而q ×1=―322+p ―3=0，解得p =1,q =―32，而当p =1,q =―32时，一元二次不等式2x 2+x ―3<0⇔(x ―1)(2x +3)<0⇔―32<x <1满足题意，所以p +q 的值为―12，故D 正确.故选：CD.11．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，其中a ，b 是整数，则a +b 的可能取值为（ ）A ．-7B ．-5C ．-6D ．-17【解题思路】对b 分类讨论，当b≥0由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0，由一次函数的图象知不存在；当b <0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0，利用数形结合的思想可得出a ,b 的整数解.【解答过程】当b≥0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，即a≤4x 对任意x∈(-∞,0]恒成立，此时a 不存在；当b <0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，可设f (x )=ax -4，g (x )=x 2+b ，作出f (x ),g (x )的图象如下，aa，b是整数可得a=-1b=-16或a=-4b=-1或a=-2b=-4所以a+b的可能取值为-17或-5或-6故选：BCD.三、填空题12．（2024·陕西渭南·模拟预测）若∀x∈R,a<x2+1，则实数a的取值范围是(―∞,1).（用区间表示）【解题思路】利用二次函数的性质计算即可.【解答过程】由题得a<(x2+1)min=1，即实数a的取值范围为(―∞,1).故答案为：(―∞,1).13．（2024·辽宁·三模）若“∃x∈(0,+∞)，使x2―ax+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为(―∞,4].【解题思路】将问题转化为“a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.【解答过程】因为“∃x∈(0,+∞)，使x2―ax+4<0”是假命题，所以“∀x∈(0,+∞)，x2―ax+4≥0”为真命题，其等价于a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立，又因为对勾函数f(x)=x+4x在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(2)=4，所以a≤4，即实数a∞,4].故答案为：(―∞,4].14．（2023·河北·模拟预测）若∃x∈R，ax2+ax+a―3<0，则a的一个可取的正整数值为1（或2，3）.【解题思路】由判别式大于0求解.【解答过程】由题意Δ=a2―4a(a―3)>0，解得0<a<4，a的正整数值为1或2或3，故答案为：1（也可取2，3）．四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=|2x―a|，且f(x)≤b的解集为[―1,3]．(1)求a和b的值；(2)若f(x)≤|x―t|在[―1,0]上恒成立，求实数t的取值范围．【解题思路】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解，（2）将问题转化为3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解.【解答过程】（1）由f(x)≤b得|2x―a|≤b，易知b≥0，则―b≤2x―a≤b，解得a―b2≤x≤b+a2，由于f(x)≤b的解集为[―1,3]，则b+a2=3,a―b2=―1，解得a=2,b=4．（2）由（1）知f(x)=|2x―2|，由f(x)≤|x―t|得|2x―2|≤|x―t|，得3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立，Δ=(2t―8)2―4×3×(4―t2)=16(t―1)2>0，故t≠1．令g(x)=3x2+(2t―8)x+4―t2，若g(x)≤0在[―1,0]上恒成立，则g(―1)≤0g(0)≤0，即―t2―2t+15≤04―t2≤0，解得t≤―5或t≥3，故实数t的取值范围为(―∞,―5]∪[3,+∞)．16．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数f(x)=|x―1|+|x+2|.（1）求不等式f(x)≤5的解集；（2）若不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1]，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【解答过程】（1）当x≤―2时，f(x)≤5等价于―2x―1≤5，解得x∈[―3,―2]；当―2<x<1时，f(x)≤5≤5，恒成立，解得x∈(―2,1)；当x≥1时，f(x)≤5等价于2x+1≤5，解得x∈[1,2]；综上所述，不等式的解集为[―3,2].（2）不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1]，等价于f(x)≥x2―ax+1在区间[―1,1]上恒成立，也等价于x2―ax―2≤0在区间[―1,1]恒成立.则只需g(x)=x2―ax―2满足：g(―1)≤0且g(1)≤0即可.即1+a―2≤0,1―a―2≤0，解得a∈[―1,1].。
高考数学复习考点题型专题讲解31 不等式
高考数学复习考点题型专题讲解专题31 不等式高考定位 1.对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质相结合，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中；2.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值；3.题型多以选择题、填空题的形式呈现，中等难度.1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝( )A.{x|－1<x<2}B.{x|－1≤x≤2}C.{x|x<－1}∪{x|x>2}D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案 B解析法一因为A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.所以∁R法二因为A＝{x|x2－x－2>0}，A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.所以∁R2.(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则( )A.ln(a－b)>0B.3a<3bC.a3－b3>0D.|a|>|b|答案 C解析由函数y＝ln x的图像(图略)知，当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确.3.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则() A.x ＋y ≤1 B.x ＋y ≥－2C.x 2＋y 2≤2D.x 2＋y 2≥1答案 BC解析 因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )，由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为⎝⎛⎭⎪⎫x －y 22＋34y 2＝1， 设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ， 所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ， 因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13＝43＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2， 所以当x ＝33，y ＝－33时满足等式， 但是x 2＋y 2≥1不成立，所以D 错误.4.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________.答案 45解析 法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2， 所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45， 当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号. 所以x 2＋y 2的最小值为45. 法二 设x 2＋y 2＝t ＞0，则x 2＝t －y 2.因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t－y2)y2＋y4＝1，所以4y4－5ty2＋1＝0. 由Δ＝25t2－16≥0，解得t≥45⎝⎛⎭⎪⎫t≤－45舍去.故x2＋y2的最小值为4 5 .热点一不等式的性质及应用不等式的常用性质(1)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(2)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd＞0.(3)a＞b＞0⇒a n＞b n，na＞nb(n∈N，n≥2).(4)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b.例1 (1)(多选)(2022·苏州模拟)若a＞b＞0＞c，则( )A.ca＞cbB.b－ca－c＞baC.a c＞b cD.a－c＞2－bc(2)(2022·长沙模拟)已知a，b，c满足a＞b＞c，且ac＞0，则下列选项中一定能成立的是( )A.ab＞acB.c(b－a)＞0C.ab(a－c)＞0D.cb2＞ca2答案(1)ABD (2)C解析(1)由于a＞b＞0＞c，对于A：ca－cb＝c⎝⎛⎭⎪⎫1a－1b＝c⎝⎛⎭⎪⎫b－aab>0，故ca－cb＞0，∴ca＞cb，故A正确；对于B：由于a＞b＞0，所以b－ca－c＞ba，故B正确；对于C：当a＞b＞1时，a c<b c，故C错误；对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c＞2b（－c）＝2－bc，故D正确. (2)取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则ab＝2＜ac＝3，cb2＝－12＜ca2＝－3，排除A，D；取a＝3，b＝2，c＝1，则c(b－a)＝－1＜0，排除B；因为a＞b＞c，且ac＞0，所以a，b，c同号，且a＞c，所以ab(a－c)＞0.规律方法判断关于不等式命题真假的常用方法(1)作差法、作商法.(2)利用不等式的性质推理判断.(3)利用函数的单调性.(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题.训练1 (1)(多选)(2022·广州模拟)设a，b，c为实数且a＞b，则下列不等式一定成立的是( )A.1a ＞1bB.2 023a －b ＞1C.ln a ＞ln bD.a (c 2＋1)＞b (c 2＋1)(2)设12＜a ＜1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (1－a )，p ＝log a 12a，则m ，n ，p 的大小关系是( )A.n ＞m ＞pB.m ＞p ＞nC.p ＞n ＞mD.n ＞p ＞m答案 (1)BD (2)D解析 (1)对于A ，若a ＞b ＞0，则1a ＜1b，所以A 错误； 对于B ，因为a －b ＞0，所以2 023a －b ＞1，所以B 正确；对于C ，函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误； 对于D ，因为c 2＋1＞0，所以a (c 2＋1)＞b (c 2＋1)，所以D 正确.故选BD.(2)因为12＜a ＜1， 所以a 2＋1－12a ＝2a 3＋2a －12a ＞0， 12a －(1－a )＝1－2a ＋2a 22a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋122a＞0，y ＝log a x 为减函数， 所以m ＜p ，p ＜n .可得n ＞p ＞m .热点二 不等式的解法不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )＞a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min ＞a ，x ∈I ；f (x )＜a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max ＜a ，x ∈I .(2)f (x )＞g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方.(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.例2 (1)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b ＜0的解集是( )A.(－∞，－3)∪(2，＋∞)B.(－3，2)C.(－∞，－2)∪(3，＋∞)D.(－2，3)(2)若不等式x 2－ax ≥16－3x －4a 对任意a ∈[－2，4]都成立，则x 的取值范围为() A.(－∞，－8]∪[3，＋∞)B.(－∞，0)∪[1，＋∞)C.[－8，6]D.(0，3]答案 (1)A (2)A解析 (1)由关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，得b ＝2a 且a ＜0，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b ＜0可化为x 2＋x －6＞0，即(x ＋3)(x －2)＞0，解得x ＜－3或x ＞2，所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞).(2)由题意得不等式(x －4)a －x 2－3x ＋16≤0对任意a ∈[－2，4]都成立，则⎩⎨⎧（x －4）×（－2）－x 2－3x ＋16≤0，（x －4）×4－x 2－3x ＋16≤0，即⎩⎨⎧－x 2－5x ＋24≤0，－x 2＋x ≤0，解得x≥3或x≤－8.故选A.易错提醒求解含参不等式ax2＋bx＋c＜0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况.(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.(3)不考虑a的符号.训练2 (1)已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)≥f(－3－x2)对任意x∈(0，3]恒成立，则a的取值范围为( )A.[－1，＋∞)B.(3，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)(2)若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)答案(1)D (2)A解析(1)由题意得，不等式－4x＋a≥－3－x2对任意x∈(0，3]恒成立，所以a≥－x2＋4x－3对任意x∈(0，3]恒成立，令g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，当x∈(0，3]时，g(x)∈(－3，1]，所以a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞).故选D.(2)不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，x∈(1，4). 令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以g(x)＜g(4)＝－2，所以a＜－2.热点三基本不等式及其应用基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值.(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋Ag（x）＋Bg(x)(AB＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.例3 (1)(多选)(2022·青岛模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )A.log2a＋log2b≥－2 B.ab＋1ab≥174C.2a＋1b≤3＋22D.2a－b＞12(2)(2022·湖北九师联盟质检)已知a>0，b≠0，且a＋|b|＝3，则9a＋b＋3|b|的最小值为________.答案(1)BD (2)3＋2 3解析(1)log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝－2，A错误；因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以ab ≤a ＋b 2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)， 所以0<ab ≤14， 因为函数y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减， 所以ab ＋1ab ≥14＋4＝174，B 正确； 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22(当且仅当2b a ＝a b 时取等号)， 所以2a ＋1b≥3＋22，C 错误； 易知0<a <1，0<b <1，所以－1<a －b <1，所以2a －b >2－1＝12，D 正确.选BD. (2)9a ＋b ＋3|b |＝9a ＋3|b |＋b |b |， 当b >0时，b |b |＝1， 当b <0时，b|b |＝－1. 9a ＋3|b |＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫9a ＋3|b |(a ＋|b |)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋9|b |a ＋3a |b |≥13(12＋63) ＝4＋23，当且仅当9|b |a ＝3a |b |，3＋13＋1所以当a ＝333＋1，b ＝－33＋1时， 9a ＋b ＋3|b |取得最小值，且最小值为3＋2 3.易错提醒 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件： (1)一正二定三相等，三者缺一不可；(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.训练3 (1)(2022·湖州质检)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2yy －1的最小值为( ) A.3 B.52＋ 6C.3＋6D.3＋2 2(2)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2B.2 2 C.4 D.92答案 (1)D (2)B 解析 (1)∵x ＋y ＝xy ， ∴(x －1)(y －1)＝1， ∴x x －1＋2y y －1＝（x －1）＋1x －1＋2（y －1）＋2y －1＝3＋1x －1＋2y －1≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22，x －1y －1(2)∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)， 都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n＋2nm≥2m n ·2nm＝22， 当且仅当m n＝2nm即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.一、基本技能练1.若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列说法正确的是( ) A.ac 2＜bc 2B.1a ＜1bC.b a ＞a bD.a 2＞ab ＞b 2 答案 D解析 当c ＝0时，A 不成立； 1a －1b ＝b －a ab ＞0，即1a >1b，B 错误；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab ＜0，C 错误； 由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ＞b 2，D 正确.2.不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A.(－∞，0]∪(2，4]B.[0，2)∪[4，＋∞) C.[2，4)D.(－∞，2)∪(4，＋∞) 答案 B解析 当x －2＞0，即x ＞2时，(x －2)2≥4， 即x －2≥2，则x ≥4，当x －2＜0，即x ＜2时，(x －2)2≤4， 即－2≤x －2＜0，∴0≤x ＜2， 综上，0≤x ＜2或x ≥4.3.(2022·泰安质检)若不等式ax 2－x －c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12，则函数y ＝cx 2－x －a的图象可以为( )答案 C解析由题意可得－1和12是方程ax 2－x －c ＝0的两个根，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12＝1a ，－1×12＝－ca ，解得a ＝－2，c ＝－1，则y ＝cx 2－x －a ＝－x 2－x ＋2＝－(x ＋2)(x －1)，其图象开口向下，与x 轴交于 (－2，0)，(1，0).故选C.4.已知关于x 的不等式x 2－ax －6a 2＞0(a ＜0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a 等于( ) A.－5B.－32C.－2D.－52答案 C解析 x 2－ax －6a 2＝(x －3a )(x ＋2a )＞0， ∵a ＜0，∴x ＞－2a 或x ＜3a ， ∴x 2＝－2a ，x 1＝3a ，∴x 2－x 1＝－5a ＝52，∴a ＝－ 2.5.已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x ＜1)，下列结论正确的是( )A.f (x )有最大值114B.f (x )有最大值－114 C.f (x )有最小值132D.f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝ －⎝⎛⎭⎪⎫1－x4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立. 6.原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是( )A.第一种方案更划算B.第二种方案更划算C.两种方案一样D.无法确定 答案 B解析 设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升，则 方案一：两次加油平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y2≥xy ，方案二：两次加油平均价格为400200x ＋200y＝2xyx ＋y ≤xy ，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算. 7.设x ＞y ＞z ，n ∈N *，且1x －y ＋1y －z ≥n x －z恒成立，则n 的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 C解析 因为x ＞y ＞z ，n ∈N *， 所以x －y ＞0，y －z ＞0，x －z ＞0，由1x －y ＋1y －z ≥n x －z， 可得n ≤(x －z )⎝⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z ＝[(x －y )＋(y －z )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z ＝1＋1＋y －z x －y ＋x －yy －z≥2＋2y －z x －y ·x －yy －z＝4， 当且仅当x －y ＝y －z 时，上式取得等号， 由题意可得n ≤4，即n 的最大值为4.8.已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a <0在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，33 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，47 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫47，＋∞答案 A解析x ∈(0，2]时， 不等式可化为ax ＋3a x<2；当a ＝0时，不等式为0<2，满足题意； 当a >0时，不等式化为x ＋3x <2a，则2a>2x ·3x＝23，当且仅当x ＝3时取等号， 所以a <33，即0<a <33；当a <0时，x ＋3x >2a恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，33.选A.9.(多选)(2022·泰州模拟)下列函数中最小值为6的是( ) A.y ＝ln x ＋9ln x B.y ＝6|sin x |＋32|sin x |C.y ＝3x ＋32－xD.y ＝x 2＋25x 2＋16答案 BC解析 对于A 选项，当x ∈(0，1)时，ln x <0， 此时ln x ＋9ln x<0，故A 不正确.对于B 选项，y ＝6|sin x |＋32|sin x |≥29＝6，当且仅当6|sin x |＝32|sin x |，即|sin x |＝12时取“＝”，故B 正确.对于C 选项，y ＝3x ＋32－x ≥232＝6， 当且仅当3x ＝32－x ，即x ＝1时取“＝”，故C 正确.对于D 选项，y ＝x 2＋16＋9x 2＋16＝x 2＋16＋9x 2＋16≥29＝6， 当且仅当x 2＋16＝9x 2＋16，即x 2＝－7无解，故D 不正确.故选BC.10.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( ) A.a 2＋b 2≥12B.2a －b ＞12C.log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B ，2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a ＞0，所以22a ＞1，即2a －b ＞12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2，得a ＋b ≤2，故D 正确. 综上可知，正确的选项为ABD.11.函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________. 答案 3解析 依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c ＞0， 即x 2－2x －c ＜0的解集为(m ，m ＋4)， 所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧m ＋m ＋4＝2，m （m ＋4）＝－c ，解得⎩⎨⎧m ＝－1，c ＝3.12.若命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋m ＜0”为真命题，则实数m 的取值范围为________. 答案 (－∞，1)解析由题意可知，不等式x2－2x＋m＜0有解，∴Δ＝4－4m＞0，m＜1，∴实数m的取值范围为(－∞，1).二、创新拓展练13.(多选)(2022·苏锡常镇调研)已知正实数a，b满足a＋2b＝ab，则以下不等式正确的是( )A.2a＋1b≥2 B.a＋2b≥8C.log2a＋log2b<3 D.2a＋b≥9答案BD解析对于A，因为正实数a，b满足a＋2b＝ab，所以a＋2bab＝1，即2a＋1b＝1，所以A错误，对于B，因为a>0，b>0，a＋2b＝ab，所以a＋2b≥22ab＝22（a＋2b），当且仅当a＝2b时取等号，所以(a＋2b)2≥8(a＋2b)，因为a＋2b>0，所以a＋2b≥8，当且仅当a＝2b时取等号，所以B正确，对于C，若log2a＋log2b<3，则log2a＋log2b＝log2(ab)<3＝log28，所以ab <8，所以a ＋2b <8，而由选项B 可知a ＋2b ≥8， 所以log 2a ＋log 2b <3不成立，所以C 错误， 对于D ，因为正实数a ，b 满足a ＋2b ＝ab ， 由选项A 知，2a ＋1b＝1，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋22ab·2ba＝9，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b ＝3时取等号， 所以D 正确，故选BD.14.(多选)(2022·镇海中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）e x ，x <0，（x ＋1）2e x，x ≥0，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(－2，1)上单调递增B.函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e 2，＋∞C.若关于x 的方程[f (x )]2－a |f (x )|＝0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，4e D.不等式f (x )－ax －a >0在(－1，＋∞)恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e 2，2e答案 ACD解析函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）e x ，x <0，（x ＋1）2e x，x ≥0，所以函数f ′(x )＝⎩⎨⎧（x ＋2）e x （x <0），－（x ＋1）（x －1）e x （x ≥0）， 故函数f (x )的大致图象如图1所示，故A 正确，B 错误；对于D ，不等式f (x )>a (x ＋1)，在(－1，＋∞)上恰有两个整数解，必为x ＝0，x ＝1， 故⎩⎨⎧f （1）>a （1＋1），f （2）≤a （2＋1），解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e 2，2e ，故D 正确；对于C ，如图2，函数y ＝|f (x )|的图象，原方程可化为|f (x )|＝0或|f (x )|＝a ，由于方程[f (x )]2－a |f (x )|＝0有3个不相等的实数根，所以只需|f (x )|＝a 有两个不等实根，所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，4e ，C 正确，故选ACD. 15.(多选)(2022·全国名校大联考)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＋1＝1，m ＝x ＋y ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1，则( )A.x ＜0且y ＜－1B.m 的最大值为－3C.n 的最小值为7D.n ·2m ＜2答案 ABD解析 由2x ＋2y ＋1＝1，得2y ＋1＝1－2x ＞0，2x ＝1－2y ＋1＞0，所以x ＜0且y ＜－1，故A 正确；由2x ＋2y ＋1＝1≥22x ·2y ＋1＝22x ＋y ＋1，得m ＝x ＋y ≤－3，当且仅当x ＝y ＋1＝－1，即x ＝－1，y ＝－2时，等号成立，所以m 的最大值为－3，故B 正确；n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1(2x ＋2y ＋1) ＝5＋2×2y 2x ＋2×2x2y ≥5＋22×2y 2x ·2×2x 2y ＝9， 当且仅当2×2y 2x ＝2×2x2y ，即x ＝y ＝－log 23时，等号成立， 所以n 的最小值为9，故C 错误；n ·2m＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1·2x ＋y ＝2y ＋2x ＋1＝2－3×2y ＜2，故D 正确.故选ABD. 16.(2022·湖南三湘名校联考)若两个正实数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，且不等式x ＋2y ≥m 2－7m 恒成立，则实数m 的取值范围为________.答案 [－1，8]解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1， 所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋x y ＋4y x ≥8，当且仅当x ＝4，y ＝2时等号成立， 所以m 2－7m ≤8，解得－1≤m ≤8.17.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3＜x ＜4}，则c 2＋5a ＋b 的取值范围为________.答案 [45，＋∞)解析 关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3＜x ＜4}， 所以a ＜0，且3和4是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两实数根，由根与系数的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧3＋4＝－b a ，3×4＝c a ，解得⎩⎨⎧b ＝－7a ，c ＝12a (a ＜0). 所以c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5a －7a ＝－24a －56a≥ 2（－24a ）·5－6a ＝45(当且仅当－24a ＝－56a ，即a ＝－512时等号成立)， 所以c 2＋5a ＋b的取值范围是[45，＋∞). 18.(2022·温州测试)已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋b ，若存在实数b ，使得对任意的|x |≤1都有|f (x )|≤109，则实数a 的最大值是________. 答案 13解析 由题可得，因为存在实数b 对任意的|x |≤1都有|x 2＋|x －a |＋b |≤109， 所以－109≤x 2＋|x －a |＋b ≤109， 即存在实数b 对任意的|x |≤1都有－x 2－109－b ≤|x －a |≤109－x 2－b ， 由对称性可知，当实数a 取得最大值时，a ≥0，令g (x )＝－x 2－109－b ，h (x )＝－x 2＋109－b ，则g ′(x )＝h ′(x )＝－2x .因为y ＝－x ＋a 的斜率为－1，所以－2x ＝－1，解得x ＝12， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14－109－b ＝－4936－b . 又因为h (－1)＝－1＋109－b ＝19－b ， 即当a ≥12时，切线斜率k ＝h （－1）－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－12＝－5354>－1，不能满足条件； 故当0≤a <12时，g (x )的零点为a ，此时a 最大，满足⎩⎪⎨⎪⎧g （a ）＝－a 2－109－b ＝0，k ＝－1＋109－b －1－a ＝－1，即⎝⎛⎭⎪⎫a －23⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13＝0， 由0≤a <12可得a ＝13.。
历年高三数学高考考点之〈不等式〉必会题型及答案
历年高三数学高考考点之〈不等式〉必会题型及答案体验高考体验高考1.已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1， 所以，－12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2， 因此|a ＋b |<|1＋ab |.2.已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3， 解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞).高考必会题型题型一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.例1 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4| 得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4| 得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}.(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.点评 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.变式训练1 已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集.(1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)解 由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为 {x |5≤x ≤6}.综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}. 题型二 不等式的证明 1.含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2.算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立. 例2 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y＝2(x －y )＋1x －y2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y2≥33x －y21x －y2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |， 由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.点评 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论.关键是代数式的变形能力. (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧. 变式训练2 (1)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.(2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 (1)当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立. 当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ， 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.题型三 柯西不等式的应用 柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立. (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.例3 (2015·福建)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值.解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立.又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b . 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立.故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 点评 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明. (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.变式训练3 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.(1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3， 又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9， 即p 2＋q 2＋r 2≥3.高考题型精练1.如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围. 解 设y ＝|x －3|－|x －4|， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤3，2x －7，3<x <4，1，x ≥4的图象如图所示：若|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集， 则(|x －3|－|x －4|)min <a .由图象可知当a >－1时，不等式的解集不是空集. 即实数a 的取值范围是(－1，＋∞).2.设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值.解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )·(x ＋y )＝2＋y x ＋xy.∵2＋y x ＋x y ≥2＋2y x ·xy＝4， 当且仅当x ＝y 时等号成立. ∴[(1x ＋1y)(x ＋y )]min ＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.3.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].4.设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值.解 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 5.已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. (1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4； 当x >1时，由2x <4，得1<x <2. ∴综上可得－2<x <2，即M ＝(－2，2). (2)证明 ∵a ，b ∈M ， 即－2<a <2，－2<b <2，∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |<|4＋ab |.6.已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围.解 由柯西不等式知[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2] ≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2. 又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6， ∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2， ∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6，∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立.∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5. ∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}. 7.设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值. 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a2}.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.8.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解5---一元二次不等式及其解法
高考数学复习考点知识与题型专题讲解1.5一元二次不等式及其解法考试要求1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式．1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2} 错误!R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅3.分式不等式与整式不等式(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 微思考1．二次函数的零点与一元二次方程的根，二次函数图象与x 轴的交点之间有什么联系？ 提示 二次函数的零点即为对应的一元二次方程的根，也是二次函数图象与x 轴交点的横坐标． 2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？提示显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.(√)(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .(×)(3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．(√) (4)x －ax －b ≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.(×)题组二教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B 等于() A ．(－2,3) B ．(1,3) C ．(3,4) D ．(－2,4) 答案B解析由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝(1,3)．3．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案(－4,1)解析由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.4．函数y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是____________________________． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三易错自纠5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案－14解析∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________． 答案(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析由题意得Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4,1,3,5}，则A ∩B 等于() A ．{－4,1}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3} 答案D解析∵A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |(x ＋1)(x －4)<0}＝{x |－1<x <4}，B ＝{－4,1,3,5}， ∴A ∩B ＝{1,3}．(2)不等式1－x 2＋x ≥0的解集为()A ．[－2,1]B ．(－2,1]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞) 答案B解析原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(2＋x )≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0， 解得－2<x ≤1.命题点2含参不等式例2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式．解当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1， 当a <0时，1a <1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1， 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1(1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________． 答案{x |x ≥3或x ≤2}解析由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.(2)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R 上的恒成立问题例3对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是() A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2) D ．(－2,2] 答案D解析当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立； 当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2(a －2)]2－4×(a －2)×(－4)<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2,2]．命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案⎝⎛⎭⎫－∞，67 解析要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0， 所以m <6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67.命题点3给定参数范围的恒成立问题例5若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，则实数x 的取值范围为________． 答案⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32 解析设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R 上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)． 跟踪训练2 (1)若不等式ax 2－x ＋a >0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为() A ．a <－12或a >12B ．a >12或a <0C ．a >12D ．－12<a <12答案C解析当a ＝0时，－x >0不恒成立，故a ＝0不合题意；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0，Δ<0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0.解得a >12.(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是() A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4) 答案C解析令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－ 5.设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，Δ>0)有不相等的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，方程的根即为二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x 1<0，x 2<0)两个正根即两根都大于0(x 1>0，x 2>0)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x 1<0<x 2)大致图象(a >0)得出的结论错误!错误!f(0)<0 大致图象(a<0)得出的结论错误!错误!f(0)>0综合结论(不讨论a)错误!错误!a·f(0)<0 表二：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1<k，x2<k 两根都大于k即x1>k，x2>k一个根小于k，一个根大于k即x1<k<x2大致图象(a>0)得出的结论错误!错误!f(k)<0 大致图象(a<0)得出的结论错误!错误!f(k)>0综合结论(不讨论a)错误!错误!a·f(k)<0 表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m ，n )内两根有且仅有一根在(m ，n )内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m ，n )内，另一根在(p ，q )内，m <n < p <q大致图象(a >0)得出的结论错误!f (m )·f (n ) <0错误!或错误!大致图象(a <0)得出的结论错误!f (m )·f (n ) <0错误!或错误!综合结论(不讨论a )错误!f (m )·f (n ) <0错误!根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ，n )外，即在区间两侧x 1<m ，x 2>n ，(图形分别如下)需满足的条件是(1)a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (n )<0；(2)a <0时，⎩⎨⎧f (m )>0，f (n )>0.对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m ，n )内有以下特殊情况：(ⅰ)若f (m )＝0或f (n )＝0，则此时f (m )·f (n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ，n )内，从而可以求出参数的值．如方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx 2－(m ＋2)x ＋2＝(x －1)(mx －2)，另一根为2m ，由1<2m <3得23<m <2即为所求； (ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m ，n )内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m 的取值范围．分析：①由f (－3)·f (0)<0即(14m ＋15)(m ＋3)<0得出－3<m <－1514；②由Δ＝0即16m 2－4(2m ＋6)＝0得出m ＝－1或m＝32，当m ＝－1时，根x ＝－2∈(－3,0)，即m ＝－1满足题意；当m ＝32时，根x ＝3∉(－3,0)，故m ＝32不满足题意．综上分析，得出－3<m <－1514或m ＝－1. 例1已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围． 解设f (x )＝(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)， 由(2m ＋1)·f (0)<0，即(2m ＋1)(m －1)<0， 解得－12<m <1，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，1.例2已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 解设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－－(m ＋1)2×2>0，f (0)>0⇒⎩⎨⎧(m ＋1)2－8m >0，m >－1，m >0⇒⎩⎨⎧m <3－22或m >3＋22，m >0⇒0<m <3－22或m >3＋22， 即m 的取值范围为(0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．例3已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围． 解由(m ＋2)·f (1)<0，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0⇒－2<m <－12，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 课时精练1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于() A ．(0,2) B ．(－1,0) C ．(－3,2) D ．(－1,3) 答案B解析A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}， ∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0的解集为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 答案D解析原不等式可化为(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0， ∵0<t <1，∴t <1t，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t . 3．(2020·廊坊调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为()A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－12，32 答案A解析由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故1a ＝－1，－b ＝3，即a ＝－1，b ＝－3. ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32，故不等式f (－2x )<0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 4．已知某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是() A ．100台B ．120台 C ．150台D ．180台 答案C解析由题设，产量为x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本， 即25x ≥3000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3000≥0，x 2＋50x －30000≥0， 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是()A ．(－2，－1)B ．(－3，－6)C ．(2,4) D.⎝⎛⎭⎫－3，－32 答案AD解析不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD. 6．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，则() A ．a 2－b 2≤4 B ．a 2＋1b≥4C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4 答案ABD解析因为f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a 2－4b ＝0，即a 2＝4b >0. 对于A ，a 2－b 2≤4等价于b 2－4b ＋4≥0， 显然(b －2)2≥0，故A 正确； 对于B ，a 2＋1b ＝4b ＋1b≥24b ×1b ＝4，当且仅当4b ＝1b >0，即b ＝12时，等号成立，故B 正确；对于C ，因为不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，故x 1x 2＝－b <0，故C 错误；对于D ，因为不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两根为x 1，x 2，故可得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2－4(b －c )＝4c ＝2c ＝4，故可得c ＝4.7．不等式x ＋2x －1>2的解集为________．答案{x |1<x <4}解析原不等式可化为x ＋2x －1－2>0，即(x ＋2)－2(x －1)x －1>0，即4－x x －1>0，即(x －1)(x －4)<0，解得1<x <4， ∴原不等式的解集为{x |1<x <4}．8．一元二次方程x 2－(k －2)x ＋k ＋1＝0有一正一负实数根，则k 的取值范围是________． 答案(－∞，－1)解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(k －2)2－4(k ＋1)>0，k ＋1<0，解得k <－1.9．若对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，则x 的取值范围是________． 答案(－∞，1)∪(3，＋∞)解析f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4. 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)×1＋x 2－4x ＋4>0⇒x <1或x >3.10．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________． 答案[－2，－1)∪(3,4]解析不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0， 可化为(x －1)(x －a )<0，当a ＝1时，不等式为(x －1)2<0，解集为∅，舍去，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，则3<a ≤4， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 则－2≤a <－1，综上有－2≤a <－1或3<a ≤4.11．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0. (1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值； (2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0， 即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅； 当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)； 当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．12．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y 元，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围．解(1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价， 所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0， 解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )， 定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.13．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2021－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是()A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d 答案D解析f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 021，又f (a )＝f (b )＝2 021，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.14．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 答案A解析由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235.15．已知二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a ，b ]的长度为b －a )，则实数m 的值是________．答案－5解析不等式f (x )≥m 可化为x 2－2x －3＋m ≤0，令x 2－2x －3＋m ≤0的解集为{x |x 1≤x ≤x 2}，则x 2－x 1＝6，∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －3， 又∵(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，∴4－4(m －3)＝36，即m ＝－5.16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围． 解(1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧ 0＋5＝－b 2，0×5＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0. 所以f (x )＝2x 2－10x .不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2(x 2＋2kx ＋k 2)－10(x ＋k )<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ， 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)．(2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ t ·1－5t ·(－1)－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16； 当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可，所以t －5t －1≤0，解得t ≥－14，即－14≤t <0， 综上，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，16.。
不等式常见考试题型总结
当时，
当时，若解集为任意实数；
若，无解
当时，
【典型例题】
题型一：与整数解个数有关的不等式
2．作商(常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法；
4．平方法；
间量或放缩法；
8．图象法。
（4)不等式求函数最值
技巧一：凑项
例:已知，求函数的最大值。
技巧二：凑系数
例。 当时，求的最大值.
技巧三：分离
例. 求的值域。
技巧四：换元
例。 求的值域。
∴W≤ ＝2
变式: 求函数的最大值.
解析：注意到与的和为定值。
又，所以
当且仅当=,即时取等号. 故。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件.
总之,我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用基本不等式。
应用二:利用基本不等式证明不等式
（5）证明不等式
常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。
基本不等式—最值求法的题型
基础题型一：指数类最值的求法
1.已知，求的最小值。
变式1.已知,求的最小值.
变式2.已知，求的最小值。
变式3。已知，求的最小值。
变式4。已知点在直线上,求的最小值。
基础题型二:对数类最值的求法
2.已知,且，求的最大值。
4。若，则（当且仅当时取“=”)
注：(1）当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
高考数学不等式方法技巧及题型全归纳(100页)
g(x) 0
f
(x)
0
（2） f (x) 0 f x g x 0
g(x)
f (x) g(x)
0
f (x) g(x) g(x) 0
0
2.2 含有绝对值的不等式
（1） f x g x f (x) g(x) 或 f (x) g(x) ；
（2）| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) ；
到的 与原式是恒等的，则称 1, 2, ⋅⋅⋅ , 是完全对称的.
如
+
+
，
b
a
c
c
b
a
a
c
b
等.
设 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是一个 元函数. 若作置换 1 → 2, 2 → 3, ⋅⋅⋅ , −1 → , → 1，得到
的 与原式是恒等的，则称 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是轮换对称的.
如3
+
3
+
3 ， a b c 等. ab bc ca
显然，完全对称的一定是轮换对称的.
2
2、重要不等式
2.1 无理式、分式
（1）
f
(x)
g(x)
g(x) 0
f
(x)
0
g(x) 0
或
f
(x)
g 2(x)
g(x) 0
f
(x)
g(x)
f
(x)
0
f (x) g 2 (x)
f (x)
g(x) 0 g(x) 0 或
2.1 无理式、分式............................................................................................................... 3 2.2 含有绝对值的不等式................................................................................................... 3 2.3 一元二次不等式........................................................................................................... 3 2.4 基本不等式................................................................................................................... 4 2.5 柯西不等式................................................................................................................... 4
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高考数学题型总结：不等式题型及解题方法
高考数学题型总结：不等式题型及解题方法
不等式
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。
诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
知识整合
1。
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。
在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。
通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。
2。
整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。
3。
在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。
4。
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。
要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。
比较法的一般步骤是：作差(商)变形判断符号(值)。