超声波原理理论

波 - 波的能量
• 所有的波都携带能量。水面波把水面的上下振动传给波阵面 前方原来是静止的水面，这意味着波带有动能和势能。波所 携带的能量常用波内单位体积所具有的能量来计量，叫波的 能量密度。在单位时间内通过垂直于波矢的单位面积所传递 的能量叫波的强度或能流密度，它是波的能量密度和波的传 播速度的乘积。 • 当弹性波传播到介质中的某处时,该处原来不动的质点开始 振动,因而具有动能,同时该处的介质也将产生形变,因而也 具有势能 以弹性棒中的简谐横波为例来分析： • 有一行波：质元的速度：质量为 Δm 的媒质其动能为： • 单位体积媒质中弹性势能等于弹性模量与应变平方乘积的一 半 • 代入上式得在 ΔV 体积内其势能为： • 总机械能为：
产生这些波的前提是介质的相邻质点间存在 弹性力或准弹性力的相互作用，正是借助 于这种相互作用力才使某一点的振动传递 给邻近质点，故这些波亦称弹性波。 电磁场的振动在空间传递时依靠的是电磁场 本身的规律，毋需任何介质的存在，故电 磁波（包括光波）可在真空中传播。振动 物理量可以是标量，相应的波称为标量波 （如空气中的声波），也可以是矢量，相 应的波称为矢量波（如电磁波）。 振动方向与波的传播方向一致的称纵 波，相垂直的称横波。
• 这种波叫简谐波。这种波在空间和时间上都是 无限地重复变化的; • 在空间以波长λ重复,在时间上以重复，T称周期
简谐波
称频率,频率是个很重要的量, 光波的颜色便决定于频率。 A 称幅度或振幅,变量 称相位,v 称 相速度,
称波数,ω＝2πf是圆频率。
零时刻的相位称初相位。 正弦形式和余弦形式的简谐波只相差一个 的初相位，并没有实 质性差别。
波的强度
• 能流P—单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流， 或叫能通量。 设波速为 u，在 Δt 时间内通过垂直于波速截面 ΔS 的能量: • w—能量密度，所以能流为：
• 能流随时间周期性变化，总为正值，在一个周期内能流的平均值称为平均能 流 • 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常 称为能流密度或波的强度。
• （声学中声强就是上述定义之一例 ）
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
• 能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。
波 - 线性波和非线性波
波的某些性质，包括波的叠加性，是有条件 的。 主要条件是波要是线性的。 上面，以及通常，没有强调这个条件，是因 为通常讨论的波，如一般的声波和光波，几 乎全是线性的。 但实际中也有不少波是非线性的。这时情况 就有些变动。
，
波在任一点都有同样的值，这种波叫平面波。
如果
这时形成柱面波。
如果
这时就形成球面波，一个点波源所辐射的波，一般是球面波。
波传播方向的单位矢量叫波矢。 波源总是在一定的时间开始发射波的，因此波总有前沿。 波的前沿曲面叫波阵面。
• F 函数的形式有多种多样。一种很简单的函数是 正弦或余弦，即波函数F(r±vt)是
• 当波在传播中遇到一 个实物，这时不仅出 现单纯的反射和折射， 还将出现其他分布复 杂的波，包括衍射波。 这种现象统称散射 （在有些文献里，散 射同衍射两个概念是 不严格区分的）。用 雷达追踪飞机，用声 呐探寻潜艇，便属于 这个情况。
• 行波和驻波 • 提起波时一般含意 指不断前进的波， 但在特殊情况，也 可以建立起似乎囚 禁在某个空间的波。 为了区分，称前者 为行波，称后者为 驻波。
波 - 波的分解
几个波可以叠合成一个总的波,反之, 一个波也可以分解为几个波之和。 根据傅里叶级数表示法，任何一个 函数都可以表示为一系列不同频率 正弦和余弦函数之和，所以任何波 形的波都可以归结为一系列不同频 率简谐波的叠加。这种分析方法称 频谱分析法，它为认识一些复杂的 波动现象提供了一个有力的工具。
波ห้องสมุดไป่ตู้方程推导（以一维纵波为例）
取棒中任一小质元原长 dx，质量为 dm=ρSdx 受其它部分的弹性力为 f 和 f+df，
质元的运动学方程为：
根据弹性模量的定义：
代入运动方程得：
结论：任何物理量只要满足上述方程， 则它一定按波的形式传播。 而且对时间偏导数系数的倒数就是波速的平方。
波 - 纵波和横波
波 - 波的一些传播规律
• 波在不同的环境中的传播情况不尽相同。 • 反射、折射和散射 • 在均匀的媒质中，波沿直线传播。传播中波可能遇到 新的环境。一个简单的情况是波由一种均匀的媒质射 向另一种均匀媒质，而且两个媒质的界面是平面的。 入射到界面的波（入射波），一部分在界面上被反射 回第一媒质（称为反射波），另一部分则折入第二媒 质(称为折射波)。众所周知，反射角恒等于入射角， 而折射角的大小依赖于两个媒质的有关物理量的比。 对于电磁波，这个物理量是介电常数同磁导率的乘积 的平方根。对于其他的波有时情况要复杂些。例如， 当固体中声波从一个固体媒质投射到另一固体媒质时， 在第一媒质中，入射波将被反射出两个波，而不是一 个，其中一个是纵波，一个是横波。进入第二媒质时 也将折射出两个波（图4）。两种反射波的反射角和 两种折射波的折射角都有一定的规律。
波 - 波形
• 波在空间和时间的分布，也就是波函数的 函数形状。 波函数一般可写成 F(r±vt), 其中r是矢径的幅值， ＋号和－号分别表示波 沿正和负r方向传播， v是波的传播速率。 F可以是各种各样的函数。
平面波、柱面波和球面波
空间直角坐标系(x,y,z)中， 如果r＝x,则在同一个y-z平面上,
干涉 由于叠加，两列或两列以上具有相同频率、固定相位差的同类 波在空间共存时，会形成振幅相互加强或相互减弱的现象，称 为干涉。 相互加强时称为相长干涉，相互减弱时称为相消干涉。
衍射
波在传播中遇到有很大障碍物或遇到大 障碍物中的孔隙时，会绕过障碍物的边 缘或孔隙的边缘，呈现路径弯曲，在障 碍物或孔隙边缘的背后展衍，这种现象 称为波的衍射。 波长相对障碍物或孔隙越大，衍射效应 越强。 图2中给出了光波遇到圆孔时所产生的衍 射。 衍射是波叠加的一个重要例子。 边缘附近的波阵面分解为许多点波源,这 些点波源各自发射子波,而这些子波之间 相互叠加，从而在障碍物的几何阴影区 内产生衍射图案。 这里子波的概念，是更普适的惠更斯原 理的一个应用。
在某个时刻其上各点相位取等值的曲面称为等 相面，
平面波、柱面波和球面波的等相面分别是 平面、柱面和球面。 波的波阵面一般是等相面。
行波 动力学方程
将平面波的波函数对空间和时间求导，可得
——波动方程，
各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。 若 y1，y2 分别是它的解， 则 （y1＋y2）也是它的解， 即上述波动方程遵从叠加原理。
• 驻波的应用也很广，如管弦乐器便利用了驻波。此外 它还导出了一个重要的概念，即频率的分立。要求两 个界面之间的距离(d)是半波长的整数倍(n)，可以理 解为，只有那些频率为n(v/2d) 的波才能建立驻波。 这个频率分立的概念对量子力学的创立曾起了启发作 用。
波 - 波的主要性质
波具有一些独特的性质，从经典物理学的角度看， 明显地不同于粒子。
这些性质主要包括波的叠加性、干涉现象、衍射现 象等。
叠加性
这是波（确切地讲指 线性波，见下文）的 一个很重要的属性。 如果有两列以上的同 类波在空间相遇，在 共存的空间内，总的 波是各个分波的矢量 和（即相加时不仅考 虑振幅，还考虑相 位），而各个分波相 互并不影响，分开后 仍然保持各自的性质 不变。叠加性的依据 是，（线性）波的方 程的几个解之和仍然 是这个方程的解；这 个原理称叠加原理。
• 两列振幅和频率都相同，而传播方向相反的同类波叠 加起来就形成驻波。常用的建立方法是让一列入射波 受到媒质边界的反射，以产生满足条件的反向波，让 二者叠加形成驻波。例如，简谐波在驻波腔（图5）内 来回反射，驻波腔的长度是半波长的整数倍，腔端每 个界面在反射时产生π相位差。驻波中振幅恒为零的 点称为波节，相邻波节相距半个波长，两个波节之间 的振幅按正弦形分布。振幅最大的点称为波腹。
惠更斯原理
波阵面上的各点可以看作是许多子波的波源，这些子波的包 络面就是下一时刻的波阵面。原理的示意图见图3（见惠更斯 －菲涅耳原理）。
相干性
同干涉有关的是波的相干性。这是在激光出现前后，特别是之后， 引起人们重视的一个概念。并不是任意的两列波都可以产生干涉， 而需要满足一定的条件，称为相干条件，主要是要有相同的频率和 固定的相位差。两个普通光源产生的光波很难产生干涉。因为光源 有一定的面积，包含了许多的发光中心，而对于普通光源，这些发 光中心发光时并不协调，相互间并无联系。为此，在经典的杨氏干 涉实验中，有必要从同一个光源分出两束光波，以取得干涉。激光 器则不然，它的多发光中心是相位关联的，它所发射的波虽还不是 单频，但频带非常窄。这样，人们说普通光源所辐射的波相干性差， 而激光器所辐射的则相干性好。一个波的相干性实际上是这个波能 够到什么精确程度用简谐波来代表的描述。这是个定性的提法。要 定量地描述相干性（严格讲是相干程度），需要用统计观点，用两 点上不同时刻间扰动的时间平均。可以在一定程度上把相干性分成 两个部分：一个是空间相干性，起因于光源占据有限空间；一个是 时间相干性，起因于辐射波的有限频宽。
线性是个数学名词。 应变量与自变量成正比这么一个关系 叫线性关系；否则是非线性关系。 波里的物理量（或其扰动）如果足够 小，以致运动方程中物理量的二次项 和高于二次的项，比起一次项来可以 忽略不计，那么，对波的性质和行为 起决定作用的，是一次项。按照线性 的含意，这种波称线性波。自然界不 那么简单，把一些现象限制在线性范 围内。但凑巧，在许多种类的波中， 人类生活中最常遇到的，正是这种用 线性关系可以表达的波，如一般的 （不是所有的）水波、声波、光波等。 这样，在人们对波的了解过程中，首 先突出了线性波。
波函数所表示的物理量（或其扰动）可以是标量,也可以 是矢量，所以F可以是矢量。 电磁波的有关物理量是电场或磁场，而这些都是矢量。 固体中声波的质点位移也是矢量。 波的这个物理量如果同波的传播方向（波矢）是平行的， 波称为纵波，如流体中的声波； 如果是垂直的，波称为横波，如光波。 有时相应物理量既有平行于传播方向的成分,也有垂直的 成分,如波导内电磁波的电场或磁场。