必修二直线方程对称问题
人教版高数必修二第10讲：点、直线的距离和对称(教师版)
点、直线的距离和对称一、距离问题1. 设平面上两点()()111222,,,P x y P x y ，则12PP=为两点间距离2．点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离d ＝.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝.二、对称问题1. 关于点对称问题 （1）点关于点对称点()00,M x y 关于点(),P a b 的对称点是()002,2a x b y --．特别地，点()00,M x y 关于原点的对称点为()00,x y --．（2）线关于点对称已知l 的方程为：0Ax By C ++=()220A B +≠和点()00,P x y ，则l 关于P 点的对称直线方程．设'P ()'',x y 是对称直线'l 上任意一点，它关于()00,P x y 的对称点()''002,2x x y y --在直线l上，代入得()()''00220A x x B y y C -+-+=．此直线即为所求对称直线．2. 关于线对称问题 （1）点关于线对称已知点()00,M x y ，直线:l 0Ax By C ++=()0A B ≠，设点M 关于直线l 的对称点为()00,N x y ，则由1MN l k k =-得到一个关于,m n 的方程，又线段MN 的中点在直线l 得到另一个关于,m n 的方程，解方程组00001022n y A B m x x m y n A B C -⎧-⨯=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩ 即可求出点()00,N x y ．特别说明：①点()00,M x y 关于x 轴对称的点的坐标是()00,x y -，关于y 轴对称点的坐标是()00,x y - ②点()00,M x y 关于直线y x =的对称点坐标是()00,y x ，关于y x =-对称点为()00,y x -- （2）线关于线对称已知1111:0,:0l A x B y C l Ax By C ++=++=,求直线1l 关于直线l 对称直线2l如右图所示，在直线上任取不同于l 与1l 交点P 的任一点M ，先求出点M 关于直线l 的对称点N 的坐标，再由,N P 在2l 上，用两点式求出直线2l 的方程．常见的对称结论有：设直线:0l Ax By C ++=．① l 关于x 轴的对称的直线是：()0Ax B y C +-+=； ②l 关于y 轴的对称的直线是：()0A x By C -++=； ③l 关于原点的对称的直线是：()()0A x B y C -+-+=； ④l 关于y x =的对称的直线是：0Ay Bx C ++=；⑤l 关于y x =-的对称的直线是：()()0A y B x C -+-+=；类型一 点到直线的距离例1：求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)3x －4y －1＝0；(2)y ＝6；(3)y 轴．解析：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，直接代入点到直线的距离公式即可． 答案：(1)由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－－－1|32＋－2＝165. (2)由直线y ＝6与x 轴平行，得d ＝|6－(－2)|＝8.或将y ＝6变形为0·x ＋y －6＝0，∴d ＝|0×3＋－－6|02＋12＝8. (3)d ＝|3|＝3.练习1：求点P (－1,2)到直线2x ＋y －5＝0的距离；答案：由点到直线距离公式d ＝ 5.练习2：点A (a,6)到直线3x －4y ＝2距离等于4，求a 的值；答案：由点到直线的距离公式|3a －4×6－2|32＋42＝4， ∴a ＝2或463.练习3：求过点A (－1,2)且与原点距离等于22的直线方程． 答案：设所求直线l ：y －2＝k (x ＋1)，原点O (0,0)到此直线距离为22，可求得k ＝－1或－7， ∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或7x ＋y ＋5＝0.例2：已知在△ABC 中，A (3,2)、B (－1,5)，C 点在直线3x －y ＋3＝0上．若△ABC 的面积为10，求C 点坐标．解析：本题易求|AB |＝5，C 点到AB 的距离即为△ABC 中AB 边上的高．设C (x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋3，从而可建立x 0的方程求解．答案：设点C (x 0，y 0)，∵点C 在直线3x －y ＋3＝0上，∴y 0＝3x 0＋3.∵A (3,2)、B (－1,5)， ∴|AB |＝－2＋－1－2＝5.设C 到AB 的距离为d ，则12d ·|AB |＝10，∴d ＝4.又直线AB 的方程为y －25－2＝x －3－1－3，即3x ＋4y －17＝0，∴d ＝|3x 0＋x 0＋－17|32＋42＝|15x 0－5|5＝|3x 0－1|＝4.∴3x 0－1＝±4，解得x 0＝－1或53.当x 0＝－1时，y 0＝0；当x 0＝53时，y 0＝8.∴C 点坐标为(－1,0)或(53，8)．练习1：求经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线方程．答案：解法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，即直线方程为y －2＝k (x －1)，由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.解法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过AB 中点． ∵k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， ∴所求直线方程为：x ＝1或4x －y －2＝0.练习2：若动点()111,P x y ，()222,P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12PP 的中点P 到原点的距离的最小值是（ ）A ． D ．答案：B类型二 两条平行线之间的距离例3：求两平行线l 1：3x ＋4y ＝10和l 2：3x ＋4y ＝15的距离． 解析：由题目可获取以下主要信息： ①直线l 1与l 2的方程已知； ②l 1与l 2平行．解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行线间的距离公式或利用原点到两平行线距离的差，从而求解．答案：解法一：若在直线l 1上任取一点A (2,1)，则点A 到直线l 2的距离，即是所求的平行线间的距离．如图①所示，∴d ＝|3×2＋4×1－15|32＋42＝1. 解法二：设原点到直线l 1、l 2的距离分别为|OF |、|OE |，则由图②可知，|OE |－|OF |即为所求．∴|OE |－|OF |＝|－15|32＋42－|－10|32＋42＝1，即两平行线间的距离为1. 解法三：直线l 1、l 2的方程可化为3x ＋4y －10＝0,3x ＋4y －15＝0， 则两平行线间的距离为 d ＝|－10－－32＋42＝55＝1. 练习1：两平行直线x ＋3y －4＝0与2x ＋6y －9＝0的距离是________． 答案：1020练习2：已知平行线2330x y +-=与2390x y +-=，则与它们等距离的直线方程是（ ） A ．23120x y +-= B ．2360x y +-= C ．230x y += D ．2330x y ++= 答案：B类型三 对称问题例4：点P (－1,1)关于直线ax －y ＋b ＝0的对称点是Q (3，－1)，则a 、b 的值依次是( )A ．－2,2B ．2，－2 C.12， －12 D.12，12 解析：设PQ 的中点为M ，则由中点坐标公式得M (1,0)． ∵点M 在直线ax －y ＋b ＝0上，∴a ＋b ＝0. 又PQ 所在直线与直线ax －y ＋b ＝0垂直，∴－1－13－－·a ＝－1，∴a ＝2.故b ＝－2. 答案：B练习1已知直线l ：y ＝3x ＋3，求点P (4,5)关于直线l 的对称点坐标． 答案：设点A (x ，y )是点P 关于直线l 的对称点，∵A 、P 的中点在直线l 上， ∴y ＋52＝3×x ＋42＋3，即3x －y ＋13＝0又∵AP 与直线l 垂直， ∴y －5x －4×3＝－1，即x ＋3y －19＝0 ②解①、②组成的方程组可得x ＝－2，y ＝7， 即所求点的坐标为(－2,7)．练习2：已知(),P a b 和()1,1Q b a -+是关于直线l 对称的两点，则直线l 的方程为（ ） A ．0x y += B ．0x y -= C ．10x y ++= D ．10x y -+=答案：D例5：在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小． 解析：设点B 关于l 的对称点为B ′，AB ′与l 的交点P 满足(1)；点C 关于l 的对称点为C ′，AC ′与l 的交点P 满足(2)．事实上，对于(1)，若P ′是l 上异于P 的点，则||P ′A |－|P ′B ||＝||P ′A |－|P ′B ′||<|AB ′|＝||PA |－|PB ′||＝||PA |－|PB ||；对于(2)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |＋|P ′C |＝|P ′A |＋|P ′C ′|>|AC ′|＝|PA |＋|PC |. 答案：(1)如图所示，设点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a＝－1.∴a ＋3b －12＝0.又由于线段BB ′的中点坐标为A (a 2，b ＋42)，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.∴由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝02x ＋y －9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5.即直线l 与AB ′的交点坐标为(2,5)． ∴点P (2,5)为所求．(2)如图所示，设点C 关于直线l 的对称点为C ′，求出点C ′的坐标为(35，245)．∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 的交点坐标为(117，267)．故P 点坐标为(117，267)，为所求．练习1：已知()()3,5,2,15A B -,直线:3440l x y -+= （1）在l 上求一点P ，使PA PB +的值最小； （2）在l 上求一点Q ，使QA QB -的值最小． 答案：（1）设点A 关于直线l 的对称点()'00,A x y ，则0000543335344022y x x y -⎧=-⎪+⎪⎨-+⎛⎫⎛⎫⎪-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 解得0033x y =⎧⎨=-⎩ ∴()'3,3A -由两点式可得'A B 的方程为18510x y +-= 又∵点P 应是'A B 和l 的交点∴解方程组18503440x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴所求点P8,33⎛⎫⎪⎝⎭（2）∵2AB k = ∴AB 的方程为211y x =+ 由于直线AB 与l 的交点Q 即为所求∴解方程组3440211x y y x -+=⎧⎨=+⎩ 得85x y =-⎧⎨=-⎩∴所求点()8,5Q --练习2：若动点()111,P x y ，()222,P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12PP 的中点P 到原点的距离的最小值是（ ） A．2．．2D．答案：B1．已知点()()1,3,2,6A B -，则AB 的长及中点坐标分别是（ ）A ．()1,9--B ．19,22⎫-⎪⎭C ．19,22⎫--⎪⎭D ．19,22⎫⎪⎭答案：B2．若点(),6A a 到直线342x y -=的距离等于4，则a 的值是（ ） A ．2 B ．463 C ．0或2 D ．2或463答案：D3．过点()1,2A -的直线方程是（ ） A ．10x y +-= B ．750x y ++=C ．10x y +-=或750x y ++=D ．10x y --=或750x y ++= 答案：C4．若点P 到点()()120,1,7,2P P 及x 轴的距离相等，则P 的坐标是（ ） A ．()3,5 B ．()17,145- C ．()3,5或()17,145- D ．以上全不对 答案：C5．两平行线4x ＋3y －1＝0与8x ＋6y ＋3＝0之间的距离是( )A.25B.110C.15D.12 答案：D6.若点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值是( )A.10B ．2 2C. 6 D ．2 答案： B7. 已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l 1：x －2y ＋1＝0和l 2：3x －y －2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )A ．2x －y ＋7＝0和x －3y －4＝0B ．x －2y ＋7＝0和3x －y －4＝0C ．x －2y ＋7＝0和x －3y －4＝0D ．2x －y ＋7＝0和3x －y －4＝0 答案：B8. 两平行直线x ＋3y －5＝0与x ＋3y －10＝0的距离是________．答案：1029.已知正方形中心G (－1,0)，一边所在直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程．答案：正方形中心G (－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32＝610.设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0， 由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7.故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0.由－＋c 2|10＝610，得c 2＝9或c 2＝－3.∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知点A (a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( )A.2B ．2－ 2C.2－1D.2＋1 答案：C2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0 答案：A3．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 答案：C4．过点A (－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．答案：3x －y ＋10＝0能力提升5．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B6．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)、Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17] 答案：C7. 已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点P (m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．答案：48. 与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．答案：x ＋y －10＝0或x ＋y ＝09. △ABC 的三个顶点是A (－1,4)、B (－2，－1)、C (2,3)．(1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .答案：(1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－－2－－＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋－2＝22， 又|BC |＝－2－2＋－1－2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8. 10. 已知直线l 经过点A (2,4)，且被平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上．求直线l 的方程．答案：解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －－t ＋1|2＝|t －－t －1|2，解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝32.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)， 故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0. 解法三：由题意知直线l 的斜率必存在， 设l ：y －4＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k x －x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1.∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1.又点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)， 即5x －y －6＝0.。
人教高中数学必修二3.2直线的方程-直线方程中的对称问题
∴直线AB的方程为y-1=-
1 2
（x+7）
即x+2y+5=0
由
x2y 5 0 2x y 5 0
解得 x1 y3
即AB的中点为（1，-3） ，又A（-7，1）
由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.
例.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
N (4x, 2y)在y 直 3x 线 4上y
2y3 (4x)4
O
x P(2,–1)
化 简 得 3xy100
y=3x–4
所 求 直 线 方 程 是 3 x y 1 0 0 .
直线关于点对称
主要方法： 法一：转化成求点关于点的对称
法二：利用点到直线的距离 l 1 // l 2且P到两直线 等距。
点关于直线的对称
A (a,b) l :A xB y c 0 A '
（二）直线关于直线的对称
C1 M＇(x1,y1)
l1 l2 l1'
l M(x,y)
C2
例. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-y+3=0
对称的直线l 的方程。
解题要点：由线关于线对称转化为点关于点对称 思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
3.求点A（2，3）关于任意一点B(a,b)的对称 点的坐标（___2_a_-__2_,_2__b_-_3__)_。
点关于点的对称
A(x,y) O (m ,n) A' (2mx,2ny) 注： (x,y)( 0 ,0)(x,y)
解题要点：中点公式的运用
（二）直线关于点的对称
求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
必修2第三章直线的对称问题
x y 1 a b
不垂直于x、y 轴，且不过原 点的直线
复习回顾
直线的一般式方程:
关于x,y的二元一次方程 Ax By C 0 (其中A、B不同时为0) 叫做直线的一般式 方程,简称一般式.
复习回顾
A x + B y + C=0
注意 :对于直线方程的一般式，规定：
1)x的系数为正;
2)x,y的系数及常数项一般不出现分数;
3)按含x项，含y项、常数项顺序排列.
直线 l : A x B y C 0，l : A x B y C 0 1 1 1 1 2 2 2 2
A1 B2 A2 B1 0 A1 B2 A2 B1 0 1.l1 // l2 或 B1C2 B2C1 0 A1C2 A2C1 0
解（ 1 ）设A/ ( x, y)
y 5 1 x 3 3 又 A与A/到直线l距离相等 即AA/中点在直线 l上
y3 x5 3 3 2 2
解得x 4, y 6
AA l
/
y
P
/
P
x
o
A/ (4,6)
练习 1、已知直线l : y 3x 3, 求 (1)点A(5,3)关于直线l的对称点的坐标； (2)求直线l1 : x y 2 0关于直线l对称的直线方程l2 .
2 .l1 l2 A1 A2 B1B2 0 3.l1, l2相交 A1B2 A2B1 0
A1 B2 A2 B1 0 A1 B2 A2 B1 0 4.l1 , l2重合 或 B1C2 B2C1 0 A1C2 A2C1 0
直线方程的对称问题及最值恒过定点问题
一、点关于点的对称问题例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程五最值问题的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB的方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
解析几何：直线中的对称问题
一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。
由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。
【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。
其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。
由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。
但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。
而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。
定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。
直线方程专题一：直线对称问题
直线方程专题一：直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l 。
方法一：设1l ：01=++C By Ax 。
点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C ；方法二：在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上，再将'M 代入1l 方程求出1C 。
☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面：1， 直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）； 2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称（分两种情况）1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程（1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1（2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
必修2 第3章《直线与方程》对称问题
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(3)直线l1 ：2 x — y =4 关于l 对称的直线l2 的方程。
解：依题意知l2 / /l / /l1, 故可设 l2 : 2x y c 0
l到l1的距离 l到l2的距离, | 4 0 | | c 0 | ,
22 (1)2 22 (1)l 2
a=4或-4. (a 4舍去)
故，直线l2的方程为2x y 4 0.
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变式、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(4)直线 l1 ： x — y =4 关于 l 对称的直线l2 的方程。
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则 a =__6___，此直线间的距离为_1_0___。
3、点 A(2，5)关于点 B(1，1)的对称点 C 的坐标为
(_0_,___3)。
关于x轴的对称点为 (2, 5) ; 关于y轴的对称点为 (2,5) ;
关于原点的对称(点2为, 5)
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二 对称问题
例 2、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
P7 (2a x，y)，P8 x, 2b y．
注意：当k 1, 0时，不具有上述规律．
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【预习自测】
1、当 a =___0__时，直线 2 x + ay =2 和 ax +2 y =1 垂直。
2、若直线 3 x +4 y —12=0 和 ax +8 y —1311=0 平行，
3. 直线关于点的对称直线问题可转化为点关于点的对称 点问题。(轨迹转移法）
点关于两类特殊直线对称点的快速解法
■鼠 课程篇点关于两类特殊直线对称点的快速解法曹纪红(湖南省资兴市立中学，湖南资兴)高中数学必修二第三章“直线与圆”中有一个难点［后把4代入直线方程中的y,可得*1,快速得出N (l, 内容:对称问题(点关于点对称，点关于线对称，线关于［0)。
(可以口算)点对称，线关于线对称)，高中学生普遍感觉难。
经过多1 例2：求点M(-3,4)关于直线2x-2y+3=0的对称点年的教学，本人总结出两类特殊直线(即直线的斜率为［N 的坐标。
1或-1),已知点关于该直线对称的快速解法。
:快速解法:把-3代入直线方程中的％,可得尸-芥题型一:求已知点4/(x o ,yo)关于直线l ：x-y+c 的对称点(直线的斜率为1)。
:然后把4代入直线方程中的y,可得％=寻，快速得出常规解法:设已知点M(x 0,yo )关于直线l ：x-y+c=0 ::(可以口算)的对称点为N (a,b),则a+%o b+y° 2二02 2b=x 0-c例3：光线通过点A (2,3)在直线Z ：%+y+l=O 上反 :射，反射光线经过点试求入射光线和反射光线 :所在直线的方程。
即 N(y 0-c ,x 0-c)题型二:求已知点MG 。
』。
)关于直线l-.x+y+c^的:快速解法：因为直线I 的斜率为-1, 口算得岀点A 对称点(直线的斜率为-1)。
: (2,3)关于的对称点4/-4,-3),由物理知识可以知道常规解法:设已知点M(x o ,yo)关于直线l-.x+y+c=0 \反射光线经过久和B 由两点式求得反射光线的直线 的对称点为N(a,6),则［方程是:4x-5y+l=0o b_* * i )= i: 同理口算得出B( 1,1)关于关于直线的对称点5(-2,a ~X ° ^~y °~C ，即N(_y°_c,f_c) : -2),由物理知识可以知道入射光线经过4和艮由两b=~X °~C 丨点式求得入射光线的直线方程是：5%_4尸2=0。
新课标人教A版高中数学必修二第三章《直线中有关对称问题的两种主要类型》专题练习
有关对称问题的两种主要类型1、点关于点的对称问题：① 若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎨⎧ x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．2、点关于线的对称问题：①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有错误!②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决题型一：关于点对称问题1、点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0)；2、直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程为3x －y －10＝0.3、与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x ＋3y ＋8＝0题型二：关于线的对称问题1、点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标(－2,5)2、一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，则反射光线的方程为y ＝3(x ≤78)3、已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )4、已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为x －y ＋1＝05、光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是6、点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于－17、点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是(－4，－1)8、直线l ：x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线方程为x ＋y －1＝09、已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为1210、直线l ：x －y ＋1＝0关于y 辆对称的直线方程为x ＋y －1＝011、点A (3，－4)与点B (5,8)关于直线l 对称，则直线l 的方程为x ＋6y －16＝012、直线2x ＋3y －6＝0关于点A (1，－1)对称的直线方程为__2x ＋3y ＋8＝0题型三：利用对称性求最值1、已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)．(1)在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|P A ||最大．解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎨⎧ n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)． 因为P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l的交点，解⎩⎨⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)． (2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎨⎧ y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝10， 故所求的点P 的坐标为(12,10)．2、在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大；(2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．（1）（2）解：(1)如图，B 关于l 的对称点B ′(3,3)． 直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎨⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5，即P (2,5)． (2)如图，C 关于l 的对称点C ′(35，245)， :由图象可知：|P A |＋|PC |≥|AC ′|.当P 是AC ′与l 的交点P (117，267)时“＝”成立， ∴P (117，267)．。
高中数学：直线方程中的对称问题
高中数学：直线方程中的对称问题在高中数学必修二的第三章“直线方程”中，可以有一个小专题为直线中的“对称问题”。
这主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
一、对称问题的求解方法1、点关于点的对称【例1】已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
2、直线关于点的对称【例2】求直线3x-y-4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为3x-y+b=0。
说明：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
此题还可在直线3x-y-4=0上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
3、点关于直线的对称【例3】求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称的点的坐标。
分析：利用点关于直线对称的性质求解。
4、直线关于直线的对称二、关于对称常见的几种题型1、角平分线问题已知的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线方程。
根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。
例1：已知△ABC的顶点A（-1，-4），内角B、C的平分线所在直线分别为1：y+1=0，2：x+y+1=0 ，求BC边所在的直线方程。
2、入射光线和反射光线问题关于过点A(x0,y0),入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线经过点B(x1,y1),求反射线所在直线方程的有关问题。
根据光学性质，点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线上.因此,只要求出A点关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。
考点练习(必修二)：对称问题(附答案)
对称问题一、中心对称1. 求点()24，关于点()35B ，对称的点C 的坐标．2. 求直线2530x y -+-=关于原点对称的直线方程_____________．3. 与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )A ．3x －2y ＋2＝0B ．2x ＋3y ＋7＝0C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝04. 直线23y x =+关于点()23，对称的直线方程为_____________________．5. 与直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是_______________．6. 直线112l :y x b =+与2182l :y x b =++关于点（4,6）对称，求b 的值. 二、轴对称1. 已知点P (a ，b )与点Q (b ＋1，a －1)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋32. 点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________．3. 点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(－2,5)C ．(2，－5)D ．(4，－3)4. 如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么（ ）A ．13a =，6b =B ．13a =，6b =-C ．3a =，2b =-D ．3a =，6b =5. 已知直线1:l 23y x =+，若直线2l 与1l 关于直线y x =-对称，则直线2l 的斜率为( )A ．2-B ．12-C ．12D ．26. 直线l:2x+y-3=0关于直线l 0: x-y+1=0对称的直线方程为_____________________.7. 求直线1:240l x y +-=关于:3410l x y +-=对称的直线2l 的方程．8. 求直线1:240l x y +-=关于:3410l x y +-=对称的直线2l 的方程.9. 某地东西有一条河，南北有一条路，A 村在路西3 千米、河北岸4千米处；B 村在路东2 千米、河北岸 3 千米处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问：发电站建在何处？到两村的距离为多远？10. 在△ABC 中，已知顶点A （2,2），∠B 的平分线所在的直线l 1的方程为y=0，∠C 的平分线所在的直线l 2的方程为x+y-1=0，求边BC 所在直线的方程.11. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长2AB =，宽1CD =，AB AD 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在直线斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程．三、反射问题1. 光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 52. 从点()2,1P -发出的光线l ，经过直线y x =反射，若反射光线恰好经过点()0,3Q ，则光线l 所在的直线方程是（ ）A ．30x y +-=B ．30x y -+=C ．530x y +-=D ．530x y +-=3. 当光线射到x 轴的点C 后进行反射，如果反射的路径经过点()0,1A 和点()3,4B ，求入射线所在直线方程．4. 光线由点()2,3P 射到直线10x y ++=上，反射后经过点()1,1Q ，求反射光线所在的直线方程．5. 一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4，3)，求反射光线的方程．6. 已知A （4,0），B （0,4），从点P （2,0）射出的光线经直线AB 反射后在射到OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路线是_____________.x7. 在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P.若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于___________.8. 一条光线从点()23--，射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( ).A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ． 43-或34-四、转化思想求最值1. 已知点(1,3)A ，(4,1)B -，在x 轴上求一点P ，使得PA PB +最小．2. 在x 轴上求一点P ，使得：(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大，并求出最大值； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小，并求出最小值．3. 已知直线:280l x y -+=和两点()()2,02,4A B --、．（1）在l 上求一点P ,使PA PB +最小； （2）在l 上求一点P ,使PB PA -最大．参考答案 对称问题一、中心对称1. 【答案】()46C ，【解析】由题知，B 是线段AC 的中点，设点()C x y ，，由中点坐标公式得6241046x y =-==-=，，故()46.C ，2. 【答案】2530x y --=【解析】根据关于原点对称的性质可得，分别将原直线中的x 换成x -，y 换成y -即可． 故所求直线方程为2530x y --=． 3. 答案：D4. 【答案】250x y --=【解析】设所求直线方程任意一点坐标为(),x y ，其关于点()23，的对称点为()4,6x y --，此点在直线23y x =+上，则()6243250y x x y -=-+⇒--=．5. 【解析】设所求直线方程任意一点坐标为(),x y ，其关于点()1,1-的对称点为()2,2x y ---，此点在直线2360x y +-=上，则()()2232602380x y x y -+---=⇔++= 【答案】2380x y ++= 6. 略二、轴对称 1. 答案：C2. 答案：(－4，－1)3. 答案：B4. 【答案】A【解析】2y ax =+关于直线y x =对称的方程为2x ay =+与3y x b =-相同，比较系数可得，13a =，6b =．5. 【答案】C【解析】对称后直线方程为()23x y -=-+，从而选C. 6. x+2y-4=07. 【答案】211160x y ++=【解析】方法一：直线12l l ，的交点为()32P -，，取直线1l 上一点()20，，求得其关于2l 的对称点为4855Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则2l 的方程即为PQ 的直线方程，即求得为211160x y ++=.方法二：设点(),A x y 是直线2l 上任意一点，它关于l 的对称点为()00',A x y ， 则00004,33410.22y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩解得007246,252478.25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩()00',A x y 在直线1:240l xy +-=上，72462478240,2525x y x y -+--+∴⨯+-=化简得211160x y ++=．8. 【解析】设点(),A x y 是直线2l 上任意一点，它关于l 的对称点为()00',A x y ，则00004,33410.22y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩解得007246,252478.25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩()00',A x y 在直线1:240l xy +-=上，72462478240,2525x y x y -+--+∴⨯+-=化简得211160x y ++=【答案】211160x y ++=9. 解：以小河的方向向东为x 轴正方向，以路的方向向北为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A (－3,4)，B (2，3)，问题转化为在x 轴上找一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 可设点P 为(x,0)，则有 |P A |＝x ＋2＋－2＝x 2＋6x ＋25，|PB |＝x －2＋－32＝x 2－4x ＋7.由|P A |＝|PB |得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，解得x ＝－95.即所求点P 为⎝⎛⎭⎫－95，0且|P A |＝ ⎝⎛⎭⎫－95＋32＋－2＝21095. 故发电站应建在小路以西95千米处的河边，它距两村的距离为21095千米．10. x+3y+4=011. 【答案】()21102kx y k -++= 【解析】设点A 关于折痕的对称点为E ，由于点E 在线段DC 上，故可设点E 的坐标为()(),102t k ≤≤，若0t =，则折痕所在直线为线段AD 的中垂线．它的方程为12y =；若02t <≤，设折痕所在直线的斜率为k ，易知t k =-，从而线段AE 的中点M 的坐标为1,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故折痕所在直线的方程为122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．综上所述，折痕所在直线的方程为()2110.2kx y k -++=三、反射问题 1. 答案：C2. 【答案】C【解析】点()0,3Q 关于直线y x =的对称点为()3,0M ，101235MP k -==---，可得直线MQ 方程为：()1125y x -=-+化简得 530x y +-=．3. 【答案】1y x =--【解析】设反射光线的直线解析式为,y kx b =+∵反射的路径经过点()0,1A 和点()3,4B ，1,43b k b =⎧∴⎨=+⎩，解得1,1,k b ==∴反射光线的直线解析式为1,y x =+根据入射光线和反射光线轴对称，故知入射光线的解析式为1y x =--．4. 【答案】4510x y -+=．【解析】设点P 关于直线10x y ++=对称点(),P m n '，则'31,2231022PP n k mm n -⎧==⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩，解之得4,3.m n =-⎧⎨=-⎩可得()4,3P '--∵点()2,3P 射到直线10x y ++=上，反射后经过点()1,1Q ∴反射光线所在直线为P Q '所在直线，P Q '的斜率134145k +==+ ∴直线P Q '的方程为()4115y x -=-化简得：4510x y -+=．即反射光线所在的直线方程为4510x y -+=．5. 解：设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x ≤78. 6. 略 7. 略8. 解析 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为()32y k x +=-， 即230kx y k ---=．由题意，圆心()3,2-到此直线的距离等于圆的半径1，1=，所以21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-．故选D ．四、转化思想求最值 1. 【答案】13,04⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设直线AB 的解析式为y kx b =+，所以3,,41k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得413,34k b =-=，所以解析式为413,33y x =-+当130,,4y x ==所以P 点的坐标是13,04⎛⎫⎪⎝⎭．2. 【解析】如图．3. 【答案】（1）()2,3P -；（2）()12,10P【解析】（1）设A 关于l 的对称点为()',A m n ，则2,22280.22nm m n ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪-⋅+=⎪⎩2,8,m n ∴=-=()'2,8'A A B ∴-⇒的方程是2,'x A B =-与l 的交点是()2,3-，故所求的点()2,3P -．（2）AB 的方程为()()()042, 2.22y x y x --=-⇒=---代入l 的方程，得直线AB 与l 的交点()12,10P ．。
直线方程中的对称问题_2022年学习资料
二直线关于直线的对称-M'&1y1-Mx,y-例.试求直线l1:x-y-2=0关于直线l23x-y+3=0 对称的直线的方程。-解题要点：由线关于线对称转化为点关于点对称-思考：若L1WL2,如何求L1关于L2的对 直线方程？-20
练一练：求直线3x-2y+6=0关于直线x-2y+1=0的-对称的直线方程。-分析：在直线3x-2y+6= 上取一-Y↑3x-2y+6=0-点A0,3,求它关于直线x-2y+1=0的对称点为B2,-1。-由两直线方 联立方程组可求-得交点P,-X-由两点式或点斜式求出方程-x+18y+6=0-21
求直线y=3x-4关于点P2,-1的对称直线方程.-法二：在直线y=3x一4上任取-两点P10,-4和P2 ,2,-,x可求得P1和P2关于P点的对称点-92,-1-P14,2,P22,-4-y=3x4-利用两点式 出直线方程：-y-2-X-4--4-2-2-4-整理得：3x-y-10=0-17
求直线y=3x-4关于点P2,-1的对称直线方程.-法三：分析一：将直线的对称转化为直线上的点的对称-设M ,y对称直线上任一点，则其关于P的对称点-N4-x,-2-y在直线y=3x-4上-..-2-y=34-x-/2,-1-化简得3x-y-10=0-y=3x4-.所求直线方程是3x-y-10=0.-18
例.求点A-7,1关于直线：2x-y-5=0的对称点B的坐标.-法一：.直线AB⊥I,直线AB过点-7,1 ∴直线AB的方程为y-1=-7x+7-即x+2y+5=0-由-解得-即AB的中点为1,3，又A-7,1-由 点坐标公式得B的坐标为9，-7.-10
例.求点A-7,1关于直线：2x-y-5=0的对称点B的坐标.-法二：设Bm,n由点关于直线对称的定义知： 线段AB⊥I即；-n-l-×2=-1-m--7-线段AB被直线I平分，即线段AB的中点-在直线上，故有2” -n+l-②-联立①②-解得m=9-n-7-.B9,-7）-11
2019年人教版高中数学必修二考点练习：对称问题含答案解析
k 2
,
1 2
，故折痕所在直线的方程为
y
1 2
k
x
k 2
．综上所述，折痕所在直线的方程为
kx y 1 k 2 1 0. 2
5. 一束光线从原点 O(0,0)出发，经过直线 l：8x＋6y＝25 反射后通过点 P(－4，3)，求反射光线的 方程．
6. 已知 A（4,0），B（0,4），从点 P（2,0）射出的光线经直线 AB 反射后在射到 OB 上，最后经直 线 OB 反射后又回到点 P，则光线所经过的路线是_____________.
m
2
2
3 2 n
n 1, m 3 1 2
0
，解 之得
m 4, n 3.
可得
P 4,
3∵点
P
2, 3
射到直线
x
y
1
0
上，反射后经过点
Q
1,1
∴反射光线所在直线为 PQ 所在直线， PQ 的斜率 k 1 3 4 1 4 5
∴直线 PQ 的方程为 y 1 4 x 1化简得： 4x 5y 1 0．
5 即反射光线所在的直线方程为 4x 5y 1 0．
5. 解：设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，b)，[来源:学科网]
由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得Error!解得Error! ∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过 A(4,3)， 又由反射光线过 P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为 y＝3. 由方程组Error!解得Error!
一直线关于另一直线对称的直线方程
一直线关于另一直线对称的直线方程如果已知一条直线L和一条直线M，且L是关于M的对称线，则L与M的斜率相等。
设直线L的斜率为k，截距为b，则直线L的方程为y=kx+b。
因为L是关于M的对称线，所以对于任意点(x,y)在直线L上，点(x',y')在直线L上的条件为：1. 点(x',y')关于直线M对称，即M将点(x',y')投影到点(x,y)；2. 点(x,y)在直线L上。
利用直线的对称性质，可以得到：直线M将点(x',y')投影到点(x,y)的条件是，点(x,y)和点(x',y')的中垂线L'的交点P在直线M上。
因为直线L'的斜率是-k，所以点P的坐标为：x_P = (x+x')/2y_P = (y+y')/2 - k(x+x')/2 - b点P同时在直线L'和直线M上，所以有方程组：y_P = k'(x_P-x') + y'y_P = -k(x_P-x) + y将点P的坐标代入方程组，可以得到：(y+y')/2 - k(x+x')/2 - b = k'(x+x')/2 - k'x' + y'(y+y')/2 - k(x+x')/2 - b = -k(x+x')/2 + ky + ky'2ky = k'x' - kx' + b + y' - y因为L和M的斜率相等，所以k=k'，所以有：ky = -kx' + b + y' - y将点(x',y')代入上式，可以得到：ky = -kx' + b + y' - y因此，直线L的方程为y=-kx+(2y'+b-ky)。
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必修二直线对称问题
回顾：
（1）点到直线距离公式： ，注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离： ，注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式, 并且X 、Y 项的系数要对应相等.
有关知识：
1、直线互相垂直的条件：斜率存在，k1k2=－1
2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x 3、点 ( x o ，yo ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的条件是000=++C By Ax
对称问题：（中心对称、轴对称问题）
中心对称：点关于点的对称、线关于点的对称
轴对称问题：点关于线的对称、线关于线的对称
中心对称 轴对称
定 义 有一个对称中心：点 有一条对称轴：直线
绕中心旋转180° 沿轴翻转180°
旋转后重合 翻转后重合
性质 1、两个图形是全等形
2、对称点连线都经过对称中心，并且对称中心平分。
1、两个图形是全等形 2、对称轴是对应点连线的垂直平分线
3、对称线段或延长线相交，交点在对称轴上
知识运用与题型研究：
一、点关于点对称
例1、已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标。
0022Ax By C d A B ++=+2
122C C d A B
-+。