银行排队现象

银行排队现象分析讨论

银行排队现象的排队论分析

一简介

排队问题是与我们的生活息息相关的一项理论。无论是有形的还是无形的排队问题，都随时随刻地伴随着我们生活的每一天。

银行排队现象近年来长期存在。客户在办理业务时要付出额外的时间成本，这给社会民众的日常生活带来了许多不便。2007 年5 月，中国人民银行出台了《关于改进个人支付结算服务的通知》，要求银行采取措施，进行整改。情况有所改善，单银行排队等候时间依然过长。。众所周知，随着我国经济的发展、人民生活水平日益提高，社会对金融服务的需求越来越强。在金融业飞速发展的

今天，银行排队现象值得我们关注。

二关键词

排队论M/M/N M/M/1 泊松分布Markov链

三问题描述

在银行排队等候办理业务的人数量服从参数为λ的泊松分布，每个人办理一份业务。并行办理业务的业务员有r个，每位业务员任何时刻只能服务一个客户、不能同时服务两个或两个以上，不同的业务员办理业务的时间长度相互独立，且都服从参数为μ的负指数分布。客户到达服务窗口的过程与业务员办理业务的过程相互独立。通常有两种排队方式：

A：排成一个大队列。只要在某位业务员空闲，他就给排在队列中的第一位客户办理业务。新到达的客户排到队尾，直到排在他前面的所有客户都办完业务后，他才有资格办理业务。按照这种方式，当r个业务员都忙碌时，客户按照先到先得的原则排一个大队列。

B：自选排成多个队列。每个业务员前面各排成一个队列，业务员只负责自己队列中的客户。新到达的客户自行选择排哪一队列。按照这种方式，当r个业务员都忙碌时，客户排成了r个队列。

进行比较确定哪一种排队方式更节省时间。

四模型

首先，给出一般的排队论的数学模型，框图如下：

顾客源排队（排队规则）服务窗（服务规则）

对于，描述部分的两种排队问题，分别建立其数学模型。

对于A排队方式，作如下假设：客户的到来遵循参数为λ的泊松过程，即任意两个客户到来的时间间隔遵循参数为λ的负指数分布；客户排成一路纵队，后到的客户自动拍到队尾；一共有r个服务窗口，每个服务窗口服务一次的时间遵循参数为μ的负指数分布，各个服务窗口之间是相互独立的，且服务窗口与客户的到来之间也是相互独立的。而每一个客户到来后关心的是在队伍的等待时间的长短，因此最后我们要分析的是队伍中的等待时间。

对于B排队方式，作如下两种假设。

第一种假设记为B1：客户的到来遵循参数为λ的泊松过程，即任意两个客户到来的时间间隔遵循参数为λ的负指数分布；客户在食堂排成r路纵队，每位客户到来后，随机等概的选择一个队伍并排在该队队尾；一共有r个服务窗口，每个服务窗口服务一次的时间遵循参数为μ的负指数分布，每个服务窗口只为其对应的队列服务，各服务窗口之间是相互独立的，且服务窗口与顾客的到来之间也是相互独立的。而每一个顾客到来后，关心的是在队伍的等待时间的长短，因此最后要分析的为队伍中的等待时间。

第二种假设记为B2：客户的到来遵循参数为λ的泊松过程，即任意两个客户到来的时间间隔遵循参数为λ的负指数分布；客户排成r路纵队，每位客户到来后，选择最短的一个队伍并排在该队队尾；一共有r个服务窗口，每个窗口服务一次的时间遵循参数为μ的负指数分布，每个服务窗口只为其对应的队列服务，各服务窗口之间是相互独立的，且服务窗口与顾客的到来之间也是相互独立的。而每一个顾客到来后，关心的是在队伍的等待时间的长短，因此最后要分析的为队伍中的等待时间。五理论

Ⅰ、排队系统简介

众所周知，研究排队问题的相关规律，使设计人员掌握这种规律，设计出最优化的排队系统，对生产和生活都有很好的指导作用。

从排队问题的系统框图我们可以看出，排队问题有三个基本的参数：输入过程、排队规则、服务窗。对于输入过程：顾客到达的时间间隔可以分为确定型和随机型两种；顾客源可以分为有限和无限两种情况；顾客到达可以为任意分布。对于排队规则，可以分为损失制、等待制、混合制三种。所谓损失制，即顾客到达系统时，如果系统中所有的服务窗口均被占用，则到达的顾客随机离去；所谓等待制，即顾客到达系统时，如果系统中所有的服务窗口均被占用，则系统能提供足够大的排队空间让顾客排队等待；所谓混合制，即损失制和等待制相结合，系统只能提供有限大的排队空间，其余的顾客必须离开。

服务规则可以分为先到先服务（队列式）、后到先服务（堆栈式）、随机选择服务、优先级服务（优先级队列）四种情况。而对于服务窗来说，可以使单个或者多个；当服务窗口是多个时，顾客可以平行多对排列，也可以是串列或者串并同时存在的混合队列；一个服务窗口可以同时为单个顾客或者成批顾客服务；各个窗口的服务时间可以使确定型或者随机型的，各窗口的服务时间之间可以是相互独立的，也可以是彼此相关的。但一般服务时间都是平稳的，即与服务的起始时间无关。

而衡量一个排队系统的性能指标有很多：

1.系统内的客户数的分布及相应的均值L S

2.系统内排队等候的客户数的分布及相应的均值L q

3.正在接受服务的客户数的分布及相应的均值L f

4.客户在系统内停留时间的均值T s

5.客户在队伍中排队等待时间的均值T q

6.客户接受服务的时间的均值T f

可以从上述几个性能指标中得到很直观的结论：T s=T q+T f ；L S=L q+L f 通常，为了方便表示，用X/Y/Z/m/k来表示排队模型。X表示客户相继到达系统的间隔时间t的概率分布类型；Y为服务窗口所耗费的服务时间τ的概率分布；Z为并行工作的服务机构内的服务窗口的个数；m表示系统内允许的最大排队长度。例如，M/M/r 表示客户到来的时间间隔服从负指数分布，每个窗口的服务时间服从负指数分布，共有r个服务窗口的排队系统。

Ⅱ、Markov 链生灭过程简介

生灭过程是真对齐次Markov 链的一步状态转移过程。以连续时间的生灭过程为例，设队列有k 人时的状态记为k 状态。在△t 时间内，状态可能从k 状态跳到 k+1 状态、或者跳到k-1 状态，或者保持k 状态不变。假设，从状态i 跳到状态j 的概率为P ij(△t )，则一步状态转移矩阵为P

⋯

⋯⋯=0

)(23)(22)(210

0)(12)(11)(1000)(01)

(00t p t p t p t p t p t p t p t p t P ）（ 状态转移矩阵P ，其每行的行和为1。如果只有一个状态只能减一，不能加一。同理，第一个状态只能加一，不能减一。而由K —C 前向方程

P （△t ）=P （△t ）Q ，P ij （△t ）=∑P ik （△t ）q kj 可知，q ij =p ij （0）。其中，Q 矩阵称为密度矩阵，或者瞬时概率转移矩阵。对于Q 矩阵，不难得出每行行和为0。

我们定义λi 为i 状态下的增长率，λi =q i,i+1 。定义μi 为i 状态下的消亡率， μi =q i,i-1 。可以知道，q ij =0，if |i-j|≥2 。而Q 矩阵的行和为零，我们得到q ij =−（q i,i+1 +q i,i-1 ）=−（λi +μi ）。

对于泊松过程来说，p i,i+1 （△t ）=λi △t+o （△t ）；p i,i-1（△t ）=μi △t+o （△t ）;q i,i+1=λi ; q i,i-1=μi ; q ii =−（λi +μi ）。故对于一步状态转移过程来说，对应的Q 矩阵为

Q= 111

3)

3(-322)2(-211)

1(-10

0----⋯

⋯+++-m m m μμλμλμλμλμλμλμλλ 而由连续Markov 链的平稳分布可知，平衡方程μi πi =λi-1πi-1 。其

i 为i

状态时对应的分布。