高等数学第6章课件§3 维数·基与坐标

第j列
m n
∀A = (aij ) ∈ P m×n , 有 A = ∑∑ aij Eij
§6.3 维数 基 坐标
i =1 i =1
ξ = (1,2,1,1) 在基 例6 在线性空间 P 4 中求向量
ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 下的坐标，其中 ε1 = (1,1,1,1), ε2 = (1,1, −1, −1), ε3 = (1, −1,1, −1), ε4 = (1, −1, −1,1)
α1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出，且表法是唯一的．
§6.3 维数 基 坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间 ． 例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是 无限维的. 因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的 向量 1，x，x2，…，xn－1
×2 ∴ E11 , E12 , E21 , E22 是 P 2 P 2×2是4维的． 的一组基，
( )
§6.3 维数 基 坐标
注：
a a ⎛ 11 12 ⎞ A = 矩阵 ⎜ a a ⎟ 在基 E11 , E12 , E21 , E 下的 22 ⎝ 21 22 ⎠ 坐标就是 ( a11 , a12 , a21, a 22 ).
k1 , k2 ,⋯, kr ∈ P
β = k1α1 + k2α 2 + ⋯ + krα r α1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出； 则称向量 β 可经向量组
§6.3 维数 基 坐标
β1 , β 2 ,⋯ , β s 中每一向量皆可经向量组 若向量组 α1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出，则称向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s
α 在基 ε1, ε 2 ,⋯, ε n a1 , a2 ,⋯, an 则数组 ，就称为
下的坐标，记为 ( a1 , a2 ,⋯ , an ).
§6.3 维数 基 坐标
⎛ a1 ⎞ ⎜a ⎟ 2 有时也形式地记作 α = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ an ⎠
§6.3 维数 基 坐标
练习 1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
a ⊕ b = ab, k�a = a
k
∀a , b ∈ R , ∀k ∈ R
第六章 线性空间
§1 集合·映射 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §2 线性空间的定义 与简单性质 §7 子空间的直和 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §8 线性空间的同构 小结与习题
§6.3 维数 · 基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
§6.3 维数 基 坐标
引 入
问题Ⅰ
（基的问题）
如何把线性空间的全体元素表示出来？ 这些元素之间的关系又如何呢？ 即线性空间的构造如何？
问题Ⅱ
（坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？ 怎样才能便于运算？
§6.3 维数 基 坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系
可经向量组 为等价的． （3） α1 ,α 2 ,⋯, α r ∈ V ，若存在不全为零的数
α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出 ；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组
k1 , k2 ,⋯, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + krα r = 0
α1,α 2 ,⋯, α r 线性相关的； 则称向量组 为
β1 , β 2 ,⋯ , β s 线性表出，则 向量组
r≤s ;
α1,α 2 ,⋯,α r与 β 若 1 , β 2 ,⋯ , β s 为两线性无关的
等价向量组，则
r = s.
α1,α 2 ,⋯, α r （3）若向量组 线性无关，但向量组
α1 ,α 2 ,⋯, α r , β 线性相关，则 β 可被向量组
§6.3 维数 基 坐标
2、有限维线性空间
（1）n 维线性空间： 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是 任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个
n 维线性空间；常记作 dimV＝ n .
注：零空间的维数定义为 0. dimV＝ 0 ⇔ V＝{0}
§6.3 维数 基 坐标
n −1 f ( x ) = a + a x + ⋯ + a x 注： 此时， 0 1 n −1
在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是 f ( n−1) (a ) ( f ( a), f ′( a),⋯, ) (n − 1)!
§6.3 维数 基 坐标
例4 求全体复数的集合 C看成复数域C上的线性 空间的维数与一组基； 若把C看成是实数域R上的线性空间呢？ 解：复数域C上的线性空间 C是1维的，数1就是它的 一组基； 而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为 它的一组基．
（2）基 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ，称为 V 的一组基；
（3）坐标
ε1 , ε 2 ,⋯, ε n α ∈V , 设 为线性空间 V 的一组基，
若 α = a1ε 1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n , a1 , a2 ,⋯ , an ∈ P
m × n 矩阵构成的线性空间 一般地，数域P上的全体
P
m×n
×n 为m 维的，
矩阵单位
0⎞ ⎛0 ⎜ ⋱ ⎟ 1 ⎜ ⎟第i行 i = 1, 2,⋯ , m 0 E ij = ⎜ ⎟ ⋱ j = 1, 2,⋯ , n ⎜ ⎟ 0 ⎜ m×n ⋱ ⎟ 就是 的一组基． P ⎜0 ⎟ 0⎠ ⎝
注： 此时， f ( x ) = a0 + a1 x + ⋯ + an−1 x n−1
在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
(a0 , a1 ,⋯ , an−1 )
§6.3 维数 基 坐标
（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的． 又对 ∀f ( x) ∈ P[ x ]n ，按泰勒展开公式有
例2 3 维几何空间R3＝ {( x, y , z ) x , y , z ∈ R}
ε1 = (1,0,0), ε 2 = (0,1,0), ε 3 = (0,0,1) 是R3的一组基； α1 = (1,1,1),α 2 = (1,1,0),α 3 = (1,0,0)也是R3的一组基．
一般地，向量空间
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间 （1）α1 ,α 2 ,⋯,α r ∈ V ( r ≥ 1), k1 , k 2 ,⋯ , kr ∈ P , 和式
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + krα r 称为向量组 α1 ,α 2 ,⋯ ,α r 的一个线性组合．
（2）α1 ,α 2 ,⋯,α r , β ∈ V，若存在 使
（1）单个向量 α 线性相关
⇔ α = 0. 单个向量 α 线性无关 ⇔ α ≠ 0
α1 ,α 2 ,⋯,α r 向量组 线性相关
⇔ α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 中有一个向量可经其余向量线性表出．
§6.3 维数 基 坐标
α1 ,α 2 ,⋯,α r （2）若向量组 线性无关，且可被
P n = {( a1 , a2 ,⋯, an ) ai ∈ P, i = 1, 2,⋯, n} 为n维的， ε1 = (1,0,⋯ ,0), ε 2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , ε n = (0,⋯ ,0,1)
就是 Pn 的一组基．称为 Pn的标准基.
§6.3 维数 基 坐标
注意：
① n 维线性空间 V 的基不是唯一的， V中任意 n个 线性无关的向量都是 V的一组基． ② 任意两组基向量是等价的． 例3（1）证明：线性空间 P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基． （2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
§6.3 维数 基 坐标
证明：∵ a1 , a2 ,⋯ , an 线性无关， ∴V的维数至少为 n ． , β n , β n +1 ， 任取V中 n＋1个向量 β 1 , β 2 ,⋯
由ⅱ)，向量组 β 1 , β 2 ,⋯ , β n , β n+1 可用向量组
a1 , a2 ,⋯ , an 线性表出.
( )
则 E11 , E12 , E21 , E22 是线性无关的．
a b =0 事实上，由 aE11 + bE12 + cE21 + dE22 = 0 ，即 c d 有 a = b = c = d = 0. a11 a12 ⎞ 2×2 ⎛ 又对 ∀A = ⎜ a a ⎟ ∈ P ，有 ⎝ 21 22 ⎠ A = a11E11 + a12 E12 + a21 E21 + a22 E22
：若线性空间V中的向量组 α 1 , α 2 ,⋯ , α n 满足 定理 定理： ⅰ） α 1 , α 2 ,⋯ , α n 线性无关；
β ∈V , β α 1 ,α 2 ,⋯ , α n 线性表出 ⅱ） ∀ 可经
,
则V为n 维线性空间， α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n 为V的一组基．
解：设 ξ = x1ε1 + x2ε 2 + x3ε 3 + x4ε 4 ，则有线性方程组
⎧ x1 + x2 + x3 + x4 = 1 ⎪ x1 + x2 − x3 − x4 = 2 ⎨x − x + x − x =1 ⎪ x1 − x2 − x3 + x4 = 1 ⎩ 1 2 3 4