2017-2018年天津市部分区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2017—2018学年度第一学期高二理科数学试卷含答案
2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个．．．．正确选项,请将正确选项填到答题卡处1。
设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<， {|13}B x x =<<，则A B = A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线经过点(－1,1),则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1，0)B ．（1,0）C ．（0，－1)D ．（0,1）3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列｛a n }的公差为d （d ≠0）,且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．执行如图所示的程序框图,若输入的n ＝10，则输出的S 等于A .错误!B .错误!C 。
错误!D .错误!6．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为［20,40),[40,60)，［60,80），［80，100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．607。
若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为A .318B 。
315C .3824+D 。
31624+8．已知a ＋b ＋c ＝0,｜a |＝2，|b |＝3，｜c ｜＝4，则向量a 与b 之间的夹角<a ,b 〉为A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆,则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是A .错误!B 。
2017-2018学年天津市滨海新区高二(上)期末数学试卷(理科)(a卷)(解析版)
2017-2018学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）经过两点A（4，2y+1），B（y，﹣3）的直线的倾斜角为，则y＝（）A．﹣8B．﹣3C．0D．82．（5分）如果命题“￢（p∨q）”为假命题，则（）A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题3．（5分）已知两条直线y＝ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1＝0互相平行，则a等于（）A．﹣1或3B．﹣1或3C．1或3D．1或﹣34．（5分）已知条件p：k＝；条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β②若l∥α，α∥β，则l∥β③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥β其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3 个D．4个7．（5分）直线ax+by+c＝0与圆x2+y2＝9相交于两点M，N，若c2＝a2+b2，则•（O 为坐标原点）等于（）A．﹣7B．﹣14C．7D．148．（5分）已知抛物线C1：y2＝8x的焦点F到双曲线C2：的渐近线的距离为，P是抛物线C1的一动点，P到双曲线C2的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x+2＝0的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）一个圆锥的母线长为2cm，底面半径为1cm，则圆锥的体积为cm3 10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3＝0，那么a等于．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的表面积为．12．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的交点F恰好是双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为．13．（5分）已知圆锥曲线E的方程为：命题p：E的方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：圆锥曲线E的离心率，若命题￢p∧q为真命题，则实数k 的取值范围是．14．（5分）如图，设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，、过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2的内切圆的面积为4，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则|y1﹣y2|值为．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（12分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4＝0．（I）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（II）设直线/与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，P A⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点，P A＝AB＝2．（I）求证：EF∥平面PCD；（II）求直线EF与平面P AB所成的角．17．（13分）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD ＝，AD＝2，DE＝．（Ⅰ）异面直线AE与DC所成的角余弦值；（Ⅱ）求证平面AEF⊥平面CEF；（Ⅲ）在线段AB取一点N，当二面角N﹣EF﹣C的大小为60°时，求|AN|．18．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：k＝tan＝＝﹣1，解得y＝﹣8，故选：A．2．【解答】解：命题“￢（p∨q）”为假命题，则命题p∨q为真命题，则p或q中至少有一个为真命题．故选：C．3．【解答】解：∵两条直线y＝ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1＝0互相平行，∴﹣（a+2）≠0，，解得a＝1或﹣3．故选：D．4．【解答】解：由直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，可得：＝1，解得k＝．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．5．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为五面体ABCEFG，是正三棱柱截去一个角，其体积V＝．6．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在①中，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故①错误；在②中，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故②错误；在③中，若l⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故③正确；在④中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故④错误．∴其中正确命题的个数是1．故选：A．7．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由方程组，消去y，得（a2+b2）x2+2acx+（c2﹣9b2）＝0，∴x1x2＝；消去x，得（a2+b2）y2+2bcy+（c2﹣9a2）＝0，∴y1y2＝；∴•＝x1x2+y1y2＝＝＝＝﹣7；故选：A．8．【解答】解：抛物线C1：y2＝8x的焦点F（2，0），双曲线C2：一条渐近线的方程为ax﹣by＝0，∵抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：渐近线的距离为，＝，∴2b＝a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x＝﹣2的距离之和的最小值为3，∴丨FF1丨＝3，∴c2+4＝9，∵c2＝a2+b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1，∴双曲线的方程；故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：圆锥的母线长为2cm，底面半径为1cm，所以圆锥的高为：＝，所以圆锥的体积为：＝（cm3）故答案为：．10．【解答】解：∵点M（0，﹣1），N（2，3），∴k MN＝＝2，∵直线MN垂直于直线ax+2y﹣3＝0，∴2×＝﹣1，解得a＝1．故答案为1．11．【解答】解：∵正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，∴正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：π×＝，解得a＝，∴正方体的表面积为，故答案为：18．12．【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得﹣＝1，又＝c∴﹣4×＝1，化简得c4﹣6a2c2+a4＝0∴e4﹣6e2+1＝0∴e2＝3+2＝（1+）2∴e＝+1故答案为：．13．【解答】解：命题P：0＜k＜2；命题q：因为离心率e∈（），∴圆锥曲线是双曲线，∴k＜0，a2＝2，b2＝﹣k，c2＝2﹣k，＜；∴﹣4＜k＜﹣2，又￢p∧q为真命题，所以，∴﹣4＜k＜﹣2，实数k的取值范围是：（﹣4，﹣2）．14．【解答】解：∵椭圆椭圆中，a2＝25且b2＝9，∴a＝5，b＝3，c＝＝4，可得椭圆的焦点分别为F1（﹣4，0）、F2（4，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆面积为S＝πr2＝4，∴r＝，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）r＝×20×＝10，又△ABF 2的面积S＝+＝|y1|•|F1F2|+|y2|•|F1F2|＝（|y1|+|y2|）•|F1F2|＝4|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧）∴4|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．【解答】解：（Ⅰ）由已知，直线l的方程为y＝x，圆C圆心为（0，3），半径为，∴圆心到直线l的距离为．∴所求弦长为2；（Ⅱ）设A（x1，y1），∵A为OB的中点，则B（2x1，2y1）．又A，B在圆C上，∴x12+y12﹣6y1+4＝0，4x12+4y12﹣12y1+4＝0．解得y1＝1，x1＝±1，即A（1，1）或A（﹣1，1）．∴直线l的方程为y＝x或y＝﹣x．16．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则E（1，1，0），F（1，0，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），＝（0，﹣1，1），（2，0，0），＝（0，﹣2，2），设平面PCD的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，1），∵＝0，EF⊄平面PCD，∴EF∥平面PCD．解：（II）平面P AB的法向量＝（0，1，0），设直线EF与平面P AB所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴θ＝45°，∴直线EF与平面P AB所成的角为45°．17．【解答】解：（Ⅰ）∵AB∥DC，∴∠BAE就是异面直线AE与DC所成的角，连接BE，在△ABE中，，∴，∴异面直线AE与DC所成的角余弦值为．…（4分）证明：（Ⅱ）取EF的中点M．由于ED⊥面ABCD，ED∥FB，∴ED⊥AD，ED⊥DC，FB⊥BC，FB⊥AB，又ABCD是菱形，BDEF是矩形，∴△ADE，△EDC，△ABF，△BCF是全等三角形，∴AE＝AF，CE＝CF，∴AM⊥EF，CM⊥EF，∴∠AMC是二面角A﹣EF﹣C的平面角…（6分）由题意，，∴AM2+CM2＝AC2，即AM⊥MC．∴∠AMC＝90°，∴平面AEF⊥平面CEF．…（8分）解：（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由AD＝2，则M（），C（0，2，0），，，．平面CEF的法向量．（10分）设，则，设平面NEF的法向量，则，即，令x＝1，则，得．（11分）因为二面角N﹣EF﹣C的大小为60°，所以，…（12分）整理得λ2+6λ﹣3＝0，解得，…（13分）所以…（14分）18．【解答】解：（1）a＝2，b＝c，a2＝b2+c2，∴b2＝2；∴椭圆方程为（4分）（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2＝4，得（6分）∵x1＝﹣，∴，∴，∴（8分）∴（定值）（10分）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）（12分）则由，从而得m＝0∴存在Q（0，0）满足条件（14分）。
2017-2018年天津市和平区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=14．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=08．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由双曲线的方程得a2=m，（m＞0），b2=3，则c2=3+m，∵双曲线的离心率e=2，∴e2===4，即3+m=4m，即3m=3，m=1，则“m=1”是“双曲线的离心率为2”的充要条件，故选：C．2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|==．故选：B．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），∴，∴a=，b=1，∴双曲线的标准方程为﹣y2=1．故选：A．4．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线﹣y2=1（a＞0）的c=，则离心率e===2，解得，a=．则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x．故选：D．5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2=x的焦点为（，0）；抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，故c=，b=，a==；故e===；故该椭圆的离心率为：；故选：D．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得=k，∴，解得x=6，y=．故选：D．7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得：9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得：9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得72（x1﹣x2）+144（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：C．8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．设H（x0，y0），则=．∴k MH k NH====∈，可得：=e2﹣1∈，∴e∈．故选：A．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=4．【解答】解：双曲线（p＞0）的左焦点（﹣，0），双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，可得：﹣=，解得p=4．故答案为：4．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．【解答】解：椭圆的a=，b=2，c==1，右焦点为（1，0），直线的方程为y=2（x﹣1），代入椭圆方程，可得6x2﹣10x=0，解得x=0或x=，即有交点为A（0，﹣2），B（，），则弦长为|AB|==．故答案为：．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．【解答】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的倾斜角为150°，∴k l=tan150°=．∴直线EF的方程为：y=﹣（x﹣1），联立，解得y=．∴E．∵PE⊥l于E，∴y P=，代入抛物线的方程可得，解得x P=．∴|PF|=|PE|=x P+1=．故答案为：．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为0．【解答】解：∵，OB=OC，∴===﹣=0，故答案为：0．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．【解答】解：由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），解方程组，得取P点坐标为（，），=（﹣2﹣，﹣），=（2﹣，﹣）cos∠F1PF2==．故答案为：．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．【解答】解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．∴|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，则e=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．【解答】解：（1）根据题意，D（2，y 0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3由抛物线定义得，∴p=2故抛物线的方程为y2=4x；（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8又O到直线y=x﹣1的距离，∴△ABO的面积．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．【解答】证明：（Ⅰ）连接BC1，AC1，在△ABC1中，由AM=MB，AN=NC1，可得MN∥BC1，MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，则MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=BB1=2，可得四边形BCC1B1为正方形，即有BC1⊥B1C，MN⊥B1C，连接A1M，CM，由AM=BM，AA 1=BC，∠A1AM=∠MBC=90°，可得△AMA1≌△BMC，可得A1M=CM，又N是A1C的中点，则MN⊥A1C，B1C∩A1C=C，MN⊥平面A1B1C，MN⊂平面AMN，则平面AMN⊥平面A1B1C．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+=1，②解得：a2=9，b2=5，∴椭圆E的标准方程为+=1；（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：x2=，y2=则直线直线AB的斜率k==；直线AB的斜率=19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）∴，，设面SBC的法向量为由可取∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为|cos|=，∵二面角S﹣BC﹣A为锐角．二面角S﹣BC﹣A的余弦值为（2）由（1）知E（1，0，1），则，，设，（0≤λ≤1）．则，易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取|cos|=，解得λ=或λ=（舍去）．此时，∴||=，∴线段CP的长为赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x=为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2017-2018学年天津市和平区高二数学上期末考试(理)试题
和平区2017-2018 学年度第一学期高二年级数学（理）学
科期末质量调查试卷
第I卷选择题（共24 分）
、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.
分也不必要条件
则（）
D. x =6
7.如果椭圆y =1
36 的弦被点（4 , 2）平分，则这条弦所在的直线方程是
1.“ m =1 ”是“双曲线=1的离心率为2”的（
A .充分不必要条件
B •必要不充分条件C.充要条件既不充
2.在空间直角坐标系中, 已知-2 , 1)，贝U AB
B . .29 D . 、、1 49
3.已知双曲线的一个焦点坐标为（'.6 , 0），且经点（_5 , 2），则双曲线的标准方程为
2
A
X 2 A . y
5=1
2
B. - x =1
5
2
c x 2
C . ■ y = 1
25
2
x
D -
4
4.若双曲线
2
x
厂—y
a
=1 （a .0 ）的离心力为2 ，则该双曲线的渐近线方程为（
5.已知抛物线
B. y = 3x
C. y
的焦点是椭圆
2
x
一+
2
a
=1 的一个焦点，则椭圆的离心率为（
13
C.-
13
V37
D.
37
6.已知向量y) ,分别是直线l1、I
2的方向向量，若l1//l
2 ,
A. x =6 =15
B. x =3 ,
C. x
2。
2017学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．故选：B．3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，故选B．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为|AB|==6．故选：A．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D．6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为，，∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，∴==（）﹣=（）﹣=．故选：B．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是x2=±24y．【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求双曲线方程为：．故答案为：．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F （c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．【解答】解：+λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．∵+λ与的夹角为120°，∴cos120°==，化为，∵λ＜0，∴λ=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．【解答】（1）解：由得，，解得，a=9，∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为；（2）解：由e=，设a=2k，c=（k＞0），则b=，由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，此时2k=2，∴k=1，得b=1，则椭圆的标准方程为．若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，则椭圆的标准方程为．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A ﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N （2，1，0），…（3分）（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…（4分）∴•=0…（5分）∴⊥，即AN⊥BM…（6分）（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），由，可得，…（9分）解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1，1），…（11分）可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==…（12分）18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为，∴，，解得a=，b=1，∴椭圆方程是．（2）将y=kx+2代入，得（3k2+1）x2+12kx+9=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过D（1，0）则PD⊥QD，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，又y1=kx1+2，y2=kx2+2，得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0，又，，代上式，得k=，∵此方程中，△=144k2﹣36（3k2+1）＞0，∴k＞1，或k＜﹣1．∴存在k=﹣满足题意．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．【解答】（本题满分10分）（1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）依题意，，因为，…（3分）所以，所以，又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…（4分）（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），则，…（5分）设为平面ABC的一个法向量，由得解得不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，所以．…（7分）设为平面ACA1的一个法向量，由得解得不妨设y2=1，则x2=1，所以．…（9分）因为，，于是，所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）。
【全国区级联考】天津市红桥区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
天津市红桥区2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题，则为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】命题，............故选C.2. 抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据抛物线的标准方程为画出图像可得准线方程为：故焦点坐标为.故答案为：B 。
3. 椭圆的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】椭圆的长轴为4，短轴为2,故a=2,b=1, 椭圆的离心率为故答案为：A 。
4. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】圆心为：，可以排除BC ，将 代入得到D 是正确的，A 是错误的。
故答案为：D 。
5. 若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】若双曲线的渐近线方程为，则 双曲线的离心率为故答案为：B 。
6. 设命题大于的角为钝角，命题所有的有理数都是实数”，则与的复合命题的真假是（）A. 假B. 假C. 真D. 真【答案】D实数由有理数和无理数组成，所以命题为真， 则有：为真，为真，为假，故选A.7. 已知是实数，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由条件知是实数，则“”不一定有“”，当时；反之，两边消去非零正数，得到.故”是“”的必要而不充分条件。
故答案为：B。
8. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交曲线右支于点，若．则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设右焦点为F′，∵，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e=.故答案为：。
2017-2018高二上学期期末考试数学试题(理科)
2017-2018学年度高二上学期期末考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．考生务必将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡、纸规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．1.直线013=++y x 的倾斜角的大小是 A ．030B ．060C ．0120D ．01502．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝A.,sin 1x R x ∃∈≥B. ,sin 1x R x ∀∈≥C.,sin 1x R x ∃∈>D.,sin 1x R x ∀∈>3．将半径为1的球形容器内的水倒入底面半径为1的圆锥容器中恰好倒满，求圆锥形容器的高h = A.8 B.6 C.4 D.2 4. 抛物线22x y =的焦点坐标是 A ．（0，41） B ．（0，81） C ．（41，0） D ．（12，0） 5. 平面α∥平面β的一个充分条件是A.存在一条直线a a ααβ，∥，∥B.存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C.存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D.存在两条异面直线αββα面，面面，面////,,,b a b a b a ⊂⊂ 6. 圆心在直线20x y -+=上，且与两坐标轴都相切的圆的方程为A ．222210x y x y ++-+= B ．222210x y x y +-++= C ．22220x y x y ++-= D ． 22220x y x y +--= 7. 如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误．．的是 A ．//BD 平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CBD D ．异面直线AD 与1CB 角为60 8. 设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -= D ．222211312x y -=9. 正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是 A.3aπ B.2aπ C. a π2 D. a π310. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 A ．2 B ．4 C ．8 D ．6 11、若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为（ ）A ．1-或3B ．1或3C ．2-或6D ．0或412. 设1e 、2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆与双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足12PF PF ⊥，则2212221)(e e e e ⋅+的值是 A ．1 B ．2 C ．21 D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案写在答题纸上 13.过点(1,3)P -且平行于直线230x y -+=的直线方程为______________；14. 圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 ；15. 以椭圆2214116x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆方程为 ；16.过点P(-1,6)且与圆相切的直线方程是_ ______ 三、解答题：本题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸对应题的题框内 17. (本小题满分共12分)设命题2:log (21)0,p x -<命题2:(21)(1)0,q x a x a a -+++≤若p ⌝是q ⌝的必要而非充分条件，求实数a 的取值范围.18.如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.19.已知点P （0，5）及圆C ：x 2+y 2+4x-12y+24=0.（1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.20．(本小题满分共12分)曲线C 上的每一点到定点(2,0)F 的距离与到定直线:2l x =-的距离相等. （Ⅰ）求出曲线C 的标准方程；(Ⅱ) 若直线2y x =-与曲线C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.21，(本小题满分共12分)如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形.（Ⅰ）求证：DM //平面APC ； （Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若4BC =，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积.22．(本小题满分共14分)设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点21,),23,1(F F 分别为椭圆C 的左、右两个焦点，且离心率⋅=21e （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（II ）已知A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于,M N 两点；若AM 、AN 的斜率21,k k 满足,2121-=+k k 求直线l 的方程4)2()3(22=-++y x2017——2018学年度第一学期期中考试高二数学答题纸2018.1高二理科答案一，选择题： D C C B D A D A B B D B二，填空题： 13.270x y -+= 14.4S π 15.16)5(22=+-y x 16. 1034270x x y +=-+=或 三，解答题 17.解：1:1,2p x <<:()((1))0,1q x a x a a x a --+≤≤≤+。
2017～2018学年天津市耀华中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前天津市耀华中学2017～2018学年高二年级上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题：将选择题答案填涂在答题卡．．．．．．．．．．．．（每小题4分，共计40分） 1.设命题:p x ∃∈R ，22012x >，则P ⌝为（ ）．A. x ∀∈R ，22012x ≤B. x ∀∈R ，22012x >C. x ∃∈R ，22012x ≤D. x ∃∈R ，22012x <【答案】A【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定,可直接得出结果.【详解】解：P ⌝表示对命题P 的否定,“x ∃∈R ,22012x >”的否定是“x ∀∈R ,22012x ≤” ．故选A ．【点睛】本题主要考查命题的否定,只需改写量词与结论即可,属于常考题型.2.命题“若a ,b 都是奇数,则+a b 是偶数”的逆否命题是（ ）．A. 若两个整数a 与b 的和+a b 是偶数,则a ,b 都是奇数B. 若两个整数a ,b 不都是奇数,则+a b 不是偶数C. 若两个整数a 与b 的和+a b 不是偶数,则a ,b 都不是奇数D. 若两个整数a 与b 的和+a b 不是偶数,则a ,b 不都是奇数【答案】D【解析】【分析】根据逆否命题概念,即可写出结果.【详解】解：由逆否命题定义可知：命题“a ,b 都是奇数,则a b +是偶数”的逆否命题是：“若a b +不是偶数,则a ,b 不都是奇数”．故选D【点睛】本题主要考查逆否命题,熟记四种命题间的关系即可,属于基础题型.3.设2:2310p x x -+≤,2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是（ ）． A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭D. 1(,0),2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】 先由题意分别得到,p q 对应的集合A 与集合B ,再由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,得到A B Ö,进而可求出结果.【详解】由题意可得：p 对应集合112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭, q 对应集合{}|1B x a x a =+≤≤,∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,∴p 是q 的充分不必要条件, ∴A B Ö,∴11a +≥且12a ≤, ∴102a ≤≤． 故选A【点睛】本题主要考查由必要不充分条件求参数的问题,熟记充分条件与必要条件概念,以及集合间的关系即可,属于常考题型.。
天津市部分区2017～2018学年度高二第一学期期末考试
天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高二英语温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上。
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（三大题，共85分）第一部分：听力理解（共两节，满分20分）做题时，先将答案划在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面五段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A 、B 、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. How many classes does the woman have on Wednesday?A. Two.B. Four.C. Five. 2. When did the woman finish her paper?A. At 9 am.B. At 11 am.C. At 12 am.3. Why was Paul at the hospital?A. He was ill.B. He was visiting Celia.C. He was visiting his sister. 4. What can we know from the dialogue?A. The woman fell ill this morning.B. The woman’s mother fell ill this morning.C. The woman told a lie.5. What kind of job does the woman probably apply for?A. A teacher.B. A social worker.C. A secretary.第二节（共10小题；每小题1.5分，满分15分）听下面几段材料。
2017-2018学年度高二(理)数学期末考试试题
2017—2018学年度第一学期期末考试试题高二数学（理） 2018.1考试说明：1.本试题分第I 卷和第II 卷两部分。
第I 卷和第II 卷答案填涂在答题卡的相应位置，考试结束只上交答题卡。
2.满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.等差数列}{n a 中，155=a ，则8543a a a a +++的值为（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．1202.在ABC ∆中，5=a ，15=b ，ο30=∠A ，则c 等于（ ）A ．52B ．5C ．52或5D ．以上都不对3.已知数列}{n a 的前项n 和n n S n 22+=，则数列}1{1+n n a a 的前项n 和为（ ） A ．)32(3+n n B ．)32(32+n n C ．)12(31+-n n D ．12+n n4.双曲线3x 2 －y 2 ＝3的渐近线方程是（ ）A ． y = ±3xB ． y = ±3xC ． y =±31x D ． y = ±33x5.若,1>a 则11-+a a 的最小值是（ ） A. 2 B. a C. 3 D.1-a a2 6.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -87.若点A 的坐标是（3，2），F 是抛物线y 2=2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使得|PA|+|PF|取得最小值，则P 点的坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（2，2）D ．（0，1）8.数列{}n a 的通项公式2=n a n n +，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．1011B ．910 C ．1110D ．12119.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+1236x y x y x ，则目标函数)0,0(>>+=b a y ax z 的最小值为2，则2211b a +的最小值为（ ） A ．21B ．2C ．8D ．17 10.在数列}{n a 中，21=a ，)2)(111ln(1≥+++=-n n a a n n ，则=n a （ ） A ．n ln 2+ B ．n n ln )1(2-+ C ．n n ln 2+ D ．n n ln 1++11.若椭圆2211mx ny y x +==-与交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点连线的斜率为2，则mn的值等于（ ） A.3 B.22C.3D. 212.已知椭圆 +=1（a ＞b ＞0）与双曲线﹣=1 （m ＞0，n ＞0）有相同的焦点（﹣c ，0）和（c ，0），若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为_______ . 14.命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++≤的否定为___________．15.抛物线2x ay =（0a ≠）的焦点坐标是___________．16.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的标准方程为___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求A ； （2）若7,2a b ==求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）设等比数列}{n a 的前项n 和n S ，812=a ，且321,,161S S S +成等差数列，数列}{n b 满足n b n 2=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前项n 和n T .19.(本小题满分12分)为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为ο120的扇形广场内（如图所示），沿ABC ∆边界修建观光道路，其中B A 、分别在线段CQ CP 、上，且B A 、两点间距离为定长360米.（1）当ο45=∠BAC 时，求观光道BC 段的长度；19. 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． （1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21．(小题满分13分)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为325（1）求椭圆C 的方程；（2） 过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OF OE ⊥，求直线l 的斜率.22．（本小题满分14分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。
2017-2018学年天津市高二上学期末考试理科数学试题(解析版)
2017-2018学年天津市高二上学期末考试理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若a,b是异面直线，a//α，则b与α的位置关系是（）A. b//α或b⊂αB. b与α相交或b//αC. b与α相交或b⊂αD. b与α相交或b⊂α或b//α【答案】D【解析】∵a,b是异面直线，a//α，∴b与α的位置关系是b与α相交或b⊂α或b//α故选：D2. 在x轴、y轴上的截距分别是2、−3的直线方程为（）A. x2+y3=1 B. x2−y3=1 C. y3−x2=1 D. x2+y3=−1【答案】B即x2−y3=1故选：B3. 已知直线的倾斜角为300，则直线的斜率为（）A. √33B. √22C. 1D. √3【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为300，∴直线的斜率为tan30°=√33故选：A4. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π【答案】B【解析】试题分析：∵圆柱的轴截面为正方形，故圆柱的底面直径等于高即h=2r，又圆柱的侧面积为4π,∴2πrℎ=4π,∴r=1,h=2,∴圆柱的体积等于πr2ℎ=2π，故选B考点：本题考查了圆柱的性质点评：熟练掌握圆柱的定义及性质是解决此类问题的关键5. 过点A(1,−1)与B(−1,1)且圆心在直线x+y−2=0上的圆的方程为（）A. (x−3)2+(y+1)2=4B. (x+3)2+(y−1)2=4C. (x+1)2+(y+1)2=4D. (x−1)2+(y+1)2=4【答案】D【解析】∵圆心在直线x+y﹣2=0上，∴可设圆的圆心M（a，2﹣a），根据圆过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），可得（1﹣a）2+（﹣1﹣2+a）2=（﹣1﹣a）2+（1﹣2+a）2，解得a=1，故圆的圆心为（1，1），半径等于MA=2，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故选：D6. 若一个长方体的长、宽、高分别为√3、√2、1，则它的外接球的表面积为（）A. 3πB. 5πC. 6πD. 24π2【答案】C【解析】长方体的体对角线长即外接球的直径，∴2r=√3+2+1=√6∴S球=4πr2=6π故选：C点睛：设几何体底面外接圆半径为x,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为a,b,c则其体对角线长为√a2+b2+c2;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为a,b,c，则其外接球半径公式为: 4R2=a2+b2+c2.7. 已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α,A∈l，直线AB//l，直线AC⊥l，直线m//α,m//β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A. AB⊥βB. AC⊥mC. AB//βD. AB//m【答案】A【解析】如图所示，对于A，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故不成立．对于B，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B成立；对于C，AB∥l⇒AB∥β，D成立；对于D，AB∥l∥m；A成立；故选A ．点睛：判断线面关系的方法：①利用平行垂直的定理与性质进行直接联想与推导；（2）借助特殊几何体进行判断，比如正方体，正四面体，教室等等.8. 过点P(−2,4)作圆C ：x 2+y 2−4x −2y −20=0的切线，直线m ：ax −3y =0与直线平行，则直线与m 之间的距离为（ ）A. 85B. 125C. 4D. 2【答案】C【解析】求得圆的圆心为C （2，1）设点Q （x 、y ）为切线l 上一个动点，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+2，y ﹣4），CP⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣4，3） ∵PQ ⊥CP ，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •CP⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣4（x+2）+3（y ﹣4）=0 化简得4x ﹣3y+20=0∵直线m ：ax ﹣3y=0与直线l 平行，∴a=4，可得m 方程为4x ﹣3y=0，两条平行线的距离为d=√16+9=4． 故选：C第Ⅱ卷（共60分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 若点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)三点共线，则a 的值等于______.【答案】4【解析】解：因为若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线则⇒AB →=λAC→⇔(a −2，−2)//(−2,2)⇔2(a −2)−4=0⇔a =410. 圆(x−3)2+(y−3)2=9上到直线3x+4y−11=0的距离等于1的点有_______个.【答案】3【解析】试题分析：(x−3)2+(y−3)2=9是一个以为圆心，为半径的圆．圆心到3x+4y−11=0的距离为，所以作与直线3x+4y−11=0距离为的直线，会发现这样的直线有两条（一条在直线的上方，一条在直线的下方），上面的那条直线与圆有两个交点，下面的与圆有一个交点，所以圆上共有三个点与直线距离为．考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式．11. 一个圆锥的母线为20cm，母线与轴的夹角为300，则圆锥的高为_______cm.【答案】10√3【解析】由题设条件可知，在直角三角形中，=10√3．圆锥的高：h=20cos30°=20×2故答案为：10√3．12. 若直线与平面α相交于点O，A,B∈l，C,D∈α，且AC//BD，则O,C,D三点的位置关系是_______.【答案】在同一条直线上【解析】O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，∴l⊂β，∵l∩α=O，∴O∈α，O∈β，∴O=α∩β．∵C，D∈α，∴α∩β=CD，∴O∈直线CD．∴O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．故答案为在同一条直线上．13. 三棱锥P−ABC中，D,E分别为PB,PC的中点，记三棱锥D−ABE的体积为V1，P−ABC的体积为V2，则V1:V2=_________.【答案】1:4考点：三棱锥体积14. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①D1C//平面A1ABB1；②A1D1与平面BCD1相交；③AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1，其中正确结论的序号是_______.【答案】①④【解析】对于①，由于平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C⊂平面CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1正确；对于②，由于A1D1∥BC，所以A1D1⊂平面BCD1，错误；对于③，AD与BD显然不垂直，错误；对于④，容易证明BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，故平面BCD1⊥平面A1ABB1．正确．故答案为：①④．点睛：在正方体中判断线面关系要充分利用好正方体的特殊性质，比如BD⊥平面BD D1B1，四面体C1BD A1为正四面体，A1C⊥平面BD A1等.三、解答题（本大题共5题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知方程x2+y2−2x−4y+m=0.（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y−4=0相交于M,N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值.【答案】(1)m<5；(2)85.【解析】解：（1）方程x2+y2−2x−4y+m=0变形为(x−1)2+(y−2)2=5−m∵此方程表示圆∴5−m>0∴m<5（2）由{x2+y2−2x−4y+m=0x+2y−4=0消去x得5y2−16y+m+8=0设M(x1,y1)，N(x2,y2)∴{y1+y2=165 y1y2=m+85∵OM⊥ON∴又∵x1=4−2y1，x2=4−2y2∴(4−2y1)(4−2y2)+y1y2=0∴16−8(y1+y2)+5y1y2=0∴16−8×165+5×m+85=0∴m=8516. 已知直线经过直线3x+4y−2=0与直线2x+y+2=0的交点P .（1）若直线垂直于x−2y−1=0，求直线的方程；（2）若直线与经过两点A(8,−6)，B(2,2)的直线平行，求直线的方程.【答案】(1)2x+y+2=0；(2)4x+3y+2=0.【解析】试题分析:（1）易得点P的坐标为(−2,2)，利用垂直关系得到斜率即可求出直线的方程；（2）利用平行关系得到斜率即可求出直线的方程.试题解析：由{3x+4y−2=0 2x+y+2=0，解得{x=−2y=2∴点P的坐标为(−2,2).（1）∵直线x−2y−1=0的斜率为12，∴与该直线垂直的直线的斜率为−2，∴直线的方程为y−2=−2(x+2)，即2x+y+2=0.（2）直线AB的斜率为k AB=−6−28−2=−43，∵直线与直线AB平行，∴k AB=k l=−43，∴直线的方程为y−2=−43(x+2)，即4x+3y+2=0.17. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C1=B1C1，AC1⊥A1B，M,N分别是A1B1,AB的中点，求证：（1）C1M⊥平面A1ABB1；（2）A1B⊥AM；（3）平面AMC1//平面NB1C.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析: 1）根据线面垂直的判定定理即可证明C1M⊥平面AA1B1B；（2）根据线面垂直的性质先证明A1B⊥平面AC1M，即可证明A1B⊥AM；（3）根据面面平行的判定定理即可证明平面AC1M∥平面B1NC．试题解析：（1）证法一：由直三棱柱ABC−A1B1C1得AA1⊥平面A1B1C1，∵C1M⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1M，又∵A1C1=B1C1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，又∵AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面A1ABB1.证法二：由直三棱柱ABC−A1B1C1得平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，且平面A1ABB1∩平面A1B1C1=A1B1，∵A1C1=B1C1，M为A1B1的中点，111又∵C1M⊂平面A1B1C1，∴C1M⊥平面A1ABB1.（2）由（1）知，C1M⊥平面A1ABB1∵A1B⊂平面A1ABB1，∴C1M⊥A1B，∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AMC1，∵AM⊂平面AMC1，∴A1B⊥AM.（3）证法一：由直三棱柱ABC−A1B1C1知，四边形A1ABB1是矩形，∵M,N分别是A1B1,AB的中点，∴AN//B1M，且AN=B1M，∴四边形AMB1N是平行四边形，∴AM//B1N，∵AM⊄平面NB1C，B1N⊂平面NB1C，∴AM//平面NB1C，连接MN，则四边形BB1MN是矩形，∴BB1//MN，且BB1=MN，又∵BB1//CC1，BB1=CC1，∴MN//CC1，且MN=CC1，∴四边形MNCC1是矩形，1∵C1M⊄平面NB1C，CN⊂平面NB1C，∴C1M//平面NB1C又∵AM∩C1M=M,CN∩B1N=N，∴平面AMC1//平面NB1C.证法二：由（2）知，A1B⊥平面AMC1，∵AM⊂平面AMC1，∴A1B⊥AM，∵AM//NB1，∴A1B⊥NB1，∵CN⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴CN⊥A1B，∵NB1∩CN=N，∴A1B⊥平面NB1C，∴平面AMC1//平面NB1C.点睛: 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18. 已知O为坐标原点，设动点M(s,t).（1）当s=0,t=4√3时，若过点M的直线与圆C：x2+y2−8x=0相切，求直线的方程；（2）当s=2,t>0时，求以OM为直径且被直线3x−4y−5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）当s=2,t>0时，设A(1,0)，过点A作OM的垂线，与以OM为直径的圆交于点N，垂足为H，试问：线段ON的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由.【答案】(1)x=0或x+√3y−12=0；(2)(x−1)2+(t−2)2=5；(3)ON的长为定值为√2.【解析】试题分析: （1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4，分类讨论即可求直线l的方程；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）由于ΔOHN∽ΔONM，∴ON2=OH⋅OM，直线NH的方程为2x−ty+2=0，，OM=√4+t2把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，求出H=√4+t2从而得到线段ON的长为定值．试题解析：(1)解：依题意M(0,4√3)，将圆C：x2+y2−8x=0化为标准方程为：(x−4)2+y2=16，则圆心C(4,0)，半径为r=4，∵直线过点M ，∴当斜率不存在时，直线的方程为x =0，符合题意；当斜率存在时，设过点M 的直线的方程为y =kx +4√3，即kx −y +4√3=0. ∵直线与圆C 相切，∴圆心C 到直线的距离为4，即d =√3|√1+k 2=4，解得k =−√33， ∴y =−√33x +4√3，即x +√3y −12=0，综上可得，所求直线的方程为x =0或x +√3y −12=0.（2）依题意得，M(2,t)（t >0），∴以OM 为直径的圆圆心为(1,t2)，半径为r =√1+t 24，∴圆的方程为(x −1)2+(y −t 2)2=t 24+1，∵以OM 为直径的圆被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2，∴圆心到直线3x −4y −5=0的距离为d =√r 2−1=√(t 24+1)−1=t2，∴√32+(−4)2=t2(t >0)，解得t =4.∴圆心为(1,2)，半径为r =√5，∴所求圆的方程为(x −1)2+(t −2)2=5.（3）ON 的长为定值.理由如下：依题意得M(2,t)（t >0）由于ΔOHN ∽ΔONM ，则OHON =ONOM ，即ON 2=OH ⋅OM ，∵直线NH的方程为y=−2(x−1)，即2x−ty+2=0t，∴由点到直线的距离公式得OH=√4+t2又由两点间的距离公式得OM=√4+t2，∴ON2=⋅√4+t2=2，√4+t2∴ON=√2，∴ON的长为定值为√2.19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E,F分别是AB,PD的中点，PA=AD.（1）求证：AF//平面PEC；（2）求二面角P−CD−B的大小；（3）若AD=2,CD=2√2，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值..【答案】(1)证明见解析；(2)45°；(3)√33【解析】试题分析:（1）取PC的中点G，要证AF//平面PEC，即证AF//EG，构造平行四边形即可；（2）根据题意易知∠PDA为二面角P−CD−B的平面角，求出即可；（3）易证EG⊥平面PCD，∠EPG为直线PE与平面PCD所成的角，即可求出直线PE与平面PCD所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：取PC的中点G，连接EG,FG，∵F是PD的中点，∴FG//DC，且FG=1DC，2∵四边形ABCD是矩形，∴AB//DC，且AB=DC，∴FG//AB，且FG=1AB，2又∵E是AB的中点，∴AE=1AB，2∴FG//AE，且FG=AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF//EG，∵AF⊄平面PEC，GE⊂平面PEC∴AF//平面PEC.（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD ∴PA⊥CD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∵PA∩AD=A，PA、AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又∵PD⊂平面PAD，CD⊥PD∴∠PDA为二面角P−CD−B的平面角，∵PA=AD，∴ΔPAD为等腰直角三角形∴∠PDA=450，即二面角P−CD−B的大小为450. （3）由（2）知，ΔPAD为等腰直角三角形∵F是斜边PD的中点，∴AF⊥PD，由（1）知，AF//EG，∴EG⊥PD，又由（2）知，CD⊥平面PAD，AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，∴CD⊥EG，又∵PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD，∴EG⊥平面PCD，∴PG是直线PE在平面PCD上的射影，∴∠EPG为直线PE与平面PCD所成的角，在RtΔPAE中，PA=2，AE=12CD=12AB=12×2√2=√2，∴PE=√AE2+PA2=√(√2)2+22=√6，在等腰直角ΔPAD中，PD=√22+22=2√2∵F是PD的中点，∴AF=12PD=√2，∴EG=√2∴sin∠EPG=EGPE =√2√6=√33，即直线PE与平面PCD所成角的正弦值为√33.点睛:求直线与平面所成角问题主要有两个方法:①定义法,在斜线上取一点,过此点引平面的垂线,连接垂足与斜足得到射影,斜线与射影所夹较小角即线面角;②等积法:直接求得斜线上一点到平面的距离，其与斜线段长的比值即线面角的正弦值，关键求点到平面距离，往往利用等积法来求.。
2017-2018学年天津市河西区高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)
2017-2018学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2=0，则x，y都不为02．（3分）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，﹣y，﹣z）；③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；④点P关于原点的对称点的坐标是（﹣x，﹣y，﹣z）．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．（3分）准线方程为y=4的抛物线的标准方程是（）A．x2=16y B．x2=8y C．x2=﹣16y D．x2=﹣8y4．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=（）A．B． C． D．5．（3分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．16．（3分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件7．（3分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18．（3分）已知点M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1．则￢p为．10．（4分）已知向量，分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，cos＜，＞=﹣，则l与α所成的角为．11．（4分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同的渐近线，则C 的方程为．12．（4分）已知p：x，若p且q为真，则x的取值范围是．13．（4分）已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|=4，线段AB的中点到直线x=的距离为1，则p的值为．14．（4分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．三、解答题（本大题共6小题，共52分）15．（8分）已知=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．（Ⅰ）若（k+）∥（﹣3），求实数k的值；（Ⅱ）若（k+）⊥（﹣3），求实数k的值．16．（8分）求双曲线9y2﹣16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．17．（8分）命题p：设c＞0，c≠1，函数y=c x是R上的单调减函数，命题q：1﹣2c＜0，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求常数c的取值范围．18．（8分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|，求C的方程．19．（10分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．20．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2017-2018学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。
2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)(1)
高二数学试题(理科)
一、单选题（本大题共12小题，每题5分）
1. 下列图形中不一定是平面图形的是（）
A. 三角形
B. 四个角都相等的四边形
C. 梯形
D. 平行四边形
【答案】B
【解析】根据几何公理，三角形能确定一个平面（两相交直线能确定一个平面）、梯形、平行四边形能确定一个平面（两平行线能确定一个平面），所以不能确定的是：四个角都相等的四边形。
故选B。
2. 下列等于1的积分是（）
C.
【答案】C
；
；
故选C.
点睛：定积分的计算一般有三个方法：
（1）利用微积分基本定理求原函数；
（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；
（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.
3. 在正方体与所成的角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
与的所成角，易知，所成角为，故选B。
4.
【答案】B
B。
5. 已知三个平面、、，a、b是异面直线，a与、、分别交于A、B、C三点，b与、、分别交于D、E、F三点，连结AF交平面于G，连结CD交平面于H，则四边形BGEH的形状为( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 梯形
【答案】A
A。
6.
A. B. C. D.
【答案】D
..................。
2017学年天津市南开区高二上学期期末数学试卷及参考答案(理科)
2016-2017学年天津市南开区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜02．（4分）若命题“p∨q”与命题“￢p”都是真命题，则（）A．命p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q同真同假3．（4分）与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）A．﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=14．（4分）一次函数y=﹣x+的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是（）A．mn＞0 B．m＞1，且n＞1 C．m＞0，且n＜0 D．m＞0，且n＞05．（4分）已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2﹣x2=2的一个焦点，则a=（）A．1 B．±4 C．±8 D．166．（4分）已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A（3，2）、B（a，﹣1），且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．27．（4分）给出命题：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件；（4）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（4分）已知点P是抛物线y2=4x上一点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x+2y﹣12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A．5 B．4 C．D．9．（4分）设椭圆=1和双曲线=1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（）A．B．C．D．﹣10．（4分）已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）直线ax+my﹣2a=0（m≠0）过点（1，1），则该直线的倾斜角为．12．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积为13．（4分）命题“若m＞0，则关于x的方程x2+x﹣m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为．14．（4分）以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为．15．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，M是双曲线上任意一点，若直线MA1，MA2的斜率之积等于2，则该双曲线的离心率是．三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（6分）已知双曲线C1：=1（a＞b＞0）的离心率为2．若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为．17．（8分）已知圆x2+y2+2ax﹣2ay+2a2﹣4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y=x+4．（Ⅰ）写出该圆的圆心坐标及半径；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得弦长的最大值．18．（8分）如图，抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是．19．（9分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．20．（9分）已知椭圆的左焦点F及点A（0，b），原点O 到直线FA的距离为．（1）求椭圆C的离心率e；（2）若点F关于直线l：2x+y=0的对称点P在圆O：x2+y2=4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．2016-2017学年天津市南开区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．2．（4分）若命题“p∨q”与命题“￢p”都是真命题，则（）A．命p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q同真同假【解答】解：∵￢p是真命题，∴p为假命题，又∵p∨q为真，∴q为真命题，故选：B．3．（4分）与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）A．﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【解答】解：由题设知：焦点为（，0），2a=﹣=2，∴a=，c=，b=1∴与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是﹣y2=1．故选C．4．（4分）一次函数y=﹣x+的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是（）A．mn＞0 B．m＞1，且n＞1 C．m＞0，且n＜0 D．m＞0，且n＞0【解答】解：若一次函数y=﹣x+的图象同时经过第一、二、四象限，则﹣＜0，＞0，即m＞0，且n＞0，mn＞0⇔m＞0，且n＞0，或m＜0，且n＜0，故mn＞0是一次函数y=﹣x+的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件，故选：A．5．（4分）已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2﹣x2=2的一个焦点，则a=（）A．1 B．±4 C．±8 D．16【解答】解：抛物线x2=ay的焦点为（0，），双曲线y2﹣x2=2的焦点为（0，±2），∴=±2，∴a=±8，故选C．6．（4分）已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A（3，2）、B（a，﹣1），且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2【解答】解：∵l的斜率为﹣1，则l1的斜率为1，∴k AB==1，∴a=0．由l1∥l2 得，﹣=1，得b=﹣2，所以，a+b=﹣2．故选B．7．（4分）给出命题：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件；（4）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵在空间里，垂直于同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，故（1）不正确，当l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，（2）正确，α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的既不充分也不必要条件，故（3）不正确，a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P有时可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行，不是所有的都可以做，故（4）不正确，总上可知只有一个命题是正确的，故选B．8．（4分）已知点P是抛物线y2=4x上一点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x+2y﹣12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A．5 B．4 C．D．【解答】解：∵点P到抛物线y2=4x的准线的距离为d1等于P到抛物线y2=4x的焦点的距离|PF|，则d1+d2的最小值即为F到直线x+2y﹣12=0的距离．由抛物线y2=4x得F（1，0），∴=．故选：C．9．（4分）设椭圆=1和双曲线=1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：由双曲线=1得焦点为F1（0，﹣2），F（0，2），∴m﹣2=4，解得m=6，由椭圆与双曲线的定义，得：|PF1|+|PF2|=2，|PF1|﹣|PF2|=±2，两式分别平方后，相加得2（|PF1|2+|PF2|2）=36，两式分别平方后相减，得4|PF1|•|PF2|=12，因此，由余弦定理，得cos∠F1PF2=（|PF1|2+|PF2|2﹣|F1F2|2）÷（2|PF1|•|PF2|）=（18﹣16）÷6=．故选：B．10．（4分）已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：∵|PA|=|PN|，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|MA|=6＞|MN|．故动点P的轨迹是椭圆．故选B二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）直线ax+my﹣2a=0（m≠0）过点（1，1），则该直线的倾斜角为135°．【解答】解：∵直线ax+my﹣2a=0（m≠0）过点（1，1），∴a+m﹣2a=0，∴m=a．设直线ax+my﹣2a=0（m≠0）的倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），其斜率k=tanθ=﹣=﹣1，∴θ=135°故答案为：135°12．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积为24+6π【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱与半球的组合体，其表面积相当于半球的表面积与四棱柱侧面积的和，四棱柱的底面棱长为2，高为3，故侧面积为：4×2×3=24，半球的半径为=，故表面积为：3=6π，故组合体的表面积为：24+6π，故答案为：24+6π13．（4分）命题“若m＞0，则关于x的方程x2+x﹣m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2．【解答】解：△=1+4m＞0，所以原命题正确，其逆命题为“若关于x的方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”不正确．答案：214．（4分）以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为x2+（y﹣4）2=64．【解答】解：抛物线x2=16y的焦点为（0，4），焦点到准的距离为8，故以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为x2+（y ﹣4）2=64，故答案为：x2+（y﹣4）2=64．15．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，M是双曲线上任意一点，若直线MA1，MA2的斜率之积等于2，则该双曲线的离心率是．【解答】解；设M（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点，则﹣=1，得到=，故=，又A1（﹣a，0），A2（a，0），则k•k=•===2，及=e2﹣1=2，解之得e=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（6分）已知双曲线C1：=1（a＞b＞0）的离心率为2．若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为x2=16y．【解答】解：由题意可得双曲线渐近线为y=，化为一般式可得bx±ay=0，离心率e===2，解得b=a，∴c==2a，又抛物线（p＞0）的焦点为（0，），故焦点到bx±ay=0的距离d===2，∴p===8，∴抛物线C2的方程为：x2=16y故答案为：x2=16y17．（8分）已知圆x2+y2+2ax﹣2ay+2a2﹣4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y=x+4．（Ⅰ）写出该圆的圆心坐标及半径；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得弦长的最大值．【解答】解：（1）已知圆的标准方程是（x+a）2+（y﹣a）2=4a（0＜a≤4），则圆心C的坐标是（﹣a，a），半径为2．（2）直线l的方程化为：x﹣y+4=0．则圆心C到直线l的距离是==|2﹣a|．设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：L=2=2，∵0＜a≤4，∴当a=3时，L的最大值为2．18．（8分）如图，抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是．【解答】解：由抛物线的定义可得AF=AK，∵AF的斜率等于，∴AF的倾斜角等于60°，∵AK⊥l，∴∠FAK=60°，故△AKF为等边三角形．又焦点F（1，0），AF的方程为y﹣0=（x﹣1），设A（m，），m＞1，由AF=AK 得=m+1，∴m=3，故等边三角形△AKF的边长AK=m+1=4，∴△AKF的面积是×4×4sin60°=，故答案为．19．（9分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．20．（9分）已知椭圆的左焦点F及点A（0，b），原点O 到直线FA的距离为．（1）求椭圆C的离心率e；（2）若点F关于直线l：2x+y=0的对称点P在圆O：x2+y2=4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．【解答】解：（1）由点F（﹣ae，0），点A（0，b）及得直线FA的方程为，即，（2分）∵原点O到直线FA的距离为，∴．（5分）故椭圆C的离心率．（7分）（2）解：设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x+y=0的对称点为P（x0，y0），则有（10分）解之，得．∵P在圆x2+y2=4上∴，∴a2=8，b2=（1﹣e2）a2=4．（13分）故椭圆C的方程为，点P的坐标为．（14分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
天津市六校2017-2018学年高二上学期期末联考数学(理)试题 (word版含答案)
第（5）题图2017～2018学年度第一学期期末六校联考高二数学（理）试卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．（110y +-=的倾斜角为（ ）．（A ）30（B ）60（C ）120（D ）150（2）命题“x ∀∈R ，211≥x +”的否定是（ ）．（A ）x ∀∈R ，211x <+ （B ）0x ∃∈R ，2011x +≤ （C ）x ∀∈R ，211≤x +（D ）0x ∃∈R ，2011x +<（3）已知空间两点(2,3,5)A ，(3,1,4)B ，则,A B 两点间的距离为（ ）．（A（B（C）（D（4）抛物线22y px =（0p >）上一点P 到焦点的距离为3，若点P 的横坐标为2，则抛物线方程为（ ）． （A ）26y x =（B ）24y x =（C ）22y x =（D ）2y x =（5）一个三棱柱的三视图如图所示，正视图为直角三角形，俯视图、侧视图均为矩形，若该三棱柱的各个顶点均 在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）． （A ）244π （B） （C ）244π3（D（6）设O 是空间一点，,,a b c 是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命．．题．不成立的是（ ）． （A ）当O b a = 且α⊂a ，α⊂b 时，若c a ⊥，c b ⊥，则α⊥c （B ）当O b a = 且α⊂a ，α⊂b 时，若β//a ，β//b ，则βα//第（14）题图（C ）当α⊂b 时，若β⊥b ，则βα⊥ （D ）当α⊂b ，且α⊄c 时，若α//c ，则c b // （7）下列四个条件中，p 是q 的充分不必要．．．．．条件的是（ ）． （A ）有非零向量a ，b ，直线1l a∥，直线2l b ∥，:p 12l l ∥，:q 0a b +=（B ）:2p m =，:q 直线20mx y ++=与(2)10m x my +++=平行 （C ）:0p ab <，22:q ax by c +=为双曲线（D ）:0p F =,:q 曲线220x y Dx Ey F ++++=过原点 （8）有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值②双曲线22221x y a b-=与22221x y b a -=(0,0)a b >>的离心率分别是12,e e ，则22122212e e e e +是定值③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是,A B ，则直线AB 过定点 其中正确的命题有（ ）． （A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上． （9）两条平行线1:330l x y -+=与2:320l x y --=间的距离为______．（10）已知圆的方程是223x y +=，过点(1,1)A 的直线l 被该圆截得的弦长最短，则直线l 的方程是______．（11）直线240x y +-=关于直线1y x =-+对称的直线方程为____________． （12）经过坐标原点和点(1,1)P ，并且圆心在直线2310x y ++=上的圆的方程为______．（13）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线， 则双曲线的方程为____________．（14）如图，直角梯形ABCD 中，90DAB ∠= ,//AB CD ,CE AB⊥D C BAPE于点E .已知22BE AE ==,30BCE ∠= .若将直角梯形绕直 线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知两点(32)A ，，(12)B -，，圆C 以线段AB 为直径． （Ⅰ）求圆C 的方程； （Ⅱ）已知直线l :4y kx =+，①若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；②若直线l 与圆C 相交于P ,Q 不同的两点，是否存在横坐标为13-的点M ，使点M 恰好为线段PQ 的中点，若不存在说明理由，若存在求出k 值.（16）（本小题满分13分）已知椭圆22:12x C y +=．（Ⅰ）求椭圆C 的长轴和短轴的长，离心率e ，左焦点1F ；（Ⅱ）经过椭圆C 的左焦点1F 作直线l ，直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若AB =求直线l 的方程．（17）（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且22PA PB PC PD AB =====，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：//PD 平面AEC ；（Ⅱ）求异面直线AE 与PD 所成角的正切值； （Ⅲ）求AE 与底面ABCD 所成角的余弦值.D 1C 1B 1A 1FED CBA ENMDCBA（18）（本小题满分13分）在长方体1AC 中，已知棱1AB BC ==, 12BB =，连结1B C ，过点B 作1B C 的垂线，垂足为F ，交1CC 于E ． （Ⅰ）求证：11A B BE ⊥；（Ⅱ）求证：平面11A B C ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求二面角11C A B A --的正弦值.（19）（本小题满分14分）已知椭圆E ：22221x y a b +=）（0>>b a过点P ，其上顶点(0)B ,b 与左右焦点12,F F 构成等腰三角形，且12120F BF ∠= .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）以点(0)B ,b 为焦点的抛物线C ：22(0)x py p =>上有一动点(,)P P m y ，抛物线C在点P 处的切线l 与椭圆E 交于12,P P 两点，线段12P P 的中点为D ，直线OD (O 为坐标原点)与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M ，问：当0m b <≤时，POM △面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由．（20）（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，M D ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，E 为BC 中点. （Ⅰ）求四棱锥A BDMN -的体积； （Ⅱ）求点C 到平面AMN 的距离；（Ⅲ）在线段AN 上，是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ?若存在，求线段AS 的长，若不存在，请说明理由．2017～2018学年度第一学期期末六校联考高二数学（理）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．（1）C 提示：tan k α==120α=（2）D（3）B 提示：(2,3,5)A ，(3,1,4)B ,AB ==（4）B 提示：232p+=，得. 2p =，24y x = （5）A 提示：可将三棱柱补成一个长、宽、高分别是12,8,6的长方体，则该长方体的外接球的直径22226812244d =++=，于是球的表面积等于22=4244S R d πππ==球 （6）C（7）B 提示：选项A,C 中p 是q 的必要不充分条件；选项D 中p 是q 的充分必要条件；选项B 满足条件（8）D 提示：①中的两个距离的乘积是2222a b a b +；②221222121e e e e +=；③直线AB 过定点(0,2)p ，三个命题都正确．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9 提示：d ===．（10）20x y +-=提示：已知圆的圆心为原点O ，所求直线与OA 垂直，1OA k =，于是1i k =-． （11）210x y ++=提示：直线240x y +-=上任意一点(,)x y 关于1y x =-+的对称点(1,1)y x -+-+一定在对称直线上.（12）22(4)(3)25x y -++= 提示：原点(0,0)和点(1,1)P 的垂直平分线为10x y +-=，由方程组102310.x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得圆心(4,3)C -，216925r =+=.（13）22188x y -= 则,c =过(,0)F ，(0,4)P 两点的直线斜率ba=，得228,8b a ==.（14 .也可利用割补法将圆台补成一个大圆锥，大圆锥的体积1V =，小圆锥的体积2V =，圆柱的体积3V =，则所求的旋转体的体积123V V V V =--=. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）圆的直径||4AB ==，故半径为2．圆心坐标为(32)A ，，(12)B -，的中点(1,2)， 所以圆C 的方程为22(1)(2)4x y -+-=. ……………………………5分（Ⅱ）①直线l :4y kx =+，若直线l 与圆C 相切，则圆心到直线l 的距离2d ==，解得43k =或0k =，…………………8分 所以直线l 的方程为43120x y -+=或4y =. …………………9分 ②由方程组22(1)(2)4,+4x y y kx ⎧-+-=⎨=⎩消去y ，整理得22(1)(42)10k x k x ++-+=. ………………………10分若直线l 与圆C 相交于P ,Q 不同的两点，则4(34)0k k ∆=->， 得43k >或0k <. …………………………………………11分 设11(,)P x y ,22(,)Q x y ，则122241kx x k -+=+.若122121213x x k k +-==-+，解得3k = …………………………………12分所以存在横坐标为13-的点M ，使点M 恰好为线段PQ 的中点，此时3k = (13)分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由椭圆22:12x C y +=知222,1a b ==，则1a b ==，故1c =. …………2分FOEPABD 所以椭圆C的长轴2a =22b =，离心率c e a ===， 左焦点1(1,0)F -. …………………………5分（Ⅱ）设直线l 方程(1)y k x =+，由方程组22(+122y k x x y =⎧⎨+=⎩）,消去y ，整理得 2222(21)4220k x k x k +++-=. ……………………………………6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122421k x x k +=-+，21222221k x x k -=+. ……………………………8分又因为AB，且已知AB ==．=解得23k =，k =， ……………………………11分 所以直线l的方程：1)y x =+或1)y x =+．0y -0y ++．…………………………………………13分 （17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 为正方形,连结BD 交AC 于点O ，则O 为BD 的中点.连结EO ,…………………………2分 因为E 为PB 的中点，故//EO PD .…………………3分 又EO ⊂平面AEC ，PD ⊄平面AEC ,所以//PD 平面AEC . ……………………4分（Ⅱ）由于//EO PD ，故AEO ∠为异面直线AE 与PD 所成角.…………………5分因为PA PC =，故PO AC ⊥.又BD AC ⊥,PO BD O = ，所以AC ⊥平面PBD .又EO ⊂平面PBD ，故AC EO ⊥.………………………6分所以三角形AOE 为直角三角形，112OE PD ==，AO =………………7分tan AO AEO EO ==.即异面直线AE 与PD. ……………………………8分 （Ⅲ）取OB 中点F ,则//EF PO，且12EF PO ==. 又由PA PB PC PD ===，可得PO ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD . 故EAF ∠为AE 与底面ABCD 所成的角. …………………………………12分 又22258AF AO OF =+=，22232AE AF EF =+=，cos AF EAF AE ∠===，所以AE 与底面ABCD. ……………………………13分 （18）（本小题满分13分）（Ⅰ）因为长方体1AC ，1111A B B C ⊥,111A B B B ⊥,1111B C B B B =故，11A B ⊥平面11B BCC ,又BE ⊂平面11B BCC ,所以，11A B BE ⊥.………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11A B BE ⊥，由已知1BE B C ⊥,1111A B B C B = ,所以BE ⊥平面11A B C ． ……………………………6分 又BE ⊂平面BDE ，所以，平面11A B C ⊥平面BDE .………………………8分 （Ⅲ）因为11A B ⊥平面11B BCC ，故111A B B C ⊥,111A B B B ⊥,所以，1CB B ∠为二面角11C A B A --的平面角.……………………………11分 因为1AB BC ==, 12BB =，1B C故1sin CB B ==． 即二面角11C A B A --………………………………13分 （19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知得①2a b =和②222112a b+=，解得21b =，24a =．故椭圆E 的方程为2214x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）抛物线C 的焦点(0,1)B ,则其方程为24x y =. ………………………5分于是抛物线上点(,)P P m y 的坐标是2(,)4m m ，设在点P 处的切线l 的斜率为k ，则切线方程为2()4m y k x m -=-代入24x y =，得22440x kx km m -+-=．因为与抛物线相切，故214(2)0k m ∆=-=，得2mk =…………………6分 故切线l 的方程为2()42m my x m -=-，即224m m y x =-. 由方程组222,2414m m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ， 整理后得22341(1)404m x m x m +-+-=． ………………………………7分由已知直线l 与椭圆交于两点，则624214(1)(4)04m m m ∆=-+->．解得208m <+≤0m =是不合题意的．所以0m <或0m << ………………………8分 设111222(,),(,)P x y P x y ，则312222(1)D x x m x m +==+. …………………………9分 代入l 的方程得224(1)D m y m -=+.故直线OD 的方程为D D y y x x =，即12y x m=-. …………………………10分 当x m =时，12y =-，即点1(,)2M m -. …………………………11分POM △面积2311111()222484m S PM m m m m ==+=+. ……………………12分显然S 是关于m 单调递增， 又01m <≤，所以当1m =时，POM △面积最大值为38. ………………………………14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为MD ⊥平面ABCD ，MD ⊂平面BDMN ,故平面ABCD ⊥平面BDMN ．连接AC ，使AC 与BD 交于点O ，四边形ABCD 是正方形，所以AO BD ⊥．则AO ⊥平面BDMN . ………………………………2分 所以，四棱锥A BDM N -的体积13BDMN V S AO =四形形.又1M D NB AB ===,AO =. 由MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，得//BN MD , 故平行四边形BDMN为矩形，且BDMN S 四形形所以四棱锥A BDM N -的体积为1. ………………………4分（Ⅱ）如图以点D 为坐标原点，以,,DA DC DM的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意(0,0,0)D (1,0,0)A (1,1,0)B (0,1,0)C (0,0,1)M (1,1,1)N 11(,,0)22O .………6分设平面AMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ，(1,0,1)AM =- ,(0,1,1)AN = ，(0,1,1)CM =-，于是 00.AM AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ， 即0,0.x z y z -+=⎧⎨+=⎩ 取(1,1,1)=-n ， ………………………7分则C 到平面AMN 的距离CM d ⋅===n n……………………………8分 方法2：13A BNMD C BNMD V V --==，16N ABC M ADC V V --==，则1223c AMN A BNMD M ADC V V V ---=-=．又AMN S =△d =．（也可补形成正方体，1141463c AMNN ABC V V V --=-=-⨯=正方体．） 方法3：取MN 的中点G ，连接AG ，CG ．在AGC △中作CH AG ⊥，垂足为H ． 由1122AGC S AG CH AC GO =⋅=⋅△，1AC AG GO ===，解得CH = 因为,,MN AG MN CG AG CG O ⊥⊥= ，所以MN ⊥平面ANC ． 则MN CH ⊥．又MN AG G = ，故CH ⊥平面AMN ．CH C 到平面AMN 的距离． （Ⅲ）假设在线段AN 上存在点S ,使得ES ⊥平面AMN .设(0,,)AS AN λλλ== ,又1(,1,0)2EA =- ,故1(,1,)2ES EA AS λλ=+=- ． ………10分 由（Ⅱ）知平面AMN 的一个法向量为(1,1,1)=-n ，则//ESn ，得1121λλ-==-，12λ=． ……………………………12分 此时11(0,,)22AS =,AS = . 故在AN 上存在点中点S ,使得ES ⊥平面AMN，AS = . ……………14分方法2：假设在线段AN 上存在点S ,使得ES ⊥平面AMN . 设(0,,)AS AN λλλ== ,又1(,1,0)2EA =- ,故1(,1,)2ES EA AS λλ=+=- , 由ES ⊥平面AMN 得0,0.ES AM ES AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即10,2(1)0.λλλ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩解得 12λ=，此时11(0,,)22AS =,AS 故在AN 上存在点中点S ,使得ES ⊥平面AMN，AS = . 方法3：假设在线段AN 上存在点S ,使得ES ⊥平面AMN .显然应有ES AN ⊥.于是连接,,ES AE NE ，EAN △是等腰三角形，ES 应是其底边AN 的高线，故点S 是AN 的中点. 此时，取线段,AM DC 的中点P ，Q ，连接,,SP PQ QE ，得四边形ESPQ ，可证它是平行四边形.所以ES PQ ∥.利用证明ES AN ⊥的思路，可证PQ AM ⊥，于是ES AM ⊥．这样就有ES ⊥平面AMN ．12AS AN ==．。
2017-2018年天津市红桥区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2017-2018学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为（）A． B．C． D．∀x∈R，x2+1＜02．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标是（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（2，0） D．（﹣2，0）3．（4分）椭圆的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．1 B．C．D．36．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（）A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“￢p”假D．“p∨q”真7．（4分）已知a，b，c是实数，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）抛物线y=x2的准线方程为．10．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=．11．（4分）若双曲线的离心率为2，则a=．12．（4分）抛物线y2=8x的焦点到直线x﹣y=0的距离是．13．（4分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为4．则点P的坐标为．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，直线l：3x﹣y﹣6=0．（I）求圆C的圆心及半径；（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦AB的长度．15．（12分）已知的渐近线方程，与椭圆有相同的焦点．（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的离心率．16．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心等于，（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于x轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积．17．（12分）已知椭圆，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右焦点，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OA⊥OB．求直线l的方程．2017-2018学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为（）A． B．C． D．∀x∈R，x2+1＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为：．故选：C．2．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标是（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（2，0） D．（﹣2，0）【解答】解：抛物线y2=﹣4x的开口向左，p=2，焦点坐标是：（﹣1，0）．故选：B．3．（4分）椭圆的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的长轴为4，短轴为2，可得a=2，b=1，则c==．可得e==．故选：A．4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．5．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．1 B．C．D．3【解答】解：由题意，=1∴双曲线的离心率e===．故选：B．6．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（）A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“￢p”假D．“p∨q”真【解答】解：大于90°的角为钝角，错误则命题p是假命题，所有的有理数都是实数，正确，则q是真命题，则“p∨q”真，其余为假，故选：D．7．（4分）已知a，b，c是实数，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＞b，c=0时，ac2＞bc2不成立，即充分性不成立，当ac2＞bc2，则c≠0，则a＞b，即必要性成立，即“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，8．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=，∴|EF|=，∵，∴|PF|=2，|PF'|=a，∵|PF|﹣|PF′|=2a，∴2﹣a=2a，∴，故选：C．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）抛物线y=x2的准线方程为．【解答】解：抛物线y=x2的开口向上，p=，所以抛物线的准线方程：．故答案为：．10．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=9，b2=2，得椭圆的长轴长2a=6∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，得|PF2|=6﹣|PF1|=6﹣4=211．（4分）若双曲线的离心率为2，则a=1．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得：，解得a=1．故答案为：1．12．（4分）抛物线y2=8x的焦点到直线x﹣y=0的距离是1．【解答】解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），∴点F（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==1．故答案为：1．13．（4分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为4．则点P的坐标为．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=4=x+=x+1，∴x=3，代入抛物线方程可得y=±2．则点P的坐标为：．故答案为：．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，直线l：3x﹣y﹣6=0．（I）求圆C的圆心及半径；（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦AB的长度．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0整理得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，∴圆心（1，2），半径为．（2）圆心（1，2）到直线l：3x﹣y﹣6=0的距离==，弦AB的长度==．15．（12分）已知的渐近线方程，与椭圆有相同的焦点．（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的离心率．【解答】解：（Ⅰ）因为的渐近线方程，，所以，解得离心率，则，与椭圆有相同的焦点（5，0），即c=5，a=4，双曲线c2=a2+b2，得b=3，双曲线方程．（Ⅱ）因为离心率，所以．16．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心等于，（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于x轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积．【解答】（Ⅰ）解：因为b=1，，且a2=b2+c2，所以a=2，，则椭圆方程．（Ⅱ）解：因为，=，直线QF1：，可得，整理得：，解得：，则，所以==．17．（12分）已知椭圆，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右焦点，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OA⊥OB．求直线l的方程．【解答】（Ⅰ）解：椭圆，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右焦点，所以c=1，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为4．所以，，c=1且a2=b2+c2，得b=1，则椭圆方程：．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）当AB垂直于x轴时，直线l的方程x=1，不符合题意；当AB不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，，=因为，所以，则，x1•x2+y1•y2=0，得，直线l 的方程为．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2017-2018高二上学期期末考试数学试题(理科)
2017-2018高二上学期期末考试数学试题(理科)2017-2018学年度高二上学期期末考试数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.考生必须在答题卡、纸的规定位置上填涂姓名、准考证号、考试科目和试卷类型。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改动，先用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。
答案不能写在试题卷上。
3.第Ⅱ卷答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
不按以上要求作答的答案无效。
D。
存在两条异面直线a和b，a在面α上，b在面β上，且a//面β，b//面α。
6.圆心在直线x-y+2=0上，且与两坐标轴都相切的圆的方程为A。
x^2+y^2+2x-2y+1=0B。
x^2+y^2-2x+2y+1=0C。
x^2+y^2+2x-2y=0D。
x^2+y^2-2x-2y=07.如图，ABCD是正方体，下面结论错误。
A。
BD//平面CBB。
AC⊥BDC。
AC⊥平面CBD。
异面直线AD与CB的角为60°8.设椭圆C1的离心率为5，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A。
(x^2/2^2) - (y^2/2^2) = 1B。
(x^2/3^2) - (y^2/2^2) = 1C。
(x^2/2^2) - (y^2/3^2) = 1D。
(x^2/3^2) - (y^2/3^2) = 19.正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是A。
πa^3B。
πa^2C。
2πaD。
3πa^210.已知命题p：对于所有的x∈R，sinx≤1，则命题“非p”为A。
存在x∈R，使得sinx≥1B。
对于所有的x∈R，sinx≥1C。
存在x∈R，使得sinx>1D。
2017-2018天津西青区高二上期末【理】
西青区2017~2018学年度第一学期期末考试高二数学（理）试卷球的表面积公式24πS R =，球的体积公式34π3V R =（其中R 表示球的半径），锥体体积公式13V Sh =（其中S 表示底面积，h 表示高）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．直线50x +=的倾斜角为（）．A ．30-︒B ．30︒C ．60︒D ．150︒ 【答案】D【解析】直线50x +=的斜率为∴tan θ=，∴150θ=︒．2．直线:1l x y -=与圆22:40C x y x +-=的位置关系是（）．A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 【答案】A【解析】将圆C 化为标准方程，22(2)4x y -+=，∴圆心(2,0)C ，半径2r =，∴圆心到直线的距离d r ==<，∴直线与圆相交．3．下列命题中，说法正确的命题个数为（）．①抛物线22y x =的准线方程为18y =- ②椭圆2214x y +=的长轴长为2 ③双曲线2214x y -=的渐近线方程为2y x =± ④双曲线22197x y -=的离心率与椭圆221167x y +=的离心率之积为1A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①抛物线22y x =， 即212x y =， 准线方程18y =-，故①正确；②椭圆2214x y +=中2a =， 故长轴长为4，故②错； ③双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±， 故③错； ④双曲线22197x y -=43=， 椭圆221167x y +=34=， 所以乘积为1，故④正确．4．下列命题中，说法正确的是（）．A ．命题P “0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”则P ⌝是：“x ∀∈R ，均有210x x ++>” B ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题D ．“102x <<”是“(12)0x x ->”的必要不充分条件 【答案】C【解析】A ．P ⌝是“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”； B ．否命题为“若21x ≠，则1x ≠”；C ．∵“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，原命题与其逆否命题同真同假，∴其逆否命题为真命题；D ．由(12)0x x ->得102x <<， ∴“102x <<”是(12)0x x ->的充要条件．5．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该三棱锥的体积为（）．AB． CD【答案】D【解析】由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，俯视图其底面为等腰三角形且三角形的底边长为，底边上的高为1，∴几何体的体积111232V=⨯⨯⨯=．6．从点(2,1)P-向圆222220x y mx y m+--+=作切线，当切线长最短时m的值为（）．A．1-B．0C．2D．1【答案】C【解析】将圆化为标准方程22()(1)1x m y-+-=，圆心(,1)C m，半径1r=，切线长最短时，CP最小，||CP∴2m=时，CP最小，切线长最短．7．在三棱柱111A B C ABC-中，1BB⊥平面ABC，AB AC⊥，2AB AC==，14A A=，D是BC的中点，则直线1A B与1C D所成角的余弦值（）．ABC．90︒D．13【答案】A【解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，1AA为z轴建系，1(0,0,4)A，(2,0,0)B，1(0,2,4)C，(1,1,0)D，∴1(2,0,4)A B=-，1(1,1,4)C D=-，DABCC1B1A1∴11cos ,A B C D ，1111||||A B C D A B C D ⋅= ，=，=8．已知双曲线22221x y a b-=x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切，且圆M 的半径为2，则以圆M 的圆心为焦点的抛物线标准方程为（）．A ．2y =B ．2y =C ．2y =D ．2y【答案】B 【解析】设双曲线渐近线的方程为b y x a =， 圆心坐标为(,0)c ，因为圆与直线相切，2=，即2b =，又∵e == ∴1a =，∴c =，即2P =∴P =，∴抛物线方程2y =．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．圆心为(1,1)-，半径为2的圆的标准方程__________．【答案】22(1)(1)4x y -++=【解析】圆222()()x a y b R -+-=，圆心(,)(1,1)a b =-，半径2R =，∴标准方程为22(1)(1)4x y -++=．10．已知直线1:320l x y -+=，2:30l x my +-=，若12l l ∥，则m 的值等于__________． 【答案】13- 【解析】∵12l l ∥，∴31213m -=≠-， ∴13m =-．11．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与圆2221:(5)(2)(0)C x y m m +++=>相外切，则m 的值为__________．【答案】4【解析】∵圆C 与圆1C 相外切，∴112||CC R R =+，由题可知：(1,1)C -，11R =．1(5,2)C --，2R m =，1m =+，∴4m =．12．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥，如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，则该半球的体积为__________．【解析】连接AC ，BD 交于点O ，由题可知OA OB OC OD OS r =====，∴22)2ABCD S r ==平行四边形，【注意有文字】∴2312233S ABCD V r r r -=⋅⋅==，∴r = ∴314π23V r =⨯半球，【注意有文字】=．13．已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则||||PA PE +的最小值为__________．【答案】5【解析】抛物线28y x =的焦点为(2,0)，点(2,5)A 在抛物线的外部，∴当P 、A 、F 三点共线时，||||PA PE +最小，∴min (||||)PA PE +，||AF =，5=．14．下列命题中：①直线230x y -+=和直线1102x y --=． ②一动点到两个定点1F ，2F 的距离之差等于非零常数（常数12F F <），则动点的轨迹为双曲线； ③过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作动直线l 与椭圆交于A 、B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则1AF B △的周长不为定值；④过抛物线24y x =的焦点作直线与抛物线交于A 、B 两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条；⑤已知两圆22:(1)1A x y ++=，圆22:(1)25B x y -+=，动圆M 与圆A 外切且与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆．正确的命题的序号为__________．【答案】①④⑤【解析】①两直线可化为230x y -+=与220x y --=，=∴①对；②由双曲线的定义，一动点到两定点1F ，2F 距离之差的绝对值为非零常数（12F F <），则动点的轨迹为双曲线， ∴②错误；③由椭圆定义，5a =，∴11212||||||||AF B C AF AF BF BF =+++△，22a a =+， 4a =，20=．∴③错误；④抛物线过焦点的弦AB 长度的最小值是24P =，∴长度大于4的弦都有且只有两条，∴④对；⑤设动圆从圆心为(,)x y ，半径为r ，∵M 与圆A 外切且与圆B 内切，(1,0)A -，1A r =，(1,0)B ，5B r =，∴||1AM r =+，||5BM r =-，∴M 是3a =，1c =的椭圆，∴⑤对．三、解答题：本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．15．（本小题满分13分）ABC △的三个顶点(3,0)A ，(2,1)B ，(2,3)C -，求：（1）BC 边所在直线的一般式方程．（2）BC 边上的高所在直线l 的一般式方程．（3）过BC 中点且平行于AB 的直线1l 一般式方程．【答案】（1）240x y +-=．（2）260x y --=．（3）220x y -+=．【解析】（1）∵(2,1)B ，(2,3)C -， ∴311222BC k -==---， ∴1:1(2)2BC y x -=--， 即240x y +-=． （2）∵1l BC k k ⋅=-，∴2l k =，又∵l 过点A ，∴:2(3)l y x =-即260x y --=．（3）∵(2,1)B ，(2,3)C -，∴BC 中点(0,2)，又∵12l l k k ==,∴1:22l y x -=即220x y -+=．16．（本小题满分13分）已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=，当直线l 被圆C 截得的弦长为 （1）a 的值．（2）求过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程．【答案】（1）1．（2）3x =或512450x y -+=．【解析】（1）根据题意可得圆心(,2)C a ，半径2r =，则圆心到直线:30l x y -+=的距离d ==，由勾股定理可知222d r +=⎝⎭， 化简得|1|2a +=，又∵0a >，∴1a =．（2）由（1）知圆22:(1)(2)4C x y -+-=，圆心坐标为(1,2)，半径2r =，由(3,5)r ，∴(3,5)在圆外．①当切线方程的斜率存在时，设方程为5(3)y k x -=-，∴圆心到直线的距离2d r ===， ∴512k =， ∴切线方程为512450x y -+=．②当斜率不存在时，直线方程3x =与圆相切，综上，切线方程为3x =或512450x y -+=．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，AC 交BD 于点O ，SBD △是边长为2的正三角形，60DAB ∠=︒，SA ，点E 、F 分别为CD 、SB 中点．（1）证明：EF ∥平面SAD ．（2）证明：DB ⊥平面SAC ．（3）求直线AB 与平面SBD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析．（2）见解析．（3）34． 【解析】（1）取SA 中点G ，连接GD ，GF ，∵E ，F 分别是CD ，SB 的中点，∴GF AB ∥，12GF AB =， DA BC E F S O H GO SF E C B ADDE AB ∥，12DE AB =， ∴GF DE ∥，GF DE =，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵DG ⊂面SAD ，EF ⊄面SAD ，∴EF ∥面SAD ．（2）连接SO ，∵SBD △是边长为2的正三角形，O 为中点，∴SO BO ⊥，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又∵SO AC O = ，∴BD ⊥平面SAC ．（3）过点A 作AH SO ⊥于点H ，由（2）得面SAC ⊥面SDB ，∴AH ⊥面SDB ，∴ABH ∠就是AB 与面SBD 所成角，∵四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SBD △是边长为2的正三角形，∴2AB =，AO SO ==，∵SA ．∴SAO △又∵AH SO ⊥，∴H 是SO 的中点． ∴32AH =， 在Rt ABH △中， 3sin 4AH ABH AB ∠==， ∴直线AB 与平面SBD 所成角的正弦值为34．18．（本小题满分13分）已知命题:p 实数a 满足方程221(0)34x y m a m a m+=>--表示双曲线；命题:q 实数a 满足方程22112x y a a+=--表示焦点在y 轴上的椭圆． （1）若1m =，命题“p q ∧”为真，求实数a 的取值范围． （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）∅．（2）13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）∵命题“p q ∧”为真， ∴命题p ，q 均为真， 又∵34a m a m ->-，∴30:40a m p a m ->⎧⎨-<⎩，21:10a a q a ->-⎧⎨->⎩， 又∵1m =，∴:34p a <<，3:12q a <<， ∴a ∈∅． （2）由（1）得，:34p m a m <<，3:12q a <<， ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴31342m m ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤， ∴1338m ≤≤．19．（本小题满分14分） 如图，已知在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥面ABCD ，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，E 、F 、G 分别是PA ，PB 、BC 中点．（1）求证：EF ⊥平面APD ． （2）求平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小． （3）设点M 在线段PD 上（点M 不与P 、D 重合），且直线GM 与平面EFG，求MG 长． 【答案】（1）见解析．（2）π3．（3） 【解析】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD AD =， AB AD ⊥，∴AB ⊥平面PAD ， D G AB CE FP又∵EF AB ∥，∴EF ⊥平面PAD ．（2）取AD 中点O ，连接PO ，∵平面PAO ⊥平面ABCD ，PO AD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OG ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建系，∴(0,0,0)O ，(0,2,0)A -，(4,2,0)B -，(4,2,0)C ，(0,2,0)D ，(4,0,0)G ，P ，(0,E -，(2,F -，∴(2,0,0)EF = ，(4,1,EG = ，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z = ，2040x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴m = ，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n = ，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， ∴||1cos 2||||m n m n θ⋅== ． ∴π3θ=． （3）设PM PD λ= ， GM GP PM =+ ， GP PD λ=+ ，∴(4,2))GM λλ=-- ，又∵GM 与平面EFG ，∴|cos ,|GM m = ， ∴12λ=或1， 又∵M 不与P 、D 重合， ∴12λ=，∴(4,1GM =- ，∴||MG=20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知直线:l y kx =C 交于A 、B 两点，若以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，试求出k 的取值．【答案】（1）2214x y +=．（2） 【解析】（1）由题意知：c e a ==， ∴22222234c a b e a a -===， ∴224a b =，又∵圆222x y b +=与直线0x y -=相切，∴1b =，24a =， ∴22:14x C y +=． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为M ，由2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得22(14)80k x +-+=，∴12x x +=122814x x k =+，∴122M x x x +==M M y kx =，12|||AB x x -，= ∴以AB为直径的圆的方程为222x y ⎛⎛-++= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又∵该圆经过原点，∴22200⎛⎛++= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得22(411)(41)0k k -+=，∴211 4k=，∴k=。
2017-2018学年天津市滨海新区高二第一学期期末数学试卷(理科)(a卷)〖详解版〗
2017-2018学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）经过两点A（4，2y+1），B（y，﹣3）的直线的倾斜角为，则y＝（）A．﹣8B．﹣3C．0D．82．（5分）如果命题“￢（p∨q）”为假命题，则（）A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题3．（5分）已知两条直线y＝ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1＝0互相平行，则a等于（）A．﹣1或3B．﹣1或3C．1或3D．1或﹣34．（5分）已知条件p：k＝；条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β②若l∥α，α∥β，则l∥β③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥β其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3 个D．4个7．（5分）直线ax+by+c＝0与圆x2+y2＝9相交于两点M，N，若c2＝a2+b2，则•（O 为坐标原点）等于（）A．﹣7B．﹣14C．7D．148．（5分）已知抛物线C1：y2＝8x的焦点F到双曲线C2：的渐近线的距离为，P是抛物线C1的一动点，P到双曲线C2的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x+2＝0的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（51cm，则圆锥的体积为cm310．（5）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3＝0，那么a11．（5，则正方体的表12．（5F恰好是双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为．13．（5分）已知圆锥曲线E的方程为：命题p：E的方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：圆锥曲线E的离心率，若命题￢p∧q为真命题，则实数k 的取值范围是．14．（5分）如图，设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，、过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2的内切圆的面积为4，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则|y1﹣y2|值为．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（12分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4＝0．（I）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（II）设直线/与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，P A⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点，P A＝AB＝2．（I）求证：EF∥平面PCD；（II）求直线EF与平面P AB所成的角．17．（13分）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD ＝，AD＝2，DE＝．（Ⅰ）异面直线AE与DC所成的角余弦值；（Ⅱ）求证平面AEF⊥平面CEF；（Ⅲ）在线段AB取一点N，当二面角N﹣EF﹣C的大小为60°时，求|AN|．18．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
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2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．23．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．故选：C．2．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．2【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的离心率是=．故选：B．3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．故选：B．4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，∴=0﹣3+3（3+λ）=0，解得实数λ=﹣2．故选：A．5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，反之不成立，即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．故选：D．7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），圆心坐标为C（2，0），半径r=，则|AC|=2﹣1=1＜，则点A在圆内，则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，故选：A．8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．故选：B．9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设A（x 1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1M（3，3），则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．故选：C．10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．∴|PM|==，当|PF|最大时，切线长|PM|最大．当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，最小值为：5+3=8，∴|PM|==3，|PM|的取值范围[，3]，故选：D．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左∴焦点坐标为（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4∴|PF2|=4﹣=．故答案为：．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．则m+n=﹣1．故答案为：﹣1．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，AF=，DF=，∴∴．故答案为：15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是∪．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化为：k2，解得k或k．∴k的取值范围是∪．故答案为：∪．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4即有x1x2+y1y2=0，则•=0=0，即有OA⊥OB；（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，=•|OA|•|OB|=××2=3．∴S△OAB18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣BCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=．在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．==2．∴S△BCD==．∴V P﹣BCD19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，a，2a），∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），=（﹣a，1，0），=（0，1，1），则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，∴所求椭圆C的方程为；…（3分）（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，x 1+x2=﹣，x1x2=，∴y 1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）∵以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，∴k AD •k BD =﹣1，∴y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4=0，∴7m 2+16mk +4k 2=0， ∴m 1=﹣2k ，m 2=﹣k ，且均满足3+4k 2﹣m 2＞0，（9分）当m 1=﹣2k 时，l 的方程为y=k （x ﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾， 当m 1=﹣k 时，l 的方程为y=k （x﹣），则直线过定点（，0） ∴直线l 过定点，定点坐标为（，0）．（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为yxo减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。