平面图形的几何性质

O
y yC
y
从而： Sz yC A , Sy zC A
推论 1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零， 则该坐标轴必通过图形的形心。
2、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒 等于零，
即：轴过形心 <==> S该轴=0
例题1 求所示图形对y 轴的静矩 z
解法1：
z+dz
R
Sy
zdA
A
0
z
R2 z2 d z
y
y
特点:
(1)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4 、 cm4 、 mm4.
(2)其值可正、可负，可为零。
(3)所选坐标轴有一个对称轴，则惯性积的值为零。
四、几个主要定义
(1)主惯性轴：Iy0z0=0，则y0、z0为主惯性轴。
(2)主惯性矩：对任一主惯性轴的惯性矩。 (3)形心主惯性轴：过形心的主惯性轴的惯性矩。
yc
Sz A
Ai yi
i 1
A
,
n
zc
Sy A
i 1
Ai zi A
其中：yc 、 zc为组合图形的形心坐标，
Sz、Sy为组合图形分别对z轴n和y轴的静矩,
A为组合图形的总面积, A Ai
§ 2 极惯性矩•惯性矩•惯性积
一、惯性矩
z
定义 图形面积对某轴的二次矩 z
dA
Iz
y2 d A,
n
n
I z I zi , I y I yi
i 1
i 1
（5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某
一长度平方的乘积, 即
I z Aiz2 或 I y Aiy2
iz
Iz A
iy
Iy A
其中iy、iz分别为平面图形对z轴和y轴的惯性半径。
二、极惯性矩
z
dA
定义图形面积对某点的二次矩： z
C2
C
yc
yห้องสมุดไป่ตู้
C1
300
I y1
300 303 12
6.75105
,
I z1
30 3003 12
6.75107
,
I y2
50 2703 12
8.2107
,
I z2
270 503 12
2.81106
,
（3）计算形心惯性矩。
n
n
I z (I z )i I zi 70.31106
n
n
i 1
i 1
A
Iy
z2 d A
A
特点：
O
y
y
（1）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用m4 、 mm4。
（2）惯性矩恒为正值。
（3）其大小不仅与平面图形的形状、尺寸有关，而且还 与平面图形面积相对于坐标轴的分布情况有关。平面图形 的面积相对坐标轴越远，其惯性矩越大；反之越小。
（4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对 同一轴的惯性矩之和:
Iy
Iz
IP 2
d 4
64
同理，对于空心圆：
I I D4 (1 4 )
D d
其中 d
z
dz z
O
y
b z
d
O
y
§3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
一、惯性矩的平行移轴公式
C为形心，y、z为原坐标轴， yc、zc为过形心C分别与y、 z平行 的坐标轴
I yC A zC2dA y yC a
可以证明：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。
(4)形心主惯性矩：对任一形心的主惯性轴的惯性矩
例3 求所示图形的形心主惯性矩
解： dA bdz
I y
z2dA
A
h/ 2 bz2dz bh3
h / 2
12
h
Iz
y2dA hb3
A
12
例4 求所示图形的形心主惯性矩
解： IP I y I z
n
n
I z (I z )i (I zi ai2 Ai )
i 1
i 1
n
n
I y (I y )i (I yi bi2 Ai )
i 1
i 1
例5： 试计算图示截面的形心主惯性矩。
z
解：（1）确定形心及形心主惯性轴。
h 4
由于y、 z为对称轴，故y、z都为 形心主惯性轴。
h 4
d
② ①
O
y
1 R3
z
3
试想想还有没有其它方法？
O
y
三、组合图形的静矩和形心
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图 形对同一轴静矩的代数和，即：
n
n
Sz Ai yi , Sy Ai zi
i1
i1
其中：Ai， yi， zi 分别代表第i个图形的面积和形心坐标，
n为分割成的简单图形的个数。
2、组合图形的形心坐标 n
I p
2 d A
A
特点：
ρ
O
y
y
（1）具有惯性矩的特点。
（2）由于ρ2=y2+z2, 所以有Ip=Iy+Iz, 即平面图行 对通过一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和 均相等, 并且等于平面图形坐标原点的极惯性 矩。
三、惯性积
z
定义 图形对一对相互垂直的轴的矩z
dA
I yz
yz d A
A
O
z
R
1 R R2 z2 d z2
20
O
y
z2
1 R2 R2 d
20
1 R2 R2 d(R2 )
20 1 2 (R2
3
)2
R2
1 R3
23
3
0
z 解法2：
Sy
zd A
A
rdθ
Ar sin r d d r
dθ r r+dr θ
2
R r2 d r sin d
00
I yc (I y )i (I yi bi2 Ai ) 203.68106
h2d 2
32
hb3 d 4
I z I z1 I z2 I z3
例6： 试计算T形截面的形心主惯性矩。
z
50
解：（1）确定形心及形心主惯性轴。
zc
A1z1 A2 z2 A1 A2
90
270
由于z为对称轴，故yc、zc都为
形心主惯性轴。
（2）计算两矩形对自身形心C1、C2 30 的惯性矩。
二、惯性积的平行移轴公式
I yCzC A yC zCdA
I yz
yzdA
A
z y zc yC dA
a zC
C
b
z yc
(
A
yC
b)( zC
a)dA
O
y
A yC zCdA b
A zCdA a
A
yCdA
ab
dA
A
I yC zC
S yc 0
Szc 0
abA
I yz I yczc abA
I zC A yC2 dA z zC b
z y zc yC dA
a zC
C
b
z yc
O
y
Iy
z2dA
A
A (zC b)2 dA
A zC2 dA 2b A zCdA b2
dA
A
I yC
S
yC
0
b2 A
Iz
y 2 dA
A
A ( yC a)2 dA
A yC2 dA 2a A yCdA a2
说明：
心坐标I）yc z可c不正是可所负有，平其行符轴号的由惯其性所积在中象的限最确小定值。，因为a、b（形
三、组合图形形心主惯性矩的计算
1、确定组合图形的形心主惯性轴
a. 确定形心 b. 确定形心主惯性轴
2、求各组成图形分别对自身形心轴yi、zi轴的惯性 矩, yi、zi轴分别平行与y、z轴。
3、利用平行移轴公式，叠加
（2）计算三部分对形心主惯性轴的形 h
y
心惯性矩。
4
d
bh3
hb3
I y1 12 , I z1 12
h
③
4
I y2
I y3
d 4
64
h
2
d
2
4 4
d 4
64
h2d 2
64
b d 4
Iz2 I z3 64
（3）计算组合图形的形心惯性矩。
Iy
I y1
I y2
I y3
bh3 12
d 4
32
平面图形的几何性质
基本要求
1.理解各项平面图形几何性质的意义及其计算方法。 2.熟练掌握平行移轴定理及其应用。 3.熟悉组合图形的几何性质计算。
§Ⅰ-1 截面的静矩和形心位置
一、静矩
z
定义 面积对轴的一次矩
z
dA
Sz
yd A,
A
Sy
zdA
A
分别为图形对z 轴和 y 轴的静矩。 O
y
y
说明：
1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所 选坐标的位置有关。同一平面图形对不同的坐标 轴，其静矩不同。
2、静矩的数值可正可负，也可以为零。 3、静矩的单位：mm3 或m3 。
二、形心
z
z
dA
形心与均质薄板的重心相同
zC
C
y d A
zd A
yC
A
A
,
zC
A
A
即:
yc
Sz A
,
zC
Sy A
dA
A
I zC
S
zC
0
a2A
则有：
I y I yc b2 A I z I zc a2 A
z y zc yC dA
a zC
C
b
z yc
说明：
O
y
(1)两平行轴中必须有一轴为过形心轴。
(2)截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平 行的形心轴惯性矩来换算。
(3)截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心 轴的惯性矩为最小。