第八章 第一节 欧拉法

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第八章 第一节
Xn 欧拉公式数值解 yn 准确值y(xn) 误差
0.2 1.191818 0.4 1.358213 0.6 1.508966 0.8 1.649783 1 1.784770
1.183216 1.341641 1.483240 1.612452 1.732051
0.008602 0.016572 0.025726 0.037331 0.052719
一般的说，对一种数值求解公式，将准确解y(x) 分别带入其左、右两端，记其左端y(xn+1)与右 端(仍记为yn+1 )之差为T
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第八章 第一节
例1 在区间[0 ，1]上以h = 0.1 为步长，分别用欧拉 法与预估—校正法求初值问题
dy dx
y
2x y
y(0) 1
的数值解。
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第八章 第一节
欧拉公式具有明显的几何意义，就是用折线近 似代替方程的解曲线，因而常称公式（7-2）为 欧拉折线法。
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二、后退的欧拉公式
在xn+1点列出方程式（7-1）
第八章 第一节
y( xn1 ) f ( xn1 , y( xn1 ))
用向后差商逼近导数
y( xn1 )
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第八章 第一节
y2
y1
h( y1
2 x1 ) y1
1.1
0.1(1.1
0.2) 1.1
1.191818
y1 y0 h( y0 2x0 y0 ) 1 0.1 1.1
依次计算下去，部分计算结果见下表。与准确解 y 1 2x 相比 ，可看出欧拉公式的计算
结果精度不太高
n ( xn, xn1)
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第八章 第一节
代入式（7-1）可得
y( xn1)
y( xn )
hf
( xn,
y( xn,
yn ))
h2 2
y(n )
截去
T1
h2 2
y( n )
可得 y (xn) 的近似值 yn 所满足的递推公式
yn1 yn hf ( xn , yn )
此式称为欧拉( Euler )公式。
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第八章 第一节
一、欧拉公式
将求解区间[a , b]分成 N 等分,
令
h
b
N
a
,
xn
a
nh
(n=0,1,…,N)。在xn 点列出方程式
y( xn ) f ( xn , y( xn ))
将 y( xn) 表示为数值微分方程
y( xn )
y( xn1) h
y( xn )
h 2
y(n ),
(7 2)
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例1 用欧拉公式解初值问题
第八章 第一节
y' y 2x y , 0 x 1
y(0)
1
解 取步长h =0.1，欧拉公式的具体形式为
yn1 yn h( yn 2 xn yn )
其中xn= nh =0.1n ( n =0,1,…10 ),已知 y0 =1，由 此式可得
称为后退欧拉公式。它与欧拉公式（7-2）的一个 明显区别是：
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已知yn时，必须通过解方程才能求出yn+1 。这样的 公式称为隐式公式，而欧拉公式则称为显式公式。
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三、局部误差与方法的阶
第八章 第一节
T1 y( xn1) [ y( xn ) hf ( xn , y( xn ))] T2 y( xn1 ) [ y( xn1 ) hf ( xn1, y( xn1 ))]
第八章 第一节
解 该方程为贝努利方程，其精确解为
y 1 2x
欧拉公式的具体形式为
yn1
yn
h( yn
2xn ) yn
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第八章 第一节
预估—校政公式的具体形式为
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
yn
1 2
k1
1 2
k2
k1
h(
yn
2 xn yn
)
k2
h(
yn
k1
2( xn h)) yn k1
取步长 h 0.1 , x0 0 , y0 1 , 计算结果见 下表：
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yn n xn 欧拉法 预估—校正法
00 1
1
1 0.1 1.1
1.095909
2 0.2 1.191818 1.184097
3 0.3 1.277438 1.266201
4 0.4 1.358213 1.343360
准确解 1 1.095445 1.183216 1.264911 1.341641
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5 0.5 1.435133 1.416402 6 0.6 1.508966 1.485956 7 0.7 1.580338 1.552514 8 0.8 1.649783 1.616475 9 0.9 1.717779 1.678166 10 1 1.784771 1.737867
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第八章 第一节
定理 设函数 f ( x, y)在区域 D : a x b, y
上连续，且在区域 D内满足李普希兹( Lipschitz ) 条件,即存在正数 L ，使得对于 R 内任意两点 ( x, y1) 与( x, y2 )，恒有
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2 则初值问题(1)的解 y( x)存在并且唯一
2 xn1 ) yp
yn1
1 2 ( yp
yc )
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部分计算结果见下表
第八章 第一节
xn 改进欧拉法 误差
0 1.
0
xn 改进欧拉法 误差 0.6 1.485956 0.002716
0.2 1.184096 0.000088 0.8 1.616476 0.004024
0.4 1.343360 0.001719 1.0 1.737869 0.05818
第八章 第一节
第一节 欧拉方法
在高等数学中用解析法求解常微分方程的初值问题
y f ( x, y)
y( x0 )
y0
a xb
如
y y
y(0)
1
由 y y 得 y ce x
又由 y(0) 1 得 初值问题解为
C e0 1,C 1 y ex
很多时候解析解求不出来, 如 f ( x, y) x2 y2
第八章 第一节
1.414214 1.483240 1.549193 1.612452 1.673320 1.732051
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第八章 第一节
例2 用改进的欧拉法解例1中的初值问题。
解 取步长h =0.1,改进欧拉法的具体形式为
y
p
yn
h( yn
2 xn ) yn
yc
yn
h( yp
y(xn1) h
y ( xn )
h 2
y(n ),
n (xn, xn1)
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第八章 第一节
则可得
y( xn1)
y( xn1)
hf
( xn1,
y(xn1))
h2 2
y(n )
截去
T2
h2 2
y(n )
(7 3)
则可得另一个数值求解递推公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ) (7 4)