第八章 第一节 欧拉法
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第八章常微分方程的数值解法
y( xn1 )
15
Euler法的收敛性
称初值问题(8.1.1)的数值解法是收敛的，如:
h0 ( n )
lim yn y ( x)
其中： x xn x0 nh , x [ x0 , b]
16
例考察以下初值问题Euler法的收敛性
dy y dx y (0)＝y0 ( 0)
★
可得： h (k ) ( k 1) y y | f ( xn 1 , yn ) f ( x , y 1 n 1 n 1 ) | 2 hL ( k ) hL k 1 (1) ( k 1) (0) | yn 1 yn 1 | ( ) | yn 1 yn 1 | 2 2 hL k 1 ( k 1) 从而 : lim( ) 0 , 故有 lim yn 1 y n 1 。 k 2 k
★
由y0＝y( x0 ), 假定yn＝y( xn ), 往证：
y0 yn 1 y ( xn 1 ) xn 1； x0
14
证明
yn yn1 yn hf ( xn , yn ) yn h xn 1 1 yn (1 h ) y( xn )(1 h ) xn xn y0 y0 1 xn (1 h ) ( xn h) x0 xn x0 y0 xn 1 x0
8
局部截断误差
假设第n步在点xn的值计算没有误差,即yn y( xn ), 由单步法计算出yn1 , 则
Tn1 y( xn1 ) yn1 称为点xn1上的局部截断误差.
从初值y( x0 ) y0出发，由单步法显式或隐式 逐步计算，得xn 1的值yn 1 , 则
n1 y( xn1 ) yn1
欧拉方法课件
yi
1 2 h[ f (xi , yi )
f ( xi1 , yi1 )]
隐式措施
这种只用前一步 yi 即可算出 yi1 的公式称为单步法.
显式旳单步法能够逐层求解，简朴以便；
隐式旳单步法需要解具有 yi1 旳方程式，很不以便，
常用迭代法求解。
隐式措施旳迭代求解
梯形措施：
1 yi1 yi 2 h [ f ( xi , yi ) f ( xi1 , yi1 )]
第四步，将差分方程改写为线性方程组旳形式并求 解，解出 yi .
第五步，从理论上研究数值格式旳局部截断误差（即 相容性）、稳定性以及收敛性与整体误差。
第六步，分析数值成果与理论分析是否一致，考察 有无不足及可改善线法)
第一步，对问题(*)旳求解区域作一致网格剖分，
即 yi1 yi h f ( xi , yi ), i 0, 1, n 1.
总旳， yi1 yi h f ( xi , yi ), i 0, 1, n 1.
y0 y( x0 ).
这就是著名旳欧拉(Euler)公式。 以上措施称为欧拉措施或欧拉折线法。
欧拉折线法名称旳由来： yi1 yi h f ( xi , yi ), i 0, 1, n 1.
证：此定理旳证明可在一般旳《常微分方程》教材 上找到，故略。
2.求解问题(*)数值措施旳基本思想
求解问题(*)数值措施旳基本思想是在求解区域 I
上任取 n 1个节点 a x0 x1 x2 xn b ,
在这些节点上采用离散化措施（一般用数值积分、微 分、泰勒公式等）将上述初值问题化成有关离散变量
(xi ,
yi )
yi
h( yi
2xi yi
),
欧拉法原理
欧拉法原理欧拉法是一种常用的数值解微分方程的方法，它是由瑞士数学家欧拉提出的。
在物理、工程、计算机等领域，微分方程是一种常见的数学工具，用来描述系统的变化规律。
而欧拉法可以通过离散化微分方程，将连续的变化过程转化为离散的计算步骤，从而求得近似解。
在本文中，我们将介绍欧拉法的原理及其应用。
首先，我们来看看欧拉法的原理。
对于一个一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，我们可以通过欧拉法来进行数值解。
假设我们要求解的区间为[x0,xn]，步长为h，则我们可以将区间[x0,xn]等分为n段，每一段的长度为h。
然后，我们从初始点x0开始，根据微分方程dy/dx=f(x,y)的斜率f(x0,y0)计算出下一个点的纵坐标y1=y0+hf(x0,y0)。
然后，我们以(x1,y1)作为新的起点，重复上述步骤，直到得到整个区间上的近似解。
欧拉法的原理其实就是将微分方程中的导数转化为差分形式，从而得到离散的计算步骤。
虽然欧拉法是一种简单粗暴的数值解法，但在一些简单的微分方程问题中，它仍然是一种有效的数值解法。
当然，欧拉法也有它的局限性，比如对于刚性方程或者高阶微分方程，欧拉法可能会出现精度不足的问题。
接下来，我们来看看欧拉法的应用。
在物理学中，欧拉法常常用来模拟运动的轨迹。
比如在自由落体运动中，我们可以通过欧拉法来计算物体的位置随时间的变化规律。
在工程领域，欧拉法也常常用来求解控制系统的动态响应。
在计算机领域，欧拉法也是常见的数值计算方法，比如在游戏物理引擎中，欧拉法可以用来模拟物体的运动轨迹。
总之，欧拉法是一种常见的数值解微分方程的方法，它通过离散化微分方程，将连续的变化过程转化为离散的计算步骤，从而求得近似解。
虽然欧拉法有其局限性，但在一些简单的微分方程问题中，它仍然是一种有效的数值解法。
在物理、工程、计算机等领域，欧拉法都有着广泛的应用。
希望本文能够对读者对欧拉法有所帮助。
电力系统暂态分析 电力系统暂态稳定
第八章 电力系统暂态稳定第一节 暂态稳定概述暂态稳定分析：不宜作线性化的干扰分析，例如（新控制方式）、短路、断线、机组切除（负荷突增）、甩负荷（负荷突减）等。
能保持暂态稳定：扰动后，系统能达到稳态运行。
分析暂态稳定的时间段：起始：0~1s ，保护、自动装置动作，但调节系统作用不明显，发电机采用qE '、PT 恒定模型；中间：1~5s ，AVR 、PT 的变化明显，须计及励磁、调速系统各环节； 后期：5s~mins ，各种设备的影响显著，描述系统的方程多。
基本假定：⑴ 网络中，ω=ω0 （网络等值电路同稳态分析） ⑵ 只计及正序基波分量，短路故障用正序增广网络表示第二节 简单系统的暂态稳定分析一．物理过程分析发电机采用E ’模型。
故障前：221T LT dI x x x x x +++'= 电源电势节点到系统的直接电抗 δsin II x UE P '= 故障中，∆++'++++'=x xx x x x x x x T LT dT LT dII )2)(()2()(2122δsin IIII x UE P '=故障切除后：功角特性曲线为故障发生后的过程为：运行点变化 原因 结果a →b 短路发生 PT>PE, 加速，ω上升，δ增大 b →c ω上升，δ增大 ω>ω0 ,动能增加c →e 故障切除 PT<PE, 开始减速，但ω>ω0 ，δ继续增大 e →f 动能释放 减速，当ωf =ω0，动能释放完毕，δm 角达最大 f →k PT<PE, 减速δ，减小 经振荡后稳定于平衡点k 结论： 若最大摇摆角h m δδ<，系统可经衰减的振荡后停止于稳定平衡点ｋ，系统保持暂态稳定，反之，系统不能保持暂态稳定。
暂态稳定分析与初始运行方式、故障点条件、故障切除时间、故障后状态有关。
电力系统暂态稳定分析是计算电力系统故障及恢复期间内各发电机组的功率角i δ的变化情况（即δ–ｔ曲线），然后根据i δ角有无趋向恒定（稳定）数值，来判断系统能否保持稳定，求解方法是非线性微分方程的数值求解。
欧拉法的若干基本概念ppt课件
非均匀流
急变流
.
返回 返回 返回
A
旋转抛物面
Q udA 即为旋转抛物体的体积 A
V A Q 即为柱体的体积
断面平均流速V
udA
VA A
.
返回
(z
p g
)1
C1
p+dp dA
dn
p α z z dz
p (z g )2 C2
O
O
在均匀流，与流线正交的n方向上无加速度，所以有 Fn 0
即： p d A ( p d p ) d A g d A d n c o s 0 dpgdz0
积分得：
z g C p
.
返回
实际液体恒定总流的能量方程式
水流的能量方程就是能量守恒规律在水流运动中的具 体表现。根据流动液体在一定条件下能量之间的相互转 换，建立水流各运动要素之间的关系。
方程式建立的思路： •理想液体恒定流微小流束的能量方程式 •实际液体恒定流微小流束的能量方程式 •实际液体恒定总流的能量方程式
.
修正原因：
1．两个小孔的位置不同。 2．毕托管放入水流中所产生的扰动影响。
u 2gh
称为毕托管的校正系数， 一般约为0.98- 1.0。
.
1
文丘里流量计（文丘里量水槽）
2 h
h
h1
h2
1
h1 h2
1
2
22
B1 B2
1
收缩段 喉管 扩散段
1
2
以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失，
对1-1、2-2断面列能量方程式：
欧拉法的若干基本概念
•迹线与流线 •流管、微小流束、总流和过水断面 •流量和断面平均流速 •水流的分类 •均匀流、渐变流过水断面的重要特性
欧拉公式PPT课件
信号处理
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
欧拉法的若干基本概念
高阶偏微分方程的求解
总结词
对于高阶偏微分方程，欧拉法可以通过迭代的方式逐 步逼近解，但可能收敛速度较慢且精度较低。
详细描述
对于高阶偏微分方程，如 (u_{tt} = f(x, y, u, u_x, u_y, u_z, u_{xx}, u_{xy}, u_{xz}, u_{yy}, u_{yz}, u_{zz}))，可 以通过泰勒级数展开等方式将其转化为多个一阶偏微分 方程，然后对每个一阶偏微分方程应用欧拉法进行求解。 但需要注意的是，由于欧拉法的精度和收敛速度限制， 对于高阶偏微分方程，可能需要采用其他数值方法如有 限元法、谱方法等来提高精度和收敛速度。
欧拉法的应用领域
物理模拟
欧拉法可用于求解物理现象的数学模 型，如流体动力学、电磁学和热传导
等。
工程设计
在工程设计中，欧拉法可用于模拟和 分析复杂系统的行为，如机械系统、
控制系统和航空航天系统等。
金融建模
欧拉法也可用于金融领域，如股票价 格模拟、期权定价和风险评估等。
02
欧拉法的基本原理
离散化思想
一阶偏微分方程的求解
总结词
欧拉法也可以用于求解一阶偏微分方程，通过将偏微分方程转化为多个一维常微分方程， 然后分别用欧拉法求解。
详细描述
对于形如 (u_t = f(x, y, u, u_x, u_y, u_z)) 的一阶偏微分方程，可以通过有限差分法等 手段将其转化为多个一维常微分方程，然后对每个一维常微分方程应用欧拉法进行求解。
研究欧拉法在处理高阶微分方程 和其他复杂问题中的应用，以扩 大其应用范围。
05
欧拉法的应用实例
一维常微分方程的求解
要点一
总结词
欧拉法在求解一维常微分方程时，通过选取离散的时间点 ，将微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解。
第八章 微分方程1
考虑引例1 考虑引例1，对于微分方程 dy = 2x dx 函数y=x2+C是其通解，y=x2+1是其满足初始 是其通解， 函数 是其通解 是其满足初始 条件x 的特解。 条件 0=1，y(x0)=2的特解。 ， 的特解
3
微分方程的(部分 积 微分方程的 部分)积 部分 分曲线(0≤C≤2)见右 分曲线 见右 图，其中红色曲线 为满足初始条件的 特解曲线。 特解曲线。
例8.2 求微分方程 x2 y″+xy′+(x2 -1/4)y=0 的通解 s=dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-1/4)*y=0','x') s = (C1*cos(x)+C2*sin(x))/x^(1/2) 注意 (1)若不加自变量 ，则将把 作为常数求解。 若不加自变量x，则将把x作为常数求解 作为常数求解。 若不加自变量 (2)所得结果可以用命令 所得结果可以用命令pretty进行简化。 进行简化。 所得结果可以用命令 进行简化 例 pretty(s) C1 cos(x) + C2 sin(x) --------------------1/2 x
应满足条件x=1时y=2，因此可解得 又y(x)应满足条件 应满足条件 时 ，因此可解得C=1 故所求曲线方程为y=x2+1。 故所求曲线方程为 。
列车在平直路线上以20米 秒的速度行驶 秒的速度行驶， 例2 列车在平直路线上以 米/秒的速度行驶， 当制动时，列车获得加速度-0.4米/秒2，问开始 当制动时，列车获得加速度 米秒 制动后多长时间能停住， 制动后多长时间能停住，以及列车在这段时间 行驶了多少路程？ 行驶了多少路程？ 设列车开始制动后t秒内行驶了 解:设列车开始制动后 秒内行驶了 米，则 设列车开始制动后 秒内行驶了s米
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一般的说，对一种数值求解公式，将准确解y(x) 分别带入其左、右两端，记其左端y(xn+1)与右 端(仍记为yn+1 )之差为T
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第八章 第一节
例1 在区间[0 ，1]上以h = 0.1 为步长，分别用欧拉 法与预估—校正法求初值问题
dy dx
y
2x y
y(0) 1
的数值解。
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称为后退欧拉公式。它与欧拉公式（7-2）的一个 明显区别是：
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第八章 第一节
已知yn时，必须通过解方程才能求出yn+1 。这样的 公式称为隐式公式，而欧拉公式则称为显式公式。
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三、局部误差与方法的阶
第八章 第一节
T1 y( xn1) [ y( xn ) hf ( xn , y( xn ))] T2 y( xn1 ) [ y( xn1 ) hf ( xn1, y( xn1 ))]
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第八章 第一节
一、欧拉公式
将求解区间[a , b]分成 N 等分,
令
h
b
N
a
,
xn
a
nh
(n=0,1,…,N)。在xn 点列出方程式
y( xn ) f ( xn , y( xn ))
将 y( xn) 表示为数值微分方程
y( xn )
y( xn1) h
y( xn )
h 2
y(n ),
(7 2)
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例1 用欧拉公式解初值问题
第八章 第一节
y' y 2x y , 0 x 1
y(0)
1
解 取步长h =0.1，欧拉公式的具体形式为
yn1 yn h( yn 2 xn yn )
其中xn= nh =0.1n ( n =0,1,…10 ),已知 y0 =1，由 此式可得
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第八章 第一节
yn n xn 欧拉法 预估—校正法
00 1
1
1 0.1 1.1
1.095909
2 0.2 1.191818 1.184097
3 0.3 1.277438 1.266201
4 0.4 1.358213 1.343360
准确解 1 1.095445 1.183216 1.264911 1.341641
第八章 第一节
第一节 欧拉方法
在高等数学中用解析法求解常微分方程的初值问题
y f ( x, y)
y( x0 )
y0
a xb
如
y y
y(0)
1
由 y y 得 y ce x
又由 y(0) 1 得 初值问题解为
C e0 1,C 1 y ex
很多时候解析解求不出来, 如 f ( x, y) x2 y2
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5 0.5 1.435133 1.416402 6 0.6 1.508966 1.485956 7 0.7 1.580338 1.552514 8 0.8 1.649783 1.616475 9 0.9 1.717779 1.678166 10 1 1.784771 1.737867
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第八章 第一节
y2
y1
h( y1
2 x1 ) y1
1.1
0.1(1.1
0.2) 1.2x0 y0 ) 1 0.1 1.1
依次计算下去，部分计算结果见下表。与准确解 y 1 2x 相比 ，可看出欧拉公式的计算
结果精度不太高
n ( xn, xn1)
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第八章 第一节
代入式（7-1）可得
y( xn1)
y( xn )
hf
( xn,
y( xn,
yn ))
h2 2
y(n )
截去
T1
h2 2
y( n )
可得 y (xn) 的近似值 yn 所满足的递推公式
yn1 yn hf ( xn , yn )
此式称为欧拉( Euler )公式。
第八章 第一节
解 该方程为贝努利方程，其精确解为
y 1 2x
欧拉公式的具体形式为
yn1
yn
h( yn
2xn ) yn
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第八章 第一节
预估—校政公式的具体形式为
yn1
yn
1 2
k1
1 2
k2
k1
h(
yn
2 xn yn
)
k2
h(
yn
k1
2( xn h)) yn k1
取步长 h 0.1 , x0 0 , y0 1 , 计算结果见 下表：
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2 xn1 ) yp
yn1
1 2 ( yp
yc )
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部分计算结果见下表
第八章 第一节
xn 改进欧拉法 误差
0 1.
0
xn 改进欧拉法 误差 0.6 1.485956 0.002716
0.2 1.184096 0.000088 0.8 1.616476 0.004024
0.4 1.343360 0.001719 1.0 1.737869 0.05818
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第八章 第一节
Xn 欧拉公式数值解 yn 准确值y(xn) 误差
0.2 1.191818 0.4 1.358213 0.6 1.508966 0.8 1.649783 1 1.784770
1.183216 1.341641 1.483240 1.612452 1.732051
0.008602 0.016572 0.025726 0.037331 0.052719
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第八章 第一节
定理 设函数 f ( x, y)在区域 D : a x b, y
上连续，且在区域 D内满足李普希兹( Lipschitz ) 条件,即存在正数 L ，使得对于 R 内任意两点 ( x, y1) 与( x, y2 )，恒有
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2 则初值问题(1)的解 y( x)存在并且唯一
y(xn1) h
y ( xn )
h 2
y(n ),
n (xn, xn1)
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第八章 第一节
则可得
y( xn1)
y( xn1)
hf
( xn1,
y(xn1))
h2 2
y(n )
截去
T2
h2 2
y(n )
(7 3)
则可得另一个数值求解递推公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ) (7 4)
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第八章 第一节
欧拉公式具有明显的几何意义，就是用折线近 似代替方程的解曲线，因而常称公式（7-2）为 欧拉折线法。
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二、后退的欧拉公式
在xn+1点列出方程式（7-1）
第八章 第一节
y( xn1 ) f ( xn1 , y( xn1 ))
用向后差商逼近导数
y( xn1 )
第八章 第一节
1.414214 1.483240 1.549193 1.612452 1.673320 1.732051
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第八章 第一节
例2 用改进的欧拉法解例1中的初值问题。
解 取步长h =0.1,改进欧拉法的具体形式为
y
p
yn
h( yn
2 xn ) yn
yc
yn
h( yp
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第八章 第一节
例1 在区间[0 ，1]上以h = 0.1 为步长，分别用欧拉 法与预估—校正法求初值问题
dy dx
y
2x y
y(0) 1
的数值解。
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称为后退欧拉公式。它与欧拉公式（7-2）的一个 明显区别是：
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第八章 第一节
已知yn时，必须通过解方程才能求出yn+1 。这样的 公式称为隐式公式，而欧拉公式则称为显式公式。
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三、局部误差与方法的阶
第八章 第一节
T1 y( xn1) [ y( xn ) hf ( xn , y( xn ))] T2 y( xn1 ) [ y( xn1 ) hf ( xn1, y( xn1 ))]
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第八章 第一节
一、欧拉公式
将求解区间[a , b]分成 N 等分,
令
h
b
N
a
,
xn
a
nh
(n=0,1,…,N)。在xn 点列出方程式
y( xn ) f ( xn , y( xn ))
将 y( xn) 表示为数值微分方程
y( xn )
y( xn1) h
y( xn )
h 2
y(n ),
(7 2)
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例1 用欧拉公式解初值问题
第八章 第一节
y' y 2x y , 0 x 1
y(0)
1
解 取步长h =0.1，欧拉公式的具体形式为
yn1 yn h( yn 2 xn yn )
其中xn= nh =0.1n ( n =0,1,…10 ),已知 y0 =1，由 此式可得
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第八章 第一节
yn n xn 欧拉法 预估—校正法
00 1
1
1 0.1 1.1
1.095909
2 0.2 1.191818 1.184097
3 0.3 1.277438 1.266201
4 0.4 1.358213 1.343360
准确解 1 1.095445 1.183216 1.264911 1.341641
第八章 第一节
第一节 欧拉方法
在高等数学中用解析法求解常微分方程的初值问题
y f ( x, y)
y( x0 )
y0
a xb
如
y y
y(0)
1
由 y y 得 y ce x
又由 y(0) 1 得 初值问题解为
C e0 1,C 1 y ex
很多时候解析解求不出来, 如 f ( x, y) x2 y2
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5 0.5 1.435133 1.416402 6 0.6 1.508966 1.485956 7 0.7 1.580338 1.552514 8 0.8 1.649783 1.616475 9 0.9 1.717779 1.678166 10 1 1.784771 1.737867
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第八章 第一节
y2
y1
h( y1
2 x1 ) y1
1.1
0.1(1.1
0.2) 1.2x0 y0 ) 1 0.1 1.1
依次计算下去，部分计算结果见下表。与准确解 y 1 2x 相比 ，可看出欧拉公式的计算
结果精度不太高
n ( xn, xn1)
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第八章 第一节
代入式（7-1）可得
y( xn1)
y( xn )
hf
( xn,
y( xn,
yn ))
h2 2
y(n )
截去
T1
h2 2
y( n )
可得 y (xn) 的近似值 yn 所满足的递推公式
yn1 yn hf ( xn , yn )
此式称为欧拉( Euler )公式。
第八章 第一节
解 该方程为贝努利方程，其精确解为
y 1 2x
欧拉公式的具体形式为
yn1
yn
h( yn
2xn ) yn
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第八章 第一节
预估—校政公式的具体形式为
yn1
yn
1 2
k1
1 2
k2
k1
h(
yn
2 xn yn
)
k2
h(
yn
k1
2( xn h)) yn k1
取步长 h 0.1 , x0 0 , y0 1 , 计算结果见 下表：
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2 xn1 ) yp
yn1
1 2 ( yp
yc )
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部分计算结果见下表
第八章 第一节
xn 改进欧拉法 误差
0 1.
0
xn 改进欧拉法 误差 0.6 1.485956 0.002716
0.2 1.184096 0.000088 0.8 1.616476 0.004024
0.4 1.343360 0.001719 1.0 1.737869 0.05818
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第八章 第一节
Xn 欧拉公式数值解 yn 准确值y(xn) 误差
0.2 1.191818 0.4 1.358213 0.6 1.508966 0.8 1.649783 1 1.784770
1.183216 1.341641 1.483240 1.612452 1.732051
0.008602 0.016572 0.025726 0.037331 0.052719
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第八章 第一节
定理 设函数 f ( x, y)在区域 D : a x b, y
上连续，且在区域 D内满足李普希兹( Lipschitz ) 条件,即存在正数 L ，使得对于 R 内任意两点 ( x, y1) 与( x, y2 )，恒有
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2 则初值问题(1)的解 y( x)存在并且唯一
y(xn1) h
y ( xn )
h 2
y(n ),
n (xn, xn1)
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第八章 第一节
则可得
y( xn1)
y( xn1)
hf
( xn1,
y(xn1))
h2 2
y(n )
截去
T2
h2 2
y(n )
(7 3)
则可得另一个数值求解递推公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ) (7 4)
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第八章 第一节
欧拉公式具有明显的几何意义，就是用折线近 似代替方程的解曲线，因而常称公式（7-2）为 欧拉折线法。
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二、后退的欧拉公式
在xn+1点列出方程式（7-1）
第八章 第一节
y( xn1 ) f ( xn1 , y( xn1 ))
用向后差商逼近导数
y( xn1 )
第八章 第一节
1.414214 1.483240 1.549193 1.612452 1.673320 1.732051
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第八章 第一节
例2 用改进的欧拉法解例1中的初值问题。
解 取步长h =0.1,改进欧拉法的具体形式为
y
p
yn
h( yn
2 xn ) yn
yc
yn
h( yp