人教数学 一元二次方程的专项 培优练习题及详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．计算题

（1）先化简，再求值：

2

1

x

x-

÷（1+

2

1

1

x-

），其中x=2017．

（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．

【答案】（1）2018；（2）m=4

【解析】

分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；

（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.

详解：（1）

2

1

x

x-

÷（1+

2

1

1

x-

）

=

22

2

11 11 x x

x x

-+

÷

--

=

()() 2

2

11 1

x x

x

x x

+-

⋅

-

=x+1，

当x=2017时，原式=2017+1=2018

（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，

解得，m=4

点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.

2．解下列方程：

(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；

(2)(x＋1)2＝6x＋6.

【答案】(1)x1＝1x2＝11＝－1，x2＝5.

【解析】

试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；

（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.

试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝1

2

，∴x2－2x＋1＝

3

2

.

∴(x－1)2＝3

2

.

∴x －1＝±2.

∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2

. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.

∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.

∴x 1＝－1，x 2＝5.

3．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y

（只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元

【解析】

【分析】

表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.

【详解】

设每天获得的利润为w 元，

根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．

∵a ＝﹣10＜0，

∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．

答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．

【点睛】

本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.

4．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；

（2）是否存在实数k ，使得x 1·

x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)当k≤

14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.

试题解析：

（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14

k ≤ （2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-

+≥，

由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+

代入得：22364410k k k k +---≥，

化简得：()210k -≤，

得1k =.

由于k 的取值范围为14

k ≤， 故不存在k 使2212120x x x x --≥．

5．已知关于x 的一元二次方程()2211204

x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；

()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184

x x x x m ++=-，求m 的值． 【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =

【解析】

【分析】

（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.

【详解】

（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭

22218m m m =++-+

29m =+

方程有两个实数根

0∴∆≥，即290m +≥

92

m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-

（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =

- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭

13m ∴=，25m =- 92

m ≥- 3m ∴=

【点睛】

本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.