人教数学 一元二次方程的专项 培优练习题及详细答案
人教【数学】培优一元二次方程辅导专题训练含答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣12．4．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴2b b 4ac -±-732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． 探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC的周长；（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为72；（2）当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1，可求得m.【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.5．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．6．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的41344m?个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到2【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．7．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根， （1）解方程求两条线段的长。
九年级上册：第21章《一元二次方程》期末培优测验试卷（含答案）
人教版初中九年级上册：第21章《一元二次方程》期末培优测验一．选择题（共10小题）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣+1=0B．（x+2）（2x﹣1）=2x2C．5x2﹣1=0D．ax2+bx+c=02．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．6B．﹣6C．5D．﹣53．若关于x的方程x2+mx﹣6=0有一个根为2．则另一个根为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣34．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m≥2D．m≤25．组织一次篮球联赛，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛，应邀请（）个球队参加比赛．A．5B．6C．7D．96．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛．设参赛球队的支数为x，则根据题意所列的方程是（）A．x（x+1）=28B．x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28×2D．x（x﹣1）=28×27．在宽为20m，长为32m的矩形田地修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．（32﹣x）（20﹣x）=135B．4（32﹣x）（20﹣x）=135C．D．（32﹣x）（20﹣x）﹣x2=1358．关于方程85（x﹣2）2=95的两根，则下列叙述正确的是（）A．一根小于1，另一根大于3B．一根小于﹣2，另一根大于2C．两根都小于0D．两根都大于29．为宣传“”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（）A．90%×（2+x）（1+x）=2×1B．90%×（2+2x）（1+2x）=2×1C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）=2×1D．（2+2x）（1+2x）=2×1×90% 10．若一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y=abx+a+b 的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．填空题（共7小题）11．若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为．12．定义新运算：m，n是实数，m*n=m（2n﹣1），若m，n是方程2x2﹣x+k=0（k＜0）的两根，则m*m﹣n*n=．13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个根为0，则另一个根为．14．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的围网在水库中围成发如图所示①②③的三块矩形区域，而且这三块矩形区域面积相等．已知矩形区域ABCD的面积为30m2，设BC的长度为xm，所列方程为．15．已知等腰三角形的两边长是方程x2﹣9x+18=0的两个根，则该等腰三角形的周长为．16．一元二次方程（x+1）（x+3）=9的一般形式是，二次项系数为，常数项为17．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是．三．解答题（共7小题）18．解方程：（1）x2+4x﹣5=0．（2）x2﹣3x+1=0．19．已知关于x的方程x2﹣2（m+2）x+m2+5=0没有实数根．（1）求m的取值范围；（2）试判断关于x的方程（m+5）x2﹣2（m+1）x+m=0的根的情况．20．某电脑销售商试销某一品牌电脑1月份的月销售额为400000，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．求1月份到3月份销售额的月平均增长率．21．列一元二次方程解应用题某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．（1）求每个月增长的利润率；（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．（1）求m的取值范围；（2）若=﹣1，则m的值为多少？23．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A沿边AB以1cm/s的速度向点B移动，同时点Q从点B沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当P、Q两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5cm2时，求点P运动的时间．24．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1=0（1）若这个方程有实数根，求m的取值范围；（2）若此方程有一个根是1，请求出m的值．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A，2x2﹣+1=0，不是整式方程，故不是一元二次方程；B，原方程变形为：3x﹣2=0，故不是一元二次方程；C，5x2﹣1=0是一元二次方程；D，ax2+bx+c=0，当a=0时，不是一元二次方程；故选：C．2．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两个根，∴x1+x2=6，故选：A．3．【解答】解：设方程的另一个根为α，根据根与系数的关系，2α=﹣6，∴α=﹣3．故选：D．4．【解答】解：根据题意得：△=22+4（m﹣3）=4+4m﹣12=4m﹣8≥0，解得：m≥2，故选：C．5．【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛，根据题意得：x（x﹣1）=15，解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去）．故选：B．6．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，根据题意可得：=28，即：x（x﹣1）=28×2，故选：D．7．【解答】解：设道路的宽为x米，则每块小矩形田地的长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m，根据题意得：（32﹣x）×（20﹣x）=135，即（32﹣x）（20﹣x）=135．故选：C．8．【解答】解：（x﹣2）2=，x﹣2=±，所以x1=2﹣，x2=2+，而1＜＜2，所以x1＜1，x2＞3．故选：A．9．【解答】解：设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）=2×1．故选：B．10．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个实数根分别是a、b，∴a+b=4，ab=3，∴一次函数的解析式为y=3x+4．∵3＞0，4＞0，∴一次函数y=abx+a+b的图象经过第一、二、三象限．故选：D．二．填空题（共7小题）11．【解答】解：∵关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，∴|a|=2，a+2≠0，解得，a=2．故答案为：2．12．【解答】解：∵m，n是方程2x2﹣x+k=0（k＜0）的两根，∴2m2﹣m+k=0，2n2﹣n+k=0，即2m2﹣m=﹣k，2n2﹣n=﹣k，则m*m﹣n*n=m（2m﹣1）﹣n（2n﹣1）=2m2﹣m﹣（2n2﹣n）=﹣k﹣（﹣k）=﹣k+k=0，故答案为：0．13．【解答】解：把x=2代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0得方程m2﹣4=0，解得m1=2，m2=﹣2，而m﹣2≠0，所以m=﹣2，此时方程化为4x2﹣3x=0，设方程的另一个根为t，则0+t=，解得t=，所以方程的另一个根为．故答案为．14．【解答】解：∵矩形区域ABCD的面积=AB•BC，∴3（﹣x+10）•x=30，整理得x2﹣40x+400=0．故答案是：x2﹣40x+400=0．15．【解答】解：x2﹣9x+18=0，（x﹣3）（x﹣6）=0，所以x1=3，x2=6，因为3+3=6，所以等腰三角形的两腰为6、6，底边长为3，所以三角形周长=6+6+3=15．故答案为：15．16．【解答】解：由（x+1）（x+3）=9，得x2+4x+3﹣9=0，即x2+4x﹣6=0．其中二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是﹣6．故答案是：x2+4x﹣6=0；1；﹣6．17．【解答】解：∵1，﹣3是已知方程x2+2x﹣3=0的解，由于另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0与已知方程的形式完全相同∴2x+3=1或2x+3=﹣3解得x1=﹣1，x2=﹣3．故答案为：x1=﹣1，x2=﹣3．三．解答题（共7小题）18．【解答】解：（1）因式分解得，（x﹣1）（x+5）=0，x﹣1=0，x+5=0，∴x1=1，x2=﹣5；（2）a=1，b=﹣3，c=1，∴△=b2﹣4ac=9﹣4=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x==，∴x1=，x2=．19．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+2）x+m2+5=0没有实数根，∴△=[﹣2（m+2）]2﹣4×1×（m2+5）=16m﹣4＜0，解得：m；（2）∵m＜，∴m+5≠0，∴原方程是一元二次方程，△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m+5）m=4﹣12m，∵m＜，∴4﹣12m＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．20．【解答】解：设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，根据题意得：400000（1+x）2=576000，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．答：1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%．21．【解答】解：（1）设每个月增长的利润率为x，根据题意得：20×（1+x）2=22.05，解得：x1=0.05=5%，x2=﹣2.05（不合题意，舍去）．答：每个月增长的利润率为5%．（2）22.05×（1+5%）=23.1525（万元）．答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元．22．【解答】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥﹣；（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∵=﹣1，∴=﹣1，∴=﹣1，m2﹣2m﹣3=0（m﹣3）（m+1）=0m1=﹣1，m1=3，由（1）知m≥﹣，所以m1=﹣1应舍去，m的值为3．23．【解答】解：设当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5cm2时，点P运动了x秒．根据题意得：×8×x+×2x（6﹣x）+×6（8﹣2x）+[×2x（6﹣x）+19.5]=6×8，化简得：2x2﹣10x+=0，解得：x1=，x2=．∵当x2=时，8﹣2x=﹣1＜0，∴x2=舍去．答：当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.52时，点P经过了秒．24．【解答】解：（1）根据题意知△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，解得：m≥﹣；（2）将x=1代入方程得1﹣2m+m2﹣4m﹣1=0，整理，得：m2﹣6m=0，解得：m1=0，m2=6，∵m≥﹣，∴m=0和m=6均符合题意，故m=0或m=6．。
一元二次方程专题能力培优(含答案)
一元二次方程专题能力培优(含答案)解得：m≠2m10当m≠2时，原方程可化为x-m+1=0.2.C解析：将方程化简可得(m-6)x+(m-6)=0，由于常数项为0，所以m-6=0，即m=6.3.a=2解析：由于一次项系数为0，所以根据一元二次方程的求根公式可得：x1=x2=-b/2a，代入a-b+c=0中得a=2.4.a=2解析：将方程化简可得(2a-4)x+(3a+6)x+(a-8)=0，由于一次项系数为0，所以2a-4+3a+6=0，解得a=2.5.D解析：由题可得另一个根为-b，代入x1x2=a/c=-a/b得到b=-2a，代入a-b得到a=2b，所以a-b=2b-b=b=2.6.a/2解析：由于a-b+c=0，所以c=b-a，代入一元二次方程的求根公式可得x1=(b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(b-√(b^2-4ac))/2a，代入x1x2=a/c得到a=(b^2-a^2)/(b-a)，解得a/2=b-a，即a=2b-2a，解得a/2.7.2012解析：由一元二次方程的求根公式可得a=2013/2+√(2013^2/4-1)，代入a-2012a-2013/2得到2012.2或者当m+1+（m-2）≠0且m+1=1时，它是一元一次方程。
解得：m=-1，m=0.因此，当m=-1或m=0时，为一元一次方程。
给定方程m^2-1=0，解得m=-1.因为m-1≠0，所以这是一元一次方程。
解方程3a+6=0，得到a=-2.因此，这是一元一次方程。
根据题意，方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0）。
由此得到a-b=-1.解方程x^2=1，得到x=±1.因此，x=-1.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，因此a-2013a+1=0.解得a=-1/2012.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为-8或9.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m=9.用配方法证明：无论x为何实数，代数式-2x^2+4x-5的XXX小于零。
人教【数学】数学一元二次方程的专项培优练习题(含答案)
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值． 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
人教中考数学一元二次方程(大题培优)含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．2．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭ 解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a＝4为底长时，△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣12）＝（2k﹣3）2＝0，解得：k＝32，∴b+c＝2k+1＝4．∵b+c＝4＝a，∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．∴△ABC的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用4． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：x+1+（x+1）x＝36，解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.6．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了4m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到592%，求m的值．【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．【解析】【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+45m%）+1.5×（1+45m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．7．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a=()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．【答案】探究一：（3）()a a12+；探究二：（5）3a（a+1）；（6）()()ab a1b14++；探究三：（8）()()3ab a1b12++；【结论】：①()()()abc a1b1c18+++；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+，故答案为() a a12+；探究二：（5）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×6×1=3a（a+1），故答案为3a（a+1）；（6）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×1=()()ab a1b14++，故答案为()() ab a1b14++；探究三：（8）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．8．校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由． （2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2． 【解析】 【分析】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立. 【详解】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米， 根据题意得：x(32﹣2x)=126， 解得：x 1=7，x 2=9， ∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米． （2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米， 根据题意得：y(36﹣2y)=170， 整理得：y 2﹣18y+85=0． ∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0， ∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．9．解方程：(x ＋1)(x －1)＝2x. 【答案】x 123，x 223 【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可. 试题解析：(x ＋1)(x －1)＝2 x 2-22x-1=0 ∵a=1，b=-22c=-1 ∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴24b b c a -±-23∴x 123x 223.10．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．。
一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知x25x20000，则x2 3xx 1 21的值是.22、已知a22004a10，则 2a 24007 a2004_________ .a 213、若ab1，且5a 22005a70 ，7b 22005b 5 0 ，则a_________ . b4、已知方程2x 22ax3a40没有实数根，则代数式a28a16 2 a_____.5、已知y 2 x6x ，则 y 的最大值为.6、已知a b c0， abc2， c0 ，则（）A、 ab 0B、 a b 2C、 a b3D、 a b47、已知a b8 ， ab c2160，则 a b c________ .8、已知m2m10 ，则m3 2 m22006________ .9、已知a b4， ab c 240 ，则 a b________ .10、若方程x 2px q0 的二根为 x1， x2，且 x1 1 ， p q30，则 x2 ()A、小于 1B、等于 1C、大于 1 D 、不能确定是方程 x 213 1 的值为11、已知x0 的一个根，则3.412、若3x2x 1 ，则 9 x 412x 32x 27x2008（）A、 2011B、 2010C、 2009 D 、 200813、方程3x23x2 2 的解为.14、已知x2x y 20 ，则x2y 22x的最大值是（）26A、 14B、 15C、 16 D 、18、方程x 22 | x |2m恰有 3 个实根，则m（）15A、 1B、 1.5C、2 D 、2.516、方程x23xx2379 的全体实数根之积为（）3 xA、 60B、60C、 10D、 1017、关于x的一元二次方程2x 25x a 0x1: x2 2 : 3，则x2x1（ a 为常数）的两根之比（）A、 1B、 2C、1D、3 2218、已知是、方程 x2x10 的两个实根，则43_______ .19、若关于x的方程2ax2xax 1 只有一解，求a 的值。
人教数学 一元二次方程的专项 培优 易错 难题练习题及详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1=1+3，x 2=1﹣3 【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3， 解得：x 1=1+3，x 2=1﹣3．2． y 与x 的函数关系式为：y=1.7x （x≤m ）;或( x≥m) ；3．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥ （2）4 【解析】 试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论.根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+， 因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.4．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β． （1）求m 的取值范围； （2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】 【分析】（1）根据△≥0即可求解, （2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0解得：m 1=﹣1，m 1=3， 由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.5．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论． 【答案】探究一：（3）()a a 12+ ；探究二：（5）3a （a+1）；（6）()()ab a 1b 14++ ；探究三：（8）()()3ab a 1b 12++ ；【结论】：①()()()abc a 1b 1c 18+++ ；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析. 【解析】 【分析】（3）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （5）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （6）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （8）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； (结论)根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； (应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论； (拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB 上共有()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×1×1=()a a 12+ ，故答案为()a a 12+ ；探究二：（5）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×6×1=3a （a+1），故答案为3a （a+1）； （6）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×1=()()ab a 1b 14++，故答案为()()ab a 1b 14++；探究三：（8）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ， 由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．6．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥-∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =-92m ≥-3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.7．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解． 【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】 【分析】(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论． 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数， ∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8．关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-4x +2=0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2.（2）m =0或m =83-. 【解析】（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的k 的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值. 详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根， ∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0. 解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3， 将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0， 解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0. 把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-. ∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.9．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值． 【答案】（1）k >–14；（2）7 【解析】 【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围； （2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可． 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴>0∆，即()22214410k k k +-=+>，解得14k >-；（2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=， ∵125x x +=-，121=x x ，∴()222121212225817x x x x x x +=+-=-=.本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售． 【解析】 【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得： （400﹣x ﹣240）（200+10x×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0． 解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。
【数学】培优一元二次方程辅导专题训练附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--3．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=4．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1＋62x2＝1－621＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝32.∴x－1＝32±6 2.∴x1＝1＋62，x2＝1－62.(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.∴x1＝－1，x2＝5.5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x-+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
人教版九年级上册第21章一元二次方程实际应用 专项培优练习(三)(解析版)
第21章一元二次方程实际应用同步专项培优练习基础题训练（一）：限时30分钟1．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的某款沙发每套成本为5000元，在标价8000元的基础上打9折销售．（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售相同的沙发，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出8套，现乙卖家先将标价提高m%，再大幅降价40m元，使得这款沙发在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%，这样一天的利润达到了50000元，求m的值．2．某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为35元，经市场预测，包邮单价定为50元时，每周可售出200个，包邮单价每增加1元销售将减少10个，已知每成交一个，店主要承付5元的快递费用，设该店主包邮单价定为x（元）（x＞50），每周获得的利润为y（元）．（1）求该店主包邮单价定为53元时每周获得的利润；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）该店主包邮单价定为多少元时，每周获得的利润大？最大值是多少？3．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？4．某商店在2017年至2019年期间销售一种礼盒，2017年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2019年这种礼盒的进价比2017年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2017年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．（1）2017年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同问年增长率是多少？5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止．点P，Q分别从点A，B同时出发．（1）求出发多少秒时PQ的长度等于5cm；（2）出发秒时，△BPQ中有一个角与∠A相等．基础题训练（二）：限时30分钟6．成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点．如图，已知该矩形空地长为90m，宽为60m，按照规划将预留总面积为4536m2的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．（1）求各通道的宽度；（2）现有一工程队承接了对这4536m2的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了536m2的绿化任务后，将工作效率提高25%，结果提前2天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？7．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低3元，平均每天可多售出6件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？8．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．9．3月国际风筝节在婺源县举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高0.1元，销售量就会减少1个，请回答下列问题：（1）用函数解析式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？10．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果，已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元．当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时，陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元．（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值．参考答案1．解：（1）设降价x 元，依题意，得：8000×0.9﹣x ﹣5000≥5000×20%，解得：x ≤1200．答：最多降价1200元，才能使利润率不低于20%．（2）依题意，得：[8000（1+m %）﹣40m ﹣5000]×8（1+m %）＝50000，整理，得：m 2+275m ﹣16250＝0，解得：m 1＝50，m 2＝﹣325（不合题意，舍去）．答：m 的值为50元．2．解：（1）（53﹣35﹣5）×[200﹣（53﹣50）×10]＝13×170＝2210（元）． 答：每周获得的利润为2210元；（2）由题意，y ＝（x ﹣35﹣5）[200﹣10（x ﹣50）]即y 与x 之间的函数关系式为：y ＝﹣10x 2+1100x ﹣28000；（3）∵y ＝﹣10x 2+1100x ﹣28000＝﹣10（x ﹣55）2+2250，∵﹣10＜0，∴包邮单价定为55元时，每周获得的利润最大，最大值是2250元．3．解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意，得20000（1+x ）2＝24200解得x 1＝﹣2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．答：预计4月份平均日产量为26620个．4．解：（1）设2017年这种礼盒的进价是x 元/盒，则2019年这种礼盒的进价是（x ﹣11）元/盒，依题意，得：＝， 解得：x ＝35，经检验，x ＝35是原方程的解，且符合题意．答：2017年这种礼盒的进价是35元/盒．（2）2017年及2019年购进这种礼盒的数量为3500÷35＝100（盒）．设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，依题意，得：（60﹣35）×100（1+y）2＝（60﹣35+11）×100，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%．5．解：（1）设出发t秒时PQ的长度等于5cm，PQ＝5，则PQ2＝25＝BP2+BQ2，即25＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝0（舍）或2．故2秒后，PQ的长度为5cm．（2）设出发x秒时，△BPQ中有一个角与∠A相等．∵AB＝5cm，BC＝7cm∴PB＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm当∠BPQ＝∠A时，又∵∠B＝∠B∴△ABC∽△PBQ∴＝∴＝解得：x＝；当∠BQP＝∠A时，又∵∠B＝∠B∴△ABC∽△QBP∴＝∴＝解得：x＝故答案为：或．6．解：（1）设各通道的宽度为x米，根据题意得：（90﹣3x）（60﹣3x）＝4536，解得：x1＝2，x2＝48（不合题意，舍去）．答：各通道的宽度为2米．（2）设该工程队原计划每天完成y平方米的绿化任务，根据题意得：﹣＝2，解得：y＝400，经检验，y＝400是原方程的解，且符合题意．答：该工程队原计划每天完成400平方米的绿化任务．7．解：（1）20+6÷3×6＝32（件）．故答案为：32．（2）设每件商品降价x元，则平均每天的销售数量为（20+）件，依题意，得：（40﹣x）（20+）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵40﹣x≥25，解得：x≤15，∴x＝10．答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．8．解：（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．（2）①依题意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，整理，得：x2﹣80x+1500＝0，解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去）．答：该商品的售价为30元/件．②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．9．解：（1）根据题意得：y ＝180﹣，整理得： y ＝300﹣10x （12≤x ≤30），（2）根据题意得：（x ﹣10）（300﹣10x ）＝840，整理得：x 2﹣40x +384＝0，解得：x 1＝16，x 2＝24，为让利给顾客，售价应定16元，答：售价应定16元．10．解：（1）设甲种苹果的进价为a 元/千克，乙种苹果的进价为b 元/千克， 根据题意得：，解得：． 答：甲种苹果的进价为10元/千克，乙种苹果的进价为8元/千克．（2）根据题意得：（4+x ）（100﹣10x ）+（2+x ）（140﹣10x ）＝960， 整理得：x 2﹣9x +14＝0，解得：x 1＝2，x 2＝7，经检验，x 1＝2，x 2＝7均符合题意．答：x 的值为2或7．。
2021-2022人教版九年级上册 《一元二次方程》培优练习(解析版)
《一元二次方程》培优练习一．选择题1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0B．y2+x＝1C．x2+1＝0D．2．将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，63．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．24．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝13B．（x+3）2＝13C．（x﹣6）2＝4D．（x﹣3）2＝55．若实数x，y满足（x2+y2+3）（x2+y2﹣3）＝0，则x2+y2的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．16．关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0的一个根为0，则a的值为（）A．2B．0C．2或﹣2D．﹣27．一元二次方程﹣x2+6x﹣10＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．某地区举办的篮球比赛共有x支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝45B．x（x+1）＝45C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝459．8月23号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，小希给（）个同学发了短信．A．10B．11C．12D．1310．已知m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值（）A．2B．C．D．二．填空题11．若（m+1）x|m|+1+6mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m ＝．12．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是．13．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝．14．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为．15．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．16．已知方程2x2+kx﹣2k+1＝0的两个实数根的平方和为，则k 的值为．三．解答题17．用适当的方法解下列方程：（1）2x2+1＝3x（2）x2+6x+4＝018．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a+1＝0．（1）若该方程有一根为0，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程仅有一个实数根？求出此时a的值．19．一个矩形的长为a，宽为b（a＞0，b＞0），则矩形的面积为a•b．代数式xy（x＞0，y＞0）可以看作是边长为x和y的矩形的面积．我们可以由此解一元二次方程：x2+x﹣6＝0（x＞0）．具体过程如下：①方程变形为x（x+1）＝6；②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；③由面积关系求解方程．∵S ABCD＝（x+x+1）2，又S ABCD＝4x（x+1）+12．∴（x+x+1）2＝4x（x+1）+1，又x（x+1）＝6，∴（2x+1）2＝25，∵x＞0，∴x＝2．参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx﹣n＝0的解（x＞0，m ＞0，n＞0）．（要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤）20．“一带一路”为我们打开了交流、合作的大门，也为沿线各国在商贸等领域提供了更多的便捷，2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，据哈外贸商会发布消息，博览会期间，哈Paseka公司与重庆某国际贸易公司签订了供应蜂蜜合同：哈Paseka公司于2019年6月前分期分批向重庆某国际贸易公司供给优质蜂蜜共3000万件，该公司顺应新时代购物流，打算分线上和线下两种方式销售．（1）若计划线上销售量不低于线下销售量的25%，求该公司计划在线下销售量最多为多少万件？（2）该公司在12月上旬销售优质蜂蜜共240万件，且线上线下销售单件均为100元/件．12月中旬决定线上销售单价下调m%，线下销售单价不变，在这种情况下，12月中旬销售总量比上旬增加了m%，且中旬线上销售量占中旬总销量的，结果中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%．求m的值．21．某批发城在冬天到来之际进了一批保暖衣，男生的保暖衣每件价格60元，女生的保暖衣每件价格40元，第一批共购买100件．（1）第一批购买的保暖衣的总费用不超过5400元，求女生保暖衣最少购买多少件？（2）第二批购买保暖衣，购买男、女生保暖衣的件数比为3：2，价格保持第一批的价格不变；第三批购买男生保暖衣的价格在第一批购买的价格上每件减少了元，女生保暖衣的价格比第一批购买的价格上每件增加了元，男生保暖衣的数量比第二批增加了m%，女生保暖衣的数量比第二批减少了m%，第二批与第三批购买保暖衣的总费用相同，求m的值．参考答案一．选择题1．解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；故选：C．2．解：方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，二次项系数为3；一次项系数为﹣6，常数项为1，故选：A．3．解：设方程的另一个根为t，根据题意得1•t＝﹣2，解得t＝﹣2．故选：C．4．解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，故选：A．5．解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（t+3）（t﹣3）＝0，所以t+3＝0或t﹣3＝0．所以t＝﹣3（舍去）或t＝3，即x2+y2的值为3．故选：B．6．解：∵（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴2﹣a≠0，即a≠2①由一个根是0，代入（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0，可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；②由①②得a＝﹣2．故选：D．7．解：∵△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣10）＝36﹣40＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：D．8．解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）＝45，故选：A．9．解：设小希给x个同学发了短信，依题意，得：1+x+x2＝157，解得：x1＝﹣13，x2＝12．故选：C．10．解：∵m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，∴3m2﹣2m＝2，3m2﹣2＝2m，∴3m﹣＝2，∴原式＝＝，故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：由（m+1）x|m|+1+6mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，得，解得m＝1，故答案为：1．12．解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，∴△≥0，∴△＝1﹣4（﹣m）≥0，即m≥﹣，故答案为：m≥﹣．13．解：将x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左边得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，∵a﹣b+c＝0，∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．故答案为：﹣1．14．解：二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）＝36（1+x）2，即所列的方程为36（1+x）2＝48，故答案为：36（1+x）2＝48．15．解：x2﹣9x+18＝0，（x﹣3）（x﹣6）＝0，所以x1＝3，x2＝6，所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15．故答案为15．16．解：∵方程2x2+kx﹣2k+1＝0有两个实数根，∴△＝k2﹣4×2（﹣2k+1）≥0，解得k≥6﹣8或k＜﹣6﹣8．设方程2x2+kx﹣2k+1＝0两个实数根为x1、x2．则x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣k+，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝+2k﹣1＝，即k2+8k﹣33＝0，解得k1＝3，k2＝﹣11（不合题意，舍去）．故答案是：3．三．解答题（共5小题）17．解：（1）∵2x2+1＝3x，∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x＝或x＝1；（2）∵x2+6x+4＝0，∴a＝1，b＝6，c＝4，∴△＝36﹣16＝20，∴x＝＝﹣318．解：（1）将x＝0代入方程（a﹣1）x2+2x+a+1＝0得a+1＝0，解得：a＝﹣1．将a＝﹣1代入原方程得﹣2x2+2x＝0，解得：x1＝0，x2＝1．∴a＝﹣1，方程的另一根为1．（2）当a＝1时，方程为2x+2＝0，解得：x＝﹣1；故a的值为﹣1．19．解：①方程变形为x（x+m）＝n；②画四个边长为x+m、x的矩形如图放置；③由面积关系求解方程．∵S ABCD＝（x+x+m）2，又S ABCD＝4x（x+m）+m2．∴（x+x+m）2＝4x（x+m）+m2，又x（x+m）＝n，∴（2x+m）2＝4n+m2，∵x＞0，∴x＝（﹣m）（m＞0，n＞0）．20．解：（1）设该公司计划在线下销售量为x万件，则3000﹣x≥25%x天天向上独家原创解得：x≤2400∴该公司计划在线下销售量最多为2400万件；（2）由题意得：×240（1+m%）×100（1﹣m%）+（1﹣）×240（1+m%）×100＝240×100（1+m%）化简得：m2﹣25m＝0解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝25∴m的值为25．21．解：（1）设女生保暖衣购买x件．40x+60（100﹣x）≤5400解之得x≥30答：女生保暖衣最少购30件；（2）设购买男、女生保暖衣的件数分别为3a、2a．根据题意，得设m%＝t，则m＝100t.3a×（1+t）×（60﹣20t）+2a×（1﹣t）×（40+30t）＝3a×60+2a×406t2﹣5t＝0解得：t1＝0（舍去），∴m＝100t＝．答：m的值是．。
人教数学一元二次方程的专项培优练习题(含答案)含答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．2．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2 【解析】【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，设方程的两个根为m ，n ，∴m ＋n ＝5，mn ＝5，∴==.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x 千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，（x ﹣75）（x+10）=0，解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用4．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【答案】x=15或x=1 【解析】【分析】 设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．5．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.6．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.【答案】(1) k ＜14;(2) k=0. 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k值．【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不等实根x1，x2，∴△=（2k-1）2-4×1×k2=-4k+1＞0，解得：k＜14，即实数k的取值范围是k＜14；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，∵x1+x2+x1x2-1=0，∴1-2k+k2-1=0，∴k2-2k=0∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根，∴k=2不合题意，舍去，∴k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．7．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．【解析】【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．∴m＜3；（2）∵m＜3 且 m为正整数，∴m＝1或2．当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．∴x(x﹣2)＝0．∴x1＝0，x2＝2．符合题意．综上所述，m＝2．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．8．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．9．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．【答案】x1＝﹣2，x2＝1【解析】【分析】设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x 2+x ＝y ，则原方程变形为y 2+y ﹣6＝0，解得y 1＝﹣3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2+x ＝2，即x 2+x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝1；②当y ＝﹣3时，x 2+x ＝﹣3，即x 2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x 1＝﹣2，x 2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.10．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解。
人教数学 一元二次方程的专项 培优易错试卷练习题含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可； 试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--2．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.4．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴=4122-=-⨯∴x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y 1＝－14，y 2＝32.5．校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由． （2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x 1=7，x 2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y 2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．6．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)1312k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2．∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．7．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x =求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x＝， ∴x1＝2，x 2＝28．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.9．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围． 试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m ＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，而2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，所以2（2m ＋1）＋6≥20， 解得m≥3，而m≤4，所以m 的范围为3≤m≤4．10．关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|﹣2，求m 的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x 1=﹣，x 2=﹣1或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b 2﹣4ac 的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a，表示出两根的关系，得到x 1，x 2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣x2=﹣1，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1，x2。
【3套】人教版九年级数学上第21章一元二次方程单元培优试题(含答案)
人教版九年级数学上第21章一元二次方程单元培优试题（含答案）一．选择题1.一元二次方程(x －5)2＝x －5的解是( )A ．x ＝5B ．x ＝6C ．x ＝0D ．x 1＝5，x 2＝62.已知3是关于x 的方程x 2-2a+1=0的一个解,则2a 的值是( ) (A)11 (B)12 (C)13 (D)143．若关于x 的一元二次方程（x+1）（x ﹣3）=m 有两个不相等的实数根，则m 的最小整数值为（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．34.用配方法解方程0142=++x x ，配方后的方程是（ ）A ． ()322=+xB ． ()322=-xC. ()522=-xD ． ()522=+x5.若|x 2-4x+4|与互为相反数,则x+y 的值为( ) (A)3 (B)4 (C)6 (D)96．已知关于x 的方程kx 2+（2k+1）x+（k ﹣1）=0有实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．k ≥﹣B ．k ＞﹣C ．k ≥﹣且k ≠0D ．k ＜﹣7.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm 3，则原铁皮的边长为( ) A ．10 cm B ．13 cmC ．14 cmD ．16 cm8.下面是某同学在一次测验中解答的填空题:①若x 2=a 2,则x=a;②方程2x(x-1)-x+1=0的解是x=1; ③已知三角形两边分别为2和9,第三边长是方程x 2-14x+48=0的根,则这个三角形的周长是17或19.其中答案完全正确的题目个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3二．填空题9．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率 ．10.把方程3x(x －1)＝(x ＋2)(x －2)＋9化成ax 2＋bx ＋c ＝0的形式为________________．11设m,n 分别为一元二次方程x 2+2x-2 020=0的两个实数根,则m 2+3m+n= . 12．已知实数s ，t 满足s+t 2=1，则代数式﹣s 2+t 2+5s ﹣1的最大值等于 ．13.六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送306份小礼品，则该班有______名同学．14.如果(a 2+b 2+1)(a 2+b 2-1)=63,那么a 2+b 2的值为 . 三．解答题15．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）这种水果进价为每千克40元，若在销售等各个过程中每千克损耗或开支2.5元，经一次降价销售后商场不亏本，求一次下降的百分率的最大值． 16.已知a 是方程0120132=+-x x 的一个根，求代数式12013201222++-a a a 的值.17. 阅读下面的例题:解方程:x 2-|x|-2=0.18. 某商店经销一种成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,商店想在月成本不超过1万元的情况下,使得月销售利润达到8 000元,销售单价应定为多少?答案一．选择题 1. D 2. C. 3． B ． 4. D 5. A. 6． A ． 7. D 8. A.二．填空题 9． 20%．10. 2x 2－3x －5＝0 11 2 018 12． 3． 13. 18 14. 8三．解答题 15． 解：（1）设每次下降的百分率为a ，根据题意，得： 50（1﹣a ）2=32，解得：a=1.8（不合题意，舍去）或a=0.2． 答：每次下降的百分率为20%；（2）设一次下降的百分率为b ，根据题意，得： 50（1﹣b ）﹣2.5≥40， 解得 b ≤0.15．答：一次下降的百分率的最大值为15%．16. ∵a 是方程x 2-2013x+1=0的一个根，∴a 2-2013a+1=0， ∴a 2=2013a-1，∴原式=2013a-1-2012a+1120132013+-a=a+ a 1-1= a a 12+-1=aa 112013+--1=2013-1=2012． 17.解:(1)当x ≥0时,原方程化为x 2-x-2=0,解得x 1=2,x 2=-1(不合题意,舍去).(2)当x<0时,原方程化为x 2+x-2=0,解得x 1=1(不合题意,舍去),x 2=-2, 所以原方程的根是x 1=2,x 2=-2.请参照例题解方程x2-|x-3|-3=0.解:(1)当x≥3时,原方程化为x2-(x-3)-3=0,即x2-x=0,解得x1=0(不合题意,舍去),x2=1(不合题意,舍去).(2)当x<3时,原方程化为x2+x-3-3=0,即x2+x-6=0,解得x1=-3,x2=2.所以原方程的根是x1=-3,x2=2.18.解:设每件需涨价x元,则销售价为(50+x)元.月销售利润为y元.则y=(50+x-40)×(500-10x),令y=8 000,解得x1=10,x2=30.当x1=10时,销售价为60元,月销售量为400千克,则成本价为40×400=16 000(元),超过了10 000元,不合题意,舍去;当x2=30时,销售价为80元,月销售量为200千克,则成本价为40×200=8 000(元),低于10 000元,符合题意.答:销售单价应定为80元.人教版九年级上册数学单元知识检测题：第二十一章一元二次方程（含答案）一、选择题1.已知y＝0是关于y的一元二次方程(m﹣1)y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是( )A. 0B. 1C. ﹣1D. ±12.要使方程(a-3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）A. a≠0B. a≠3C. a≠3且b≠-1D. a≠3且b≠-1且c≠03.如果2是方程x2﹣c=0的一个根，那么c的值是（）A. 4B. ﹣4C. 2D. -24.一元二次方程x2+6x-7=0的解为( )A. x1=1，x2=7B. x1=-1，x2=7C. x1=-1，x2=-7D. x1=1，x2=-75.一元二次方程的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根6.用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（）．A. B. C. D.7.一元二次方程的两根分别为和，则为（）A. B. C. 2 D.8.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A. B. C. D.9.已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )A. B. C. D.10.要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式(每两队之间都需在主客场各赛一场)，计划安排30场比赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为( )A. x(x﹣1)＝30B. x(x+1)＝30C. ＝30D. ＝3011.“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A. x（x+1）＝210B. x（x﹣1）＝210C. 2x（x﹣1）＝210D. x（x﹣1）＝210二、填空题12.方程转化为一元二次方程的一般形式是________．13.若关于x的一元二次方程(m+2)x2+3x+m2-4=0的一个根为0，则m的值为=________．14.方程x2+2x＝0的解为________.15.在的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根________16.如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是________.17.都匀市体育局要组织一次篮球赛．赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛?设应邀请x支球队参加比赛，则列方程为：________。
人教版九年级上册数学一元二次方程培优习题附答案学生版
人教版九年级上册数学一元二次方程培优习题附答案一、单选题1．对于任意的实数，代数式2−5+10的值是一个（）A．正数B．负数C．非负数D．无法确定2．已知实数x，y满足26336−276=1且2≠2，则2+22−2的值为（）A．54B．45C．12D．23．如果x2+2（1－2m）x+9=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方公式，则m等于（）. A．1B．-1C．－1或1D．－1或24．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题5．某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x=。
6．若关于的一元二次方程(−1)2−4+2−1=0的一根是0，则＝. 7．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2=．三、解答题8．某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。
为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？9．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？10．计算①3x2﹣3=2x（用配方法解）②4（x﹣1）2﹣9（3﹣2x）2=0．11．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？四、综合题12．已知：关于的一元二次方程B2−(4−3)+3−3=0（1）求证：无论取何值，方程都有实根；（2）若=−1是该方程的一个根，求的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求的值(为整数)．13．已知关于x的一元二次方程2+3B+3−1=0有两个实数根1，2.（1）若1=22，求k的值.（2）若1<1，2>1，求k的取值范围.14．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．15．网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2016年交易额为500亿元，2018年交易额为720亿元。
人教版九年级上册第21章《一元二次方程》培优练习题 含答案
人教版九年级上册第21章《一元二次方程》培优练习题一．选择题1．已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（）A．0B．1C．﹣1D．±12．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．且k≠1C．D．且k≠1 3．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（）A．6.5B．7C．6.5或7D．84．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0B．k＞0C．k≥D．k＞5．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m 的值的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．已知x是方程x2+2x﹣2＝0的根，那么代数式（﹣x﹣2）÷的值是（）A．﹣1B．+1C．﹣1或﹣﹣1D．﹣1或+17．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（）cm．A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm8．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（）A．7B．﹣1C．7或﹣1D．﹣5或39．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（）A．B．1C．D．10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③二．填空题11．若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，则代数式a2+b2的值为12．若关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，则k的取值范围是．13．关于x的方程（a﹣3）x2+x+10＝0是一元二次方程，则a的取值范围是．14．已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2+＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为秒．三．解答题16.解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．（3）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0．（4）3x2﹣5x﹣1＝0．17．求证：不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+（k﹣4）＝0有两个不相等的实数根．18．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．19．如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC 向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离cm．（用含t的代数式表示）（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．21．在一元二次方程中，有著名的韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝（说明：定理成立的条件△≥0）．比如方程2x2﹣3x﹣1＝0中，△＝17，所以该方程有两个不等的实数解．记方程的两根为x1，x2，那么x1+x2＝，x1•x2＝﹣，请根据阅读材料解答下列各题：（1）已知方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1、x2，且x1＞x2，求下列各式的值：①x12+x22；②；（2）已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．①是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：把y＝0代入（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0得：4m2﹣4＝0，即m2﹣1＝0解得：m1＝1，m2＝﹣1当m＝1时，关于y的方程由于二次项系数为0不再是一元二次方程，所以m＝﹣1．故选：C．2．解：①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意；②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，解得：k＞且k≠1．故选：B．3．解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，∴△＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，解得k＝3，∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，∴两腰之和为＝4，∴△ABC的周长为4+3＝7，故选：B．4．解：∵关于x的方程有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2+4＝9k+4≥0，解得：k≥，又∵方程中含有∴k≥0，故选：A．5．解：m2x2﹣8mx+12＝0，解法一：△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，∴x1＝，x2＝，∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，∴＞0，＞0，∴m＝1或2或3或6，则满足条件的m的值的个数是4个，故选：B．6．解：x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2．解得x＝±﹣1∴（﹣x﹣2）÷＝×＝×＝﹣（x2+3x）＝﹣（x2+2x+x）＝﹣（2+x）当x＝﹣1时，原式＝﹣（2±﹣1）故选：C．7．解：设截去的小正方形的边长是xcm，由题意得（28﹣2x）（20﹣2x）＝180，解得：x1＝5，x2＝19，∵20﹣2x＞0，∴x＜10．∴x2＝19，不符合题意，应舍去．∴x＝5．∴截去的小正方形的边长是5cm．故选：C．8．解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无实数解．当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7故选：A．9．解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1，所以+＝＝＝1．故选：B．10．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴△＝0﹣4ac＞0∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：设t＝a2+b2，则原方程为t2﹣3t﹣4＝0，解得t1＝4，t2＝﹣1，∵a2+b2≥0，∴t＝4，∴a2+b2＝4，故答案为：4．12．解：∵关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣16＞0，即k2＞16，解得k＜﹣4或k＞4，而k＜﹣4时，x2﹣k|x|+4的值不可能等于0，所以k＞4．故填空答案：k＞4．13．解：∵方程（a﹣3）x2+x+10＝0是一元二次方程，∴a﹣3≠0，即a≠3，又∵二次根式有意义，∴a+3≥0，即a≥﹣3，∴a≥﹣3且a≠3．故答案为：a≥﹣3且a≠3．14．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，∴+2x1x2+＝2x1x2+＝2×（﹣8）+＝﹣16+＝﹣，故答案为：﹣．15．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10设运动的时间为t，则AP＝t，点Q所走的路程为2t，1）当点Q在BC线段上运动时，0＜t＜5，如图所示，过点Q作QG⊥AC，交AC于点G，∴QG＝×2t＝∵S△ABC＝6×8÷2＝24若四边形的面积为三角形面积的2倍，则S△PQC＝24×＝8∴（8﹣t）×÷2＝8化简得3t2﹣24t+40＝0解得t1＝4﹣，t2＝4+（舍）2）当点Q在BA线段上运动时，5＜t＜8，如图所示，S△APQ＝AP•AQ＝t（10+6﹣2t）＝8化简得：t2﹣8t+8＝0解得t3＝4﹣2（舍），t4＝4+2．故答案为：4﹣或4+2．三．解答题（共5小题）16.解：（1）将方程整理为一般式为5x2﹣4x﹣1＝0，则（x﹣1）（5x+1）＝0，∴x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣0.2；（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．（3）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣4）（3x﹣2）＝0，x﹣4＝0，3x﹣2＝0，x1＝4，x2＝；（4）3x2﹣5x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣1）＝37，x＝，x1＝，x2＝．17．证明：△＝（k﹣2）2﹣4（k﹣4）＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4，∵（k﹣4）2≥0，∴（k﹣4）2+4＞0，∴不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+（k﹣4）＝0有两个不相等的实数根．18．解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，由题意得：≥10%，x≥8.8，答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；（2）由题意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，5（1+）（50﹣m+m﹣40）＝49，m2﹣5m﹣6＝0，m1＝6，m2＝﹣1（舍）．19．解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，则（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x1＝3，x2＝4．∵AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4；（2）如图，在Rt△ABP中，∵AP＝，AB＝3，∴BP＝＝＝1．∴t＝＝4．答：t的值是4秒．20．解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴Rt△ABC中，AC＝6cm，又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，∴AP＝2t，∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm；故答案为：（6﹣2t）；（2）△ABC的面积为S△ABC＝×6×8＝24，①当0＜t＜3时，PC＝6﹣2t，QC＝t，∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），∴t（6﹣2t）＝4，即t2﹣3t+4＝0，∵△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴该一元二次方程无实数根，∴该范围下不存在；②当3＜t≤8时，PC＝2t﹣6，QC＝t，∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6），∴t（2t﹣6）＝4，即t2﹣3t﹣4＝0，解得t＝4或﹣1（舍去），综上所述，存在，当t＝4时，△PQC的面积是△ABC面积的．21．解：（1）∵x2﹣3x﹣2＝0，△＝（﹣3）2﹣4×（﹣2）＝17＞0∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2①x+x＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝32﹣2×（﹣2）＝9+4＝13②＝（2）∵方程有两个实数根，∴△＝（﹣4k）2﹣4•4k（k+1）＞0∴k＜0，x1+x2＝1，x1•x2＝①∵（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝2x12﹣5x1x2+2x22＝2（x12+2x1x2+x22）﹣9x1x2＝2（x1+x2）2﹣9x1x2∴2﹣9＝解得：k＝，与k＜0矛盾∴不存在k的值，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立．②+﹣2＝＝＝∵+﹣2＝的值为整数∴k+1＝±1或±2或±4又∵k＜0∴k＝﹣2或﹣3或﹣5。
人教中考数学培优(含解析)之一元二次方程含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x ，根据题意得：10（1+x ）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y ，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y ）×90%+y ，∴（14.4×90%+y ）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥（2）4 【解析】试题分析： 根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论. 根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值.试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+， 因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得 ()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.3．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1x 2＝11＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32. ∴x －1＝. ∴x 1＝1x 2＝1(2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.4．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，（1）若x 12+x 22=6，求m 值；（2）令T=121211mx mx x x +--，求T 的取值范围． 【答案】（1）m=517-；（2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围.【详解】∵方程由两个不相等的实数根，所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m ＜1∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）∵x 12+x 22=6，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6整理，得m 2﹣5m+2=0解得m=； ∵﹣1≤m ＜1所以m=． （2）T=+=====2﹣2m．∵﹣1≤m＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．6．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．【解析】【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．∴m＜3；（2）∵m＜3 且 m为正整数，∴m＝1或2．当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．∴x(x ﹣2)＝0．∴x 1＝0，x 2＝2．符合题意．综上所述，m ＝2．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m 的值和m 的范围是解此题的关键．7．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，∴52=5（6﹣p 2），∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．8．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．9．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可. 试题解析：(x ＋1)(x －1)＝22x x 2-22x-1=0∵a=1，b=-22，c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴x=24b b c a -±-=2±3 ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－3.10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件： （1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m 件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m 的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m ），列出方程求解即可． 试题解析：（1）设销售单价至少为x 元，根据题意列方程得，150（x ﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m ）=5670， 150+m ﹣150×m%﹣m%×m=162， m ﹣m 2=12， 60m ﹣3m 2=192，m 2﹣20m+64=0，m 1=4，m 2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．。
2021年人教版数学九年级上册《二次函数与一元二次方程》培优练习卷(含答案)
人教版数学九上《二次函数与一元二次方程》培优练习卷一、选择题1.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(﹣3，0)，其对称轴为直线x=﹣.结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=﹣，x2=；⑤＜0；⑥若m，n(m＜n)为方程a(x+3)(x﹣2)+3=0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象.对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小.其中正确的是( )A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤3.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1，3，则下列结论正确的个数有（）①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．A.1B.2C.3D.44.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A.1B.2C.3D.45.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点（0.5,0），有下列结论:①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m(am-b). 其中所有正确的结论是（）A.①②③B.①③④C.①②③⑤D.①③⑤6.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过（﹣2，0），则下列结论：①bc＞0；②b+2a=0；③a+c＞b；④16a+4b+c=0；⑤3a+c＜0.其中正确结论的个数是( )A.5B.4C.3D.27.如图所示为二次函数y=x 2+bx 的图象，对称轴为直线x=1.若关于x 的一元二次方程x 2+bx-t=0(t 为实数)在-1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是( ).A.t ≥-1B.-1≤t ＜3C.-1≤t ＜8D.3＜t ＜88.若二次函数y=ax 2-2ax+c 的图象经过点(-1，0)，则方程ax 2-2ax+c=0的解为( ).A.x 1=-3，x 2=-1B.x 1=1，x 2=3C.x 1=-1，x 2=3D.x 1=-3，x 2=19.以x 为自变量的二次函数y=x 2－2(b －2)x ＋b 2－1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是( )A.b ≥54B.b ≥1或b ≤－1C.b ≥2D.1≤b ≤2 10.若函数y=(m-1)x 2-6x+1.5m 的图象与x 轴有且只有一个交点,则m 的值为( )A.-2或3B.-2或-3C.1或-2或3D.1或-2或-311.“如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n(m ＜n)是关于x 的方程1﹣(x ﹣a)(x ﹣b)=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是( )A.m ＜a ＜b ＜nB.a ＜m ＜n ＜bC.a ＜m ＜b ＜nD.m ＜a ＜n ＜b12.已知抛物线y=﹣x 2+x+6与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C.若D 为AB 的中点， 则CD 的长为( )A. B. C. D. 二、填空题13.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示.下列结论：①b ＞0；②a ﹣b+c=0；③一元二次方程ax 2+bx+c+1=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；④当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0．上述结论中正确的是 ．(填上所有正确结论的序号)14.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣1，且过点（0.5，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0．其中所有正确的结论是（填写序号）15.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x=2，与x轴的一个交点是（-1，0）.有下列结论：①abc＜0，②4a+b=0，③抛物线与x轴的另一个交点是（5,0），④若点（﹣2,y1），（5,y2）都在抛物线上,则有y1＜y2，请将正确选项的序号都填在横线上．16.已知抛物线y=x2-k的顶点为点P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k值是．17.如图,抛物线y=ax2-x-1.5与x轴正半轴交于点A(3,0).以OA为边在x轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF,则点E的坐标是.18.若m,n(m<n)是关于x的方程(x-a)(x-b)+2=0的两根,且a<b,则a,b,m,n的大小关系是(用“<”连接).三、解答题19.已知关于x的二次函数y=x2-(2k-1)x+k2+1的图象与x轴有2个交点.（1）求k的取值范围；（2）若图象与x轴交点的横坐标为x1,x2，且它们的倒数之和是-1.5，求k的值.20.已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.21.如图,抛物线的顶点D的坐标为(1,﹣4),与y轴交于点C(0,﹣3),与x轴交于A、B两点．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)在抛物线上存在点P(不与点D重合),使得S△PAB=S△ABD,请求出P点的坐标．22.已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点(-1, 0)和点(2,-9)．(1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴；(2) 已知点P(2 , -2),连结OP , 在x轴上找一点M,使△OPM是等腰三角形,请直接写出点M的坐标(不写求解过程).解：23.已知关于x的一元二次方程mx2+(1﹣5m)x﹣5=0(m≠0)．(1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；(2)若抛物线y=mx2+(1﹣5m)x﹣5=0与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；(3)若m＞0，点P(a，b)与Q(a+n，b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不重合)，求代数式4a2﹣n2+8n的值．(m2+1)=0有实数根.24.已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+错误!未找到引用源。
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一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.2．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1x2＝11＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝32.∴x －1＝±2.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.3．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.4．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.试题解析：（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14k ≤ （2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-+≥，由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+代入得：22364410k k k k +---≥，化简得：()210k -≤，得1k =.由于k 的取值范围为14k ≤， 故不存在k 使2212120x x x x --≥．5．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值． 【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =- 92m ≥- 3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w ，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．8．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．9．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =，∵2005150x -≥，∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.。