E际问题与二次函数的应用(一)-课件
2.4 二次函数的应用 第1课时 课件(共14张PPT) 初中数学北师版九年级下册
不正确.
问题5.如何求最值？ 由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值. 当x=18时，S有最大值是378.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
归纳总结： 二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 建：分析题目，建立二次函数模型，求出函数解析式； 2. 求：求出自变量的取值范围； 3. 最：配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 4. 检：检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自
设垂直于墙的边长为x m,则另一边为（60-2x） m
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题3.面积S的函数关系式是什么？
x
x
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
60-2x
问题4.如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5.如何求最值？
最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题解决：
s
解:根据题意得 S=l(30-l),
即 S=-l 2+30l (0<l<30).
1.4二次函数的应用(第1课时)(同步课件)-2024-2025学年九年级数学上册同步课堂(浙教版)
1.4 二次函数的应用第1课时 几何图形的面积问题数学（浙教版）九年级 上册第1章二次函数学习目标1．学会分析实际问题中的二次函数关系；2．学会用二次函数表示几何图形中的关系，并用来求实际问题中的最大值与最小值；导入新课问题1：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位：m ）与小球的运动时间 t （单位：s ）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2（0≤t ≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h= 30t - 5t2解决思路：通过图象可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.思考：如何求二次函数的顶点坐标呢？知识点一 二次函数的实际应用——几何图形面积问题由于抛物线 y = ax 2+ bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2+ bx + c有最小（大）值思考：如何求出二次函数 y = ax 2+ bx + c 的最小（大）值？二次函数的顶点式可以很直观地看出最大值或最小值当 时小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．t/sh/m O 1234562040h= 30t - 5t2我们来求一下问题1：例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？1.矩形面积公式是什么？2.如何用l表示另一边？3.面积S的函数关系式是什么？l30-lS=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).S=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).因此，当时，S有最大值，也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.归纳总结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.典例精析【例1】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（ ）米．A．4B．5C．6D．8【详解】解：设中间隔开的墙长为x m，能建成的饲养室总占地的面积为Sm2，根据题意得，S=x×(28+2-3x)=-3(x-5)2+75，-3＜0，有最大值，∴当x=5时，S取得最大值，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．练一练1．如图，某跑道的周长为400m 且两端为半圆形，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道AB 段的长应为．【详解】解：设矩形直线跑道AB=xcm ，矩形面积为ycm 2，由题意得： y=400−2ᵆᵰ·ᵆ=−2ᵰ(ᵆ−100)2+20000ᵰ∵−2ᵰ＜0，∴当x=100时，y 最大，即直线跑道长应为100m ．故答案为：100m2．如图，一块矩形区域ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为18米（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD 的面积最大时AB 的长．【详解】解：设AB=x 米，矩形的面积设为y （平方米），则AB+EF+CD=3x ，∴AD=BC=18−3ᵆ2．∴y=x·18−3ᵆ2=−32ᵆ2+9ᵆ．由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，∴当AB=x=-ᵄ2ᵄ=3时，函数y 取得最大值．∴当AB=3米时，矩形ABCD 的面积最大．1．如图，要围一个矩形菜园ABCD，共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB,BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【详解】设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2，则BC的长为(40-2x)m，由题意得y=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200，其中0＜40-2x≤26，即7≤x＜20，①AB的长不可以为6m，原说法错误；③菜园ABCD面积的最大值为200m2，原说法正确；②当y=-2(x-10)2+200=192时，解得x=8或x=12，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，说法正确；综上，正确结论的个数是2个，故选：C．2．把一根长4a的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（ ）A．ᵄ2B．ᵄ2�C．ᵄ22D．ᵄ243．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m ，门宽为2m ．这个矩形花圃的最大面积是．【详解】解：设花圃的长为x,面积为y,则y 关于x 的函数表达式为：y=12(38+2−��ᵆ)ᵆ=−12ᵆ2+20ᵆ=−12(x-20)2+200又∵38+2-x＞0，x≥22≤x＜404．如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是平方米．【详解】解：设AB=x米，矩形ABCD的面积为S，则BC=（16-2x)米，∴S=x(16-2x)=2x2+16x=-2(x-4)2+32即矩形ABCD的最大面积为32平方米故答案为：32．5．用一段长为24m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长10m ，则这个养鸡场最大面积为 m 2．【详解】设养鸡场长为x 米，则宽为12(24−��ᵆ)米，面积为S 平方米，根据题意得：S=x×12(24−ᵆ)=−12ᵆ2+12ᵆ，(0＜x≤10)，∵二次函数图象对称轴为：直线x=12，开口向下，∴ 当0＜x≤10时，S 随x 的增大而增大，∴当x=10时，S 取得最大值为70．故答案是：70．6．如图所示，矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【详解】（1）∵AB边长为xm，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32m，∴BC边长为(32-2x)m，∴S=AB·BC=x(32-2x)=-2x2+32x；（2）函数化为顶点式，即得S=-2(x-8)2+128，可知x=8时，S有最大值128m2．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，根据简单等量关系解决问题，二次函数化为顶点式即可得到函数最值，正确理解题意列得函数解析式是解题的关键．7．如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长15m的墙，想用长为40m的网绳围成一个矩形ABCD给奶奶养鸡，怎样使矩形ABCD的面积最大呢？同学淇淇帮她解决了这个问题．淇淇的思路是：设BC的边长为xcm，矩形ABCD的面积为Sm2，不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：(1)求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；(2)x为何值时，矩形ABCD的面积最大？【详解】（1）解：S=x(40−��ᵆ2)=-12ᵆ2+20ᵆ,ᵆ的取值范围为0＜ ᵆ�≤15；（2）解：∵S=-12ᵆ2+20ᵆ ，-12＜0，∴当x=-20−1=20时，S 有最大值，当x ＜20时，S 随x 的增大而增大，而0＜x≤15，∴x=15时，S 有最大值，即矩形ABCD 的面积最大．课堂小结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.谢谢~。
1.4二次函数的应用 (第一课时)课件-浙教版数学九年级上册
∴
当x=
0+4 2
=2时，S最大值=-3×2×(-2)=12.
答：当AB=2米，BC=6米时，花圃 O 1 2 3 4 5 6 x 的面积最大，最大面积为12平方米.
探索 当自变量范围发生变化时，面积最值是否会发生变化？
【问题1】如图，在一面靠墙的空地上用长为12 m的 篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，怎样设计
∴∴当当xx==2-时2ba，=2S时最大，值S=最1大2值.=
4ac－b2 4a
=12.
探索 【归纳】通过配方或公式或图象如，何求最值大及面其积相？
应自变量的值.
S=x(12－3x). (0＜x＜4)
S=－3x(x－4) y=a(x﹣x1)(x﹣x2)
当S=0时，x1=0，x2=4.
S 12
∴与x轴的交点为(0，0)，(4，0)，
能使花圃的面积最大？若墙的长度为3 m，靠墙这一
边不超过墙，又该如何设计面积最大的花圃呢？
3
解：设AB长为x m，则
A
D
xx
x
S=x(12－3x) x＞0，
B
C
12﹣3x
0＜12－3x≤3， ∴3≤x＜4.
探索 当【自发变现量】范最围值发不生一变定化会时在，顶面点积取最得值，是必否须会在发自生变变化？
两船同时出发，A船以12 km/h的速度朝正北方向行驶，
B船以5 km/h的速度朝正西方向行驶. 何时两船相距最
近？最近距离是多少？
解：设经过t(h)后，A，B两 船分别到达A′,B′处，则
A′B′= AB′2＋AA′2
12t
26－5t
= (26－5t)2+(12t)2
= 169t2－260t+676
九年级上数学：二次函数的应用课件ppt(共30张PPT)
比较顶点式和一般式的优劣
一般式：通用， 一般式：通用，但计算量大 顶点式：简单， 顶点式：简单，但有条件限制
使用顶点式需要多少个条件？ 使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 再加上一个其它点的坐标 对称轴再加上两个其它点的坐标 再加上两个其它点的坐标； 对称轴再加上两个其它点的坐标； 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。 三个条件才能求 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
二次函数的应用
专题三： 专题三： 二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
b 你能说明为什么当x = − 时，函数的最值是 2a 2 4ac − b y= 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a
求函数y=(m+1)x 2(m+1)x- 的最值。 求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其 为常数且m≠ m≠－ 中m为常数且m≠－1。
A O D
B
C
最值应用题——面积最大 面积最大 最值应用题
•
用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 用一块宽为 m 一个水槽，水槽的横断面为底角120 120º的等 一个水槽，水槽的横断面为底角120 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大， 腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的 侧面AB应该是多长？ AB应该是多长 侧面AB应该是多长？ D A
C
145km
A
D
最值应用题——销售问题 销售问题 最值应用题
某商场销售一批名牌衬衫， 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 元，为了扩大销售，增加 件 每件盈利40元 为了扩大销售， 盈利，尽快减少库存， 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现， 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出 件。 元 商场平均每天可多售出2件 （1）若商场平均每天要盈利 ）若商场平均每天要盈利1200元，每件 元 衬衫应降价多少元？ 衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 ）每件衬衫降价多少元时， 盈利最多？ 盈利最多？
九年级数学上册2.4二次函数的应用课件1(新版)北师大版
b 2a
15 14
1.07时,
y最大值
4ac b2 4a
225 56
4.02.
牛刀小试
交流小结，收获感悟
• 1. 对自己说，你有什么收获？ • 2. 对同学说，你有什么温馨提示？ • 3. 对老师说，你还有什么困惑？
布置作业，强化目标
作业：习题2.8
3
或用公式 :当x
b 2a
15时,
y最大值
4ac b2 4a
300.
自主探究，合作交流
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其 顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边
M C
的长度如何表示？
H
30m
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值 时,y的最大值是多少?
AD边的长度如何表示？
D
C
30m
┐
(2).设矩形的面积为ym2,当x
A
B
40m
N
取何值时,y的最大值是多少?
自主探究，合作交流
(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD
边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何
M
值时,y的最大值是多少?
30m
bm
解 : 1.设AD bm,易得b 3 x 30.
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
【数学课件】九年级数学上1.4二次函数的应用(1)(浙教版)
提出问题
• (2)问每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多 ?最多为多少元?
想一想：如果我们把平均每天盈利与降价的函数关系找出来, 那么所求问题就转化为什么问题?
１.发现可以设降价为x元,每天盈利为y元,则y关于x 的函数关系式为y(40x)(202x),化为 y 2x2 60x 800 这是一个二次函数.
⑵试问：当底部宽x为几米时，隧道的截面积S最大（结 果精确到0.01米）？
解：∵隧道的底部宽为x，周长为16，
则：隧道下部矩形的高为8-
+2
4
x，
故S x2 x(8 2 x) 4 x2 8x.
8
4
8
其中0 x 32 .
2
a 4 0, b 8, c 0.
x
a 2 0,故y有最小值. 且x 1在0 x 2的范围内.
当x 1时，y最小值 2 答：斜边长可能达到的最小值为 2，
当斜边达到最小值时两直角边长均为1
课堂小结
本节课主要讲了将实际问题转化为数学模型. 运
用二次函数求实际问题中的最大值或最小值， 首先应求出函数解析式和自变量的取值范围， 然后通过配方变形，或利用公式求她的最大值 或最小值．值得注意的是，由此求得的最大值 或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取
b 2a
1在0
x
x
2的范围内
当x 1时，y最大值
4ac b2 4a
3 2
3
3
答：当长为１米，宽为 2 米时，窗户的透光面积最大，最大面积是 2 平方米.
最值问题的一般步骤
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件(共18张PPT)
6050 0
60495
60480
6045 5
6042 0
60600 y/个
60500
60400
60300
60200
60100 60000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 14 x/棵
议一议
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子 树的棵数之间的关系.
（100+x）棵
这时平均每棵树结多少个橙子？
（600-5x）个
(2)如果果园橙子的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量 最多？X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向
左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形
重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值； (2)当t=3s时，求S的值； A
B
(3)当5s≤t≤8s时，求S 与t的函数关系式，并求
MP
S的最大值。
lD Q
C
R
做一做
何时橙子总产量最大
N
2y
xb
x
3
x
30
3
x2
30x
3 x 202
300.
4
4
4
或用公式 :当x
初中数学浙教版九年级上册：1.4 二次函数的应用-教学课件 (1)第一课时
课堂总结 二次函 数 的应 用
实际问题
面积 分类 数学 转化 二次
距离
模型
函数
增减性 最值
同学们，再见!
离是多少? 【分析】设经过t(h) 后 ，A,B 两船分别到达A',B '处，则两船
之间的距离为A'B'= √AB²+AA²= √ (26—5t)²+(12t)²
=√ 169t² 260t +676
由此，本题可化归为求169t²-260t+676的最小值.
解：设经过t(h) 后 ，A,B 两船分别到达
m 时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05 m².
答
应用二次函数的性质解决日常生活中的最值问题， 一般的步骤
①审：仔细审题，理清题意； ②设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系； 设出适当的未知数； ③列 ：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次 函数模型，写出二次函数的解析式(包括自变量的取值范围);
④解 ：在自变量的取值范围内求出最值(数形结合找最值); ⑤答 ：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
问题解决 用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各 为多少米时，窗户的透光面积最大?最大面积是多少?
解：设窗框的一宽为x m,则另一边的长为 米
设该窗框的透光面积为y m²,则 ：
课 内练习 已知直角三角形的两直角边的和为2,求斜边长可能达到 的最小值，以及当斜边达到最小值时两直角边的长。
解：设一条直角边为x, 斜边为y, 则另一条直角 边为2-x, 根据勾股定理可得：
y=√x²+(2—x)²=√2(x—1)²+2(0<x<2) ∴当x=1时，函数达到最小值为√2,此时两直角边都为1. 答：斜边达到最小值为 √2,此时两直角边的长为1。
二次函数的应用ppt课件
∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版 九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
返回目录
◆ 名师导学 ◆
知识点 最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
返回目录
①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);
6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
返回目录
◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2
浙教版初中数学九年级上册 2.4二次函数的应用(1)课件
尝试成功
( 1).已知直角三角形的两直角边的和为2。 求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长 达到最小值时两条直角边的长分一张边长为10cm的正三角形 纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板， 应怎样剪？最大面积为多少？ A
D BK
E FC
收获：
学了今天的内容，你最深的感受是什么？
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形 状相同的抛物线落下，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路 线最高处B（1，2.25），则该抛物线的解析式为y_=__－__(_x_-1_)_2_+_2_.25 如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要_2_._5_米，才能使 喷出的水流不致落到池外。
Y
．B(1,2.25 ）
A(0,1.25)
O
x
学而有思：
解题步骤： 建立适当的直角坐标系，根据题意找出点的坐
标，求出抛物线解析式，分析图象，并注意变量的取值 范围。
咱来试一试
用长为8米的铝合金制成如图窗框， 问窗框的宽和高各多少米时，窗户 的透光面积最大？最大面积是多少？
咱来试一试
例.如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的 半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的 材料的总长度为6米，那么如何设计这个窗户边框 的尺寸，才能使窗户的透光面积最大（结果精确 到0.01米）？
焰火
w如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐 标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示, 而且左右两条抛物线关于y轴对称．
Y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
w ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是 1米 w ⑵两条钢缆最低点之间的距离是 40米
上册第二十二章 二次函数的应用(一)—最值问题人教版九级数学全一册课件
三级检测练
一级基础巩固练
6. 已知 x 人结伴去旅游共需支出 y 元，若 x，y 满足关系 式 y=2x2-20x+950，则当总支出最少时，人数为 5 .
7. 某单位商品的利润 y 与变化的单价数 x 之间的关系为 y=-5x2+10x，当 0.5≤x≤2 时，最大利润是 5 .
上册第二十二章 二次函数的应用（一）—最值问题 人教版 九级数 学全一 册课件
上册第二十二章 二次函数的应用（一）—最值问题 人教版 九级数 学全一 册课件
4. 某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售 价不低于成本，且不高于 60 元，经市场调查，每天的销售量
y（单位：千克）与每千克售价 x（单位：元）满足一次函数
3. （例 2）商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 40 件，每件盈利 40 元. 为了扩大销售，增加盈利，尽 快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查 发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多 售出 4 件.
（1）若商场平均每天要盈利 2 400 元，每件衬衫应降 价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少 元？盈利最大是多少元？
上册第二十二章 二次函数的应用（一）—最值问题 人教版 九级数 学全一 册课件
上册第二十二章 二次函数的应用（一）—最值问题 人教版 九级数 学全一 册课件
（3）若该公司按每销售一千克提取 1 元用于捐资助学，且保 证每天的销售利润不低于 3 600 元，问该羊肚菌销售价 格该如何确定. 解：①当12≤x≤20时， W=（x-12-1）y=（x-13）（-200x+4 400） =-200（x-17.5）2+4 050. ∴-200（x-17.5）2+4 050=3 600. 解得x1=16，x2=19. 定价为16≤x≤19. ②当20＜x≤24时，W=400（x-12-1）=400x-5 200≥3 600.解得22≤x≤24. 综上，销售价格确定为16≤x≤19或22≤x≤24.
《二次函数的应用》数学教学PPT课件(5篇)
A(1.5，3.05)，篮球在最大高度时的位置为点B(0，
3.5)．以点C表示运动员投篮球的出手处．
设以y轴（直线x=0）为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k，
即y=ax2+k，而点A，B在这条抛物线上，所以有
解得
2.25a k 3.05， k 3.5.
a 0.2， k 3.5.
(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.
解：设AM的长为x(m),则BM的长为（2-x)m,以AM和MB为边的两块正方形面积之
和为y.依题意得y与x之间的函数解析式为
D
2m
C
y=x2+(2-x)2
=2x2-4x+4
=2(x2-2x)+4
=2(x2-2x+1-1)+4 =2(x-1)2+2
A Xm M
B
∵a=2＞0∴当x=1时，y有最小值，最小值为2.
因为两条直线相交于点（2,3),
｛X=2
所以原方程组的解是
交流思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
➢ 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围， ➢然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最 小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的
。 自变量的值必须在自变量的取值范围内
例2：如图，ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板，在边AB上选取 一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料。当 AM的长为何值时，截取的板料面积最小？
何时窗户通过的光线最多
用长为6m的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的 矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积 最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
1.4二次函数的应用(1)课件
①y=x2-4x+7 ②y=-5x2+8x-1
配方法
公式法
给你长6m的铝合金条，设问： ①你能用它制成一矩形窗框吗？
②怎样设计，窗框的透光面 积最大？
给你长6m的铝合金条，设问： ①你能用它制成一矩形窗框吗？ ②怎样设计，窗框的透光面积最大？
解:设宽为x米,根据题意得,则长为（3-x）米
y x3 x (0＜x＜3)
的表达式为 y= －(x-1)2 +2.25
。如果不考
虑其他因素，那么水池的半径至少要_2_._5_米，才能使喷出的水
流不致落到池外。
Y
．B(1,2.25)
(0,1.25) A
O
x
3、如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的 直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 y=0.0225x²+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关于y轴 对称．
最大面积是8/3m2.
变式：
2、用长为8米的铝合金制成如图窗框，一边靠2m的墙， 问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？ 最大面积是多少？
解：设窗框的一边长为x米，
则另一边的长为（8-2x）米，
x
又令该窗框的透光面积为y米，那么：
y= x(8－2x)
8-2x
即：y=－2x2＋8x …………
y = 0.0225x2 + 0.9x +10
Y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是 1米 ； ⑵两条钢缆最低点之间的距离是 40米 ；
(3)右边的抛物线解析式是 y 0.0225x 2 0.9x；10
2.已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能 达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的 长。
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1
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴ y=x2＋2x－3;
⑵ y=－x2＋4x
2、图中所示的二次函数图像的解 析式为：
y2x28x13
⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值
分别为（ 55）、（ 5 ）。
⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、
最小值分别为（55 ）、（ 13 ）。
求函数的最值问题，应注意什么?
y 6 0 x3 020 x0 43 0 020 x0
2x2 0 1x 0 6 00 (0≤x0 ≤20)0
当 答x：定价2ba为55 27时 1 ， 元y最 时大 ，利20润最5 2大2，1最0大05 2利润6为006106251元25 2
由(1)(2)的讨论及现在的销售
情况,你知道应该如何定价能
高1元，销售量相应减少10个。
（1）假设销售单价提高x元，那么销量每个篮球所获得的
利润是
元，这种篮球每月的销售量是
个；
（用含x的代数式表示）
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果
是，说明理由；如果不是，求出最大利润。
3、在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它周长相等的边框，
制成镜子。镜子的长与宽的比是2：1，已知镜面玻璃价格
使利润最大了吗?
7
想一想
（1）列出二次函数的解析式，并根据自 变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式 法或通过配方求出二次函数的最大值或最 小值。
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例2 某商场销售某种品牌牛奶，已知进价每箱40元，
厂家要求每箱售价在40~70元之间。市场调查发现，若 每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每 降低1元，每天平均多销售3箱，价格每提高1元，每天 平均少销售3箱。
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元） 之间的函数关系；
（2）求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元） 与每箱牛奶的售价x（元）之间的函数关系；
（3）求出（2）中函数图象的顶点坐标，求出x=40、 70时W的值，并画出草图；
（4）由图象可以看出，当牛奶售价为多少元时，平均
每天的利润最大？最大利润是多少？
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（1）根据实际问题，构建二次函数 模型 （2）运用二次函数及其性质求函数 最值
（1）建模思想：根据题意构造二次 函数 （2）数形结合思想：根据图象特征 来解决问题
11
1、课时训练P21-22
2、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元
出售，那么 每月可售出500个，根据销售经验，售价每提
即 y10x210x0600(00≤X≤30)
5
y10x210x06000 (0≤X≤30)
当x2ba5时， y最大值 1052 100560006250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
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随堂练习
何时获得最大利润?
驶向胜利 的彼岸
例3 某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以 单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销 售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价 每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才 能在半个月内获得最大利润?
若你是商店经理,你需要多长时间定出这个销售单价?
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪
些量随之发生了变化？
4
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
是120元/平米，边框价格是30元/米，另外制作这面镜子还
需加工费45元，设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的
宽是x米。（1）求y与x之间的关系；（2）如果制作这面
镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。
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结束寄语
下课了!
•生活是数学的源泉.
13
也就是说当x取顶点坐
标的横坐标时，这个函
数有最大值。由公式可
30
x \ 元 以求出顶点的横坐标.
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做一做
在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（1）的过程得出答案。
解：设降价x43;20x)件，销售额为(60-x)(300+20x)元，
买进商品需付40(300+20x)元，因此，得利润
y
6
4
2
0
x
-4 -2
2
2
同学们，今天就让我们一 起去体会生活中的数学给
我们带来的乐趣吧！
3
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 20件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
请大家带着以下几个问题读题