五年级奥数几何勾股定理与弦图C级学生版

勾股定理与弦图

课前预习

华盛顿的傍晚

亲爱的小朋友们：他潜心探讨，有一位中年人，他聪明又勤奋，“在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，

年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年他反复思考与演算……”，那是1876人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然时而小声探讨。有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，发现附近的一个小石凳上，由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。，那么斜边长为多少呢？”43也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为和，那么这个直角三角7加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和的7形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很他经过反复思考与演算，不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。具体方法如下：，△BDE可以拼成直角梯形ACDE△两个全等的RtABC和Rt 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋（AC＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2

2÷2＝a×b÷2＋）a×b÷2＋c×c÷2 ＋（ab222bca化简整理得＝＋

．2÷高×下底）+（上底，和梯形的面积公式：2÷高×点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底．

而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？

在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．

,:弦图又可以句股相乘为朱实二即弦.案开方除之三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,,

,亦成弦实．以句股之差自相乘为中黄实,加差之倍之为朱实四,

短面曰句，长面曰股，相与结.其中解释到:汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》角曰弦.句短其股，股短其弦．句股各自乘，并，而开方除之，即弦。勾股定理的

知识框架A

直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．勾股定理:cb较长的直角边、注：勾——最短的边、股——斜边。弦——CB a

勾股定理实际上包含两方面的内容：①如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方；

②如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形．

勾股数：

222的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4=c、5；满足a +b

5、12、13；7、24、25；8、15、17。

弦图：HG

FE

重难点

1.会用勾股定理解决简单问题。

2.会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形

3.勾股

定理与弦图的联系与应用

例题精讲

】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别【例1 和，那么最小的正方形的面积为是676576

【巩固】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为2的面积之和为___________cm。C7cm,则正方形A，B，，D

C

D

B

A

7cm

中，，且CD=12cmBC=13cmAB=3cm，AD=4cm，，ABCD2【例】已知，如图，四边形°，求四边形ABCD 的面积。A=90∠ A D

B

C

海里的速度前进，乙船沿南偏东方向以每小时8B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６0°【例3】在海里，你知道34岛，乙船到P岛，两岛相距15某个角度以每小时海里的速度前进，2小时后，甲船到M 乙船是沿哪个方向航行的吗？

方BCB处有一台风中心，沿A接到台风警报，在该市正南方向100km的如图，某沿海开放城市【巩固】点移到，那么台风中心经过多长时间从B到BC的距离AD=60km向以20km/h的速度向D移动，已知城市A点休闲的游人在接到台D30km点？如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？C

A

D

B

平方米，5从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为【例4】问锯下的长方形木条的面积等于多少？

平方分336分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为16从一块正方形玻璃上裁下宽为【巩固】．

米，原来正方形的面积是多少平方分米？

【例5】如图,P是正方形ABCD外面一点,船为12厘米.△APB的面积是90平方厘米，ACPB的面积是48平方厘米．请你回答:正方形ABCD的面积是多少平方厘米?

34cm。求这个长方形的面积。【巩固】有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长

求正已知EG=15,FH=13,ABCD是正方形的内接四边形，四边形EFGH的面积是94.5..【例6】如图，EFGH 的面积．方形ABCD

【巩固】PQRSABCDHGFEABCD如图所示，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求阴影部分与四边形的面积之比。．

怎?1厘米的纸片宽11厘米的长方形纸片最多能裁出多少个长4厘米、宽,【例7】.如图一张长14厘米, 请画图说明．样裁?