2018_2019学年高中数学第二章随机变量及其分布复习提升课学案新人教A版

第二章 随机变量及其分布

章末复习提升课

,

超几何分布

[问题展示] (选修2­3 P50习题2.1B 组T1)老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．

【解】 (1)他能背诵的课文的数量X 的可能取值为0，1，2，3， 则P (X ＝0)＝C 06C 3

4C 310＝1

30，

P (X ＝1)＝C 16C 2

4C 10＝3

10

，

C 102P (X ＝3)＝C 36C 0

4C 310＝1

6，

所以X 的分布列为

(2)他能及格的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝3

.

某位同学记住了10个数学公式中的m 个(m ≤10)，从这10个公式中随机抽取3个，若他记住2个的概率为1

2.

(1)求m 的值；

(2)分别求他记住的数学公式的个数X 与没记住的数学公式的个数Y 的数学期望E (X )与

E (Y )，比较E (X )与E (Y )的关系，并加以说明．

【解】 (1)P (X ＝2)＝C 2m C 1

10－m C 310＝1

2，

即m (m －1)(10－m )＝120，且m ≥2.

因为120＝2×5×12＝4×5×6＝3×5×8＝2×4×15＝2×2×30. 而m 与m －1一定是相邻正整数．

所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝4，m ＝5，10－m ＝6或⎩⎪⎨⎪

⎧m －1＝5，m ＝6，10－m ＝4

解得m ＝6.

(2)由原问题知，E (X )＝0×

130＋1×310＋2×12＋3×16＝9

5

， 没记住的数学公式有10－6＝4个，故Y 的可能取值为0，1，2，3. P (Y ＝0)＝C 04C 3

6C 310＝1

6，

P (Y ＝1)＝C 14C 26C 310＝1

2，

P (Y ＝2)＝C 24C 16C 310＝3

10

，

C 1030所以Y 的分布列为

E (Y )＝0×16

＋1×12

＋2×10

＋3×30＝5

，

由E (X )＝95，E (Y )＝6

5

得出

①E (X )＞E (Y )．说明记住公式个数的期望值大于没记住公式个数的期望值． ②E (X )＋E (Y )＝3.说明记住和没记住的期望值之和等于随机抽取公式的个数3.

二项分布

[问题展示] (选修2­3 P59习题2.2B 组T1)甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？

【解】 每局比赛只有两个结果，甲胜或乙胜，且每局比赛胜负是相互独立的，所以甲胜的局数X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )． ①当采用3局2胜制时，X ～B (3，0.6)， 则P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝C 2

3×0.62

×0.4＋C 3

30.63

＝0.648. ②当采用5局3胜制时，X ～B (5，0.6)， 则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5) ＝C 3

5×0.63

×0.42

＋C 4

5×0.64

×0.4＋C 5

50.65

≈0.683. 显然0.648<0.683，所以采用5局3胜制对甲更有利． 从而说明了“比赛总局数越多，甲获胜的概率越大”． 对比赛局制长短的认识：

①比赛的公平性：局数不能过多或过少，过多对甲有利，过少对乙有利； ②在实际比赛中，应根据计算出的概率结果，对赛制“n 局

n ＋1

2

胜”的n 值给予确定．

甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为p ，乙获胜的概率为1－p ，采用了“3局2胜

制”(这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束)．若仅比赛2局就结束的概率为13

25.

(1)求p 的值；

(2)若采用“5局3胜制”(这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束)，求比赛局数X 的分布列和数学期望．

【解】 (1)仅比赛2局就结束，即为甲连胜2局或乙连胜2局， 所以p ·p ＋(1－p )(1－p )＝

1325

， 即25p 2

－25p ＋6＝0，解得p ＝35或p ＝25

.

(2)当p ＝35时，即甲胜的概率为35，乙胜的概率为1－35＝2

5

.

X 的可能取值为3，4，5.

P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫253

＝35125

， P (X ＝4)＝C 23

⎝ ⎛⎭⎪⎫352·25·35＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252

·35·25＝

234625

，

P (X ＝5)＝C 24

⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·35＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫252·⎝ ⎛⎭⎪

⎫352

·25＝216625

，

所以X 的分布列为

所以E (X )＝3×35125＋4×625＋5×625＝625≈4.

当p ＝2

5时，

结论与p ＝3

5

相同．

相互独立事件及概率

[问题展示] (选修2­3 P55练习T3)天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： (1)甲、乙两地都降雨的概率；