运筹学 ( 对偶问题及性质)
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《运筹学》线性规划的对偶问题
3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2w2 bi wi bmwm z z b1w1 b2w2 (bi bi )wi bmwm z bi wi
w
o i
z o bi
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1x1 c2 x 2 c2 x 2
s.t.
a11x1 a12x 2 a1n x n x n1
a 21x1 a 22x 2 a 2n x n
x n2
b1
b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
差额成本=机会成本 ——利润
5、互补松弛关系的经济解释
wix ni
0xwni
0 x ni i 0 wi
0 0
x jwmj
0xwjm j
0 0
w m x
j j
0 0
在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品机会成本等于利润 （4）机会成本大于利润的产品不安排生产
4、产品的机会成本
增加单位资源可以增加的利润
max z c1x1 c2x2 c jx j cn xn
s.t.
a11x1 a12x 2 a1jx j a1nx n b1 w1
a 21x1 a 22x 2 a 2jx j a 2nx n b2 w2
a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n bm wm
运筹学(对偶问题)
x x 300 2 x x 400 x 250 x ,x 0
1 2 1 2 2 1 2
(原问题）
分析问题： 1、每种资源出售时的利润不能低于自己生产时的可 获利润； 2、定价又不能太高，要使对方能够接受。
设y1 , y2 , y3分别为三种资源收费单价，所以 有下式： y1 2 y2 50 y1 y2 y3 100 y1 , y2 , y3 0
1 2 1 2 3 1 2 3
（对偶问题）
模型对比：
数学模型： max Z 50 x 100 x
1 2
min W 300 y 400 y 250 y
1 2 1 2
3
x x 300 2 x x 400 x 250 x ,x 0
1 2 1 2 2 1 2
练习： 1. min Z 2 x1 2 x 2 4 x 3
2 x1 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0 2 .min Z 3 x1 2 x 2 3 x 3 4 x4 x1 2 x 2 3 x 3 4 x4 0 x 2 3 x 3 4 x 4 5 2 x1 3 x 2 7 x 3 4 x4 2 x 0，x 0, x 、x 无约束 2 3 4 1
矩阵形式： P maxZ CX AX b X0
D min W Yb YA C Y0
例一、 max Z 10 x1 18 x 2
P
5 x1 2 x 2 170 2 x1 3 x 2 100 x1 5 x 2 150 x1 , x 2 0
运筹学对偶问题和性质
❖ 目旳函数 min
m个
变
≥0
量
≤0
无约束
n个
约
束
≥
条
≤
件
=
❖ 例2.2 写出下列线性规划问题旳对偶问题.
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无约束
2y1y1 22y2y234
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题旳最优解为： Y＊=(1,1)，最优值w=26。
作业:第88-89页: 3.3(1),(2) 3.8
思索题：3.2 3.4
❖ 当B为最优基时，应有
CN CB B1N 0 C CB B1 A 0 CB B1 0
❖ 令Y=CBB-1, 则 YA C
Y 0
且 w Yb CB B1b z
项目
基变量
非基变量
CB XB B-1b cj-zj
XB I 0 -Ys1
XN
Xs
B-1N
B-1
CN-CBB-1N -CBB-1
性质6 (互补松弛性)：在线性规划问题旳最优解中，假如相 应某一约束条件旳对偶变量值为非零，则该约束条件取严格 等式；反之假如约束条件取严格不等式，则其相应旳对偶变 量一定为零. 即Y*XS=0，YSX*=0
n
yˆi 0 aij xˆ j bi j 1 n
aij xˆ j bi yˆi 0
1/4
y3 j 1/2
15/2 15/2
0 0
1 0
1/2 7/2
-3/2 3/2
运筹学2对偶问题
运筹学2对偶问题运筹学教程运筹学Operations Research Chapter 2 对偶问题Dual Problem1. 线性规划的对偶模型Dual Model of LP2.对偶性质对偶性质3.对偶单纯形法对偶单纯形法4.灵敏度分析灵敏度分析Dual property Dual Simplex Method Sensitivity Analysis 运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dual model of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 2 of 19在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。
【例2.1】某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、例资源限量及价值系数如下表：产品资源Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 每件产品利润9 5 8 7 100 8 4 3 6 80 6 7 2 4 70 500 450 300 550 A B C 资源限量建立总收益最大的数学模型。
运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dualmodel of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 3 of 19 设x1,x2,x3分别为产品A,B,C的产量，则线性规划数学模解型为：m Z = 100x + 80x + 70x ax1 2 39x1 + 8x2 + 6x3 ≤ 500 5x + 4x + 7x ≤ 450 2 3 1 8x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 300 7x + 6x + 4x ≤ 550 2 3 1 x1, x2, x3 ≥ 0 现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。
假如企业自己不生产产品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源的转让价格是多少才合理？价格太高对方不愿意接受，价格太低本单位收益又太少。
运筹学第3章 对偶问题
y1 + 2 y2 + 4 y3 = 3 2 y1 + y2 + 3 y3 = 2
x1 > 0, x2 > 0
联立求解得： y1 = 0, y2 = 0.5, y3 = 0.5
三、影子价格
设 x* ( j = 1,L, n) 和 yi* (i = 1,L, n) 分别是原问题和 j 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
=b
BX B + NX N + IX S = b X ≥ 0, X ≥ 0 N B
S S
max z = C B X B + C N X N + 0 X s
将XB的系数 矩阵化为单 位矩阵
原来 BX B + NX N + IX IX B + B − 1 NX N + B − 1 X
= b = B
注 上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量
二、对偶问题的基本性质
1、对偶问题的对偶问题是原问题
max z=CX s.t. AX≤b X ≥0 对偶的定义 min w=b’Y s.t. A’Y≥C Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C Y ≥0
−1
b
项目
原问题变量
原问题松弛变量
原问 题最 终单 纯形 表
x1
x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 -σj 0 1 0 0
x2
0 0 1 0
x3
1 0 0 0
x4
5/4 1/4 -1/4 1/4
x5
15/2 -1/2 3/2 1/2
x1 > 0, x2 > 0
联立求解得： y1 = 0, y2 = 0.5, y3 = 0.5
三、影子价格
设 x* ( j = 1,L, n) 和 yi* (i = 1,L, n) 分别是原问题和 j 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
=b
BX B + NX N + IX S = b X ≥ 0, X ≥ 0 N B
S S
max z = C B X B + C N X N + 0 X s
将XB的系数 矩阵化为单 位矩阵
原来 BX B + NX N + IX IX B + B − 1 NX N + B − 1 X
= b = B
注 上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量
二、对偶问题的基本性质
1、对偶问题的对偶问题是原问题
max z=CX s.t. AX≤b X ≥0 对偶的定义 min w=b’Y s.t. A’Y≥C Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C Y ≥0
−1
b
项目
原问题变量
原问题松弛变量
原问 题最 终单 纯形 表
x1
x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 -σj 0 1 0 0
x2
0 0 1 0
x3
1 0 0 0
x4
5/4 1/4 -1/4 1/4
x5
15/2 -1/2 3/2 1/2
运筹学 线性规划 对偶问题
●对偶(min型)变量的最优解等于原问题松弛变量检验数的 对偶(min型 变量的最优解等于原问题松弛变量检验数的 松弛变量 绝对值 ●对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量的 对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量的 对应变量 检验数的绝对值 ●由于原问题和对偶问题是相互对偶的,因此对偶问题的 由于原问题和对偶问题是相互对偶的, 检验数与原问题的解也有类似上述关系. 检验数与原问题的解也有类似上述关系. ●更一般地讲,不管原问题是否标准,在最优解的单纯型 更一般地讲,不管原问题是否标准, 都有原问题虚变量 松弛或剩余) 虚变量( 表中,都有原问题虚变量(松弛或剩余) 的检验数对应其 对偶问题实变量 对偶变量)的最优解,原问题实变量 实变量( 对偶问题实变量 (对偶变量)的最优解,原问题实变量(决 策变量) 的检验数对应其对偶问题虚变量 策变量) 的检验数对应其对偶问题虚变量 (松弛或剩余变 的最优解.因此, 量)的最优解.因此,原问题或对偶问题只需求解其中之 一就可以了. 一就可以了.
n
* j
,
∑b y
i =1 n i j =1 m
m
* i
≤ ∑ bi yi
i =1
m
∑ c j x j = ∑ bi yi ,
∴
∑cjxj ≤
* *
∑ bi yi
i =1 m i =1
m
*
∑c x = ∑c x
j =1 j j j =1 j
j
=
∑b y
i =1 i
* i
= ∑ bi yi
3.强对偶性(对偶定理) 强对偶性(对偶定理) 强对偶性 定理 如果原问题和对偶问题都有可行解, 定理 如果原问题和对偶问题都有可行解,则它们都有最优 且它们的最优解的目标函数值相等. 解,且它们的最优解的目标函数值相等. 证:第一步,证明都有最优解.原问题和对偶问题都有可 第一步,证明都有最优解. 行解,由弱对偶定理推论1可知 原问题目标函数有上界, 可知, 行解,由弱对偶定理推论 可知,原问题目标函数有上界, 对偶问题的目标函数有下界,故一定存在最优解. 对偶问题的目标函数有下界,故一定存在最优解. 第二步,证明最优解的目标函数值相等.根据单纯形 第二步,证明最优解的目标函数值相等. 法的矩阵描述,原问题有最优解,对偶问题为可行解, 法的矩阵描述,原问题有最优解,对偶问题为可行解,且 二者的目标函数值相等,根据最优性定理, 二者的目标函数值相等,根据最优性定理,二者的解均为 最优解. 最优解.
n
* j
,
∑b y
i =1 n i j =1 m
m
* i
≤ ∑ bi yi
i =1
m
∑ c j x j = ∑ bi yi ,
∴
∑cjxj ≤
* *
∑ bi yi
i =1 m i =1
m
*
∑c x = ∑c x
j =1 j j j =1 j
j
=
∑b y
i =1 i
* i
= ∑ bi yi
3.强对偶性(对偶定理) 强对偶性(对偶定理) 强对偶性 定理 如果原问题和对偶问题都有可行解, 定理 如果原问题和对偶问题都有可行解,则它们都有最优 且它们的最优解的目标函数值相等. 解,且它们的最优解的目标函数值相等. 证:第一步,证明都有最优解.原问题和对偶问题都有可 第一步,证明都有最优解. 行解,由弱对偶定理推论1可知 原问题目标函数有上界, 可知, 行解,由弱对偶定理推论 可知,原问题目标函数有上界, 对偶问题的目标函数有下界,故一定存在最优解. 对偶问题的目标函数有下界,故一定存在最优解. 第二步,证明最优解的目标函数值相等.根据单纯形 第二步,证明最优解的目标函数值相等. 法的矩阵描述,原问题有最优解,对偶问题为可行解, 法的矩阵描述,原问题有最优解,对偶问题为可行解,且 二者的目标函数值相等,根据最优性定理, 二者的目标函数值相等,根据最优性定理,二者的解均为 最优解. 最优解.
2.2运筹学 对偶问题的基本性质
y1*
x
* s1
0
y2*xs2* 0
ym*
x
s
* m
0
若y
* 1
0则x
* s1
0
若x
* s1
0则y
* 1
0
对偶变量不为0 ，原问题相应 约束式是等式
原问题约束为
已知线性规划问题
不等式，相应
min 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5
对偶变量为0
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 4
(2)
2 y1 3 y2 5
(3)
y1 y2 2
(4)
3 y1 y2 3
(5)
y1 , y2 0
将
y* 1
,
y* 2
的值代入约束条件，得(2)，(3)，(4)为严格不等式；由互
补松弛性得 x*2 x*3 x4* 0。因 y1，y2 0；原问题的两个约束条
件应取等式，故有
x1* 3 x5* 4
B 1b C B B 1b
与-原原问问问题令题题的Y的的基=检C检解验B验(B差数数-1一对,故比负应较可号对-得-)偶---对- 偶问题YS的2=一CB个B-基1N解-C.N
YS1=0
原 问 题
对偶 问题
变量性质
检验数 基解
变量性质
基变量
非基变量
XB 0
-YS2 非基变量
XN
XS
CN-CBB-1N -CBB-1
机械设备
甲 1
原材料A 4
影子价格
原材料B 0
经济意义பைடு நூலகம் 在其它条件 不变的情况 下， 单位资源变 化所引起的 目标函数的 最优值的变 化。
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学_9 对偶问题的性质
Operational Research
4
对偶问题的性质：七个定理
（1）对称性定理：原问题－对偶问题之间的关系（对偶的对偶是原问题） （2）弱对偶定理：原－对偶问题可行解之间的关系（CX （0） ≤Y（0）b ） 最优定理：可行解满足一定条件下（ CX （0） ＝Y（0）b ）， X 、Y（0）成为最优解 无界性：若原问题为无界解，则其对偶问题无可行解。 （3）兼容性定理：可行基检验数相反数是对偶问题的一个基本解。 互补松弛定理： Y（0） 、X Y （0 ） X
两边乘负号两边再乘负号a取转置ya?operationalresearch弱对偶性定理弱对偶性定理原对偶问题原对偶问题可行解之间可行解之间的关系的关系cxcx00yy0011原问题任一可行解所对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值原问题任一可行解所对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界都小于等于
Operational Research
12
互补松弛定理
Y（0） 、X （0）是最优解的充要条件是 Y（0） X （0） s＝0、 Y（0） s X （0） ＝0
• 维度问题：X为n维，Ys约束n个
目的：通过对偶问题求解原问题
例 1-25
max z 3x1 4 x2 s.t x1 x2 6 x 1 2 x2 8 2 x2 6 x1 , x2 0
（0）是最优解的充要条件是 （0）
强对偶定理：原问题有最优解，对偶问题也有，且目标函数相等。
（0）
s＝0、 Y（0） s X （0） ＝0
Operational Research
5
对称性定理
• 对偶的对偶是原问题
max z CX min w Yb s.t AX b s.t YA C X 0 Y 0
运筹学之对偶问题
Max s .t
W Yb - YA C Y 0
定理2 弱对偶定理 ˆ 和Y ˆ 分别为原问题 P 及其对偶问题 D 的任意可行解， 若X 则有 ˆ Y ˆb CX 成立。
推论1：若原问题 P 和对偶问题 D 都有可行解，则必都有 最优解。 推论2：若原问题 P 有可行解，但无有限最 优解，则对偶 问题 D 无可行解。
s .t
s .t
为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D)
原始问题 Max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0
Max C
对偶问题 Min W=Yb s.t. YAT≥C Y ≥0
Min
bT
AT m ≥ CT
第四章 线性规划的对偶理论
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的解 影子价格 对偶单纯形法
4.1 对偶问题
(1) 对偶问题的提出
对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了 解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提 出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系 统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问 题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？
通过使用所有资源对外加工所获得的收益
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此 此问题可归结为以下数学模型：
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y 2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3为对偶变量，也称为影子价格
《运筹学》胡运权清华版-2-01对偶问题
对偶问题往往具有非线性、非凸性和大规模等特性 ，求解难度较大，需要发展高效的求解算法。
应用场景限制
对偶问题在某些应用场景中可能存在限制， 需要探索更广泛的应用领域和场景。
对偶问题的未来发展方向
交叉学科融合
对偶问题将与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，形成新的 研究领域和方向。
算法优化与并行计算
针对大规模对偶问题的求解，将发展更高效的算法和并行计算技 术，提高求解效率。
应用领域拓展
02
对偶问题在优化、机器学习、大数据等领域的应用将进一步深
化，推动相关领域的发展。
算法创新
03
针对对偶问题的求解算法将不断创新，提高求解效率，满足大
规模复杂问题的求解需求。
对偶问题的研究难点与挑战
理论证明
对偶理论中的一些基本定理和性质仍需进一 步证明和完善，以增强其数学严谨性。
求解难度
求解动态规划对偶问题的方法包括状态转移方程、最优子结构、备忘录法等。这些方法可以帮助我们找 到最优解，并避免重复计算。
在求解动态规划对偶问题时，需要注意对偶问题的最优解并不一定对应原问题的最优解，因此需要对解 进行验证和调整。
博弈论对偶问题的求解方法
01
博弈论是研究多个决策者之间 决策问题的学科，而博弈论对 偶问题则是将原问题转化为求 最大值的问题。
题
非线性规划对偶问题是将原非线 性规划问题的目标函数和约束条 件转换为对偶形式后得到的新问 题。
对偶问题的重要性
理论意义
对偶问题在运筹学理论中具有重要的 地位，它揭示了原问题与对偶问题之 间的内在联系，有助于深入理解运筹 学的基本原理。
应用价值
在实际应用中，对偶问题可以用于求 解原问题的近似解或启发式解，提高 求解效率，尤其在处理大规模优化问 题时具有显著的优势。
应用场景限制
对偶问题在某些应用场景中可能存在限制， 需要探索更广泛的应用领域和场景。
对偶问题的未来发展方向
交叉学科融合
对偶问题将与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，形成新的 研究领域和方向。
算法优化与并行计算
针对大规模对偶问题的求解，将发展更高效的算法和并行计算技 术，提高求解效率。
应用领域拓展
02
对偶问题在优化、机器学习、大数据等领域的应用将进一步深
化，推动相关领域的发展。
算法创新
03
针对对偶问题的求解算法将不断创新，提高求解效率，满足大
规模复杂问题的求解需求。
对偶问题的研究难点与挑战
理论证明
对偶理论中的一些基本定理和性质仍需进一 步证明和完善，以增强其数学严谨性。
求解难度
求解动态规划对偶问题的方法包括状态转移方程、最优子结构、备忘录法等。这些方法可以帮助我们找 到最优解，并避免重复计算。
在求解动态规划对偶问题时，需要注意对偶问题的最优解并不一定对应原问题的最优解，因此需要对解 进行验证和调整。
博弈论对偶问题的求解方法
01
博弈论是研究多个决策者之间 决策问题的学科，而博弈论对 偶问题则是将原问题转化为求 最大值的问题。
题
非线性规划对偶问题是将原非线 性规划问题的目标函数和约束条 件转换为对偶形式后得到的新问 题。
对偶问题的重要性
理论意义
对偶问题在运筹学理论中具有重要的 地位，它揭示了原问题与对偶问题之 间的内在联系，有助于深入理解运筹 学的基本原理。
应用价值
在实际应用中，对偶问题可以用于求 解原问题的近似解或启发式解，提高 求解效率，尤其在处理大规模优化问 题时具有显著的优势。
《运筹学》第二章 对偶问题
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
20
一组互为对偶的线性规划问题的解之间只有 下列三种情况:
(1)两个规划问题都有可行解(此时,两个规划问题都有最优 解,且最优值相等);
(2)两个规划问题都不可行; (3) 一个规划问题不可行,另一个规划问题有可行解,且具有
无界解。
21
（4）互补松弛性： 在线性规划问题的最优解中，
则 aij xj * = bi ；
bi , 则 y i* = 0 (4)’ 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中， 则 aij yi * = cj ；
>cj , 则 xj* = 0
n
若 y i * >0,
j=1 n
若 a ij xj * <
j=1
m
若 x j * >0,
i=1 m
若 a ij yi*
i=1 22
m
= 证b：i y∵i*
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
对偶问题的对 偶还是原问题
14
• 练习 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 4x1 3x2 2x3
4x1
运筹学及其应用4.2 对偶问题的基本性质和基本定理
§2 对偶问题的基本性质和基本定理
1、对称性定理 对偶问题的对偶为原问题.
原问题：maxz = CX AX ≤ b X ≥ 0
(1)
对偶问题：minw = Yb YA ≥ C Y ≥ 0 (2)
1
2.弱 对 偶 性
原 max z = CX AX ≤ b X ≥0
min w = Yb YA ≥ C Y ≥0
是对偶问题的一个最优解。
例：书P25
CB = (8, 3)
B −1
=
1 −2
0 1
Y = CB B−1 = ( 2, 3) 为对偶问题的最优解。
6
• 对偶问题中，解的情况有： • 1.都有有限最优解 • 2.都无可行解 • 3.一个有无界解，另一个无可行解
7
6、对偶问题的经济含义——影子价格
设X 为原问题的可行解,Y 为对偶问题的可行解,
则存在
CX ≤ Yb
推论： (1)max问题任一可行解的目标值为min问题目标值的一个下界； (2)min问题任一可行解的目标值为max问题目标值的一个上界。
2
原 max z = CX AX ≤ b X ≥0
min w = Yb YA ≥ C Y ≥0
最优情况：z*=
∂z* ∂ bi
=
yi*
w*= b1y1*+··· +biyi*+··· +bmym* 称y*i 为bi的影子价格.即对偶问题最优解 为其相应资源的影子价格。
x2
[例7]maxz=2x1+3x2
x1&#Q2’
Q2
Q2（4，2） z =14
Q2”
x1,x2≥ 0
x1
b1： 8 9 Q2’(4，2.5)
1、对称性定理 对偶问题的对偶为原问题.
原问题：maxz = CX AX ≤ b X ≥ 0
(1)
对偶问题：minw = Yb YA ≥ C Y ≥ 0 (2)
1
2.弱 对 偶 性
原 max z = CX AX ≤ b X ≥0
min w = Yb YA ≥ C Y ≥0
是对偶问题的一个最优解。
例：书P25
CB = (8, 3)
B −1
=
1 −2
0 1
Y = CB B−1 = ( 2, 3) 为对偶问题的最优解。
6
• 对偶问题中，解的情况有： • 1.都有有限最优解 • 2.都无可行解 • 3.一个有无界解，另一个无可行解
7
6、对偶问题的经济含义——影子价格
设X 为原问题的可行解,Y 为对偶问题的可行解,
则存在
CX ≤ Yb
推论： (1)max问题任一可行解的目标值为min问题目标值的一个下界； (2)min问题任一可行解的目标值为max问题目标值的一个上界。
2
原 max z = CX AX ≤ b X ≥0
min w = Yb YA ≥ C Y ≥0
最优情况：z*=
∂z* ∂ bi
=
yi*
w*= b1y1*+··· +biyi*+··· +bmym* 称y*i 为bi的影子价格.即对偶问题最优解 为其相应资源的影子价格。
x2
[例7]maxz=2x1+3x2
x1&#Q2’
Q2
Q2（4，2） z =14
Q2”
x1,x2≥ 0
x1
b1： 8 9 Q2’(4，2.5)
运筹学_9 对偶问题的性质
又变为max问题：
Байду номын сангаас
两边乘负号
max w Yb s.t YA C Y 0
两边再乘负号
A取转置，(YA)'= A'Y'
max w Yb s.t YA C Y 0
min w CX s.t AX b X 0
8
强对偶性定理
强对偶定理：原问题有最优解，对偶问题也有，且目标函数相等。
Operational Research
9
⑤ 无界性定理
无界性：若原问题为无界解，则其对偶问题无可行解。 书上没有，请补充！
CX Y b
原问题 对偶问题
CX Y b
Operational Research
10
注意：（1）是“检验数的相反数”，而不是检验数；
（2）第零步原问题检验数（34000），对偶问题基本解为（000－3－4） 补充：基的概念在P13，只强调了线性无关的子矩阵，负数也可以构成基 原因：原问题的检验数是价值系数，是对偶问题的约束条件即基本解的相反数 对应性：原问题第一个检验数，是对偶问题第一个剩余变量的解； 表 1-25 三个松弛变量的检验数，是对偶问题三个变量的基本解。
•
建立对偶问题与原问题之间的桥梁。
（2）怎么讲这些基本性质？
• 少证明，多说明其本质与应用的价值。
（3）常用表达形式
X ( 0 ) 代表可行解 X 代表最优解
Operational Research
3
对偶问题的性质
原问题和对偶问题的关系； 原问题和对偶问题解的关系； 如何从对偶问题求原问题的最优解。
min w 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2 y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y , y 0 1 2
Байду номын сангаас
两边乘负号
max w Yb s.t YA C Y 0
两边再乘负号
A取转置，(YA)'= A'Y'
max w Yb s.t YA C Y 0
min w CX s.t AX b X 0
8
强对偶性定理
强对偶定理：原问题有最优解，对偶问题也有，且目标函数相等。
Operational Research
9
⑤ 无界性定理
无界性：若原问题为无界解，则其对偶问题无可行解。 书上没有，请补充！
CX Y b
原问题 对偶问题
CX Y b
Operational Research
10
注意：（1）是“检验数的相反数”，而不是检验数；
（2）第零步原问题检验数（34000），对偶问题基本解为（000－3－4） 补充：基的概念在P13，只强调了线性无关的子矩阵，负数也可以构成基 原因：原问题的检验数是价值系数，是对偶问题的约束条件即基本解的相反数 对应性：原问题第一个检验数，是对偶问题第一个剩余变量的解； 表 1-25 三个松弛变量的检验数，是对偶问题三个变量的基本解。
•
建立对偶问题与原问题之间的桥梁。
（2）怎么讲这些基本性质？
• 少证明，多说明其本质与应用的价值。
（3）常用表达形式
X ( 0 ) 代表可行解 X 代表最优解
Operational Research
3
对偶问题的性质
原问题和对偶问题的关系； 原问题和对偶问题解的关系； 如何从对偶问题求原问题的最优解。
min w 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2 y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y , y 0 1 2
运筹学第4章 单纯形法的对偶问题
管理运筹学
3
§1 线性规划的对偶问题
如果我们把求目标函数最大值的线性规划问题看成原问题，则把求目标函数最小值的线 性规划问题看成对偶问题。下面来研究这两个问题在数学模型上的关系。
1 求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于 等于不等式。而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件， 其约束条件都为大于等于不等式。
5x1 3x2 x3 200
管理运筹学
10
§1 线性规划的对偶问题
通过上面的一些变换，我们得到了一个和原线性规划等价的线性规划 问题：
max z 3x1 4x2 6x3
s.t. 2x1 3x2 6x3 440,
6x1 4x2 x3 100, 5x1 3x2 x3 200 5x1 3x2 x3 200 x1, x2 , x3 0
进一步，我们可以令y3
y
' 3
y
'' 3
，这时当
y
' 3
y
'' 3
时，y
0，当
y
' 3
y
'' 3
时， y3 0 。这也就是说，尽管
y
' 3
,
y
'' 3
0,
但 y3 的取值可以为正，可以为0，
可以为负，即 y3 没有非负限制。
这样我们把原规划的对偶问题化为
min f 440 y1 100 y2 200 y3
这样第二个约束条件也就符合要求。对于第三个约束条件，我们可以 用小于等于和大于等于两个约束条件来替代它。即有
运筹学-对偶问题
对偶问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到 最优目标。
运输问题
如何制定运输计划，使得运输成本最低且满足运 输需求。
生产计划问题
如何制定生产计划，使得生产成本最低且满足市 场需求。
投资组合优化问题
如何选择投资组合，使得投资收益最大且风险最 小。
02
对偶问题在运筹学中的重要性
对偶问题的理论完善与深化
对偶理论的数学基础
进一步深入研究对偶理论的数学基础，包括对偶映射、对偶函 数、对偶不等式等，为解决对偶问题提供更坚实的理论基础。
对偶问题的转化与求解
研究如何将复杂的对偶问题转化为更容易求解的形式，或 者设计有效的求解方法，以提高对偶问题的求解效率。
对偶理论与实际应用的结合
在对偶理论不断完善的基础上，进一步探索如何将其应用于实际问题 中，以解决实际问题的优化问题，提高决策的科学性和效率。
在整数规划中，对偶问题通常 是指将原问题的约束条件或目 标函数进行一些变换，使得原 问题与对偶问题在结构上存在 一定的对称性。
对偶问题的性质
02
01
03
对偶问题的最优解与原问题的最优解具有密切关系。
在线性规划中，如果原问题是最大化问题，则对偶问 题是最小化问题，反之亦然。
在整数规划中，对偶问题的约束条件和目标函数通常 与原问题存在一定的对称性。
02 求解步骤
03 1. 定义原问题和对偶问题。
04
2. 利用状态转移方程和最优子结构性质，求解对偶问 题。
05 3. 利用对偶问题的解，求解原问题。
博弈论中的对偶策略
1. 定义博弈中的策略空间和支付 函数。
求解步骤
2. 构造对偶问题。
运筹学对偶问题
5 y1 2 y2 1
分析
另外，为了争取外来加工订货，在满足上述要 求的基础上，收费标准应尽可能低从而具有竞 争力，因此总的收费 w=15y1+10y2 应极小化。 这样，就得到一个目标函数：
minW 15y1 10 y2
这样，就得到另一个线性规划模型：
minW 15y1 10 y2 s.t. 3y1 5 y2 2 5 y1 2 y2 1 y1 0, y2 0
x1 2x2 3x3 4x4 3 x2 3x3 4x4 5 2x1 3x2 7x3 4x4 2 x1 0, x2, x3为自由变量, x4 0,
maxW 3y1 5 y2 2 y3 s.t.
y1 2 y3 3 2 y1 y2 3y3 2 3y1 3y2 7 y3 3 4 y1 4 y2 4 y3 4 y1 0, y2 0, y3为自由变量
解：
max Z x1 4x2 3x3 s.t.
2x1 3x2 5x3 2 3x1 x2 6x3 1 x1 x2 x3 4 x1 0, x2 0, x3为自由变量
minW 2 y1 y2 4 y3 s.t.
2 y1 3y2 y3 1 3y1 y2 y3 4 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3为自由变量
4x1 3x2 10
x1 x1
x2 x2
5 5
x1 x2 5
设x 2 x 3 x 4 , x 3 0, x 4 0
则，原问题变为
max Z 4x1 5x2 s.t.
（A） 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
minW 20 y1 10 y2 5 y3 s.t.
3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
分析
另外，为了争取外来加工订货，在满足上述要 求的基础上，收费标准应尽可能低从而具有竞 争力，因此总的收费 w=15y1+10y2 应极小化。 这样，就得到一个目标函数：
minW 15y1 10 y2
这样，就得到另一个线性规划模型：
minW 15y1 10 y2 s.t. 3y1 5 y2 2 5 y1 2 y2 1 y1 0, y2 0
x1 2x2 3x3 4x4 3 x2 3x3 4x4 5 2x1 3x2 7x3 4x4 2 x1 0, x2, x3为自由变量, x4 0,
maxW 3y1 5 y2 2 y3 s.t.
y1 2 y3 3 2 y1 y2 3y3 2 3y1 3y2 7 y3 3 4 y1 4 y2 4 y3 4 y1 0, y2 0, y3为自由变量
解：
max Z x1 4x2 3x3 s.t.
2x1 3x2 5x3 2 3x1 x2 6x3 1 x1 x2 x3 4 x1 0, x2 0, x3为自由变量
minW 2 y1 y2 4 y3 s.t.
2 y1 3y2 y3 1 3y1 y2 y3 4 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3为自由变量
4x1 3x2 10
x1 x1
x2 x2
5 5
x1 x2 5
设x 2 x 3 x 4 , x 3 0, x 4 0
则，原问题变为
max Z 4x1 5x2 s.t.
（A） 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
minW 20 y1 10 y2 5 y3 s.t.
3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
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❖ 当B为最优基时，应有
C NC BB1N0 CC BB1A0 C BB10
❖ 令Y=CBB-1, 则 YA C Y 0
且 wY bC BB 1bz
.
项目
基变量
非基变量
CB XB B-1b cj-zj
XB I 0 -Ys1
XN
Xs
B-1N
B-1
CN-CBB-1N -CBB-1
-Ys2
-Y
.
❖ 例2.1 写出线性规划问题的对偶问题
.
单纯形法计算的矩阵描述(n>m)
项目
非基变量
基变量
XB
XN
Xs
0 Xs b
B
N
I
cj-zj
CB
CN
0
项目
基变量
非基变量
XB
XN
Xs
CB XB B-1b
I
B-1N
B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
.
❖ 若初始矩阵中变量 xj的系数向量为Pj, 迭代后为P’j, 则有 P’j=B-1 Pj
.
1.线性规划对偶问题 （3）若原规划的某个变量的值没有非 负限制，则在对偶问题中与此变量对应的 那个约束为等式。
.
线性规划的对偶模型
原问题（或对偶问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数 max
约
m个
束
条
≤
件
≥
=
n个
变
量
≥0
≤0
无约束
对偶问题（或原问题）
目标函数变量的系数
约束条件右端项
目标函数 min
下表：
.
对偶性质
XB
原问 x3 题最 x1 优表 x2
b
15/2 7/2 3/2
Hale Waihona Puke 原问题的变量x1x2
0
0
1
0
0
1
0
0
原问题的松弛变量
x3
x4
1
5/4
x5 -15/2
0
1/4
-1/2
3
x1 x1
x2 4 x2
7 x3 6x3
3 5
x 1 , x 2 , x 3 0
对偶问题： minW 2y1 3y2 5y3
2y1 3y2 y3 2
53y1y1 7
y2 y2
4 y3 6 y3
3 4
y1, y2, y3 0
.
(2) 非对称形式的对偶规划 一般称不具有对称形式的一对线性规划为
m个
变
≥0
量
≤0
无约束
n个
约
束
≥
条
≤
件
=
.
❖ 例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 2 x1 3 x 2 5 x 3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7x4 4
2
x1
3
x2
4
x3
x4 6
x1 0, x 2 , x3 0, x4无约束
非对称形式的对偶规划。 对于非对称形式的规划，可以按照下面
的对应关系直接给出其对偶规划。 （1）将模型统一为“max，≤”或“min，
≥” 的形式，对于其中的等式约束按下面 （2）、（3）中的方法处理；
（2）若原规划的某个约束条件为等式约束， 则在对偶规划中与此约束对应的那个变量取值 没有非负限制；
y1, y2, y3, y4 0
对偶问题 （原问题）
.
线性规划的对偶模型
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变
量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非
负.
❖ （1）对称形式
maxZ CX
minW Yb
(LP)
AX b
X
0
YAC
(DP)
Y0
已知 (LP)，写出 (DP)
max z 2 x 1 x 2
5 x 2 x 3 15
s
.
t
6
x1 x
1
2x x2
2
x x5
4
24 5
xj 0
minw 15y1 24y2 5 y3
s.t
5
6y y1
2 2y
y3 2
y
y4 3
2 y5
1
yi 0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如
产品数据表
产品
设备
产品利润
A
B
C
D
（元／件）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
设备可利用机时数 （时）
12
8
16 12
问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能
获得最大利润？
.
❖解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数 学模型为：
max z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12
Chapter2 对偶理论
( Duality Theory )
本章主要内容：
线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释－影子价格 对偶单纯形法 灵敏性分析
.
线性规划的对偶模型
1. 对偶问题的现实来源
❖ 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A， B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品 的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表 ：
y1,
y2,
y3,
y4
0
.
2. 原问题与对偶问题的对应关系
max z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12
s
.
t
x 4
1
x
1
2
x2 16
8
4
x2
12
x 1 , x 2 0
原问题
（对偶问题）
min 12y1 8y2 16y3 12y4
2y1 y2 4y3 0y4 2 s.t 2y1 2y2 0y3 4y4 3
解：原问题的对偶问题为
min W 5 y 1 4 y 2 6 y 3
4 y1 3 y2 2 y3 2
3
y1 y1
2
y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2
y3 1
y 1 0 , y 2 0 , y 3 无 约 束
.
对偶性质
例2.3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题
s
.
t
x 4
1
x
1
2
x2 16
8
4
x2
12
x 1 , x 2 0
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机
器用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如
何定价才是最佳决策？
.
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：
（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、 乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约 束条件。
max Z 2 x 1 3 x 2 4 x 3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1 x
1
x2 7x3 4x2 6x3
3 5
x 1 , x 2 , x 3 0
解：首先将原问题变形为对称形式
max Z 2 x 1 3 x 2 4 x 3
2x 3x2 5x3 2
（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时 总收费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新 的线性规划数学模型为：
min 12y1 8y2 16y3 12y4
2y1 y2 4y3 0y4 2
s.t 2y1 2y2 0y3 4y4 3
C NC BB1N0 CC BB1A0 C BB10
❖ 令Y=CBB-1, 则 YA C Y 0
且 wY bC BB 1bz
.
项目
基变量
非基变量
CB XB B-1b cj-zj
XB I 0 -Ys1
XN
Xs
B-1N
B-1
CN-CBB-1N -CBB-1
-Ys2
-Y
.
❖ 例2.1 写出线性规划问题的对偶问题
.
单纯形法计算的矩阵描述(n>m)
项目
非基变量
基变量
XB
XN
Xs
0 Xs b
B
N
I
cj-zj
CB
CN
0
项目
基变量
非基变量
XB
XN
Xs
CB XB B-1b
I
B-1N
B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
.
❖ 若初始矩阵中变量 xj的系数向量为Pj, 迭代后为P’j, 则有 P’j=B-1 Pj
.
1.线性规划对偶问题 （3）若原规划的某个变量的值没有非 负限制，则在对偶问题中与此变量对应的 那个约束为等式。
.
线性规划的对偶模型
原问题（或对偶问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数 max
约
m个
束
条
≤
件
≥
=
n个
变
量
≥0
≤0
无约束
对偶问题（或原问题）
目标函数变量的系数
约束条件右端项
目标函数 min
下表：
.
对偶性质
XB
原问 x3 题最 x1 优表 x2
b
15/2 7/2 3/2
Hale Waihona Puke 原问题的变量x1x2
0
0
1
0
0
1
0
0
原问题的松弛变量
x3
x4
1
5/4
x5 -15/2
0
1/4
-1/2
3
x1 x1
x2 4 x2
7 x3 6x3
3 5
x 1 , x 2 , x 3 0
对偶问题： minW 2y1 3y2 5y3
2y1 3y2 y3 2
53y1y1 7
y2 y2
4 y3 6 y3
3 4
y1, y2, y3 0
.
(2) 非对称形式的对偶规划 一般称不具有对称形式的一对线性规划为
m个
变
≥0
量
≤0
无约束
n个
约
束
≥
条
≤
件
=
.
❖ 例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 2 x1 3 x 2 5 x 3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7x4 4
2
x1
3
x2
4
x3
x4 6
x1 0, x 2 , x3 0, x4无约束
非对称形式的对偶规划。 对于非对称形式的规划，可以按照下面
的对应关系直接给出其对偶规划。 （1）将模型统一为“max，≤”或“min，
≥” 的形式，对于其中的等式约束按下面 （2）、（3）中的方法处理；
（2）若原规划的某个约束条件为等式约束， 则在对偶规划中与此约束对应的那个变量取值 没有非负限制；
y1, y2, y3, y4 0
对偶问题 （原问题）
.
线性规划的对偶模型
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变
量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非
负.
❖ （1）对称形式
maxZ CX
minW Yb
(LP)
AX b
X
0
YAC
(DP)
Y0
已知 (LP)，写出 (DP)
max z 2 x 1 x 2
5 x 2 x 3 15
s
.
t
6
x1 x
1
2x x2
2
x x5
4
24 5
xj 0
minw 15y1 24y2 5 y3
s.t
5
6y y1
2 2y
y3 2
y
y4 3
2 y5
1
yi 0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如
产品数据表
产品
设备
产品利润
A
B
C
D
（元／件）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
设备可利用机时数 （时）
12
8
16 12
问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能
获得最大利润？
.
❖解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数 学模型为：
max z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12
Chapter2 对偶理论
( Duality Theory )
本章主要内容：
线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释－影子价格 对偶单纯形法 灵敏性分析
.
线性规划的对偶模型
1. 对偶问题的现实来源
❖ 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A， B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品 的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表 ：
y1,
y2,
y3,
y4
0
.
2. 原问题与对偶问题的对应关系
max z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12
s
.
t
x 4
1
x
1
2
x2 16
8
4
x2
12
x 1 , x 2 0
原问题
（对偶问题）
min 12y1 8y2 16y3 12y4
2y1 y2 4y3 0y4 2 s.t 2y1 2y2 0y3 4y4 3
解：原问题的对偶问题为
min W 5 y 1 4 y 2 6 y 3
4 y1 3 y2 2 y3 2
3
y1 y1
2
y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2
y3 1
y 1 0 , y 2 0 , y 3 无 约 束
.
对偶性质
例2.3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题
s
.
t
x 4
1
x
1
2
x2 16
8
4
x2
12
x 1 , x 2 0
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机
器用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如
何定价才是最佳决策？
.
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：
（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、 乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约 束条件。
max Z 2 x 1 3 x 2 4 x 3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1 x
1
x2 7x3 4x2 6x3
3 5
x 1 , x 2 , x 3 0
解：首先将原问题变形为对称形式
max Z 2 x 1 3 x 2 4 x 3
2x 3x2 5x3 2
（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时 总收费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新 的线性规划数学模型为：
min 12y1 8y2 16y3 12y4
2y1 y2 4y3 0y4 2
s.t 2y1 2y2 0y3 4y4 3