非线性结构

定的规律走遍树的每一个结点，使每个结点被访问一次 而且只被访问一次。
任何一棵二叉树都由三部分组成：即根结点（记作 D）、左子树（记作L）、右子树（记作R）。这样遍历 一棵二叉树的次序有六种：DLR、LDR、LRD、DRL、 RDL、RLD。如果限定左右子树的访问是先左后右，则 只有三种：
DLR(先序遍历) LDR(中序遍历) LRD(后序遍历)
二叉树的先序遍历算法
void preorder (bnode *BT)
{ if (BT= =NULL)
return;
else
{ visite (BT);
/*访问BT指向的根结点*/
if (BT->LC ！＝ NULL) preorder (BT->LC);
if (BT->RC ！＝ NULL) preorder (BT->RC);
二叉树的存储方式分为顺序存储和链式存储两种。 顺序存储方式是把二叉树的所有结点按照一定的次序存
储到一片连续的存储单元中，实际上就是把二叉树这种 非线性结构线性化。
对于满二叉树和完全二叉树具有性质：对于有n个
结点的满二叉树和完全二叉树，如果从上至下和从左 至右的顺序对二叉树中的所有结点从1开始顺序编号， 则对于任意序号i的结点有： （1）如果i>1，则序号为i的结点的父结点的序号为i/2
G
D
E
F
G
H I JK
L
非完全二叉树
（3）二叉排序树：它或者是空二叉树，或者是具有如
下性质的二叉树：左子树上所有结点的关键字均小于 根结点的关键字；右子树上所有结点的关键字均大于 等于根结点的关键字。左子树和右子树本身又各是一 棵二叉排序树。
8
4
10
1
4
9
17
1
6
12
二叉排序树
二、二叉树的存储结构
（8）结点的层次 根结点的层次为1，其他任何的层等于它的 父结点的层数加1。
（9）树的深度 一棵树中，结点的最大层次值就是树的深度。 图所示的树的深度为4。
（10）有序树和无序树 如果一棵树中结点的各子树从左到右 是有序的，即若交换了某结点各子树的相对位置则构成了不同 的树，称这棵树为有序树，反之则为无序树。
A A
B,C, D,E
F,G
A
B F,G
C
D,
E
A
B F,G
C
D
B
C
D
F G
E
E
五、二叉排序树的生成
前面已给出了二叉排序树的定义，从二叉 排序村的定义可以得出二叉排序树的一个重要性 质：按中序遍历该树所得的中序序列是一个递增 有序列，因此，二叉排序树常用于对数据排序。 利用二叉排序树来组织数据，可以减少数据查找 次数，提高效率。
后序遍历的递归定义为：
若二叉树为空，遍历结束，否则： （1）按后序遍历方式遍历根结点的左子树； （2）按后序遍历方式遍历根结点的右子树； （3）访问根结点；
二叉树的后序遍历算法
void postorder (bnode *BT)
{ if (BT= =NULL)
return;
else
{ if (BT->LC ！＝ NULL) postorder (BT->LC);
在树中，一个结点元素常简称结点，采用递归 方式定义树结构，揭示出树的固有特性。实际上， 树中的每个结点都是该树中某一子树的根。
Root A
第一层
B
C
D
第二层
E
F
G
H
I
第三层
第四层
J
（1）叶子 没有后继的结点称为叶子（或终端端结点），图1.23 中的结点D、E、F、G、H、J为终端结点；
（2）分支结点 非叶子结点称为分支结点 （或：非终端结点）。 （3）结点的度 一个结点的子树数目称为该结点的度。B的度为2,
（取整）；如果i=1，则结点是根结点，无父结点；
（2）如果2i≤n，则序号为i的结点的左子结点的序号为2i ； （3）如果2i＋1≤n，则序号为i的结点的右子结点的序号为2i
＋1； 满二叉树和完全二叉树中结点的序号可以唯一地反应出结点之 间的逻辑关系。
ABCDE FGH I J KL 结点序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
例6 已知一棵二叉树的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ．中 序遍历序列为CBDEAFHIGJ，试构造这棵二叉树。构造过 程由图示如下：
A
A
B
F
C,B, F,H,I
D,E
G,L
A
C
D,
H,I
E
G,L
A
B
F

C
D
G
E H, J I
B
F
C
D
G
EH
J
I
练习：已知一棵二叉树的先序遍历序列为ABCDEFG．中序 遍历序列为CBEDAFG，试构造这棵二叉树。
根据以上二叉树的递归定义，可以知道，二叉树可 以为空集，或者只有根结点左右子树为空，或者只有左 子树或右子树，或者左右子树都存在。二叉树的五种形 态如下图所示。
空二叉树
仅有一个结 点的二叉树
根的左子树非空根的 右子树为空的二叉树
根的左子树为空根的 右子树非空的二叉树
根的左右子树皆 为非空的二叉树
一般树与二叉树在概念上的区别
树结构非常类似于自然界中的树，也有树根、树 叶及联系它们的支干。不过这里指的树结构是一种 倒生树，可以用递归的方式定义如下：
树是一个或多个结点元素组成的有限集合T，且 满足如下条件：
（1）有一个特定的结点元素，称为根结点Root；
（2）其余结点元素分成m个（m＞0）互不相交 的有限集T1，T2，…，Tm，其中每个集又都是一棵 树，这些树称为Root的子树。
§1.3 非线性结构
非线性结构的逻辑特征是一个结点元素可能 有多个直接前趋和多个直接后继。最主要的非线 性结构是树结构和图结构。
1．3．1树结构及其基本概念
树结构是一类重要的非线性结构。树结构是 结点之间有分支、层次关系的结构，在客观世界 中，树结构是大量存在的，例如家谱、行政组织 机构都可用树形象地表示。在计算机领域中，树 结构也被广泛应用，如计算机磁盘文件的管理， 是一种从根目录到各级子目录的分层结构i在数据 库系统中，常采用树来组织数据信息。
由给定的数据序列生成二叉排序树的过程是 在k2，二…叉，排k序n}树，上先插设入一结棵点空的二过叉程排：序对树一，序然列后{将k1序， 列中的元素顺次生成结点后逐个插入。插入步骤 如下：
第一步：k1作为二叉排序树的根。 第二步：若k2＜k1，则k2所在结点应插人到k1的 左子树 上；否则，插入到k1的右子树上。 第三步：读入ki， ki ＜ k1 （根），则进入左子树，否则 进入右子树，继续与子树之根比 较，直到某结点kj，若 有ki ＜ kj且结点kj的左子树为空，则结点ki 插入到结点kj 的左子树；
LC Data Parent RC
右指针域，指向结点的右子树根
父节点指针域 数据域
左指针域，指向结点的左子树根
A
A^
A^ ^
B
C
D
B
^ C^
D
B
^C ^
D
E
F
^ E^
^ F^
^E ^ ^F ^
(a) 二叉树
(b) 二叉链 表结构
(c) 三叉链表结构
一棵二叉树的链式存储结构
三、二叉树的遍历
遍历是树结构的基本操作。树遍历的含义是指用一
若有ki＞kj且结点kj的右子树为空，则结点ki插入到 结点kj的右子树。
例7有15个数构成的序列{190，381，12，40，410，394， 540，760，85，476，800，146, 9，445，600}，根据算 法的基本思想构造一个二叉排序树。生成过程如图所示。
}
}
中序遍历的递归定义为：
若二叉树为空，遍历结束，否则： （1）按中序遍历方式遍历根结点的左子树； （2）访问根结点； （3）按中序遍历方式遍历根结点的右子树；
二叉树的中序遍历算法
void inorder (bnode *BT) { if (BT= =NULL) return; else { if (BT->LC ！＝ NULL) inorder (BT->LC); visite (BT); /*访问BT指向的根结点*/ if (BT->RC ！＝ NULL) inorder (BT->RC); } }
设二叉树的存储结构为二叉链表，其结点的类型定 义如下：
typedef struct btreenod { elemtype data; struct btreenode *LC; struct btreenode *RC; } bnode;
bnode *BT;
1、先序遍历：
先序遍历的递归定义为： 若二叉树为空，遍历结束，否则： （1）访问根结点； （2）按先序遍历方式遍历根结点的左子树； （3）按先序遍历方式遍历根结点的右子树；
1
B
C
2
3
D
E
F
G
4
5
6
7
H I J KL M N O
8 9 10 11 12 13 14 15
（2）完全二叉树： 在一棵二叉树中，如果至多只有
最下面两层上的结点的度数可以小于2,并且最下一层
的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二 叉树称为完全二叉树。
A
A
B
C
B
C
D
E
F
H I JKL
完全二叉树
第一步：从先序遍历序列中取出第一个结点，该结点一 定是二叉树的根。然后在中序遍历序列中找出根结点， 根结点前面的结点序列就是左子树的中序遍历序列，根 结点后面的结点序列就是右子树的中序遍历序列。