结构非线性

ke V BT DBdV
对于应力已超过屈服应力的单元，单元刚度矩阵
k P 按弹塑性 刚度矩阵计算。
k P V BT DP BdV
一般过渡单元刚度矩阵为
kt V BT Dt BdV
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
式中 D 为过渡单元的弹塑性矩阵，取为弹性和塑 性矩阵的加权平均值。

上式的泰勒展开式为
, ,
令 得 则有


K T K T ,
P

KT P 0
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
10.1 非线性问题分类及求解
10.1.1 非线性问题分类
当材料是线弹性体，结构受到载荷作用时，其产 生的位移和变形是微小的，不足以影响载荷的作用方 向和受力特点。静力平衡方程表示为： 返 回 章 节 目 录
K P
其基本方程的特点如下：
a．材料的应力与应变，即本构方程为线性关系。 b．结构应变与位移微小、即几何方程保持线性关系。 c．结构的平衡方程属于线性关系，且平衡方程建立于 结构变形前，即结构原始状态的基础之上。 d． 结构的边界（约束）条件为线性关系。
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
(2) 整体刚度矩阵集成
整体刚度矩阵集成、平衡方程的建立以及约束处理， 与线性问题求解相似 。 (3) 非线性平衡方程求解 对于几何非线性问题，平衡方程必须建立在变形后 的位置，严格来讲是建立在结构的几何位置及变形状态 上，简称为位形状态。因而，非线性问题的平衡方程表 为
e p
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
粘弹性元件串联——麦克斯 韦尔(Maxwll)模型，一般描述 材料的松弛特性。其特点 e v 1 2 E 式中 ——粘性系数，
粘 弹 性 元 件
v ——蠕变应变。
粘弹性元件并联——开尔文 (Voigt— Kelvin)模型，一般描 述材料的蠕变特性。其特点
不同时满足上述条件的工程问题称为非线性问题。
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
习惯上将不满足条件a的称为材料非线性；不能够满 足条件b、c的称为几何非线性；不满足条件d的称为边界 非线性 。对于兼有材料非线性和几何非线性的问题称为 混合非线性问题 。 对于上述非线性问题总可归结为两大 类，即材料非线性和几何非线性。
10.1.2 非线性问题求解
非线性问题用有限单元法求解的步骤和线性问题 基本相同，不过求解时需要多次反复迭代，基本三大 步骤如下： (1) 单元分析 非线性问题与线性问题的单元刚度矩阵不同，仅为材 料非线性时， 使用材料的非线性物理（本构）关系。 仅 为几何非线性时， 在计算应变位移转换矩阵[B]时， 应该 考虑位移的高阶微分的影响。 同时， 具有材料和几何非 线性的问题，受到两种非线性特性的藕合作用。
10.2.1 直接迭代法
将平衡方程写成如下迭代格式 具体迭代过程简述如下 取初始值 0
KT n n1 P 0
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
则得到
KT 0 KT 0
1 K P 1 T 0
KT P
按照增量法求解时，步骤如下。
e 产生的相应等效应力 e ② 计算由于弹性解 ③ 施加载荷增量 P，计算各单元由此产生的应变 增量
e
① 首先求出全部载荷向量 P 作用之下的弹性解 e
④ 根据每个单元的变形状态（弹性、塑性或弹塑过 渡区），计算其单元刚度矩阵，集成形成总体刚度矩阵。
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
10.3.2 材料非线性模型
材料 模型 示意图 特 点 示例
弹性 元件 ： 线性 非线 性
应力仅为应变的 函数，加卸载规 律相同。 在应力充分小的 { } D { } 情况下几乎包括 对于线弹性材料 所有材料例如， [D]]是常数，非 金属、岩石、玻 线弹性材料[D] 璃、木材。 是位移向量 的 函数。
t
Dt mD 1 mDP
0＜m＜1
其中，m为加权因子．当m＝1时为完全弹性；m＝0 为完全塑性。m值的物理意义见图10-7。
Hale Waihona Puke Baidu
图10-7 m值的物理意义
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
(2) 弹塑性有限元解法
弹塑性问题求解常用切线刚度法、初应力法或切线 刚度法等增量法。 同样，弹塑性问题的平衡方程可以表示为
1 2 e v E
金属、聚 合物。
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
粘性和塑性元件并联——宾汉 （Binhan）模型实际可视为刚性—塑性 模型，仅当材料的应力达到其屈服应力 时，才能够产生塑性流动，流动的速度 与粘性系数及载荷值有关。 p v
KT P
求解时，一般是将非线性问题转化成一系列线性化 逼近的方法求之。即
K T P 0
求解的方法按照载荷的处理方式可分为全量法和增 量法两大类。
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-1 位形描述示意图
10.2 非线性问题求解方法
（3）蠕变与应力松弛问题 在一定温度范围内，材料在固定温度和不变载荷 作用下，其变形随时间缓慢而增加的现象称之为蠕变。
在不增加应变情况下，在常值位移作用下应力随时间
缓慢减小的现象称之为应力松驰。 考虑蠕变问题，就是要考虑在材料的本构关系中 其粘性的影响程度。具有粘性的材料又可分为线性粘 性材料和非线性粘性材料。
— —当 s时的瞬时应变
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10.3.3 弹塑性问题有限元分析
(1) 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵可分成三种情况来考虑，即弹性阶段、 过渡阶段和弹塑性阶段。
对于应力处于弹性阶段的单元，单元刚度矩阵 k e 按弹性问题处理 返 回 章 节 目 录
得到改进解
重复上述过程，总结得出近似递推公式
KT n KT n
1 n1 KT P n

以一维非线性问题为例， 直接迭代法的几何意义见图 10-2。
图10-2 直接迭代法的几何意义
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10.2.2 牛顿—拉裴逊（Newton—Raphson）法
⑧ 作卸载计算，求出残余应力和残余应变。 ⑨ 输出计算结果。
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10.4 几何非线性
10.4.1 几何非线性特征
几何非线性问题又可分为两大类，即大位移、小 应变问题和大位移、大应变问题。 返 回 章 节 目 录
(a) 大位移、小应变问题
(b) 大位移、大应变问题
图10-8 几何非线性问题
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
几何非线性问题比线性问题复杂得多，非线性问题与 线性问题主要不同之处如下。 a．对于大位移、小应变问题，虽然应力应变关系是 线性关系，但计算应变位移关系时,位移的高阶导数项的 影响不能够忽略，因而应变与位移呈现非线性关系。 b．对于有限变形问题，即大位移、大应变的情况， 应力——应变关系也是非线性的。 c．几何非线性问题的平衡方程组，建立在结构变形 后的位形状态上，而这个位形状态在求解过程中总是变 动的。 d．随着有限位形的变化，材料的本构方程亦发生变 化。采用不同的参考位形将得出不同的本构方程式。
图10-3 N—R迭代法的几何意义
图10-4 修正牛顿法迭代几何意义
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10.2.3 载荷增量法
, K T P 0
为载荷因子，用来描述载荷变化的参数， 对应于 ， 对应于 ，则 , 0
n 附近的近似 非线性方程组 0 在
线性方程组为
n
F 0
一般情况下，
故可得其解为
F n 0 1 F n1 n n n1 n n1
D D
返 回 章 节 目 录
K BT D BdV
K P
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
(a) 非线性弹性问题
(b) 弹塑性问题
(c) 理想塑性问题
(d) 强化塑性问题
图10-6 材料非线性问题
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
或为 KT 1 P 假设将载荷因子 分为m个增量，并设
0 0 1 2 m 1
n1 n
有 相应载荷为

n 1
m
n
1
Pn n P Pn Pn1 Pn n P
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
应变随时间变化， 应力与系数有关。 d dt 式中 ——粘性系数
粘性 元件
高温环境下 的金属材料、 地壳岩石等。
t ——时间
理想塑性 塑性 元件
s
( 0)
( 0) (＞0)
s 强化塑性 s H
式中
s
——屈服应力，
H ——塑性强化模量。
岩石在承受 的荷载超过 一定值时， 如较高的围 岩压力时表 现出理想塑 性特性。
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
弹塑性变形时总应变包括 两部分。
弹塑 性 元件 应力足够大 式中 e ——弹性应变， 时的金属、 岩石、土壤。 p ——塑性应变。 加载时使用增量理论。
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
10.1 非线性问题分类及求解 10.2 非线性问题求解方法 10.3 材料非线性 10.4 几何非线性 10.5 边界非线性 10.6 非线性弹性稳定性问题 10.7非线性分析特点 10.8 ANSYS非线性结构计算示例 10.9ANSYS稳定性计算示例
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
粘 塑 性 元 件
1 2 s 0 当 s
当 s
高温 下的 金属， 油漆 等粘 稠胶 状物。
粘性和塑性元件串联——拟粘性流体模 高应 1 2 型。 变率 p v 特点 的金 当 s 0 p 当 s 属、 式中 聚合 v 物
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
⑤ 重新计算位移增量，进而计算单元应变增量和等 效应变增量，依次修改相应的m值。重复以上④~⑤步骤 计算过程，一般修改m值2~3次即可 ⑥ 计算位移和应力增量，并将位移、应变、应力增 量迭加到增量作用前的水平上。 ⑦ 重复④~⑥步骤计算过程，直至完成所 有的增量步。
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
10.4.2 几何非线性有限元分析
由虚功原理
T * e
F dxdydz dV
1
则方程组的迭代公式为 n KT n Pn
n1 n n
当满足收敛准则时，迭代终止。

第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-5 载荷增量法的几何意义
10.3 材料非线性
10.3.1 材料非线性特征
材料非线性问题可划分为以下三种类型。 （1）非线性弹性问题 （2）弹塑性问题 有限单元法求解方程的形式相同，即表现为