柱坐标系与球坐标系简介教案
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计课程目标本课程旨在引导高中学生了解形式变量，学习如何应用数学知识来描述和解决问题。
通过本课程，学生将学习追踪点在三维空间中的运动的方程，并将使用四柱坐标系和球坐标系来描述和解决此类问题。
本课程将探讨以下重点：•四柱坐标系的基本原理和应用场景•球坐标系的基本原理和应用场景•如何将一个点的坐标从一个坐标系转换为另一个坐标系教学大纲课时一•介绍课程目标，概述课程内容。
•引导学生理解形式变量的概念，了解如何使用形式变量描述运动的方程。
•讲解四柱坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用四柱坐标系描述运动。
课时二•查看和解决熟练使用四柱坐标系描述运动的问题，并对于存在的疑惑做出解答。
•讲解球坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用球坐标系描述运动。
课时三•查看和解决熟练使用球坐标系描述运动的问题，并就存在的疑惑进行解答。
•演示如何在四柱坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。
•授课结束后，布置课后作业：熟练进行坐标转换。
课程重点四柱坐标系的基本原理和应用场景四柱坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由三个以原点为顶点的垂直平面构成，每个平面用直角坐标系来描述。
在四柱坐标系中，一个点的位置由其在三个坐标轴上的位置确定。
这个位置通常用一个三元组表示，例如(x,y,z)。
四柱坐标系通常用于描述在三维空间中的运动问题，例如运动的物体、飞行器、机器人等。
球坐标系的基本原理和应用场景球坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由一个固定原点和一个点到原点的距离以及该点与原点之间的两个角度构成。
在球坐标系中，一个点的位置由三个分量确定：距离r，方位角 $\\theta$，天顶角 $\\phi$。
球坐标系通常用于描述绕点运动问题，例如在天体物理学中，用于描述运动星体相对于一个观测者或者一个中间点的运动修正。
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
简单曲线的极坐标方程 柱坐标系与球坐标系简介课件
题型四 极坐标系中曲线位置关系
例4 已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρcos θ＝3,ρ＝
2.柱坐标系 一般地,如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间_任_意___ 一点,它在Oxy平面上的射__影____为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π) ___________________表极示坐点标Q在平面Oxy上的
__________,
这时点的位置可用有序数组_ρ_,_θ_,_z_(z_∈__R_)__表示.这样,我
【解】 法一:将极坐标方程 ρ＝3 转化为普通方程:x2＋y2 ＝9,ρ(cos θ＋ 3sin θ)＝2 可化为 x＋ 3y＝2, 在 x2＋y2＝9 上任取一点 A(3cos α,3sin α), 则 点 A 到 直 线 的 距 离 d ＝ |3cos α＋3 2 3sin α－2| ＝ |6sinα＋230°－2|,所以它的最大值为 4.
【解】 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角
坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. (1)x＝ρcos θ,y＝ρsin θ,由 ρ＝4cos θ 得 ρ2＝4ρcos θ. 所以 x2＋y2＝4x. 即 x2＋y2－4x＝0 为圆 O1 的直角坐标方程. 同理 x2＋y2＋4y＝0 为圆 O2 的直角坐标方程. (2)由xx22＋＋yy22－＋44xy＝＝00.，
标
x＝ρcos θ
y＝ρsin θ
z＝z
(ρ,θ,z)之间的变换公式为______________.
柱坐标系与球坐标系简介PPT学习教案
12
第5页/共23页
思考3：根据坐标思想，可以用数组 (302，17 ，1.8)表示点A的准确位置， 么那这个1空2 间坐标系是如何建立的？
z 在水平面内建立极坐标系 Ox，过极点O作水平面的垂 线 Oz.
O
x
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思考4：上述所建立的坐标系叫做柱坐
标系，对于空间一点P，点P的柱坐标如
P
以与零子午线相交
r
的球半径所在射线
Ox为一条极轴，再
Oφ
以经过北极的球半 径所在射线Oz为另
xθ
Q
一条极轴.
第15页/共23页
思考4：上述坐标系称为球坐标系或空
间极坐标系，因为极角是极径与极轴所
成的角，那么航天器的纬度角φ可换成
哪个角来反映？
z
射线OP与Oz轴正 向所夹的角为φ.
P φr
Oφ
xθ
思考1：地球上一点P的经度和纬度分别是什
么概念？对地球表面上一点的位置，一般用
哪种方式来确定？
北极
北极
子 地轴 午
P
线o
赤道
P
o
赤道 地轴
南极
第12页/共23页
南极
经度：过点P从北极到南极的半圆面与 子午面所成的二面角的平面角；
纬度：过点P的球半径与赤道平面所成 的角.
对地球表面上一点的位置一般用经度和 纬度来确定.
Q
θ
O
x
第8页/共23页
思考6：若按如图所示建立空间直角坐
标系和柱坐标系，那么点P的直角坐标
(x，y，z) 和柱坐标(ρ，θ，z)之间的
互化公式是什么？
z
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
§3柱坐标系和球坐标系-副本(3)
§3柱坐标系和球坐标系一、教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系。
教学难点：利用它们进行简单的数学应用。
三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理（二）、讲解新课：1、柱坐标系设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： 2、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 3.数学应用例1.建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练：建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练：1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标. 3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos变式训练：极坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度. 思考:在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?（三）、巩固练习：课本P22页练习3（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则； 2．柱坐标系的作用与规则。
柱坐标系与球坐标系PPT教学课件
＃思想核心： 大一统（“新”所在）
天人感应
“天子受命于天，天下受命于天子”；“古之造文者，三画 连其中，谓之王，三画者，天地人，而连其中，通其道也， 谓之王。”
董仲舒认为道源于天。“天不变，道亦不变。” “天道”就是“三纲五常三”纲：君为臣纲，父为子纲，夫为妻纲
五常：仁、义、礼、智、信
崇
“有为”而治。
独 尊 儒 术
罢黜百家 独尊儒术
董仲舒： 中国古代著名的思想家。 （前179——前104年）广
川人（今河北景县人）向 汉武帝提出“罢黜百家 独尊儒术”的主张，创立 新儒学。
2、董仲舒的新儒学的思想内涵
＃思想来源： 以《公羊春秋》为骨干， 融合阴阳家，黄老之学 以及法家思想而形成的 新的思想体系。
坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
• 兴办学校，有利于教 育的发展。
• 确立了儒学在中国的 统治地位。
总结
原 西汉初年，
因
经济残败 百业待兴。
无为不适应集权
原 新儒学的大一统 因 统治者的有为愿望
黄
老 内 治身、治国 之 容 无为而无不为 学
独
尊
内 容
天人感应 实行仁政
儒
术
作 经济恢复 用 国力增强
作 巩固国家统一
用
限制君主权利 儒学独尊地位
高中数学第一章坐标系4柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修4-4
1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，
x＝ρcos θ， θ，z)，代入变换公式y＝ρsin θ，
z＝z，
求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ
＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值． 2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．
1．在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为2，π4，3，P在xOy平面上的射影 为Q，则Q点的坐标为( )
A．(2,0,3)
C.
2，π4，3
B.2，π4，0 D．( 2，π4，0)
【解析】 由点的空间柱坐标的意义可知，选B.
【答案】 B
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
0≤φ≤π，0≤θ<2π.
2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ，
转化为三角函数的求值与运算．
空间点的直角坐标化为球坐标
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱 AA1的长为 2 ，如图1-4-3所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1 的直角坐标和球坐标．
柱坐标与球坐标系简介ppt课件
栏 目 链
(2)求点C的和点D的直角坐标、柱坐标以及球坐
接
标．
分析：利用点的直角坐标、柱坐标以及球坐标的转化公式，结合
图形运用方程求解．
解析：(1)点 C1 的直角坐标为(1，1，1)，设点 C1 的柱坐标为(ρ，
θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 ρ≥0，r≥0，0≤φ≤π，0≤θ 栏
目
＜2π，
x2＋y2＋z2，
φ＝zr.
在
目 链 接
用三角函数值求角时，要结合图形确定角的取值范围再求值，若不是
特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的取值
范围即可．
►变式训练
1．如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长AB＝
6，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点A为坐标原
点，以射线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正半
接
正解一：M
2，π4 ，1的直角坐标为：
π x＝ 2·cos 4 ＝1， y＝ 2·sinπ4 ＝1， z＝1，
∴M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)，
ρ＝ x2＋y2＝ 2，
则 tan θ＝xy＝1，
z＝－1，
栏
目
∴M 关于原点 O 的对称点的柱坐标为
2，5π4 ，－1.
要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ的边与坐标轴 Oz，Ox 的关
系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π，0≤θ＜2π，化点的球坐 栏
目
x＝rsin 标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式y＝rsin
φcos φsin
θ， θ，
链 接
z＝rcos φ
转化为三角函数的求值与运算即可．
柱坐标系和球坐标系教案
柱坐标系和球坐标系
[教学目标]
一、知识与技能：
1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法。
2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
3.掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化
二、过程与方法：情感、态度、价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
三、[教学重点]：在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，
四、[教学难点]：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系.利用它们进行简单的数学应用。
1.3 柱坐标系与球坐标系 课件 (北师大选修4-4)
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin zz
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标. 解 得 点在柱坐标系中的坐标为 ρ （ 2 ， ，1）. 4 = 注：求θ 时要注意角的终边与点的 射影所在位置一致
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos y r sin sin z r cos
x
z
o θ
φ
P(r,φ,θ)
r
y
Q
3 3 设点的球坐标为(2， ， )，求 4 4 它的直角坐标.
小结
坐标系
数轴 平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
3 cos 2 2 － 2） －1 3 x 2sin （ 4 4 2 2 3 sin 3 2 2 2 1 y 2sin 4 4 2 2 2 3 2 ( z 2 cos － ）－ 2 4 2
点在直角坐标系中的坐标为 （ －1 ，1 ，－ 2 ）.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
1.3 柱坐标系与球坐标系 课件 (北师大选修4-4)
3 cos 2 2 － 2） －1 3 x 2sin （ 4 4 2 2 3 sin 3 2 2 2 1 y 2sin 4 4 2 2 2 3 2 ( z 2 cos － ）－ 2 4 2
点在直角坐标系中的坐标为 （ －1 ，1 ，－ 2 ）.
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin zz
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标. 解 得 点在柱坐标系中的坐标为 ρ （ 2 ， ，1）. 4 = 注：求θ 时要注意角的终边与点的 射影所在位置一致
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos y r sin sin z r cos
x
z
o θ
φ
P(r,φ,θ)
r
y
Q
3 3 设点的球坐标为(2， ， )，求 4 4 它的直角坐标.
z
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数 组(r,φ,θ)表示.
空间的点与有序数组 (r,φ,θ)之间建立了一种 对应关系.
z
P(r,φ,θ)
我们把建立上述 Q 对应关系的坐标系 x 叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .Fra biblioteko θ
r φ
y
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标， 其中 r 0, 0 , 0 2
阅读课本P16---17
柱坐标系与球坐标系
思考:在一个圆形体育场内, 思考:在一个圆形体育场内,如何确定 看台上某个座位的位置? 看台上某个座位的位置?
柱坐标系
建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)是 . 建立空间直角坐标系 ( , ,) 空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为 , 平面上的射影为Q, 空间任意一点,它在 平面上的射影为 Q点的极坐标为(ρ,θ ),则P的位置可用有序数 点的极坐标为( 点的极坐标为 的位置可用有序数 的柱坐标. 组(ρ,θ, z)表示, (ρ,θ, z)叫做点P的柱坐标. )表示, )叫做点 的柱坐标
y
练习
3π 3π 1.设 点的球坐标为 1.设Q点的球坐标为 ( 2, , ) ,求它 4 4 的直角坐标. 的直角坐标.
( 1,1, 2 )
练习 2.设 点的直角坐标为 2.设M点的直角坐标为 ( 1, 1, 么它的球坐标是
2 ) ,那
4 4 5π π C .( 2, , ) 4 4
A .( 2,
球坐标系
z P(r, ,) P
P(r, ,)
r
o θ x Q
y
r ≥0
0≤ ≤π 0 ≤ θ < 2π
将球坐标转化为直角坐标: 将球坐标转化为直角坐标:
x = r sin co s θ y = r sin sin θ z = r co s
z P(r, ,)
r
o θ x Q
x = r sin co s θ y = r sin sin θ z = r co s
�
3 , 3) ,求
4π ( 2, , 3) 3
思考: 思考: 点P的柱坐标为(ρ,θ, z), 的柱坐标为 )
圆柱面 (1)当 为常数时 为常数时, 的轨迹是____________ (1)当ρ为常数时,点P的轨迹是____________ 半平面 (2)当 为常数时 为常数时, 的轨迹是____________ (2)当θ为常数时,点P的轨迹是____________ (3)当z为常数时, 为常数时, (3)当 为常数时 平面 的轨迹是____________ 点P的轨迹是____________
1.3 柱坐标系与球坐标系 课件 (北师大选修4-4)
小结
坐标系
数轴 平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π ,角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos y r sin sin z r cos
x
z
o θ
φ
P(r,φ,θ)
r
y
Q
3 3 设点的球坐标为(2， ， )，求 4 4 它的直角坐标.
z
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数 组(r,φ,θ)表示.
空间的点与有序数组 (r,φ,θ)之间建立了一种 对应关系.
z
P(r,φ,θ)
我们把建立上述 Q 对应关系的坐标系 x 叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .
o θ
r φ
y
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标， 其中 r 0, 0 , 0 2
6 ,7), 求它的直角坐标。
2、设点 M的柱坐标为 (2,
柱坐标系与球坐标系简介课件
z1＝6×cosπ3＝3. ∴点 M 的直角坐标为323，92，3， 设点 N 的直角坐标为(x2，y2，z2)， 则 x2＝6×sin23π×cosπ3＝323， y2＝6sin23π×sinπ3＝92， z2＝6cos23π＝－3. ∴点 N 的直角坐标为323，92，－3， ∴|MN|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝6.
2．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则
空间直角坐标(x，y，z)
转换公式
柱坐标 (ρ，θ，z)
x＝_ρ_c_o_s_θ__， y＝_ρ_s_in__θ__， z＝z
球坐标 (r，φ，θ)
x＝_r_s_i_n_φ_c_o_s__θ__ y＝_r_s_in__φ_s_i_n_θ__ z＝ rcos φ
∴(－ 3，1,3)为所求点的直角坐标．
(2)∵(ρ，θ，z)＝
2，π4，5，
x＝ρcos θ＝
2cosπ4＝1，
∴y＝ρsin θ＝ 2sinπ4＝1，
z＝5，
∴(1,1,5)为所求点的直角坐标．
直角坐标与柱坐标的互化
点(ρ，θ，z)是三维空间坐标中的点的柱坐标，在平面 xOy 中实际为极坐标， 且 ρ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上 z 为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直
柱坐标系与球坐标系简介
1．空间直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O，作两两垂直的三条数轴 Ox， Oy，Oz，使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°，这就是空间直角坐标系．有 序实数组 (x，y，z) 叫点 P 的直角坐标．
(2)柱坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面的射影为 Q，用 (ρ，θ) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) 表示．这就是柱坐标系．有序数组 _(_ρ_，__θ_，__z_) _叫点 P 的柱坐标．其中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞. (3)球坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ.P 在 Oxy 平面的射影 为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 θ.这样 点 P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这就是球坐标系．有序数组(r，φ，θ) 叫作点 P 的球坐标．其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
《球坐标柱坐标》课件
球坐标系定义
球坐标系是一种三维坐标系，用于描述空间中的点 球坐标系由三个参数组成：经度、纬度和高度 经度表示点在赤道平面上的投影与原点连线与赤道平面的夹角 纬度表示点在赤道平面上的投影与原点连线与赤道平面的夹角 高度表示点在垂直于赤道平面的方向上的距离 球坐标系广泛应用于天文学、地理学、物理学等领域
球坐标系中的点表示
球坐标系：由三个坐标轴组成，分别是径向、极向和方位角
径向坐标：表示点到原点的距离
极向坐标：表示点在垂直于原点的平面上的投影
方位角：表示点在垂直于原点的平面上的旋转角度
球坐标系中的点表示：由三个坐标值（径向、极向和方位角）组成， 可以唯一确定一个点在空间中的位置
球坐标系中的向量表示
在几何学中的应用
柱坐标：描述二维平面上的 点
球坐标：描述三维空间中的 点
应用实例：计算两点之间的 距离、角度等
应用实例：解决几何问题， 如求面积、体积等
在工程学中的应用
建筑设计：用于建筑结构设计 和空间布局
机械设计：用于机械零件设计 和装配
航空航天：用于飞行器设计和 导航
电子通信：用于天线设计和信 号传输
球坐标系：由三个坐标轴组成，分别是径向、极向和方位角
向量表示：在球坐标系中，向量可以用三个坐标轴上的分量来表示
分量表示：径向分量表示向量的长度，极向分量表示向量的方向，方位角分量表示向 量的旋转角度
向量运算：在球坐标系中，向量可以进行加法、减法、点积、叉积等运算
球坐标系中的曲线和曲面
球坐标系中的曲线：球面曲线、球 面螺旋线等
定义与意义
球坐标：以球心为原点，以半径为长度，以角度为方向的坐标系统
柱坐标：以原点为原点，以轴为长度，以角度为方向的坐标系统
高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介互动课堂学案
四 柱坐标系与球坐标系简介互动课堂重难突破本课时的重点与难点均为对柱坐标系、球坐标系概念的理解及简单应用.一、柱坐标系1.定义：如图,建立空间直角坐标系O —xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ）（ρ≥0,0≤θ〈2π）来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)（z ∈R ）表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组（ρ,θ,z ）之间的一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（ρ,θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ,θ,z ），其中ρ≥0,0≤θ〈2π，—∞〈z <+∞。
2.空间点P 的直角坐标（x ,y ,z )与柱坐标（ρ,θ,z ）之间的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===.,cos ,cos z z y x θρθρ二、球坐标系1.定义：如图,建立空间直角坐标系O —xy z ，设P 是空间任意一点,连结OP ，记|OP |=r ,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ,Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ。
这样点P 的位置就可以用有序数组（r ，φ,θ）表示。
这样，空间的点与有序数组（r ，φ,θ）之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系），有序数组(r ,φ，θ）叫做点P 的球坐标，记作P （r ,φ,θ），其中r ≥0,0≤φ≤π,0≤θ〈2π。
2。
空间点P 的直角坐标(x ，y ,z ）与球坐标（r ,φ，θ）之间的变换关系为⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕρθϕρr z r y r x3.球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用。
在测量实践中,球坐标中的角θ称为被测点P (r ,φ，θ）的方位角，90°-φ称为高低角.可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的. 在直角坐标系中，我们需要三个长度：（x ，y ,z ），而在球坐标系与柱坐标系中,我们需要长度，还需要角度.它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要（ρ,θ,z )或者（r ,φ,θ)。
教学设计2：球坐标系与柱坐标系
球坐标系与柱坐标系
教学目标：
理解球坐标系与柱坐标系的建立，掌握空间点的球坐标极坐标与柱坐标的表示方法，掌握空间点的直角坐标与球坐标、柱坐标的互相转化，理解球面的球坐标方程和圆柱面的柱坐标方程。
教学过程：
一、 球坐标系
实例引入：地球同步通讯卫星。
1、球坐标系的建立。
在地球同步通讯卫星的问题中，建立适当的球坐标系，并运用球坐标表示三个地球同步通讯卫星的位置。
例1、建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点。
你能再建立一个球坐标系求解吗？
2、空间点的直角坐标与球坐标的关系。
例2、将点M 的球坐标)65,3,
8(ππ化为直角坐标。
例3、球坐标满足r=3的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程。
二、柱坐标系
实例引入：圆柱面上的点，可以通过怎样的量来描述它的位置?
1、柱坐标系的建立。
2、空间点的直角坐标与柱坐标的关系。
例4、将点M的直角坐标)4,3
2,6
(-化为柱坐标。
ρ的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方例5、柱坐标满足2
=
程。
作业：班级____________姓名
1、将下列各点的球坐标化为直角坐标：
2、将下列各点的直角坐标化为球坐标：
3、将下列各点的柱坐标化为直角坐标：
4、分别建立适当的直角坐标系、球坐标系、柱坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点。
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四 柱坐标系与球坐标系简介
课题：球坐标系与柱坐标系
教学目的：
知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
二、讲解新课：
1、球坐标系
设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)
有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θ
ϕθϕθcos sin sin cos sin 2
222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系
设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在
平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： ⎪⎩
⎪⎨⎧===z z y x θ
ρθρsin cos
3、数学应用
例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.
变式训练
建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.
例2.将点M 的球坐标)6
5,3,8(ππ化为直角坐标.
变式训练
1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.
2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π
化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?
例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.
变式训练
标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?
例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,
2(π点N 的球坐标为),2
,4,2(ππ求线段MN 的长度.
思考:
在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．球坐标系的作用与规则；
2．柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业：教材P15页12，13，14，15，16
六、课后反思：本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来，学生容易理解。
但以后少用，可能会遗忘很快。
需要定期调回学生的记忆。