人教版八年级数学下第十八章 平行四边形 专题4 特殊平行四边形中的折叠问题
特殊平行四边形的翻折折叠问题(含答案)
,;【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB 1E=90°，AB=AB 1，然后求出四边形ABEB 1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB ，然后根据CE=BC-BE ，代入数据进行计算即可得解． 详解：∵沿AE 对折点B 落在边AD 上的点B 1处，∴∠B=∠AB 1E=90°，AB=AB 1，，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．，。
【>【解析】分析：先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE，得出CE 是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确．详解：如图，连接CF，∵点D是BC中点，∴BD=CD，由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，∴BD=CD=DF，？∴△BFC是直角三角形，∴∠BFC=90°，∵BD=DF，∴∠B=∠BFD，∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，∴AE=EF，故A正确，由折叠知，EF=CE，∴AE=CE，[∵BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE，故B正确，∵AE=CE，∴S△ADE=S△CDE，由折叠知，△CDE≌△△FDE，∴S△CDE=S△FDE，∴S△ADE=S△FDE，故D正确，~∴C选项不正确，故选：C．*~*。
平行四边形折叠问题解题技巧
平行四边形折叠问题解题技巧平行四边形折叠问题解题技巧什么是平行四边形折叠问题平行四边形折叠问题是一种数学问题，要求将一块平行四边形纸张折叠成特定的形状。
解决这个问题需要一些技巧和方法。
以下是一些常用的技巧，可以帮助你解题。
技巧一：注意对称性•在折叠平行四边形时，要注意纸张的对称性。
利用对称性可以简化问题，并找到更快的解决方案。
•如果可以发现平行四边形纸张具有对称性，可以根据对称性进行折叠，将问题简化为更小的子问题。
技巧二：利用角度相等•在平行四边形折叠问题中，角度是一个重要的概念。
角度相等的性质可以帮助我们确定折叠的方式。
•如果已知某个角度相等，可以通过将纸张折叠使得两个角度重合，从而找到解题的关键位置。
技巧三：利用边长比例•平行四边形的边长比例也是一个重要的信息。
通过观察边长比例，可以推导出纸张的折叠方式。
•如果已知两个边长的比例，可以利用这个比例关系进行折叠，从而找到解题的关键位置。
技巧四：分析折痕•折痕是平行四边形折叠问题中的关键点。
分析折痕的特点可以帮助我们确定折叠的方式。
•观察折痕的位置、形状和角度，可以推断出纸张的折叠方式，并找到最终的解答。
技巧五：尝试反向思考•在解决平行四边形折叠问题时，有时候可以尝试反向思考。
即从最终的形状出发，逆向推导出折叠的方式。
•这种方法可以帮助我们更直观地理解问题，从而找到更有效的解题方法。
技巧六：多练习、多实践•最后，最重要的是多练习、多实践。
通过反复练习和实践，可以加深对平行四边形折叠问题的理解，掌握更多的解题技巧。
•在实践中遇到问题不要气馁，可以寻求他人的帮助或参考相关资料，不断提升自己的解题能力。
以上是解决平行四边形折叠问题常用的技巧和方法。
通过灵活运用这些技巧，相信你能够轻松解决各种平行四边形折叠问题。
祝你成功！（以上仅为参考，具体文章内容可以根据实际需要进行修改和补充。
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人教版数学八年级下册：第十八章 平行四边形 专题练习(附答案)
第十八章平行四边形专题练习专题1平行四边形的证明思路类型1若已知(已证)四边形中边的关系(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．5．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．6．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．类型2若已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．8．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．专题2与正方形有关的四个常考模型模型1正方形中相交垂线段问题——教材P68复习题T8的变式与应用1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？(1)若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等．模型2正方形中过对角线交点的直角问题2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．【变式2】如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝14S正方形ABCD.模型3正方形中三垂直全等模型——教材P69复习题T14的变式与应用3．正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点，且PE⊥PC.(1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE＝PC；(2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．模型4正方形中的半角模型4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？(1)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.专题3特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.2．如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE.求证：(1)AG＝CE；(2)AG⊥CE.3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．4.已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论；(2)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？专题4四边形中的动点问题——教材P68复习题T13的变式与应用【例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC ＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s.(1)CD边的长度为cm，t的取值范围为；(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?【拓展变式1】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式2】从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？【拓展变式3】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式4】是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．专题5特殊平行四边形中的折叠问题——教材P64“数学活动”的变式与应用【例】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．图1【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．图2在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．1．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O.若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为( )A . 5B .32 5 C ．2 5 D ．452．如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是 cm .3．如图，将一张菱形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF ＝4，EH ＝3，则AB ＝ ．4．如图，在矩形ABCD 中，AB>AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE.求证： (1)△ADE ≌△CED ； (2)△DEF 是等腰三角形．专题6特殊平行四边形中的最值问题【例】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P 为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值．【思路点拨】(1)先确定点P的位置：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′，交AC于点P，则点P即为所求；(2)求E′F的长度：将E′F放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的长，即求出了PF＋PE的最小值．求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为．2．如图，在矩形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B ，C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在 ．3．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点，则AM ＋12BM 的最小值为 ．4．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，求线段AB 的最小值．参考答案：专题1 平行四边形的证明思路1．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠C. ∴∠B ＝∠EFC. ∴AB ∥EF. 又∵DE ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形．2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上， ∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形． 3．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF. ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F.∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．∴AB ＝DE. ∵AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．4．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°. ∴BF ＝DE ，CF ＝AE.∵∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ， ∴∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． 5．解：ED 与AG 互相平分． 理由：连接EG ，AD. ∵DE ∥AF ，DE ＝AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形． ∴AE ∥DF ，AE ＝DF. 又∵FG ＝2DF ， ∴DG ＝DF. ∴AE ＝DG. 又∵AE ∥DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形． ∴ED 与AG 互相平分．6．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，FC ＝12BC.∴AE ∥FC ，AE ＝FC.∴四边形AECF 是平行四边形． ∴GF ∥EH.同理可证：ED ∥BF 且ED ＝BF. ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴GE ∥FH.∴四边形EGFH 是平行四边形．7．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证：OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．专题2 与正方形有关的四个常考模型1．解：BE ＝AF 且BE ⊥AF ，理由： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. ∴△ABE ≌△DAF(SAS )． ∴BE ＝AF ，∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF.【探究】解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，BE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF(HL )． ∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF. (2)若已知BE ⊥AF ，则BE ＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵BE ⊥AF ，∴∠AGB ＝90°. ∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA )． ∴BE ＝AF.2．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝∠A 1OC 1＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°. ∴∠AOE ＋∠EOB ＝90°，∠BOF ＋∠EOB ＝90°. ∴∠AOE ＝∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF(ASA )．(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a 2.理由如下：∵△AOE ≌△BOF ，∴S 四边形OEBF ＝S △EOB ＋S △BOF ＝S △EOB ＋S △AOE ＝S △AOB ＝14S 正方形ABCD ＝14a 2.【变式1】 解：OA ＝OP ，理由：过点O 作OG ⊥AB 于点G ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABO ＝∠CBO ，AB ＝BC. ∴OG ＝OH.∵∠OGB ＝∠GBH ＝∠BHO ＝90°， ∴四边形OGBH 是正方形． ∴∠GOH ＝90°.∵∠AOP ＝∠GOH ＝90°，∴∠AOG ＝∠POH. ∴△AGO ≌△PHO(ASA )． ∴OA ＝OP. 【变式2】 B3．解：(1)证明：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 易得∠PFD ＝∠CGP ＝90°. ∵BD 为正方形ABCD 的对角线， ∴∠BDF ＝∠FPD ＝45°. ∴PF ＝FD.又∵FG ∥DC ，FD ∥GC ，∠ADC ＝90°， ∴四边形FGCD 为矩形． ∴DF ＝CG. ∴PF ＝CG. ∵PE ⊥PC ，∴∠FPE ＋∠GPC ＝90°. ∵∠FEP ＋∠FPE ＝90°， ∴∠FEP ＝∠GPC. ∴在△PFE 和△CGP 中，⎩⎨⎧∠PFE ＝∠CGP ，∠FEP ＝∠GPC ，PF ＝CG ，∴△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝CP.(2)成立．理由：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 同理可证△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝PC.4．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS )．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS )．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.专题3 特殊平行四边形的性质与判定1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC.∴∠BPF ＝∠DAE.∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE.∵∠ABF ＝∠BPF ，∴∠ABF ＝∠DAE.∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA )．(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF.∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE.∴∠ABG ＝∠CBE.在△ABG 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABG ＝∠CBE ，BG ＝BE ，∴△ABG ≌△CBE(SAS )．∴AG ＝CE.(2)设AG 交BC 于点M ，交CE 于点N.∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠BCE.∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°.∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°.∴∠CNM ＝90°.∴AG ⊥CE.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM.∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME.又∵点E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE.∴△NDE ≌△MAE(AAS )．∴ND ＝MA.∴四边形AMDN 是平行四边形．(2)当AM 的长为1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵AM ＝1＝12AD ＝AE ，∠DAB ＝60°， ∴△AEM 是等边三角形．∴∠AME ＝∠AEM ＝60°，EM ＝AE ＝ED.∴∠EMD ＝∠EDM ＝30°.∴∠AMD ＝∠AME ＋∠EMD ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．4.(1)四边形EFGH 的形状是平行四边形，证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足互相垂直条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ，FG ＝12BD ， ∴EH ∥FG ，EH ＝FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．5．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠BEC.∴∠FGE ＝∠BEF.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝BF 2－AB 2＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103.∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203. 6．解：(1)能说明四边形EHFG 是平行四边形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD.而AE ＝12AB ，CF ＝12CD ， ∴AE 綊CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴GF ∥EH.同理可得GE ∥HF.∴四边形EHFG 是平行四边形．(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．由(1)知，四边形EHFG 是平行四边形．连接EF.当四边形ABCD 是矩形时，四边形EBCF 也是矩形，∴EH ＝FH ，∴四边形EHFG 是菱形．(3)当四边形ABCD 是矩形且AB ＝2AD 时，四边形EHFG 是正方形．由(2)知，当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．又由AB ＝2AD 可知，四边形EBCF 是正方形．根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90°，∴四边形EHFG是正方形．专题4四边形中的动点问题【例】(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；解：(2)设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形，则PD＝CQ.∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4.∴当t＝4时，PQ∥CD.(3)设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或者平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，∴CF＝BC－BF＝6 cm.①当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8.∴当t＝8时，PQ＝CD；②当四边形PQCD为平行四边形时，由(2)知当t＝4 s时，PQ＝CD.综上，当t＝4或t＝8时，PQ＝CD.【拓展变式1】解：不存在．理由：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．由例知当t＝4 s时，四边形PQCD是平行四边形．此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形．【拓展变式2】解：如图，由题意，得AP ＝t ，DP ＝12－t ，CQ ＝2t ，BQ ＝18－2t.要使四边形PQBA 是矩形，已有∠B ＝90°，AD ∥BC ，即AP ∥BQ ，只需满足AP ＝BQ ，即t ＝18－2t ，解得t ＝6.所以当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．【拓展变式3】 解：不存在．理由：要使四边形PQBA 是正方形，则四边形PQBA 一定是矩形．由变式2知，当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．此时AP ＝t ＝6≠8，即AP ≠AB ，所以按已知速度运动，四边形PQBA 只能是矩形，不可能是正方形．【拓展变式4】 解：△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：图1 图2 图3①如图1，当QC ＝DC 时，即2t ＝10，∴t ＝5.②如图2，当DQ ＝DC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，则QH ＝CH ＝12CQ ＝t. 在矩形ABHD 中，BH ＝AD ＝12，∴CH ＝BC －BH ＝6，∴t ＝6.③如图3，当QD ＝QC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，DH ＝8，CH ＝6，DC ＝10，CQ ＝QD ＝2t ，QH ＝|2t －6|.在Rt △DQH 中，DH 2＋QH 2＝DQ 2.∴82＋|2t －6|2＝(2t)2.解得t ＝256. 综上，当t ＝5或6或256时，△DQC 是等腰三角形专题5 特殊平行四边形中的折叠问题【例】 解：∠MBN ＝30°.证明：连接AN .∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN .由折叠可知，BN ＝AB ，∴△ABN 是等边三角形．∴∠ABN ＝60°.∴∠MBN ＝∠ABM ＝12∠ABN ＝30°. 【拓展延伸】 解：四边形MBGB′是菱形．证明：∵∠ABM ＝30°，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴∠MBG ＝∠AMB ＝60°.根据折叠的性质，得BM ＝MB′，BG ＝B′G ，∠BMN ＝∠AMB.∴∠BMN ＝∠MBG ＝60°.∴△MBG 是等边三角形．∴BM ＝BG.∴BM ＝MB′＝BG ＝B′G.∴四边形MBGB′是菱形．1．C2． 94cm . 3．5．4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE ＝AB ，CE ＝CB.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝AB ＝DC ，CE ＝CB ＝AD.在△ADE 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，AE ＝CD ，DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)由(1)知，△ADE ≌△CED ，∴∠AED ＝∠CDE.∴△DEF 是等腰三角形．小专题(十) 特殊平行四边形中的最值问题【例】 解：作点E 关于直线AC 的对称点E′(易知点E′在CD 上)，连接E′F ，交AC 于点P.则PE ＝PE′，CE ′＝CE.∴PE ＋PF ＝PE′＋PF ＝E′F.∴P 即为所求的使PF ＋PE 最短的点．∵正方形ABCD 的边长为4，BE ＝1，F 为AB 的中点， ∴BF ＝2，CE ＝CB －BE ＝3.∴CE ′＝CE ＝3.过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠FGE′＝∠FGC ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠FGC ＝90°.∴四边形FBCG 是矩形．∴CG ＝BF ＝2，FG ＝BC ＝4.∴E ′G ＝E′C －CG ＝1.∴在Rt △E ′FG 中，E ′F ＝FG 2＋E′G 2＝42＋12＝17. ∴PF ＋PE 的最小值为17.12．AD 的中点．34．解：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCA ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°. ∴∠COA ＝∠DOB.在△COA 和△DOB 中，⎩⎨⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠COA ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB(ASA )．∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，得OA ⊥CD 时，OA 最小，∵四边形CDEF 是正方形，∴OD ＝OC.又∵OA ⊥CD ，∴CA ＝DA.∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB的最小值为 2.。
2019年八年级数学下册18微专题特殊平行四边形中的动手操作问题—折叠、剪切、拼接习题
微专题：特殊平行四边形中的动手操作问题——折叠、剪切、拼接【河北热点】【河北中考分布：河北2017T11考查正方形的剪切，河北2016T13考查平行四边形的折叠，河北2015T16考查矩形的剪拼】◆类型一折叠问题中求角度和长度1．如图，将矩形ABCD折叠，AE是折痕，点D恰好落在BC边上的点F处，如果∠BAF＝50°，那么∠DEA 等于( )A．40°B．50°C．60°D．70°2．(2017·舟山中考)已知一张矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝2，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段DG的长为( )A. 2 B．2 2 C．1 D．23．(2017·河北模拟)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )A．3 B．4 C．5 D．6第3题图第4题图4．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合．如果∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数为________．5．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长为________．6．(唐山乐亭县模拟)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，且BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，则BG的长是________．7．(2017·定州期中)如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E.(1)求证：△BEA≌△DEF；(2)若AB＝2，AD＝4，求AE的长．◆类型二特殊四边形的剪切与拼接8．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为( )A．30° B．45° C．60° D．90°第8题图第9题图9．(河北中考)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n不可能是( )A．2 B．3 C．4 D．510．(河北中考)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼成一个与原来面积相等的正方形，则( )A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以11．(2017·保定二模)如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A、B 两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D.“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为( )A．2∶1 B.10∶1 C．3∶1 D．23∶112．(2017·廊坊文安县期中)请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中的每一个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)，依题意，割补前后图形的面积相等，有x2＝5，解得x ＝ 5.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形(直接画出图形，不需写过程)．13．★(2016·张家口宣化县模拟)如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图②，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值．参考答案与解析1．D 2.A 3.B 4.56°5．2－ 2 解析：∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ＝ 2.由折叠易得△ABB ′为等腰直角三角形，∴BB ′＝AB 2＋AB ′2＝22，∴CB ′＝BB ′－BC ＝22－2.∵AB ∥CD ，∴∠FCB ′＝∠B ＝45°.又由折叠的性质知，∠B ′＝∠B ＝45°，∴△B ′CF 为等腰直角三角形，∴CF 2＋B ′F 2＝B ′C 2，即2B ′F 2＝B ′C 2，∴B ′F ＝2－ 2.6．8 解析：由折叠可知EF ＝EC ＝12BC ＝6，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°.在Rt△ADG和Rt△FDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DF ，DG ＝DG ，∴Rt△ADG ≌Rt△FDG (HL)，∴AG ＝FG .设AG ＝FG ＝x ，则EG ＝x ＋6，BG ＝12－x ，由勾股定理得EG 2＝BE 2＋BG 2，即(x ＋6)2＝62＋(12－x )2，解得x ＝4，∴AG ＝4，∴BG ＝8.7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°.由折叠得FD ＝CD ，∠F ＝∠C ＝90°，∴AB ＝FD ，∠A ＝∠F .在△BEA 和△DEF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠FED ，∠A ＝∠F ，AB ＝FD ，∴△BEA ≌△DEF .(2)解：∵△BEA ≌△DEF ，∴BE ＝DE ＝AD －AE ＝4－AE .设AE ＝x ，则BE ＝4－x .在Rt△BAE 中，由勾股定理得AB 2＋AE 2＝BE 2，∴22＋x 2＝(4－x )2，解得x ＝32，∴AE ＝32.8．B9．A 解析：如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n 可以为3，4，5，故n 不可能为2.10．A 解析：所拼图形如图所示，甲、乙都可以拼成一个与原来面积相等的正方形．故选A.11．A 解析：如图，易知四边形ACBE 是正方形，AB 与CE 是正方形的对角线，则CD ＝DE ＝AD ＝BD ，则组成的这个矩形的长与宽的比为2∶1，故选A.12．解：如图所示．13．解：如图①为第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图．N1N2＝EN1＋EN2＝NB＋NC＝BC，M1M2＝M1G＋GM＋MH＋M2H＝2(GM＋MH)＝2GH＝BC(三角形中位线定理)．∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是平行四边形，其周长为2N1N2＋2M1N1＝2BC＋2MN.∵BC＝6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．如图②是剪拼之前的完整示意图，过点G，H作BC边的平行线，分别交AB，CD 于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即PB2＋BC2＝42＋62＝213.四边形M1N1N2M2的周长为2BC＋2MN＝12＋2MN，∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12＋2×4＝20，最大值为12＋2×213＝12＋413.故拼成的四边形纸片的周长的最小值为20，最大值为12＋413.。
第十八章微专题七特殊平行四边形中的折叠问题(教案)-2022-2023学年八年级下册数学(人教版)
4.折叠问题的实际应用：结合实际生活中常见的折叠问题，让学生学会运用所学知识解决实际问题。
5.折叠问题的拓展思考：引导学生思考折叠问题在其他几何图形中的应用，提高学生的创新能力和几何直观。
二、核心素养目标
-培养学生运用折叠方法解决问题的能力，使学生能够将理论知识与实际操作相结合。
举例：以矩形为例，重点讲解其对折后的图形仍为矩形，且对折线为矩形的对角线，对折前后矩形的面积相等但形状可能不同。
2.教学难点
-理解和掌握矩形、菱形、梯形折叠过程中几何量的变化规律，尤其是折叠后产生的新图形与原图形之间的关系。
最后，我认为在今后的教学中，还应加强对学生的鼓励和表扬，让他们在学习过程中感受到成功的喜悦，从而激发他们的学习兴趣和积极性。同时，我将不断学习，提升自身的教育教学水平，为学生们提供更优质的教学服务。
1.培养学生空间观念和几何直观，通过折叠问题的学习，让学生能够理解和把握图形的折叠特征，提高对几何图形变换的认识。
2.培养学生逻辑推理和问题解决能力，使学生能够运用折叠方法分析解决特殊平行四边形相关问题，形成严密的逻辑思维。
3.培养学生数学抽象和数学建模素养，让学生在折叠问题的探索过程中，学会提炼关键信息，构建数学模型，为解决实际问题奠定基础。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了特殊平行四边形折叠的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对折叠问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
小专题(八) 特殊平行四边形中的折叠问题
MING XIAO KE TANG
【思路点拨】 要使△CDB′为等腰三角形，需要分以下三种情况 进行讨论：①B′D＝B′C；②DB′＝CD；③CB′＝CD．
MING XIAO KE TANG
解：①如图，当 B′D＝B′C 时，过点 B′作 GH∥AD，则∠B′GE ＝90°，易得四边形 AGHD 是矩形．
解：设 DE＝CE＝12CD＝a，则 CD＝AB＝AE＝2a， 在 Rt△ADE 中，AE2＝DE2＋AD2， 即(2a)2＝a2＋36，解得 a＝2 3． 设 BF＝b，则 FC＝6－b， 在 Rt△EFC 中，同理可得：b＝4，
∴AF＝ AB2＋BF2＝ （4 3）2＋42＝8．
MING XIAO KE TANGMING XIAO K Nhomakorabea TANG
在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等 角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前 后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线 段中的适当运用．
MING XIAO KE TANG
1．(2019·安阳内黄县期末)如图，在矩形纸片 ABCD 中，BC＝4 cm， 把纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在 E 处，AE 交 DC 于点 O．若 AO＝ 5 cm，则△ABC 的面积为( A )
∴GH⊥CD． ∵B′C＝B′D，∴AG＝DH＝12DC＝8． 由 AE＝3，AB＝16，得 BE＝13．
MING XIAO KE TANG
由翻折的性质，得 B′E＝BE＝13． ∴EG＝AG－AE＝8－3＝5． ∴B′G＝ B′E2－EG2＝ 132－52＝12． ∴B′H＝GH－B′G＝16－12＝4． ∴DB′＝ B′H2＋DH2＝ 42＋82＝4 5．
人教版八年级下第十八章平行四边形专题4特殊平行四边形中的折叠问题
由折叠性质得 ．
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
5．（1）证明见试题解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，再证明FG=FE，即可得到四边形DEFG为菱形；
人教版八年级下第十八章平行四边形专题4特殊平行四边形中的折叠问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将矩形 沿对角线 所在直线折叠，点 落在同一平面内，落点记为 ， 与 交于点 ，若 ，则 的长为（）
A．6.25B．6.35C．6.45D．6.55
2．如图，已知四边形 是边长为6的菱形，且 ，点 分别在 边上，将菱形沿 折叠，点 正好落在 边的点 处．若 ，则 的长为（）
A．3B．6C． D．
3．如图，在正方形 中， ，将 沿 折叠至 ，延长 交 于点 ， 刚好是 边的中点，则 的长是（）
A．1B．1．5C．2D．2．5
二、填空题
4．在矩形 中， ，沿 所在直线折叠，使点 与点 重合，则 的长为____________．
在Rt△EFC中， ，即 ，
解得：x=5，CE=8﹣x=3，
∴ = ．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．菱形的判定与性质；4．矩形的性质；5．综合题．
6． 的长为 ．
【分析】
作 于点 ，通过菱形的性质和折叠的性质证明 为等边三角形，设 ，则 ， ，在 中，利用特殊角表示出DH,FH，最后在 中利用勾股定理即可求解．
最新人教版数学八年级下册第十八章《平行四边形-数学活：平行四边形中的翻折变换》优质教学课件
∴∠ABC=90°.
∴∠3=90°-60°=30°，
∴∠1=∠2=∠3=30°
在图中，你能找出所有30°的角吗？60°的角呢？还有其他度数的角吗？
G
还有120 ° 和150 °的角
利用折纸得到60°、30°、15°的角
【综合与实践】在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
八年级 下册
第18章 平行四边形
——数学活动：平行四边形中的翻折变换
学习目标： 1．能折出60°，30°，15°的角，学会应用。 2．通过折叠活动，加深对轴对称、全等三角形、特 殊的三角形、四边形等知识的认识； 3．经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动 过程，积累数学活动经验．学习重点： 折纸做60°，30°，15°的角，学会应用．
D
6.矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD=10，CD=6，则BE=____。
人教版八年级数学下册 第18章 《四边形》利用特殊四边形的性质巧解折叠问题 (含答案)
《四边形》利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．平行四边形的折叠问题1．如图，将平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．(第1题)矩形的折叠问题2．(中考·衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(第2题)菱形的折叠问题3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的F点，连结CF，那么∠BFC的度数是( ) A．60° B．70° C．75° D．80°(第3题)(第4题)正方形的折叠问题4．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为________．5．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连结BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.【导学号：71412046】(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．(第5题)专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点，再运用从特殊．．．到一般的思想．．．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.连结AF，CE.(1)试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD 上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训3 全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：三个图形，三个技巧．三个图形图形1矩形1．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连结AF，CE.(1)求证：△BEC≌△DFA；(2)连结AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．(第1题)图形2菱形2．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△EDC，连结BD，交AC于F.(1)猜想AC与BD的位置关系，并给予证明；(2)求线段BD的长．(第2题)图形3正方形3．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.(1)求证：AF－BF＝EF；(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前图形中的点E之间的距离．(第3题)4．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE.(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．(第4题)三个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)5．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分的周长．(第5题)技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第6题)技巧3 解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)7．如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，AC ＝60 cm ，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s (0≤t≤15)．过点D 作DF⊥BC 于点F ，且DF ＝12DC ，连结EF.若四边形AEFD 为菱形，则t 的值为( )(第7题)A．5B．10C．15D．208．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．(第8题)答案专训1(第1题)1．解：设AE与BC相交于点F，如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.∵平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA.∵F为BC边的中点，BC＝6，∴AF＝CF＝BF＝12×6＝3.又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°.(第2题)2．(1)证明：由折叠知A′E＝AE＝EG，BC＝CH.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.易得四边形AEA′D是正方形，∴A′E＝AD.∴EG＝CH.(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，∴DG＝FG＝AF＝ 2.由勾股定理得DF＝2.∴A D＝2＋ 2.如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠3.由(1)知，AE＝BC.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△EFA≌△CEB.∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝2＋2 2.3．C点拨：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＋∠ABC＝180°，BD平分∠ABC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FB C＝30°.根据折叠可得AB＝BF，∴BF＝BC.∴∠BFC＝∠BCF＝(180°－30°)÷2＝75°.故选C.4．13 点拨：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连结BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，∴∠C＝∠BNG＝90°，∴∠1＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝FM2＋MG2＝13.(第4题)5．(1)证明：由折叠知PE＝BE，∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EBP＝∠EPB.∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠BPH＝∠PBC.又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH.(2)解：△PDH的周长不发生变化．证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．由(1)知∠APB＝∠QPB，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝BQ.又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋CH＝AD＋CD＝8(定值)．(第5题)专训21．解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.2．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠C FO.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，(第2题)在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5 cm.(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连结AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P 的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝4 3 .∴当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝43 .3．证明：(1)如图①，连结AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.(第3题)(2)如图②，连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.由(1)知∠BCD＝120°.又∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°，∴∠B＝∠ACF.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠EBF＝∠C＝∠GDH＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连结BD，DE，BG.设EG 与BD交于O点．∵BE瘙綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形．∴BD与EG互相平分．∴BO＝OD.∴点O为正方形的中心．∴直线EG必过正方形的中心．专训31．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝DA.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA(S.A.S.)．(2)解：四边形AECF是矩形，理由：∵AE＝12AB，CF＝12CD，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵CA＝CB，E为AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形．2．解：(1)AC⊥BD.证明：连结AD，由题意知，△ABC≌△EDC，∠ACE＝120°.∵△ABC是等边三角形，∴AC＝DC，∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝AC＝AB＝BC，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.(2)由(1)知，四边形ABCD为菱形，∴∠DBC＝12∠ABC＝30°.∵BC＝CD，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，∴∠BDE＝30°＋60°＝90°. ∵∠ACE＋∠ACB＝180°， ∴B，C ，E 三点在一条直线上， ∴BE＝2.∴BD＝BE 2－DE 2＝22－12＝ 3. 3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠BAD＝∠BAF＋∠EAD＝90°. ∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°. ∴∠EAD＋∠ADE＝90°. ∴∠ADE＝∠BAF. 又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°. ∴∠AED＝∠BFA. 在△AED 和△BFA 中，∵⎩⎨⎧∠AED＝∠BFA，∠ADE＝∠BAF，AD ＝BA ，∴△AED≌△BFA(A .A .S .)． ∴BF＝AE. ∵AF－AE ＝EF ， ∴AF－BF ＝EF.(2)解：如图，由题意知将△ABF 绕A 点旋转得到△ADF′，B 与D 重合，连结F′E，由(1)易得DE ＝AF.(第3题)根据题意知：∠F′AE＝90°，DE＝AF＝AF′，∴∠F′AE＝∠AED＝90°.即∠F′AE＋∠AED＝180°.∴AF′∥DE.∴四边形AE DF′为平行四边形．又∠AED＝90°，∴四边形AEDF′是矩形．∵AD＝3，∴EF′＝AD＝3.4．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠D＝∠BAE＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°.∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠DAF＝∠ABE.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE，由(1)知AF＝BE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，∴AF＝MP，BE＝NQ，∴MP＝NQ.5．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A 1E ＝AE ，A 1D 1＝AD ，D 1F ＝DF.设线段D 1F 与线段AB 交于点M ，则阴影部分的周长为 (A 1E ＋EM ＋MD 1＋A 1D 1)＋(MB ＋MF ＋FC ＋CB) ＝AE ＋EM ＋MD 1＋AD ＋MB ＋MF ＋FC ＋CB ＝(AE ＋EM ＋MB)＋(MD 1＋MF ＋FC)＋AD ＋CB ＝AB ＋(FD 1＋FC)＋10 ＝AB ＋(FD ＋FC)＋10 ＝10＋10＋10＝30.点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案．6．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB＝OC ，∠OBE＝∠OCF＝45°， ∠BOC＝90°.∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC. ∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF， 即∠BOE＝∠COF.∴△BOE≌△COF.∴S △BOE ＝S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC . ∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1. ∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝14.∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.7．B 点拨：因为DF ＝12DC ，DC ＝4t cm ，所以DF ＝2t cm .又因为AE ＝2t cm ，所以AE ＝DF.因为AE∥DF，所以可推出四边形AEFD 为平行四边形．令AE ＝AD ，则60－4t ＝2t.解得t ＝10.所以当t ＝10时，四边形AEFD 为菱形．8．解：(1)在菱形ABCD 中，AC⊥BD，BG ＝12BD ＝12×16＝8，由勾股定理得AG＝AB2－BG2＝102－82＝6，∴AC＝2AG＝2×6＝12.∴菱形ABCD的面积＝12AC·BD＝12×12×16＝96.(第8题)(2)OE＋OF的值不发生变化．理由：如图①，连结AO，则S△ABD ＝S△ABO＋S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE＋12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE＋12×10·OF，解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．(3)OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.理由：如图②，连结AO，则S△ABD ＝S△ABO－S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE－12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF，解得OE－OF＝9.6.。
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧一、引言在初二数学的学习中，四边形是一个重要的知识点，而四边形的折叠问题又是四边形中的一个难点。
很多同学在解决这类问题时感到无从下手，其实只要掌握了相应的技巧，就能轻松解决这类问题。
本文将详细介绍解决四边形折叠问题的技巧，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
二、技巧一：明确折叠前后的图形关系在解决四边形折叠问题时，首先要明确折叠前后的图形关系。
通常，折叠后会有折痕，而折叠前后的图形可以通过折痕进行重合。
因此，要仔细分析折叠前后的图形，找出它们之间的联系和区别。
三、技巧二：利用轴对称性解题四边形是轴对称图形，而折叠问题通常可以利用轴对称性来解题。
通过分析折叠前后的图形，找出轴对称性，可以帮助我们快速找到解题思路。
四、技巧三：掌握常见折叠问题的解决方法四边形的折叠问题通常有几种常见题型，如折叠后一个角的大小变化、折叠后四边形的形状变化等。
对于这些常见题型，我们需要掌握相应的解决方法。
例如，可以通过计算折叠后各角度的大小，来判断四边形的形状；可以通过比较折叠前后的边长关系，来判断折叠后是否重叠。
五、技巧四：善于运用辅助线在解决四边形折叠问题时，有时候需要添加辅助线来帮助解题。
辅助线的添加需要根据题目的具体情况来决定，但只要善于运用，就能帮助我们更快地找到解题思路。
六、例题解析通过以下例题，我们可以更好地掌握上述技巧。
【例题】：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于点E，点F在BD上，将四边形ABFC沿BD折叠，点A、C恰好落在点F处，已知∠ABC=60°，BD=8cm。
求：沿BD折叠后四边形ABFC的形状。
分析：首先需要明确折叠前后的图形关系，即BD是折痕。
根据题意可知，沿BD折叠后点A、C落在点F处，因此可以得出∠AFB=∠ABC=60°。
另外，根据已知条件可知BD=8cm，因此可以通过计算各角度的大小来得出四边形ABFC的形状。
新人教部编版初中八年级数学解题技巧专题：特殊四边形中的折叠问题
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∴∠ODM ＝ ∠ECO. 在 △OEC 与 △OMD 中 ， ∠EOC＝∠DOC＝90°，
OC＝OD，
∴△OEC≌△OMD(ASA)．
∠OCE＝∠ODM，
∴OM＝OE＝ 2－1，故选 D.
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7．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形 折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G 处(不与 B、D 重合)，折痕为 EF.若 DG＝2，BG＝6，则 BE 的长为 2.8 .
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9．★如图，边长为 2的正方形 ABCD 的对角线 AC
与 BD 交于点 O，将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，
点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处，折痕 DF 交 AC
于点 M，则 OM 的长为( D )
A.12 C. 3－1
B.
2 2
D. 2－1
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长冲中学“四学一测”活力课堂3．(2020·青岛中考)如图，将矩形 ABCD 折叠，使
点 C 和点 A 重合，折痕为 EF，EF 与 AC 交于点 O.
若 AE＝5，BF＝3，则 AO 的长为( C )
A． 5 C．2 5
B．32 5 D．4 5
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人教版八年级下第十八章平行四边形专题4 特殊平行四边形中的折叠问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题
1 . 如图，直线BC与⊙A相切于点C，过B作CB的垂线交⊙O于D，E 两点，已知AC＝，CB＝a，则以BE，BD的长为两根的一元二次方程是（）
A．x2+bx+a2＝0B．x2﹣bx+a2＝0C．x2+bx﹣a2＝0D．x2﹣bx﹣a2＝0
2 . 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC=6，CD=3，点C 与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（）
A．3
B．
C．5
D．
3 . 现有边长AB＝10，BC＝5的矩形纸片ABCD，对角线BD.在AB上取一点G，以DG为折痕，使DA落在DB上，则AG的长是：（）
A．
B．C．
D.
二、填空题
4 . 一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长
是_____________cm.
三、解答题
5 . 如图，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．
(1)证明：△ABC是直角三角形；
(2)求△AEB的面积．
6 . 四边形ABDF中，点C、E分别在AF、DF上，且AB=AC，BD=DE，∠BDF=2∠ABC，M为CE的中点．
（1）画出△ACM关于点M成中心对称的图形；
（2）求证：AM⊥DM；
（3）若AM=DM，求∠ABC的度数.
7 . 综合与实践：
问题情境：在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B与点F重合，直线AF交直
线CD于点
A．
特例探究实验小组的同学发现：
（1）如图1，当AB＝BC时，AG＝BC＋CG，请你证明该小组发现的结论；
（2）当AB＝BC＝4时，求CG的长；
延伸拓展：（3）实知小组的同学在实验小组的启发下，进一步探究了当AB∶BC＝∶2时，线段AG，BC，CG之间的数量关系，请你直接写出实知小组的结论：___________．
参考答案一、单选题
1、
2、
3、
二、填空题
1、
三、解答题
1、
2、
3、。