初中绝招数学-四边形中的折叠问题
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧（原创实用版3篇）目录（篇1）1.初二数学四边形折叠问题的概述2.四边形折叠问题的技巧和方法3.如何应用技巧和方法解决四边形折叠问题4.总结正文（篇1）一、初二数学四边形折叠问题的概述四边形折叠问题是指在四边形上选择若干个点，将这些点折叠起来，使得四边形的形状发生变化。
这些问题常常出现在中学数学教材中，需要学生掌握几何知识和推理能力。
二、四边形折叠问题的技巧和方法1.找到关键点：确定需要折叠的点，这些点通常具有特殊的几何性质，如对称中心或对角线交点等。
找到这些关键点是解决四边形折叠问题的第一步。
2.连接关键线段：连接关键点之间的线段，这些线段通常是关键点保持不变的。
通过这些线段，可以推断出其他点的位置。
3.运用几何定理：根据几何定理，如全等三角形定理、相似三角形定理等，推断出点的位置和形状。
三、如何应用技巧和方法解决四边形折叠问题1.确定关键点：首先确定需要折叠的点，通常可以通过四边形的性质或特殊点来寻找。
2.连接关键线段：连接关键点之间的线段，这些线段通常是关键点保持不变的。
通过这些线段，可以推断出其他点的位置。
3.运用几何定理：根据几何定理，如全等三角形定理、相似三角形定理等，推断出点的位置和形状。
四、总结四边形折叠问题是中学数学中的重要问题，需要学生掌握几何知识和推理能力。
目录（篇2）1.引言2.折叠问题技巧介绍3.折叠问题技巧的应用4.结论正文（篇2）一、引言在初二数学的学习中，四边形是一个重要的知识点。
四边形折叠问题作为四边形学习中的难点，需要学生掌握一定的技巧。
本文将介绍一些折叠问题技巧，帮助学生更好地理解和解决四边形折叠问题。
二、折叠问题技巧介绍1.观察图形特征：在解决四边形折叠问题时，首先要观察图形的特征，包括边长、角度、对角线等。
通过观察，可以找到解决问题的突破口。
2.运用对称性：四边形具有对称性，可以利用对称性将复杂的图形转化为简单的图形，从而解决问题。
平行四边形折叠问题解题技巧
平行四边形折叠问题解题技巧平行四边形折叠问题解题技巧什么是平行四边形折叠问题平行四边形折叠问题是一种数学问题，要求将一块平行四边形纸张折叠成特定的形状。
解决这个问题需要一些技巧和方法。
以下是一些常用的技巧，可以帮助你解题。
技巧一：注意对称性•在折叠平行四边形时，要注意纸张的对称性。
利用对称性可以简化问题，并找到更快的解决方案。
•如果可以发现平行四边形纸张具有对称性，可以根据对称性进行折叠，将问题简化为更小的子问题。
技巧二：利用角度相等•在平行四边形折叠问题中，角度是一个重要的概念。
角度相等的性质可以帮助我们确定折叠的方式。
•如果已知某个角度相等，可以通过将纸张折叠使得两个角度重合，从而找到解题的关键位置。
技巧三：利用边长比例•平行四边形的边长比例也是一个重要的信息。
通过观察边长比例，可以推导出纸张的折叠方式。
•如果已知两个边长的比例，可以利用这个比例关系进行折叠，从而找到解题的关键位置。
技巧四：分析折痕•折痕是平行四边形折叠问题中的关键点。
分析折痕的特点可以帮助我们确定折叠的方式。
•观察折痕的位置、形状和角度，可以推断出纸张的折叠方式，并找到最终的解答。
技巧五：尝试反向思考•在解决平行四边形折叠问题时，有时候可以尝试反向思考。
即从最终的形状出发，逆向推导出折叠的方式。
•这种方法可以帮助我们更直观地理解问题，从而找到更有效的解题方法。
技巧六：多练习、多实践•最后，最重要的是多练习、多实践。
通过反复练习和实践，可以加深对平行四边形折叠问题的理解，掌握更多的解题技巧。
•在实践中遇到问题不要气馁，可以寻求他人的帮助或参考相关资料，不断提升自己的解题能力。
以上是解决平行四边形折叠问题常用的技巧和方法。
通过灵活运用这些技巧，相信你能够轻松解决各种平行四边形折叠问题。
祝你成功！（以上仅为参考，具体文章内容可以根据实际需要进行修改和补充。
）。
解决特殊平行四边形中折叠问题的4种方法
解决特别平行四边形中折叠问题的4种方法►方法一用方程思想解决特别平行四边形中的折叠问题1、如图1－ZT－１,将矩形AＢCD沿EＦ折叠,使顶点C恰好落在ＡB边的中点Ｃ′上、若ＡＢ=6,BC＝９,则ＢＦ的长为()图1－ZT-1Ａ、4 B、3 2C、4、５D、５2、把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图1－ZT-2所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为ＥF、若AＢ＝3 cm,BＣ＝５cm,则重叠部分△ＤEＦ的面积是______＿＿cm2、:学*科＊网Ｚ＊X＊X*K]图1－ZＴ—２３。
如图１－ZT—3,将长方形纸片ABＣD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且点D落在对角线D′处、若AB＝3,ＡＤ＝4,则ED的长为()图1—ＺT-３A、＼f(3,2)B、3C。
１D。
＼f(４,3)［来源:1]4。
如图1-ZT-４,折叠矩形ABCD的一边AＤ,使点D落在BC边上的点F处,已知折痕AE=5 5 ｃm,且EC∶ＦC=BF∶AB=3∶４、那么矩形ABCD的周长为______＿＿cｍ、图１—ZＴ-4５、如图1-ZT—５,在矩形ＡBCD中,点E在边ＣD上,将该矩形沿ＡE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作ＦG∥CD,交AE于点G,连接DG、(1)求证:四边形DEFＧ为菱形;(２)若ＣD=8,CF＝4,求CEDＥ的值。
图1-ZT-５►方法二用数形结合思想解决特别平行四边形中的折叠问题6。
如图1—ＺT—6,在矩形ABCＤ中,AB＝4,BＣ=6,Ｅ为BC的中点,将△ABＥ沿AＥ折叠,使点Ｂ落在矩形内点F处,连接CF,则ＣＦ的长为()图1－ZT-6A、95B。
＼f(1２,5)C、＼f(1６,５)D、＼f(18,5)7。
如图１—ZT－7,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AＥ折叠(点E在边ＤC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处、若点Ｄ的坐标为(10,８),则点E的坐标为＿＿______、图1-ZT－78、如图１－ZT－8,在矩形ABＣD中,AＢ=6 cｍ,E,F分别是边BC,AＤ上一点,将矩形AＢCD沿ＥF折叠,使点C,Ｄ分别落在点C′,D′处、若Ｃ′E⊥ＡD,则ＥＦ的长为＿＿______ｃm。
人教版初中数学讲义八年级下册第07讲 专题2 平行四边形(特殊的平行四边形)中的折叠问题(解析版)
第07讲专题1平行（特殊）四边形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题类型二：矩形中的折叠问题类型三：菱形中的折叠问题类型四：正方形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题1．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（）A．1B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，∴AE＝CE＝AC＝，∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D＝＝．故选：B．2．如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝65°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，∵∠AMF＝50°，∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，故答案为：65．3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C．4．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为36°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；故答案为：36°．5．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC＝74°，则∠NPB′＝16°．【解答】解：∵点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M，∴∠MPC′＝∠MPC＝74°，∴∠BPB′＝180°﹣∠CPC′＝180°﹣2∠PMC＝180°﹣148°＝32°，∵∠BPN＝∠B′PN，∴∠NPB′＝∠BPB′＝16°，故答案为：16．类型二：矩形中的折叠问题6．如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长BC＝8cm，宽AB＝6cm，那么折叠后重合部分的面积是（）A．48cm2B．24cm2C．18.75cm2D．18cm2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠C′BD＝∠DBC∴∠ADB＝∠EBD，∴DE＝BE，∴C′E＝8﹣DE，∵C′D＝AB＝6，∴62+（8﹣DE）2＝DE2，∴DE＝，＝DE×CD÷2＝18.75cm2．∴S△BDE故选：C．7．如图，长方形纸片ABCD，E为CD边上一点，将纸片沿BE折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处，且D'恰好在线段BE上．若∠AEC'＝α，则∠CEB＝（）A．B．C．D．【解答】解：由折叠的性质得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，∴3∠CEB＝180°﹣2α，∴∠CEB＝60°﹣α，故选：A．8．数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（）甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求，乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求，A．只有甲的折法正确B．甲和乙的折法都正确C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；故选：B．9．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B'处，若∠AMB＝α，则∠B'AD等于（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．90°﹣2αD．90°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，根据折叠可知，∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，∴∠B'AD＝∠B'AM﹣∠DAM＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，故C正确．故选：C．10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD 的度数为（）A．37°B．74°C．96°D．106°【解答】解：∵EF∥GH，∴∠HGC＝∠EFG＝37°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠GHD+∠HGC＝180°，∴∠GHD＝143°，根据折叠的性质可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．故选：B．11．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D1的位置，再将△A1EG沿着AB对折，将△GD1N沿着GN对折，使得D1落在直线GH上，则下列说法正确的是（）①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③当MN∥EF时，∠AEF＝120°．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：由折叠可知：∠A1GE＝∠EGH，∠D1GN＝∠MGN，∠GMN＝∠D1＝90°，∠A1＝∠EHG＝90°，∠AEF＝∠A1EF，∴EH∥MN，∵∠A1GE+∠EGH+∠D1GN+∠MGN＝180°，∴∠EGN＝90°，∴GN⊥DC；故①正确；∵∠D1GN＝∠MGN不一定为45°，∴GH不一定垂直GD1，故②错误；∵MN∥EF，EH∥MN，∴EH与EF共线，∴∠AEF＝∠A1EF＝2∠GEF，∵∠AEF+∠GEF＝180°，∴∠AEF＝120°，故③正确；故选：B．类型三：菱形中的折叠问题10．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分线，∴P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故选：D．11．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°，根据折叠可得AB＝BF，∴FB＝BC，∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，故答案为：75°．12．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠D＝120°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝30°．∵CD∥AB，∴∠BAD′＝∠DCA＝30°．∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，∴AD＝AD′，∴AB＝AD′，∴∠AD′B＝∠ABD′＝（180°﹣∠BAD′）＝75°．故答案为75．13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．（1）∠DEF＝90°；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为．【解答】解：（1）由翻折可得∠AED＝∠DEG，∠BEF＝∠HEF，∴∠DEG+∠HEF＝∠AED+∠BEF，∵∠DEG+∠HEF+∠AED+∠BEF＝180°，∴∠DEG+∠HEF＝90°，即∠DEF＝90°．故答案为：90°．（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，由翻折可得AE＝EG，BE＝EH，∠A＝∠EGD，∠B＝∠EHF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴EG＝EH，即点G与点H重合．∵∠EGD+∠EHF＝∠A+∠B＝180°，∴点D，G，F三点在同一条直线上．过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M．∵∠A＝120°，AB＝2，∴∠DCM＝60°，CD＝2，∴CM＝CD＝1，DM＝CD＝，由翻折可得BF＝FG，AD＝DG＝2，设BF＝x，则MF＝2﹣x+1＝3﹣x，DF＝2+x，由勾股定理可得，解得x＝，∴DF＝．故答案为：．类型四：正方形中的折叠问题14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF 折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（）A．70°B．65°C．30°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BEF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，故选：D．15．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为2．【解答】解：设正方形纸片的边长为x，则BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，∴Rt△BFN中，NF＝＝x＝3，∴x＝2，故答案为：2．16．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（）A．10°B．12°C．14°D．15°【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故选：B．17．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，＝AB•AF＝BF•AH，∵S△ABF∴12×5＝13AH，∴AH＝，故答案为：．18．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°故选：B．。
2022年中考数学压轴专题+四边形中的折叠问题
2022年中考数学压轴专题四边形中的折叠问题班级：___________姓名：___________学号：___________一、单选题1．如图，折叠ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的点G 处，点D落在点H处，得到四边形AEHG．若ABCD的面积是8，则下列结论中正确的是（）A．四边形AEHG不是平行四边形B．AB≠AEC．设四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，则y与x的函数关系式是=2848y x x-<<（）D．若BC=4，则点E到BG的距离为12．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（）A．94B677C5D3743．如图，一张长方形纸片ABCD，它的四个内角都是直角，将其沿BD折叠后，点C落在点E处，BE交AD于点F，再将DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分ADB∠，那么DBF∠的度数是（）A ．18°B ．20°C ．36°D ．45°4．如图，在矩形ABCD 中，23AD =5AB =，M 是CD 上的一点，将ADM △沿直线AM 对折得到ANM ，若AN 平分MAB ∠，则CN 的长为（ ）A 352B 5C 7D ．35．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将∠AMN 沿MN 所在直线翻折得到∠A 'MN ，连接A 'C ，则A 'C 长度的最小值是（ ）A ．231B 31-C 71D ．271 6．如图所示，在长方形ABCD 中，DC ＝10，AD ＝6，若将长方形ABCD 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点F 处，则CE 的长度为（ ）．A ．13B ．1730C ．103D ．107．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=，将菱形折叠，使点A 落在对角线BD 上的点G 处（不与点B ，D 重合），折痕为EF ，若2,6DG BG ==，则BEG 的面积为（ ）A 2235B 2135C ．43D ．3二、填空题8．如图，在矩形ABCD 中，4=AD ，将A ∠向内翻折，点A 落在BC 上，记为1A ，折痕为DE ．若将B 沿1EA 向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为1B ，则AB =_______．9．如图，在菱形ABCD 中，60B ∠=︒，4AB =，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，将EBF △沿EF 折叠，使点B 的对应点'B 落在边AD 上，若'AE AB =，则CF 的长为______．10．如图，正方形纸片ABCD 的四个角都为90︒，若该纸片沿AC 折叠，则点D 会与点B 重合，已知点E 为正方形ABCD 的边CD 上一点，连接AE ，将三角形ADE 沿AE 折叠，点D 落在点D 处，作AF 平分BAD '∠．若12CAD BAF ∠=∠'，则'CAD ∠的度数为____________11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 、y 轴上，点B 的坐标为()3,1.5，反比例函数k y x=（k 为常数，0k ≠）的图象分别与边AB 、BC 交于点D 、E ，连结DE ，将∠BDE 沿DE 翻折得到B DE '，连结OE ，当90OEB '∠=︒时，k 的值为___________．12．如图，在菱形纸片ABCD 中，2AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则EF 的长为__________．13．如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，以AE 为对称轴将∠ABE 对折得到∠AFE ，再将AD 与AF 重合折叠，折痕与BF 的延长线交于点H ，BH 与AE 交于点G ，连接DH ． （1）∠AHB 的度数为______；（2）若AB ＝2，则点H 到AB 的距离最大值为______．14．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ．下列结论①QB =QF ；②AE ∠BF ；③3sin 5BQP ∠=；④=4BGE ECFG S S 四边形△，其中正确的结论有______（写出所有正确结论的序号）15．如图，E 是为矩形ABCD 上一点，点O 是对角线BD 的中点，把∠ABE 沿AE 折叠，使点B 落在对角线BD 上的点F 处，连接AF 、AE ．（1）若FB FO =，则AB BD =______； （2）若FA FO =，则AB BD=______． 16．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝6，AD ＝18，折叠纸片ABCD ，使顶点C 落在边AD 上的点G 处，折痕分别交边AD 、BC 于点E ，F ，则∠GEF 的面积最大值是________．三、解答题17．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将∠BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F 处，过点F作FG∠CD交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．18．如图1，长方形纸片ABCD（AD＞AB），点O位于边BC上，点E位于边AD上，将纸片沿OE折叠，点C、D的对应点分别为点C′、D′．(1)当点C′与点A重合时，如图2，如果AD＝12，CD＝8，联结CE，那么△CDE的周长是；(2)如果点F位于边AB上，将纸片沿OF折叠，点B的对应点为点B′．①当点B′恰好落在线段OC′上时，如图3，那么∠EOF的度数为；（直接填写答案）②当∠B′OC′＝20°时，作出图形，并写出∠EOF的度数．19．在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=5(1)求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；(2)连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则∠AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值(3)在（2）的条件下，t为何值时，AF∠PQ？20．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），点E、F分别是BC边、AC边上的动点，均不与端点重合，连接EF，把△CEF 沿着动直线EF翻折，得到△DEF．(1)如图1，当点C的对应点D落在AB上，且EF∠AB时，则CE＝___________；(2)如图2，点G（0，2），连接FG交AB于点H，直线ED交AB于点I，当四边形FHIE为平行四边形时，①证明:HF=BE ;②求CE的长；(3)当点E、F在问题（1）中的位置时，把△EDF绕点E逆时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△E D′F′，设直线D′F′与y轴、直线AB分别交于点N、M，当AN＝AM时，直接写出AM 的长．21．如图1，已知直线y=﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．(1)求点A、C的坐标；(2)将∠ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图2）；(3)在y轴上是否存在一点P（不与C重合），使得CDP是等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
九年级四边形中的折叠问题
巩固测试：1. 如图，矩 B
形ABCD沿BE折叠，使
点C落在AD边上的F点
处，如果ABF=60º， 则CBE等于（ ）。
A
(A)15º (B)30º
(C )45º (D)60º
C E
FD
如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，折叠 后点B落在点E上，若AD=4,AB=3.
E
D
B
C
F
C’Leabharlann （08湖北荆门）例2．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折 叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长 为________．
10
A
E
D
H
B
GF
C
C’
全等性
折
利用Rt△
轴对称 本 质 重结果 折叠问题
精 髓 方程思想
对称性
叠
利用∽
☞透过现象看本质:
A
A
D
折 实质 E叠
1、 直接说出下列线段的长度：
①BC= 4 ， DC= 3 ， 矩形对边相等
②AC= 5 ③AE= 3
， 勾股定理
A
，CE=_4___. 轴对称的性质
E
F
D
2、 求FC的长度。
B
C
将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠, 点B落 在点E处。求证：AF=CF
E
方法一：
A
E D Rt
EFA
证明：
E
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,AD=BC
∵折叠
A
F
D
∴AE=AB=CD,CE=BC=AD 又∵ED=ED
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧初二数学四边形的折叠问题技巧数学中的几何形状是我们学习的重要内容之一。
四边形作为一种常见的几何形状，其折叠问题技巧也是我们需要掌握的。
本文将介绍初二数学中四边形的折叠问题技巧。
一、矩形的折叠问题技巧矩形是一种特殊的四边形，其两对边相等且平行。
在处理矩形的折叠问题时，我们需要注意以下几个技巧。
1. 折叠对角线：将一个矩形沿对角线方向折叠，可以得到重叠的两个直角三角形。
这个技巧在解决一些矩形面积、周长等问题时很有用。
2. 平行线折叠：我们还可以将矩形沿其中一对平行边折叠，使得另外一对平行边重合。
这样可以得到一个与原来矩形相似且大小相等的矩形。
这个技巧在解决一些矩形相似性质的问题时很有帮助。
二、平行四边形的折叠问题技巧平行四边形是一种具有两对平行边的四边形。
在处理平行四边形的折叠问题时，我们也可以运用一些技巧。
1. 对折：可以将平行四边形沿两对平行边分别对折，使得两对对折线上的点重合。
这样可以证明平行四边形的对角线互相平分。
2. 平移：可以将平行四边形平移，使得相邻两边重合，从而得到一个与原平行四边形相似的形状。
这个技巧在解决一些平行四边形相似或面积问题时很有用。
三、菱形的折叠问题技巧菱形是一种特殊的平行四边形，其四条边相等且对角线垂直。
在折叠菱形时，我们可以运用一些技巧。
1. 中点折叠：可以将菱形沿对角线方向折叠，使得两个对角线的中点重合。
这样可以得到一个与原菱形相似的等腰直角三角形。
2. 对称折叠：可以将菱形沿其中一条对称轴折叠，使得两个顶点重合。
这样可以得到一个与原菱形相似的小菱形。
四、梯形的折叠问题技巧梯形是一种具有一对平行边的四边形。
在折叠梯形时，有如下技巧可用。
1. 平行线折叠：可以将梯形沿长边折叠，使得两个平行边重合。
这样可以得到一个与原梯形相似的矩形。
这个技巧在解决一些梯形相似性质的问题时很有帮助。
2. 对称折叠：可以将梯形沿对称轴折叠，使得两个底边重合。
这样可以得到一个与原梯形相似的小梯形。
北师大版九年级数学上学期题型全攻略专题01 特殊平行四边形中的折叠问题全梳理(解析版)
专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (16)【课后练习】 (28)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。
【考法一、矩形翻折问题】例．如图，在矩形OABC 中8AB =，4BC =，点D 为对角线OB 中点，点E 在OC 所在的直线上运动，连结DE ，把ODE 沿DE 翻折，点O 的对应点为点F ，连结BF ．(1)当点F 在OC 下方时（如图1），求证：DE BF ∥．(2)当点F 落在矩形的对称轴上时，求EF 的长．(3)是否存在点E ，使得以D ，E ，F ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求OE 的长；若不存在，请说明理由．当四边形△中，在Rt ABO222=+=OB AB AO8BC OC⊥∴∥，且D为OBDM BC中位线，DM∴为OCBOE EF BD DO ∴==，，25OE OD ∴==；如图，当四边形DEBF 为平行四边形时，DF OD BE ∴=，25BE ∴=，在Rt BEC △中，EC =826OE ∴=-=；DF OD BD DF == ，25BE OD ∴==，在Rt BCE 中，2CE BE =-在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．【初步思考】（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）当点P与点A重合时，DEF∠=_____︒，当点E与点A重合时，DEF∠=______︒；【深入探究】（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图②），且点E、F分别在AD、DC边上，AP的最小值是______；【拓展延伸】（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；45（2）2（3）存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等，线段AE的长度为65或4211【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则EF平分DAB∠，即可得出答案；（2）当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求8CD PC==，由勾股定理求10AC=，即可得出结果；（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90DAB D∴∠=∠=︒，当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，90DEF∴∠=︒，当点E与点A重合时，如图，则EF平分DAB∠，==，则AF=设DF PF x当A，P，F在一直线上时，当x最大为8时，AP最小值为四边形ABCD是矩形，A ADC B∴∠=∠=∠=90∠由折叠的性质得：EPM ，AM DE=∴=，AM EP四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠=︒，DAM ADC B90∠=∠由折叠的性质得：EPC ADC ∴∠=∠=︒，GAM GPE90变式2．【问题情境】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．【动手操作】步骤1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展平纸片；步骤2：点M 为边AD 上任意一点（与点A ，D 不重合），ABM 沿BM 折叠得到A BM '△，折痕BM 交EF 于点N ．【问题探究】（1）如图1，当点A 的对称点A '落在EF 上时，连接AN ．求证：四边形ANA M '为菱形；（2）已知2BC AB =，继续对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，折痕GH 与EF 交于点O ．将ABM 沿BM 折叠，连接MO ，若点A 的对称点A '恰好落在线段MO 上，此时2AM =．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A 的对称点A '（保留作图痕迹，不写作法）；②求AB 的长度；【拓展迁移】如图3，在矩形纸片ABCD 的边AB 上取一点P ，折叠纸片，使P ，B 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；点B '为EF 上任意一点（与点E ，F 不重合），折叠纸片使B ，B '两点重合，得到折痕l 及点P 的对应点P '，折痕l 交EF 于点K ，展平纸片，连接BP '，KP '．（3）猜想P B K ∠'与BC P '∠的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6AB =；（3）3P BC BP K ''∠∠＝，理由见解析【分析】（1）根据折叠可得出NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，，证明AD EF ∥，利用平行线的性质得出AMB MNA '∠=∠，则A MB MNA ''∠=∠，利用等角对等边得出MA NA ''=，即可得证；（2）①以M 为圆心，MA 为半径画弧交MO 于A '即可；②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出2BH AB A B AG OG '====，证明()HL OA B OHB ' ≌，得出OA OH OG '==，在Rt MGO △中，根据勾股定理，可求出OG ，进而求出AB ；（3）连接PK ，BK ，延长BK 交P B ''于点M ，可证明EB B MBB ''≌ ，得出BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可得BK PK P K B K ''===，利用等边对等角和三线合一的性质可得出P BK BP K ''∠=∠，KBB KB B ''∠=∠，MB MP ''=，利用线段垂直平分线的性质BP BB ''=，利用三线合一性质可得出P BK KBB ''∠=∠，则P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）中BC EF ∥，可得出B BC KB B ''∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：连接AA '，∵ABM 沿BM 折叠，得到A BM '△，∴BM 垂直平分AA '，∴NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，由折叠可知：AEF BEF ∠=∠，∵180AEF BEF ∠+∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=︒，∴90BEF DAB ∠=∠=︒，∴AD EF ∥，∴AMB MNA '∠=∠，∴A MB MNA ''∠=∠，∴MA NA ''=，∴MA NA NA MA ''===，∴四边形ANA M '为菱形；点A'即为所求，解：连接BO，由折叠可知：AB A B'=，MA 由（1）得90∠=∠=︒GHB HGA∵l为折痕，∴P B B PBB'''∠=∠，BP B P''=，l ∴KP KP'=，=，KB KB'∴KBB KB B''∠=∠，∵B B BB''=，∴BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可知：KP KB =，EP EB =，90FEB ∠=︒，∴KP KB '=，KP KB ''=∴P BK BP K ''∠=∠，MB MP ''=∴BP BB ''=，∴P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）可知BC EF ∥，∴B BC KB B ''∠=∠，∴3P BC BP K ''∠=∠．【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．变式3．如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 上的一点，连接DE ．(1)若DE 平分ADC ∠，点G 是CD 上的一点，连接EC ，EG ，且EC EG =．过点C 作CQ EG⊥于Q ，CQ 延长线交ED 于H ，过点H 作HP CD ⊥于P ，如图．①填空：AED △的形状是______三角形；②求证：PHC BEC△△≌(2)将图1的矩形ABCD 画在纸上，若DE 平分ADC ∠，沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，如图．求证：MC ME '=．(3)如图，延长DE 交CB 的延长线于点K 使得AB BK =，此时恰好BE BC =，连接AC 交DK 于点J ，连接BJ ．请证明：KJ AJ BJ >+．【答案】(1)①等腰直角；②见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得45AED ADE ∠=∠=︒，进而得出结果；②可证得BCE PCH ∠=∠，EC HC =，90HPC B ︒∠=∠=，进而得出结论；（2）连接C E '，可证得Rt Rt EC A C EB ''' ≌，可得C EA EC B '''∠=∠，根据等角对等边即可得出结论；（3）在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，可证KBE ABC ≌△△，得BKE BAC ∠=∠，在证KBI ABJ ≌△△，得KBI ABJ ∠=∠，90IBJ KBA ︒∠=∠=，得出IJ BJ >，进一步得出结论．【详解】（1）① 四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴1452ADE ADC ∠=∠=︒，∴9045AED ADE ∠=︒-∠=︒，∴AED ADE ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △等腰直角三角形，故答案为：等腰直角②证明：如图，过点E 作EW CD ⊥于W ．EC EG = ，EGC ECG ∴∠=∠，CH EG ⊥ ，90HCP EGC ∴∠+∠=︒，90BCE ECG ∠︒∠+= ，BCE PCH ∴∠=∠，45EDW DEW ∠︒∠== ，45EHC EDW PCH PCH ∴∠=∠︒+∠=+∠，DEC DEW CEW ∠=∠+∠，EW BC ∥，BCE CEW PCH ∴∠=∠=∠，DEC EHC ∴∠=∠，EC HC ∴=，90HPC B ∠=∠=︒PHC BEC ∴△△≌．（2）证明：如图，连接C E '，由（1）知，AED △为等腰直角三角形，AD AE ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，AE B C ''∴=，EAC B ''∠=∠，又EC C E ''=，在Rt EC A '△和Rt C EB ''△中，EC C E ''=，AE B C ''=，∴Rt Rt EC A C EB ''' ≌，C EA EC B '''∴∠=∠，MC ME '∴=．（3）如图，在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，在AJB 与KIB △中，BK AB =，ABC ABK ∠=∠，BE BC =，KBE ABC ∴△△≌，BKE BAC ∴∠=∠．KI AJ = ，BK AB =，BKE BAC ∠=∠，KBI ABJ ∴△△≌，KBI ABJ ∴∠=∠，90IBJ IBA ABJ IBA KBI KBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，IBJ ∴△为直角三角形，IJ BJ ∴>，KJ AJ BJ ∴>+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。
中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转及动点最值问题
C DEB A 图② 中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题一、折叠、剪切类问题1、折叠后求度数〔1〕将一长方形纸片按如下图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，那么∠CBD 的度数为〔 〕A ．600B ．750C ．900D ．950〔2〕如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，假设∠EFB ＝65°，那么∠AED′等于〔 〕A ．50° B．55° C ．60° D．65°〔3〕用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝____________度.2、折叠后求长度〔1〕将矩形纸片ABCD 按如下图的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．那么BC 的长为〔 〕．A 、3B 、2C 、3D 、32〔2〕如图，边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，那么CE 的长是〔 〕 〔A 〕10315- 〔B 〕1053-〔C 〕535- 〔D 〕20103-图① ABEF〔3〕如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，那么线段的长是〔 〕 A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm〔4〕如图，将矩形纸ABCD 的四个角向折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，假设EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，那么边AD 的长是___________厘米. 〔5〕如图，是一矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，假设将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，假设BE =6cm ，那么CD =〔6〕如图〔1〕，把一个长为m 、宽为n 的长方形〔m n >〕沿虚线剪开，拼接成图〔2〕，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，那么去掉的小正方形的边长为〔 〕A ．2m n-B ．m n -C ．2m D ．2n3、折叠后求面积〔1〕如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，那么△CEF 的面积为〔 〕 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10〔2〕如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，假设沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅〞，那么图中阴影局部的面积是〔 〕 NM F E DC B Amn n n〔2〕〔1〕A ．2B ．4C ．8D ．10〔3〕如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧摘要：1.引言2.四边形折叠问题的基本概念3.解题步骤与技巧4.常见题型分析5.总结与建议正文：【引言】四边形的折叠问题一直是初二数学中的热点和难点，很多同学在面对这类问题时感到无从下手。
其实，只要掌握一定的解题技巧和方法，四边形的折叠问题就可以变得不再神秘。
本文将为你详细解析四边形折叠问题的解题技巧，助你轻松应对这类题目。
【四边形折叠问题的基本概念】四边形折叠问题是指在平面几何中，将一个四边形通过折叠变换成为一个平面图形，并在此基础上求解相关问题。
这类问题主要包括四边形的折叠、展开、切拼等操作，以及与这些操作相关的性质和定理。
【解题步骤与技巧】1.分析题意：首先要对题目进行仔细阅读，了解题目所给出的条件和要求。
2.画图辅助：对于复杂的题目，可以通过画图来辅助理解和解题。
画出四边形折叠后的图形，有助于找出解题的关键信息。
3.寻找关系：分析题目中所给条件，找出四边形折叠前后的关系，如对应边相等、对应角相等等。
4.运用定理和公式：根据找出的关系，运用相关定理和公式进行计算和证明。
5.归纳总结：在解题过程中，要不断总结经验和规律，以便在遇到类似题目时能够迅速找到解题思路。
【常见题型分析】1.四边形折叠后的对边相等问题：根据折叠性质，折叠前后四边形的对边相等，可以通过这一性质求解相关问题。
2.四边形折叠后的角度问题：根据折叠性质，折叠前后四边形的对应角相等，可以通过这一性质求解相关问题。
3.切拼四边形问题：通过对四边形进行切拼操作，将其变为已知图形，进而求解相关问题。
【总结与建议】四边形的折叠问题虽然看似简单，但实际上涉及到的知识点较多。
要想掌握这类问题，需要同学们在平时的学习中多加练习，熟练掌握相关定理和公式。
同时，要善于总结经验和规律，提高解题速度。
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧
摘要：
一、折叠问题的概念及分类
二、折叠问题的解题技巧
1.观察特殊图形法
2.相对面不相邻法
三、折叠问题在中考中的重要性
四、总结
正文：
一、折叠问题的概念及分类
折叠问题是指将一个平面图形通过折叠的方式，转变成另一个平面图形的问题。
它主要考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
折叠问题可以分为两类：一类是给出一个平面图形，要求在四个备选的图形中选出可以由左侧图形折叠而成的一个；另一类是给出一个立体图形，要求通过折叠将其变成一个平面图形。
二、折叠问题的解题技巧
1.观察特殊图形法
在解决折叠问题时，可以先观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置。
然后对比选项，与之不符的直接排除。
这样可以缩小答案范围，提高解题效率。
2.相对面不相邻法
空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。
即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案。
违背这些特征的，便是错误选项。
三、折叠问题在中考中的重要性
折叠问题是我国中考数学判断推理的一个必考题型。
它对学生的空间想象能力和逻辑思维能力有较高的要求，同时也是检验学生综合运用数学知识解决实际问题的能力的重要途径。
因此，掌握折叠问题的解题技巧，对于提高中考数学成绩具有重要意义。
四、总结
总之，折叠问题作为中考数学中的一个重要题型，需要我们熟练掌握其解题技巧。
通过观察特殊图形法和相对面不相邻法，可以帮助我们在解决折叠问题时更好地把握答案，提高解题正确率。
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧【实用版3篇】目录（篇1）1.初二数学四边形折叠问题的背景介绍2.四边形折叠问题的解决方法3.解决四边形折叠问题的方法和技巧4.总结正文（篇1）一、初二数学四边形折叠问题的背景介绍四边形折叠问题是初二数学几何知识中的重要内容，旨在帮助学生掌握四边形的性质和几何变换。
通过解决这类问题，学生可以更好地理解几何概念，提高空间想象能力。
二、四边形折叠问题的解决方法1.确定折叠后图形的形状2.确定对应边、对应角的关系3.利用几何变换的性质解决问题三、解决四边形折叠问题的方法和技巧1.确定折叠后图形的形状：首先，需要明确折叠后四边形的形状，可以通过已知条件进行分析或通过几何变换得到。
2.确定对应边、对应角的关系：在确定形状的基础上，需要找到折叠前后的边、角之间的关系。
可以利用全等或相似三角形的性质，或通过几何变换得到。
3.利用几何变换的性质解决问题：在解决四边形折叠问题时，可以利用几何变换的性质，如平移、旋转、对称等，将问题转化为简单的几何问题。
四、总结四边形折叠问题是初二数学几何知识中的难点，需要学生掌握几何变换的性质和对应边、角的关系。
目录（篇2）1.初二数学四边形折叠问题的概述2.四边形折叠问题的技巧和方法3.运用技巧和方法解决实际问题4.总结正文（篇2）一、初二数学四边形折叠问题的概述四边形折叠问题是初二数学几何知识中的重要内容，旨在培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
该问题通过折叠四边形，让学生在观察、比较和推理中理解四边形的性质和特征。
二、四边形折叠问题的技巧和方法1.观察和分析：通过观察四边形的形状和特点，分析其边长、角度和周长等几何性质。
2.归纳和演绎：通过对已知的四边形折叠问题的归纳，运用演绎法推导出新的结论。
3.归纳法：通过对大量四边形折叠问题的观察和分析，归纳出解决问题的方法和规律。
4.类比法：将已知的四边形折叠问题中的条件和结论进行类比，推导出新的结论。
四边形中的折叠问题+应用题
FE DABC四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。
解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。
一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ． （1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '．（1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明16．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．18．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE ＝ED ，P 是对角线BD 上任意一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足NEFMD'A'B'C'ABCDF E DC B A分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．分式方程和不等式应用题：1．（2011•德阳）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表：购进数量（件）所用资金（元）第一批x 16000第二批2x 34000（1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？1200135010001200B A 售价（元/件）进价（元/件）价格商品2．（2011•河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？3．（2011•防城港）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元． （1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？二元一次方程组和不等式的应用:1．茶叶作为一种饮料不仅清香可口，而且具有独特的药用价值，特别是绿茶中含有较多的 叶酸，对人的健康很有帮助，某批发茶商第1次用39万元购进A 、B 两种品牌绿茶，销售完 后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）（1）该茶商第1次购进A 、B 两种绿茶各多少件？（2）该茶商第2次以原价购进A 、B 两种绿茶，购进B 种绿茶的件数不变，而购进A 种绿 茶的件数是第1次的2倍，A 种绿茶按原价销售，而B 种绿茶打折销售，若两种绿茶销售完毕， 要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则B 种绿茶最低售价为每件多少元？2．（2012•包头）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？3． 为了防控甲型H7N9禽流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？二次函数周长最小问题：如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，0）、B （6，0）、C （0，32 ），抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点。
中考数学冲刺专题突破：专题二 特殊四边形中的折叠问题 (学生版+解析版)
中考数学冲刺 专题突破 特殊四边形专题二 特殊四边形中的折叠问题【专题说明】特殊四边形中的折叠问题在中考中经常出现，是近年来一个比较热门的考点.这个主题内容是专门利用折叠的本质和性质来研究特殊四边形与折叠结合的问题，达到训练以及考查学生综合运用知识的能力.【类型】一、菱形中的折叠问题【精典例题】1、如图，菱形纸片ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，折叠纸片使点A 与点O 重合，折痕为EF ，若AB ＝5，BD ＝8，则△OEF 的面积为( )A ．12B ．6C ．3 D.32【精典例题】2、如图，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP(P 为AB 的中点)所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE.若∠A ＝60°，则∠DEC 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【精典例题】3、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB′E ，AB′与CD 边交于点F ，则B′F 的长度为( )A ．1 B. 2 C ．2－ 2 D ．22－2【精典例题】4、菱形ABCD 的边长是4，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别在边AD ，AB 上，且MN ⊥AC ，垂足为P ，把△AMN 沿MN 折叠得到△A′MN ，若△A′DC 恰为等腰三角形，则AP 的长为_________________【类型】二、正方形中的折叠问题【精典例题】5、如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB＝4，则FM的长为( )A．4 B．2 3 C．2 2 D．2【精典例题】6、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________【精典例题】7、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为.【类型】三、矩形中的折叠问题【精典例题】8、如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是( )A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．28 cm【精典例题】9、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形的一角沿AC折叠，则重叠阴影部分△AFC的面积为( )A．14 B．12 C．10 D．8【精典例题】10、一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为( )A. 2 B．2 2 C．1 D．2【精典例题】11、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝_____.【精典例题】12、如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC 沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____________.【精典例题】13、如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于____．【精典例题】14、折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上．若AB＝AD＋2，EH＝1，求AD的长．【精典例题】15、在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C 翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．【精典例题】16、如图①，在矩形ABCD中，AB＞BC，将它沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.(1)如图②，若AB＝8，AD＝4，当M点与D点重合，求BE；(2)如图③，当M为AD的中点，求证：EP＝AE＋DP.【精典例题】17、如图，矩形A1B1C1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处；沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点．(1)求证：四边形BEFG是平行四边形；(2)连接B1B，判断△B1BG的形状，并写出判断过程．【精典例题】18、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.【精典例题】19、如图①，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在DC 上的点A′处，然后将矩形展平，如图②，沿EF 折叠，使点A 落在折痕DE 上的点G 处．再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时点B 恰好落在DE 上的点H 处．(1)求证：EG ＝CH ；(2)已知AF ＝2，求AD 和AB 的长．【精典例题】20、如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN的值．中考数学冲刺 专题突破 特殊四边形专题二 特殊四边形中的折叠问题【专题说明】特殊四边形中的折叠问题在中考中经常出现，是近年来一个比较热门的考点.这个主题内容是专门利用折叠的本质和性质来研究特殊四边形与折叠结合的问题，达到训练以及考查学生综合运用知识的能力.【类型】一、菱形中的折叠问题【精典例题】1、如图，菱形纸片ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，折叠纸片使点A 与点O 重合，折痕为EF ，若AB ＝5，BD ＝8，则△OEF 的面积为( )A ．12B ．6C ．3 D.321. C【精典例题】2、如图，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP(P 为AB 的中点)所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE.若∠A ＝60°，则∠DEC 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2. D在直线翻折得△AB′E ，AB′与CD 边交于点F ，则B′F 的长度为( )A ．1 B. 2 C ．2－ 2 D ．22－23. C足为P ，把△AMN 沿MN 折叠得到△A′MN ，若△A′DC 恰为等腰三角形，则AP 的长为_________________4【类型】二、正方形中的折叠问题【精典例题】5、如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB＝4，则FM的长为( )A．4 B．2 3 C．2 2 D．2【精典例题】6、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________6. 16或45AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为.【精典例题】8、如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是( )A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．28 cm8. C【精典例题】9、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形的一角沿AC折叠，则重叠阴影部分△AFC 的面积为( )A．14 B．12 C．10 D．8【精典例题】10、一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为( )A. 2 B．2 2 C．1 D．210. A知△DGH＝30°，连接BG，则△AGB＝_____.11. 75°沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____________.【精典例题】13、如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，△GFP＝62°，那么△EHF的度数等于____．13. 56°的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；△把纸片展开并铺平；△把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上．若AB＝AD＋2，EH＝1，求AD的长．14. 解：设AD＝x，则AB＝x＋2.翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.(1)如图△，若AB＝8，AD＝4，当M点与D点重合，求BE；(2)如图△，当M为AD的中点，求证：EP＝AE＋DP.【精典例题】17、如图，矩形A1111111沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点．(1)求证：四边形BEFG是平行四边形；(2)连接B1B，判断△B1BG的形状，并写出判断过程．AE.求证：(1)BF＝DF；(2)AE△BD.18. 证明：(1)由折叠的性质可知，△FBD ＝△CBD ，△AD△BC ，△△FDB ＝△CBD ，△△FBD ＝△FDB ，△BF 【精典例题】19、如图△，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在DC 上的点A′处，然后将矩形展平，如图△，沿EF 折叠，使点A 落在折痕DE 上的点G 处．再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时点B 恰好落在DE 上的点H 处．(1)求证：EG ＝CH ；(2)已知AF ＝2，求AD 和AB 的长．19. 解：(1)由折叠知AE ＝AD ＝EG ，BC ＝CH.△四边形ABCD 是矩形，△AD ＝BC.△EG ＝CH(2)△△ADE ＝45°，△FGE ＝△A ＝90°，AF ＝2，△DG ＝2，DF ＝2.△AD ＝2＋ 2.如图，由折叠知，△1＝△2，△3＝△4，△△2＋△4＝90°，△1＋△3＝90°.△△1＋△AFE ＝90°，△△3＝△AFE.又△△A ＝△B ＝90°，由(1)知，AE ＝BC ，△△EFA△△CEB.△AF ＝BE.△AB ＝AE ＋BE ＝AD ＋AF ＝2＋2＋2＝2＋22【精典例题】20、如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3△1，求MN DN的值．。
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学：四边形的折叠问题技巧四边形是几何学中重要的图形之一，它具有丰富的性质和应用。
在数学学习中，我们常常会遇到与四边形相关的问题。
其中一个有趣且常见的问题就是四边形的折叠问题。
本文将介绍四边形折叠问题的基本概念和解题技巧，帮助初中生更好地理解和解决这类问题。
什么是四边形的折叠问题？四边形的折叠问题是指给定一个四边形，在保持边长不变的情况下，把它折叠成二维平面上的一个点或一条线段。
常见的四边形包括正方形、长方形、平行四边形和梯形等。
这类问题常常涉及如何折叠和旋转四边形，并要求计算折叠后的形状、面积、体积等数值。
基本概念在解决四边形的折叠问题之前，先了解一些基本概念是很有帮助的。
1.边长：四边形的每条边的长度，通常用a、b、c和d表示。
2.对角线：连接四边形的两个非相邻顶点的线段，通常用e和f表示。
3.高度：以顶点为基点，垂直于底边或顶边的线段的长度，通常用h表示。
4.面积：四边形所围成的区域的大小，通常用S表示。
折叠技巧解决四边形折叠问题的关键在于理解形状的变化和如何利用对称性质。
下面将介绍常见四边形的折叠技巧。
正方形折叠技巧正方形是最简单的四边形之一，它的所有边长相等，对角线相等且互相垂直。
当折叠一个正方形时，我们可以沿着对角线折叠，从而使正方形折叠成一个边长等于对角线长度的等边三角形。
长方形折叠技巧长方形是另一种常见的四边形，它拥有两组相等的边长，且相邻边互相垂直。
当折叠一个长方形时，我们可以沿着较短的一组边折叠，从而使长方形折叠成一个等腰直角三角形。
平行四边形折叠技巧平行四边形具有两对平行边，对角线互相交叉，但长度不相等。
当折叠一个平行四边形时，我们可以选择沿着任意一条对角线折叠。
如果选择沿着短对角线折叠，平行四边形会折叠成一个与原平行四边形等面积的直角梯形；如果选择沿着长对角线折叠，平行四边形会折叠成一个与原平行四边形相等的直角三角形。
梯形折叠技巧梯形的特点是两边平行，而另外两边不平行。
与四边形有关的折叠问题
与四边形有关的折叠问题
折叠问题是指在平面上给定一个四边形，并将其沿着边线进行折叠得到不同形状的问题。
这些问题通常要求确定折叠后形状的性质或变化。
下面列举几个与四边形有关的折叠问题的例子：
1. 四边形折叠成三角形：给定一个四边形，将其沿着某条边折叠，使得折叠后的形状成为一个三角形。
问题可以是确定折叠时需要选择的边线以及折叠后得到的三角形的性质。
2. 计算折叠后的面积：给定一个四边形，将其沿着某条边折叠，重叠的部分消失，计算折叠后形成的新四边形或其他形状的面积。
问题可以是确定折叠时需要选择的边线以及如何计算折叠后形成的形状的面积。
3. 重叠与不重叠的问题：给定一个四边形，将其沿着某条边折叠，使得折叠后的形状与原始四边形重叠。
问题可以是确定是否存在这样的折叠方式以及如何找到重叠的位置。
4. 物体折叠问题：给定一个四边形的平面模型，通过折叠改变其形状以实现特定的目标。
这包括例如将平面模型折叠成一个立体模型或通过折叠实现特定的结构。
这些问题可以通过几何学的原理、数学建模和计算机模拟等方法来解决。
它们既有理论的数学性质研究，也有实际应用的工程问题。
初中数学中考平行四边形中的折叠型问题(无答案)
例3 ：如图3，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（）Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30例4：如图4，将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数为_________度图4三、正方形中的折叠问题例5 ：如图5，四边形ABCD为正方形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝8，则CF等于（）A．3 B．5 C．4 D．8图5 图6例6：如图6，已知正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度。
四、直角坐标系中关于特殊平行边形的折叠问题例7：将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10。
如图7，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；图7小结：1．对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 从而把折叠问题转化为轴对称问题，2．利用三角形（或多边形）全等可以得到对应线段、对应角相等，要善于挖掘翻折前后所提供的相等线段与角度，从而将所给条件进行转移（集中在一起）。
3．利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知结合一起列出方程来求解（方程思想）。
1．把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．则△EFG为三角形．2．如图长方形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使其点D与点B重合,点C至点C′, 折痕为EF.求AE的长.3如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A.3B.4C.5D.65，如图，将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）连接EB，求证：四边形EBFD是菱形；（2）若AB=3，BC=9，求重叠部分三角形DEF的面积．6．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．（1）求证：△ABE≌△AGF；（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，23ECBC，求AC•EF的值．7，如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．8，对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．（1）证明：∠ABE=30°；（2）证明：四边形BFB′E为菱形．9，将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．10，如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．连接CE、CF、BD，AC、BD的交点为O，若CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列结论中：①AC=BD，②EF∥BD，③S=AC四边形AECF11，如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式。
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧一、引言在初二数学的学习中，四边形是一个重要的知识点，而四边形的折叠问题又是四边形中的一个难点。
很多同学在解决这类问题时感到无从下手，其实只要掌握了相应的技巧，就能轻松解决这类问题。
本文将详细介绍解决四边形折叠问题的技巧，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
二、技巧一：明确折叠前后的图形关系在解决四边形折叠问题时，首先要明确折叠前后的图形关系。
通常，折叠后会有折痕，而折叠前后的图形可以通过折痕进行重合。
因此，要仔细分析折叠前后的图形，找出它们之间的联系和区别。
三、技巧二：利用轴对称性解题四边形是轴对称图形，而折叠问题通常可以利用轴对称性来解题。
通过分析折叠前后的图形，找出轴对称性，可以帮助我们快速找到解题思路。
四、技巧三：掌握常见折叠问题的解决方法四边形的折叠问题通常有几种常见题型，如折叠后一个角的大小变化、折叠后四边形的形状变化等。
对于这些常见题型，我们需要掌握相应的解决方法。
例如，可以通过计算折叠后各角度的大小，来判断四边形的形状；可以通过比较折叠前后的边长关系，来判断折叠后是否重叠。
五、技巧四：善于运用辅助线在解决四边形折叠问题时，有时候需要添加辅助线来帮助解题。
辅助线的添加需要根据题目的具体情况来决定，但只要善于运用，就能帮助我们更快地找到解题思路。
六、例题解析通过以下例题，我们可以更好地掌握上述技巧。
【例题】：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于点E，点F在BD上，将四边形ABFC沿BD折叠，点A、C恰好落在点F处，已知∠ABC=60°，BD=8cm。
求：沿BD折叠后四边形ABFC的形状。
分析：首先需要明确折叠前后的图形关系，即BD是折痕。
根据题意可知，沿BD折叠后点A、C落在点F处，因此可以得出∠AFB=∠ABC=60°。
另外，根据已知条件可知BD=8cm，因此可以通过计算各角度的大小来得出四边形ABFC的形状。
四边形中的折叠问题孙福荣课件
四边形中的折叠问题孙福荣课件一、教学内容本节课我们将探讨《四边形中的折叠问题》，教学内容主要围绕初中数学教材中的“空间与图形”章节，特别是折叠图形的对称性和性质。
具体内容包括：理解折叠的基本概念，掌握折叠过程中四边形边长和角度的变化规律，以及运用折叠性质解决实际问题。
二、教学目标1. 理解并掌握折叠图形的基本概念，能够识别不同的折叠方式。
2. 学习并运用折叠过程中四边形边长和角度的变化规律，解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：折叠过程中四边形边长和角度的变化规律。
教学重点：理解折叠图形的概念，以及运用折叠性质解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、折叠模型。
学具：彩纸、剪刀、直尺、量角器。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的折叠现象，如纸飞机、折扇等，引出本节课的主题——四边形中的折叠问题。
2. 知识讲解：（1）介绍折叠图形的基本概念，让学生了解折叠图形的分类。
（2）讲解折叠过程中四边形边长和角度的变化规律，通过实际操作让学生感受折叠的性质。
（3）通过例题讲解，让学生学会运用折叠性质解决实际问题。
3. 随堂练习：（1）让学生动手折叠四边形，观察并记录折叠过程中的变化。
（2）解答练习题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 折叠图形的基本概念2. 折叠过程中四边形边长和角度的变化规律3. 例题讲解及解答步骤4. 课堂小结七、作业设计1. 作业题目：（1）折叠一个正方形，求折叠后得到的长方形的周长和面积。
（2）将一个正三角形沿一条边折叠，使顶点A落在底边BC上，求折叠后得到的三角形BDC的面积。
2. 答案：（1）周长：原正方形周长的一半；面积：原正方形面积的四分之一。
（2）三角形BDC的面积等于原正三角形面积的一半。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践操作和例题讲解，让学生掌握了折叠图形的性质和运用。
但在教学过程中，要注意关注学生的动手能力和空间想象能力的培养。
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F
D
四边形中的折叠问题
折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边
形中经常会遇到折叠问题。
解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。
一、例题讲解
例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ．
（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，
四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）
（1）证明：由题意可知21∠=∠，
∵AD ∥BC , ∴31∠=∠. ∴32∠=∠. ∴MF ME = 同理 FM FN =. ∴FN ME =. 又∵ME ∥FN ,
∴四边形MNFE 是平行四边形.
（2）60
例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.
（1）求证：△FAC 是等腰三角形；
（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.
（1）证明：由题意可知△AB C ≌△ACD ≌△ACE, 所以∠DAC=∠ACE,所以△FAC 是等腰三角形； （2）解：设CF=AF=x ，且AD=BC=6,CD=AB=4 Rt △CDF 中，DF=AD-AF=6-x 由勾股定理得，2
2
2
4(6)x x +-= 133
x =
N
E
F
M
D'
A'B'
C'
A
B
C D
N
E F M
D'
A'B'
C'
A
B
C D 1
2 3
6-x=
5
3
Rt △ABC 中，AC=213 △FAC 的周长=
26
3
+213 △FAC 的面积=△ACD 的面积-△CDF 的面积=
263
例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知
cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长． 解：由题意可知△ADE ≌△AFE . ∴AF AD =，FE DE =.
在矩形ABCD 中，
16==AB CD ，CB AD =，︒=∠=∠=∠90D C B ,
∵6=CE ,
∴10=-==CE CD DE EF .
在Rt △CEF 中，822=-=
CE EF FC .
设x BF =，则x BF FC BC +=+=8, ∴x BC AD AF +===8.
在Rt △ABF 中，222AF BF AB =+, 即2
2
2
)8(16x x +=+,
解得 12=x ，即12=BF （cm ）.
例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '． （1）求证：四边形CDC E '是菱形；
（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明．
（1）证明：根据题意可知CDE C DE '△≌△，
CD C D
C DE CDE CE C E '''∴===，，∠∠． A
D BC ∥，C D
E CED '∴=∠∠．
CDE CED ∴=∠∠．CD CE ∴=． CD C D C E CE ''∴===．
∴四边形CDC E '为菱形．
（2）解：当BC CD AD =+时，四边形ABED 为平行四边形． 证明：由（1）知CE CD =．
又BC CD AD =+，BE AD ∴=．
又AD BE ∥，∴四边形ABED 为平行四边形．
F
E
D
C
B A。