7-双曲型方程的差分方法(4)

已知边界条件
(1)一阶差商 (2)二阶差商
利用第二个方程： 利用第二个方程：
n v0 +1 = v1n +1 n n 3v0 +1 − 4v1n +1 + v2 +1 = 0
v
n +1 0
∂v(0, t ) ∂u (0, t ) = , t >0 ∂t ∂x
= v + λ (u − u )
n 0 n 1 n 0
n +1 0 n 0
（ = （Q） u + 1 − ar）u u =
n 1 n 1 n 0
n 0
= u + ar u − u ） （
实际上是迎风格式
注：采用插值法构造边界条件要用内插公式， 采用插值法构造边界条件要用内插公式， 使用外推方法往往是不行。 使用外推方法往往是不行。即要用稳 定的格式构造边界条件. 定的格式构造边界条件. 例如：下面的两个不可用的边界条件
n +1
(
)
(
)
− λ 2 (a sin k 1 h − b sin k 2 h)
2
1 2 2 2 ≤ 1 − sin k 1 h + sin k 2 h − λ a + b 2
2 2
(
)
(
)
如果 λ a + b
∂u II ： + α 0 (t )u ∂x ∂u = η 0 (t )， + α 1 (t )u x =0 ∂x
x=l
= η 1 (t )
若取网格： 若取网格：
x j = jh ， j = 0 ,1 , … , J ， t n = n τ ， h = l J
需要附加边界条件
v
n +1 0
方法一、 方法一、从特征形式出发
∂v ∂v +Λ = 0, x > 0, t > 0 特征型: 特征型: ∂t ∂x 1 0 T −1 −1 v = S u = (ξ ,η ) , Λ = S AS = 0 − 1 1 1 1 1 1 − 1 −1 S= , S = 2 1 1 2 − 1 1
1、一阶双曲型方程边界条件的处理
设有限区域内的对流方 程： ∂u ∂u +a x ∈ (0, l ), t > 0 =0 ∂t ∂x
初值： 初值： u (x ,0 ) = f (x )
x ∈ (0 , l )
如何正确给出边界条件 ？
若 a > 0，区域 {( x , t ) 0 < x < l , t ≥ 0} 条件， 的右边界不能给出边界 条件， 左边需给出边界条件： 左边需给出边界条件： u(0, t ) = g (t )， t > 0且 g (0 ) = f (0 )。
一般设 ∆ x = ∆ y = h，有：
(1) Lax-Friedrichs格式： 格式： 格式 1 n n+1 u j ,m − u j ,m +1 + u n,m −1 + u n+1,m + u n−1,m j j j 4 u n+1,m − u n−1,m u n,m +1 − u n,m −1 j j j j +a +b =0 2h 2h
∂u (2h) ∂ u u ( L − 2 h) = u ( L ) − 2h | x = L + | x = L +O ( h 3 ) ∂x 2 ∂x 2
2 2
得方程组
a + b + c = 0 −b − 2c = 1; b / 2 + 2c = 0
3 1 a = , b = −2, c = 2 2
用u1 , u2两点的值作线性插值，外推得u0的值
u =2u − u
n 0 n 1
n 2
再如（对边值不稳定） 注、改进即为上页（2） 改进即为上页（ ）
u
n +1 0
=u
n −1 0
+2λ (u − u )
n 1 n 0
2、一阶双曲型方程组边界条件的处理
双曲型方程组： 双曲型方程组： ∂u ∂u + A = 0， x ∈ (0 , l ), t > 0 ∂t ∂x
二阶精度的边界条件
− 3u + 4 u − u n n n + α 0 u0 = η 0 2h II ： n n n 3 u J − 2 − 4 u J −1 + u J + α n u n = η n 1 J 1 2h
n 0 n 1 n 2
5.2、一阶线性双曲型方（ 5.2、一阶线性双曲型方（组)的边界条件
计算v
n +1 0
, 就转化为计算η
n +1 0
n 0
采用迎风格式
η
n +1 0
= η + λ (η − η )
n 0 n 1
方法二、 方法二、从方程本身出发
u (0, t ) = 0 ∂u (0, t ) 有： = 0, t > 0 ∂t ∂u (0, t ) ∂v(0, t ) 利用第一个方程： 利用第一个方程： = = 0, t > 0 ∂t ∂x
第五节 双曲型方程及方程组的 初边值问题
5.1、 5.1、二阶双曲型方程的边界处理
波动方程： 波动方程： ∂ 2u ∂ 2u = a2 ∂t 2 ∂x 2 0 < x < l,t > 0
边界条件： 边界条件：
I ： u (0 , t ) = µ 0 (t )， u (l , t ) = µ 1 (t )
完全相反， 若 a < 0，完全相反， 需在右侧给出边界条件 ：
u(l , t ) = g (t )， t > 0且 g (0 ) = f (l )。
数值边界处理的例子
∂u ∂u , ） ∂x + a ∂t = 0（a < 0 0 < x < 1, t > 0 , 例：对流方程 u( x ,0) = g ( x ),0 < x < 1 u(1, t ) = ϕ ( x ), t > 0 考虑跳蛙格式： j 考虑跳蛙格式： u n+1 = u n −1 − ar ( u n+1 − u n−1 ) j j j
n − u0 n + α 0n u 0 = η 0n h n − u J −1 n + α 1n u J = η 1n h
构造二阶精度的边界条件
au0 + bu1 + cu2 ∂u 2 |x=0 = + o(h ) ∂x h
确定a,b,c
∂u h 2 ∂ 2u u (h) = u (0) + h |x =0 + | x = 0 +O ( h 3 ) ∂x 2 ∂x 2 ∂u (2h) 2 ∂ 2u u (2h) = u (0) + 2h |x =0 + | x = 0 +O ( h 3 ) 2 ∂x 2 ∂x
T
∂u I ∂u I + Λ1 =0 ∂t ∂x ∂u III ∂u III + Λ3 =0 ∂t ∂x
∂ u II ∂t
= 0
u I 是向左前进的，故需在 x = l 处给出边界条件 是向左前进的，
u I (l , t ) = g I (t )，且： g I (0 ) = u I (l , 0 ) = f I (l )
？
得方程组
a + b + c = 0 b + 2c = 1; b / 2 + 2c = 0
3 1 a = − , b = 2, c = − 2 2
右边界
auJ + buJ −1 + cuJ −2 ∂u 2 |x=J = + o(h ) ∂x h
确定a,b,c
∂u h 2 ∂ 2u u ( L − h ) = u ( L ) − h |L + | x = L +O ( h 3 ) ∂x 2 ∂x 2
T
初始条件： 初始条件： u ( x ,0 ) = f ( x ) = ( f 1 , … , f p )
不失一般性， 不失一般性，可设
Λ1 A=Λ = 0 Λ3
λ1 Λ1 =
其中： 其中： u = (u 1 , … , u p ) ， A = (a ij ) p × p = const
T
λ2
<0 ⋱ λr
0 表示 (m − r + 1 ) × (m − r + 1 ) 的零矩阵。 的零矩阵。
λm − Λ3 =
λ m +1
<0 ⋱ λp
方程可分Байду номын сангаас为： 这样 u = (u I , u II , u III ) ，方程可分裂为：
例：考虑微分方程组（半无界问题） 考虑微分方程组（半无界问题）
∂u ∂u +A = 0, ∂t ∂x
x >0, t >0
0 −1 其中： u =（u，v），A = −1 0
定解条件为： 定解条件为：
u (0, t ) = 0 u ( x, 0) = ϕ ( x) v( x, 0) = g ( x)
u II向上传播，不需要任何 边界条件。 向上传播， 边界条件。
u III 向右传播，需给出 x = 0处的边界条件： 向右传播， 处的边界条件：
u III (0, t ) = g III (t )，且：g III (0) = u III (0,0) = f III (0)