二项式定理及二项式系数的性质应用习题课
二项式定理(精讲)(原卷版)
8.2二项式定理（精讲）一．二项式定理1.二项式定理：（a ＋b ）n ＝C n 0a n ＋C n 1a n －1b 1＋…＋C n k an －k b k ＋…＋C n n b n（n ∈N *） ①项数为n ＋1②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列， 从第一项起，次数由零逐项增1直到n .2.通项公式：T k ＋1＝C n k an －k b k =g （r ）·x h （r ）它表示第k ＋1项①h （r ）＝0∈T r ＋1是常数项； ②h （r ）是非负整数∈T r ＋1是整式项； ③h （r ）是负整数∈T r ＋1是分式项； ④h （r ）是整数∈T r ＋1是有理项.3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为C n 0，C n 1，…，C n n .二.二项式系数的性质一．形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①写出二项展开式的通项公式T k ＋1＝C n k an －k b k ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)； ②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；③把k 代入通项公式中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量． 二．求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 ①根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；②根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到； ③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量． 三.求二项式系数最大项1.如果n 是偶数，那么中间一项(第n2+1项)的二项式系数最大； 2，如果n 是奇数，那么中间两项(第n+12项与第n+12+1项)的二项式系数相等且最大.四.求展开式系数最大项求（a ＋bx ）n （a ，b ∈R ）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用{A k ≥A k -1,A k ≥A k+1,解出k .五．求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解 方法二：两次利用二项展开式的通项求解方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量 六．二项式定理应用1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．考点一 二项式定理的展开式【例1】（2023广西柳州）化简2341632248x x x x -+-+=（ ） A ．4x B ．()42x -C ．()42x +D ．()412x -【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）设A ＝37＋27C ·35＋47C ·33＋67C ·3，B ＝17C ·36＋37C ·34＋57C ·32＋1，则A －B 的值为( ) A ．128B ．129C ．47D ．02．（2023·重庆九龙坡）1231261823n n n n n n C C C C -+++⋯+⨯=A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 考点二 二项式指定项的系数【例21】（2023·全国·高三专题练习）在二项式82x ⎫⎪⎭的展开式中，含x 的项的二项式系数为（ ）A ．28B ．56C ．70D ．112【例22】（2022·甘肃兰州·统考一模）6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．40B ．40C ．20D ．20【例23】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）6211(2)2x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．180【例24】（2023·四川绵阳·统考二模）()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【一隅三反】1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式x x - ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的二项式系数为（ ）A ．5B ．5-C ．10D ．10-2．（2023·河南驻马店·统考二模）51(1)2x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．－112B ．－48C ．48D ．1123．（2023·全国·高三对口高考）在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）A ．7-B ．7C ．358-D ．358考点三 三项式指定项系数【例3】（2023·全国·高三专题练习）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ）A ．252B ．220C ．220D ．252【一隅三反】1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）()52x x y -+的展开式中52x y 的系数为（ ）A ．10-B ．10C ．30-D ．302．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）6(23)x y z +-的展开式中23xy z 的系数为 （用数字作答）．3．（2023秋·福建三明·高三统考期末）512x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是 .（答案用数字作答）4．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ．考点四 二项式系数性质【例4】（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）()612x +的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．160B ．240C ．3160xD ．4240x【一隅三反】1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）x x + ⎪⎝⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是252-，则下列说法正确的是（ ）A ．10n =B ．各项的二项式系数之和为1024C ．1a =-D ．各项的系数之和为10242．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知(12)n x -的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为 ．考法五 系数最大项和系数和【例51】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）()82x +的二项展开式中系数最大的项为 . 【例52】．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数()()626012612f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+（i a ∈R ，0,1,2,3,,6i =⋅⋅⋅）的定义域为R ，则（ ）A ．01261a a a a +++⋅⋅⋅+=-B ．135364a a a ++=-C ．123623612a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．()5f 被8整除余数为1【一隅三反】1．（2023·全国·模拟预测）81x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为（ ）A ．70B ．56C ．3556x y 或5356x yD ．4470x y2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知()13nx +的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为第（ ）A ．7项B ．8项C ．9项D ．10项 3．（2023春·山东青岛）（多选）已知9290129(12)x a a x a x a x +=++++，则（ ）A ．2144a =B ．9012893a a a a a +++++=C ．81379024682a a a a a a a a a +++=++++= D ．(0,1,2,,8,9)i a i =的最大值为6a4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若()()()()102100121021111x a a x a x a x -=+-+-++-，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．1012103a a a +++=C ．2180a =D ．9123102310103a a a a ++++=⨯考法六 二项式定理的应用【例61】（2023春·课时练习）设n 为奇数，那么11221111111111n n n n n n n C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-除以13的余数是（ ）A ．3-B ．2C ．10D ．11【例62】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（ ） A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【例63】（2023·全国·高三专题练习）6(1.05) ． 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）81.02≈ （小数点后保留三位小数）． 2．（2023·辽宁丹东·统考一模）282除以7所得余数为 ． 3．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈ （精确到0.01）。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
课时作业1：§3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用
第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用1．在(a ＋b )n 的二项展开式中，与第k 项的二项式系数相同的项是( )A ．第n －k 项B ．第n －k －1项C ．第n －k ＋1项D ．第n －k ＋2项 答案 D解析 第k 项的二项式系数是C k －1n ，由于C k －1n ＝C n －k ＋1n ，故第n －k ＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．2．已知(1＋x )n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 B解析 ∵展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n ＝12，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，∴展开式中奇数项的二项式系数之和为2122＝211. 3．若(1＋ax )5展开式的系数和为243，则a 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．3答案 C解析 令x ＝1，∴(1＋a )5＝243＝35，∴1＋a ＝3，∴a ＝2.4．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N ＋)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A ．81B ．27C ．243D ．729答案 A解析 由C 2n ＋620＝C n ＋220，可得n ＝4(n ＝－4舍)．令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝81.5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．792答案 B解析 ∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n ，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C 511＝C 611＝462. 6．若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．答案 5解析 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.7．已知⎝⎛⎭⎫14＋2x n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项为________．答案 358x 4 解析 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T 5＝C 48×144×(2x )4＝358x 4. 8．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝________.答案 7解析 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12.令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12，∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.9．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12， 即所有奇数项系数之和为59－12. 10．已知(1＋mx )n (m 为正实数)的展开式的二项式系数之和为128，展开式中含x 2项的系数为84.(1)求m ，n 的值；(2)求含x 奇数次幂的系数和．解 (1)(1＋mx )n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n (mx )k ＝m k ·C k n ·x k ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＝128，m 2C 2n ＝84，m >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，m ＝2. (2)(1＋mx )n ＝(1＋2x )7，令(1＋2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令含x 的奇数次幂的系数和＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7.令x ＝1，得37＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7，令x ＝－1，得－1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7，两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝37＋12＝1 094， 所以含x 的奇数次幂的系数和为1 094.11．(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为( )A ．21B ．35C ．45D ．28答案 B解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x )k ＝3k C k n x k ，又由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，因此，x 4的二项式系数为C 47＝35，故选B.12．已知2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，则实数a 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析 由于2×1010＋a ＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a 能被11整除，可知a ＝9.13．(多选)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中第5项是含x 的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是( )A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第11项 答案 CD解析 因为展开式的第5项为T 5＝C 4n 4-43n x -，所以令n －43－4＝1，解得n ＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD.14．设m 为正整数，(x ＋y )2m 的展开式中二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.答案 6解析 (x ＋y )2m 的展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1.∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1. ∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！.∴m ＝6.15．(多选)(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝－1，b ＝－2，n ＝5答案 AD解析 只要令x ＝0，y ＝1，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b )n ，令x ＝1，y ＝0，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含y 的项的系数的和为(1＋a )n .如果a ，b 是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a ，b 中有负值，相应地，分别令y ＝－1，x ＝0；x ＝－1，y ＝0.此时的和式分别为(1－b )n ，(1－a )n ，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b |)n ，(1＋|a |)n .根据题意得，(1＋|b |)n ＝243＝35，(1＋|a |)n ＝32＝25，因此n ＝5，|a |＝1，|b |＝2.故选AD.16．已知(1＋m x )n (m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x 项的系数为112.(1)求m ，n 的值；(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；(3)求(1＋m x )n (1－x )的展开式中含x 2项的系数． 解 (1)由题意可得2n ＝256，解得n ＝8，∴展开式的通项为T k ＋1＝C k 8m k 2k x ， ∴含x 项的系数为C 28m 2＝112， 解得m ＝2或m ＝－2(舍去)．故m ，n 的值分别为2,8.(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C 18＋C 38＋C 58＋C 78＝28－1＝128. (3)∵(1＋2x )8(1－x )＝(1＋2x )8－x (1＋2x )8，∴含x 2项的系数为C 4824－C 2822＝1 008.。
二项式定理及二项式系数的性质应用习题课
11n1
C1 n1
11n
Cn n1
11
(1)n1
C n1 n1
1
拓展延伸
2.展开式 (1 x 1 )7 的常数项是_______. x
3.展开式 (1 x x3)8 中x7的系数是_______. 变：展开式 (1 x)6 (1 x x2 )5 中x7的系数是_______.
二项式定理、 二项式系数性质的应用
复习提问 : 二项式定理的内容是什么？
(a b)n Cn0anCn1an1b Cnmanmbm Cnnbn(n N * )
叫做二项式系数
通项公式
Tm1 Cnma nmbm
（1 x)n 1 C1n x Cn2 x2 Cnm xm Cnn xn
二项式系数的4个性质
C100 100
拓展延伸
1.如果
9n1
C1 n1
9n
C2 n1
9n1
是11的倍数，则( )
C n1 n1
92
Cn n1
9
A、n为任意整数
B、n为偶数
C、n为奇数
D、n为11的倍数
9n1
C1 n1
9n
C2 n1
9n1
(9 1)n1 1
C n1 n1
92
Cn n1
9
C n1 n1
1
(111)n1 1
拓展延伸
4. 在(1 x x2 x100 )3 的展开式中,x100项的系数
是__________.
5. 多项式 1 x x2 x16 x17 可以写成 a0 a1 y a2 y2 a17 y17,其中y=1+x,ai(i=1,2,…17)
是常数,则a2=______.
7.4.2二项式系数的性质及应用(教学课件)-高中数学苏教版(2019)选择性必修第二册
D. a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝0
1
2
3
4
5
内容索引
【解析】 展开式中所有项的二项式系数和为 C02 022 ＋C12 022 ＋…
2 022
＋C22 022
，故 A 正确；
展开式中第 1 012项的二项式系数为 C12 011
022 ＝2
022 ，
是所有项的二项式系数中的最大值，故 B 正确；在二项展开式中，令
+ 3 ∙∙∙
+ 4 ∙∙∙ 40 41 42
43
44
4
5
3
2
0
1
5
5 5
5
5
( + )
5
5
(
开方作法本原图
+ )6 60 61
62
63
64
65
66
二项式系数表的值与杨辉三角的值对应相等．
2. 你能从中发现二项式系数有什么特点？
【解析】 ①每一行中的二项式系数是对称的；②每行两端都是
2 022
2 022
＋C22 022 512 020 ＋…＋C22 021
＋a 能被 17 整
022 51＋C2 022 ＋a，因为 52
除，且 C02 022 512 022＋C12 022 512 021＋C22 022 512 020＋…＋C22 021
022 51 能被 17
022
整除，故 C22 022
《黄帝九章算法细草》
开方作法本原图
13世纪 杨辉
《详解九章算法》
内容索引
问题探索
1.观察下图和二项式系数表，你能发现什么规律？
(完整版)二项式知识点+十大问题+练习(含答案),推荐文档
3Sn Cn1 3 Cn2 32 Cn333 Cnn 3n Cn0 Cn1 3 Cn2 32 Cn333 Cnn 3n 1 (1 3)n 1
Sn
(1 3)n 3
1
4n 1 3
题型二：利用通项公式求 xn 的系数；
例：在二项式 ( 4 1 3 x2 )n 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ，求含有 x3 的项的系数？ x
(a
1)n
2
(a
1) n
(
)
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数
n
Cn2 取得最大值。
n1
如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 Cn 2 ,
n1
Cn 2 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是
Cn0 , Cn1, Cn2 ,, Cnr ,, Cnn. 项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令 a 1,b x,
(1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnr xr Cnn xn (n N )
解：由条件知
C n2 n
45 ，即 Cn2
45 ，n2
n
90
0 ，解得 n
9(舍去)或
n
10
，
由
Tr 1
C1r0
(
x
1 4
)10r
(
x
2 3
)
r
C x r
10r 2 r 43
10
，由题意 10 r 4
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第三章第2课时二项式系数的性质、杨辉三角、二项式定理的应用
(2)令x+1=-1,即x=-2,得(-2)3+(-2)10=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,
故a0-a1+a2-a3+…-a9+a10=1 016.
探究三
二项式系数性质的应用
【例3】 已知
2
3
+ 3 2 的展开式中,各项系数和与二项式系数和的比为
32∶1,求展开式中二项式系数最大的项.
)+(C22 + C32 +…+C10
+ C11
)
3
=(2+3+4+…+10)+C12
(2+10)×9
=
+220=274.
2
反思感悟
解决与杨辉三角有关问题的一般思路
【变式训练1】 如图,在杨辉三角中,第
行中从左到右第14个数
与第15个数的比为2∶3.
解析:设第n行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3,
数和为B,则A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+…,由题意,知B-A=38.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+…)-(a1+a3+a5+…)
=(-3)n.
∴B-A=(-3)n,∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.
由二项式系数的性质,可得 C1 + C2 + C3 +…+C =2n-C0 =28-1.
,偶数项系数之和为
5.2二项式系数的性质
展开式的通项为
4
1
3 3
r=4,可得
r=3,故C
a
=7,易得
a=
.
8
3
2
1
答案 2
4
Tr+1=C8 ar 8-3 ,令
8-
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题型一
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典例透析
随堂演练
题型二
1 10
(2)解① +
的展开式的第
2
1 4
1 4 12
1 4
105 10
4
=
C
·
·
x
·
=
x .
10
2
2
8
2
②设第 k+1 项为常数项,则
1
A.-1
B. 2
解析C5
知识梳理
10,则实数 a 等于(
C.1
2r-5=3,得 r=4.
D.2
)
随堂演练
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1
2
3
4
知识梳理
典例透析
5
3.设(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则
a1+a2+…+a6=
.
答案:120
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1
2
4
2
-10
又第 6 项为常数项,∴ 3 =0,∴n=10.
5
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r
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(2)求(1+x)10的展开式中,系数最大的项;
(3)求(1-2x)7的展开式中,系数最大的项;
小
1.二项式定理:
2.二项展开式的通项: 3.二项定理的应用: (1)通项的应用; (2)系数的相关计算;
结
(3)利用展开式证明相关问题;
0 99 100
（C 7 C ） 1 7
余数是1， 所以是星期六
探究：
例2、若将
8
100 除以9，则得到的余数是多少？
100
C 9
8
100
0 100 100
1） （9
C 9 C 9
1 99 100
99 1 100 100 0 100
m 100 m 100
(5)求 | a1 | | a2
| | a3 | | a100 |
典型例题
2.求和:
S 3C 7C 11C (4n 3)C
0 n 1 n 2 n
n n
4.求和:
S 1 C
2 100
C
4 100
C
6 100
C
100 100
拓展延伸
1 1 2 1.如果 9n1 C1 1 9n C2 1 9n Cn 1 9 Cn 1 9 n n n n
求 a0+ a2+a4+a6的值
典型例题
1.设 (2 (1)求a0; (2)求 a1 (3)求 a1
3x)
100
a0 a1 x a2 x a100 x
2
100
a2 a3 a100
;
a3 a5 a99 ; 2 2 (4)求 (a0 a2 a4 a100 ) (a1 a3 a5 a99 )
(4)如果是 8
100
天后的这一天呢？
问题探究:
例1、今天是星期五，那么 8
100
的这一天是星期几？
天后
8
100
1） （7
C 7
0 100 100
100
1 99 100 m 100 m 100
C 7 C 7
99 1 100 100 100 99 100
C 7 C
0 99 1 99 2 2 99 3 3 99
99 99
则 p 被4除所得余数为…………………( A )
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
问 题 :
(1)今天是星期五，那么7天后
的这一天是星期几呢? （星期五）
（星期六） (2)如果是15天后的这一天呢？ （星期一） (3)如果是24天后的这一天呢？
（ 1 ）
m
C 9 C 9 所以余数是1. 思 考 ： 若将 8101除以9，则得
到的余数还是1吗？
例3、求(1-x)5 (1+3x)4的展开式中 按x的升幂排列的前3项。
例4、求(2+x)6的展开式中 : (1)、二项式系数最大的项 ； (2)、系数最大的项。
例5、(1-x)11的展开式中含x的奇次项系数之和。 例6.一个有10个元素的集合的子集共有多少个？
求(1) a4
(2)a1+a2+a3+…+a10
1+a3+…+a9)2
3.设 f ( x) ( x 1)m ( x 1)n 的展开式中x的系数是 19(m,n∈N+).
(1)求f(x)的展开式中x2的系数的最小值; (2)当f(x)的展开式中x2的系数的最小值时,求展开式中x7 的系数;
C C C C C 2
0 10 1 10 2 10 3 10 10 10
10
1024
例7.已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, 赋值法 特殊值法 4=a ＋ a x + a x2 + a x3+ a x4， 例8.若(x+ 1) 0 1 2 3 4 求 a1+a2+a3+ a4 15 思考：求(x+2y)(2x+y)2(x+y)3展开式中各项系数和. 求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 310
3.展开式 (1 x x3 )8 中x7的系数是_______. 变：展开式 (1 x)6 (1 x x2 )5 中x7的系数是_______.
拓展延伸
4. 在(1 x x x ) 的展开式中,x100项的系数
2 100 3
是__________. 5. 多项式 1 x x2 x16 x17 可以写成
① x 1 5 x 1 10 x 1 10 x 1 5 x 1 1 ②
x
3
99
5
1 2C 4C 2 C 2 C
1 n 2 n m m n n
n n
n
2、若 p C 3C 3 C 3 C 3 C
二项式定理、
二项式系数性质的应用
复习提问 :
二项式定理的内容是什么？ n m n m m 1 n 1 n n * 0 n (a b) C n a C n a b Cn a b Cn b (n N )
叫做二项式系数
通项公式
Tm1 C a
m n m m n
a0 a1 y a2 y2 a17 y17 ,其中y=1+x,ai(i=1,2,…17)
是常数,则a2=______. 6.在 ( x 2)2n1 的展开式中,含x的整数次幂的各项系
数之和是__________.
典型例题
(1 x3 )(1 x)10 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a13 x13
b
2 m （1 x)n 1 C1 x Cn x 2 C n x m C n x n n n
二项式系数的4个性质
1）每一行两端都是1，其余每个数都是它“肩上” 两个数的和。 2）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 3）n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；
是11的倍数，则( A、n为任意整数 C、n为奇数
) B、n为偶数 D、n为11的倍数
1 1 n 1 9n1 C1n1 9n C2 1 9n Cn 1 9 n 1 9 Cn1 1 n 2 Cn n
(9 1 )
n 1
n 1
1
例若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 特殊值法
发散1、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 发散2、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7
n 2 n 1 n1 n n n 1 n 1 n 1 n 1
(11 1)n1 1 11 C 11 C 11 (1) C 11 (1) C
1 n 1
1
拓展延伸
1 7 2.展开式 (1 x ) 的常数项是_______. x
0 2 4） C n C1 C n ... C m ... C n 2n n n n
n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。
C C C C ＝ 2 n 1
0 n
2 n
1 n
3 n
思考、1、化简：
5
二项式定理的逆用
4 3 2