平行线的判定和性质
平行线的性质和判定
平行线的性质和判定【知识要点归纳】1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行．注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行；3．两直线平行的判定方法(1)平行线的定义．(2)平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同旁内角互补，两直线平行．4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等．(2)两直线平行，内错角相等．(3)两直线平行，同旁内角互补．重点讲解：一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质．【课堂过关训练】平行线的性质1．选择题:（1）下列说法中，不正确的是（）A．同位角相等，两直线平行; B．两直线平行，内错角相等; C．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补; D．同旁内角互补，两直线平行（2）如图1所示，AC平分∠BCD，且∠BCA=∠CAD=12∠CAB，∠ABC=75°，则∠BCA等于（ • ） A．36° B．35° C．37.5° D．70°(1) (2) (3)（3）如图2所示，AD⊥BC于D，DG∥AB，那么∠B和∠ADG的关系是（）A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对（4）如图3，直线c与直线a、b相交，且a∥b，则下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠3=∠2中，正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个（5）如图4，若AB∥CD，则（）A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=∠3-∠2C．∠1+∠2+∠3=180° D．∠1-∠2+∠3=180°（6）如图5，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(4) (5) (6) (7)（7）已知两个角的两边分别平行，并且这两个角的差是90°，•则这两个角分别等于（） A．60°，150° B．20°，110° C．30°，120° D．45°，135°（8）如图6所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γ B．β+γ-αC．180°-α-γ+β D．180°+α+β-γ4．如图所示，已知AD、BC相交于O，∠A=∠D，试说明一定有∠C=∠B．5．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，则一定有DE∥FB，它的根据是什么？6．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N，∠EMB=50°，•MG•平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．平行线的判定1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 = ，∠3 = ，∠4 = ．2．如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = ．3．如图3所示（1）若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（）．（2）若∠2 =∠，则AE∥BF．（3）若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF．4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ．5．如图5，AB ∥CD ，EG ⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠ E = ．6．如图6，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ． 7．如图7，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有 ． 8．如图8，AB ∥EF ∥CD ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有 个． 二、解答下列各题9．如图9，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G ．10．如图10，DE ∥BC ，∠D ∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB 的度数．11．如图11，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）图51 A B C D E F GH 图7 1 2 D A C B l 1l 2 图81 A BFC DE G 图6C D F E B A 图912 ACB FGED图102 1BCED 图1112 ABEFDC12．如图12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°．综合练习：1.若α和β是同位角，且a =30°，则β的度数是( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．不能确定2．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )A ．30°和150°B ．42°和138°C ．都等于10°D ．42°和138°或都等于10°3．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．如图所示，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D=192°，∠B －∠D=24°，则C图1212 3AB DF∠GEF=__________．5．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…，a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．6．如图所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．8．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB ∥DC．9．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，求证：DA⊥EF10．已知，如图所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论．11．已知，如图所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．。
平行线的特征
平行线的特征平行线在几何学中具有重要的作用，它们是指在同一个平面上，永远不会相交的直线。
本文将探讨平行线的特征，以及与平行线相关的性质和定理。
一、平行线的定义平行线的定义是两条直线在同一个平面上，并且永远不会相交。
这意味着两条平行线之间的距离始终相等。
二、平行线的特征1. 方向相同：平行线在平面上具有相同的方向，它们始终在相同的方向上延伸。
2. 永不相交：平行线永远不会相交。
无论延长多远，它们仍然保持平行的形状。
3. 距离相等：平行线之间的任意两点到两条平行线的距离始终相等。
这是平行线的一个重要性质。
4. 平行四边形的对边平行性：在平行四边形中，对边是平行的。
这是平行线特征的一个重要应用。
三、平行线的判定1. 同位角判定：如果两条直线被一条截线所切，并且同位角相等，那么这两条直线平行。
2. 转换判定：如果一条线与两条平行线分别相交，形成相等的内错角或外错角，那么这条线与这两条平行线平行。
3. 斜率判定：如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线平行。
斜率是直线在坐标系中的倾斜度量。
四、平行线的应用1. 平行线与横向交错线条：在道路规划和交通设计中，平行线经常用于构建车道和交通流线的布局。
2. 平行线与角度构造：在建筑设计中，平行线被广泛应用于角度构造。
通过平行线的布局，可以创建出各种角度和形状。
3. 平行线与等距关系：平行线之间的距离相等，这一性质在几何学和测量中具有重要的应用。
五、平行线的定理1. 交替内角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的交替内角是相等的。
2. 内错角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的内错角是补角。
3. 锐角和钝角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的锐角和钝角的和是180度。
六、平行线的重要性平行线的研究对几何学和应用数学具有重要意义。
它们为解决实际问题提供了基础，而且在建筑、工程、地图制作等领域也有广泛的应用。
综上所述，平行线作为几何学中的一个重要概念，具有方向相同、永不相交和距离相等等特征。
平行线的判定定理和公理
平行线的判定定理和公理平行线的判定定理和公理平行线在几何学中非常重要，因为它对于正常的几何学、计算机图形学和其他相关领域都有重要的应用。
平行线的判定定理和公理是我们在几何学中学习平行线性质的基础知识。
本文将对平行线的判定定理和公理进行详细介绍，使读者对平行线的理解更加深入。
1.平行线的定义和性质在平面上给定一直线l和一点A，如果不过A的任意一条直线与l相交时，交点 angles 都等于90度，那么我们称直线l与A平行，并表示为l || A。
这是平行线的定义。
平行线的性质包括：(1) 平面上任意两条直线，要么相交成交角不为90度的两条直线，要么平行；(2) 如果一条直线与一组平行线相交，那么相交角相等；(3) 平面上有一条直线与平行于它的一组直线相交，那么两条直线被这组平行线所分成的对应角相等。
平行线的定义和性质是评估平行线的判定定理和公理的关键。
2. 平行线的判定定理平行线的判定定理有三种形式：点斜式判定、截距式判定和两线夹角判定。
点斜式判定：如果直线l与曲线y=mx+n平行，那么m 是l的斜率。
在平面上的一个点(x1, y1)，如果有一直线斜率为m，那么直线的点斜式的方程是：y-y1=m(x-x1)如果直线l与曲线y=mx+n平行，那么它们垂直的方向相同，即斜率m相同。
这意味着直线的点斜式方程中的m 值必须等于y = mx+n的方程中m的值。
因此，点斜式判定定理可以表示为：若直线l与曲线y=mx+n平行，则l的斜率m=n。
截距式判定：如果直线l与直线y=mx+b平行，那么b 是l的截距。
对于一个斜率为m的直线和一个截距为b的直线，它们可以表示为：y=mx+b当这两个直线平行时，它们将有相同的斜率，因此它们的截距也必须相等。
换句话说，如果直线l与直线y=mx+b平行，则l的截距b=mx0+ b,其中(x0, y0)是直线l 的一个点。
两线夹角判定：如果两条直线l1，l2与第三条直线l3垂直，那么l1，l2互相平行。
平行线的性质
平行线的性质引言平行线是平面几何中重要的概念之一。
在几何学中，平行线是指在同一平面中没有交点的直线。
平行线具有一系列独特的性质和特点，对于解决几何问题以及实际生活中的测量和建造等方面都有着重要的应用。
本文将介绍平行线的性质，包括平行线的定义、判定方法、平行线与平面的关系，以及平行线的一些重要应用。
平行线的定义平行线的定义是指在同一平面内没有交点的直线。
当两条直线在同一平面内并且没有交点时，我们可以说这两条直线互相平行。
平行线的判定方法判定两条直线是否平行有多种方法，下面介绍几种常见的判定方法。
方法一：同位角相等法如果两条直线被一条横截线所截，那么同位角相等的两条直线是平行线。
同位角是指两条直线由横截线所形成的两组相对对应的内角或外角。
如果这两组角对应相等，则可以判定这两条直线平行。
方法二：转换判定法两条直线平行的充要条件是，在这两条直线上分别取一点，并连结这两点，所与直线交点连结起来得到的四边形，它的对边互相平行。
方法三：斜率判定法两条直线平行的另一个重要条件是它们的斜率相等。
如果两条直线的斜率相等，则这两条直线是平行线。
斜率可以通过直线的倾斜角度来计算。
平行线与平面的关系平行线与平面的关系是平面几何中的一个重要概念。
以下为平行线与平面的几个关系：平行线与同一平面内的直线在同一平面内，一条直线与另一条直线平行，则这两条直线分别与此平面内的任一平行于它的直线平行。
平行线与垂直于同一平面的直线如果两条平行线在同一平面外有垂直于此平面的直线，那么这两条平行线在这个垂线引起的两平面上也是平行的。
平行线与平面的截线如果两条平行线在平面上与一条直线相交，那么它们与这条直线在平面外射线上的距离相等。
平行线的应用平行线的应用十分广泛，下面介绍几个常见的应用。
三角形内的平行线在三角形中，经过一个顶点与另外两边上的点画出两条平行线，这两条平行线与两边的比值相等。
平行线的测量在实际测量中，常常使用平行线进行测量。
例如，在测量地面上两个点的距离时，可以使用两根平行线的方法进行测量。
平行线的判定和性质
平行线的判定和性质
1、平行线的判定方法：
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；
另：平行于同一条直线的两条直线相互平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
2、平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
3、注意区别平行线的性质和判定方法：
（1）叙述方式不同：尽管叙述平行线的性质与判定方法的文字相同，个数相同，但条件和结论的顺序是不同的；
（2）意义不同：平行线的判定方法是根据三种角(同位角、内错角、同旁内角)的数量关系，来识别两直线是否平行；而平行线的性质，是已知两直线平行，得到三种角的数量关系。
（3）作用不同：一个是作为平行线的识别，一个是平行线的特征。
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平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
初一平行线的判定及性质
平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北 南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
九年级数学平行线的判定与性质
九年级数学平行线的判定与性质在九年级数学学习中，平行线的判定与性质是一个重要的知识点。
理解和掌握平行线的判定方法以及了解平行线的性质，对于解决与平行线相关的问题具有重要的意义。
本文将介绍平行线的判定方法和性质，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、平行线的判定方法在几何学中，有多种方法可以判定两条直线是否平行。
以下将介绍常用的三种判定方法。
1. 直线的斜率判定法设直线L1上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线L2上两点C(x3, y3)和D(x4, y4)。
如果直线L1和直线L2的斜率相等，即m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)m2 = (y4 - y3) / (x4 - x3)那么L1和L2平行。
2. 直线的截距判定法设直线L1的方程为y = kx + b1，直线L2的方程为y = kx + b2。
如果直线L1和直线L2的斜率相等，即k1 = k2，且截距b1 = b2，那么L1和L2平行。
3. 直线的向量判定法设向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)，向量CD = (x4 - x3, y4 - y3)。
如果向量AB与向量CD平行（即满足比例关系），即(x2 - x1) / (x4 - x3) = (y2 - y1) / (y4 - y3)那么直线AB和CD平行。
二、平行线的性质1. 平行线之间的夹角平行线之间的夹角为零度。
即如果两条直线L1和L2平行，那么它们之间的夹角为零。
2. 平行线与横线的夹角平行线与横线的夹角为九十度。
即如果一条直线L与另一条直线L'平行，且L'是一条水平线或垂直线，那么L与L'的夹角为九十度。
3. 平行线与斜线的夹角平行线与斜线的夹角通常不为固定值。
具体的夹角取决于平行线的倾斜程度。
但是需要注意的是，如果一条直线L与另一条直线L'平行，且L'是一条斜线，那么L与L'的夹角一定小于一百八十度。
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质一、平行线的判定与性质的关系平行线的识别与性质，有不少同学由于刚刚接触，往往对其识别与性质容易混淆。
下面，咱们就从它们的意义和作用上进行辨析。
1、从意义上看平行线的识别就是要“判定”两条直线平行或不平行，也就是说从已知角相等（或角互补）的关系出发，推出两直线平行这一结论；而平行线的性质是在两直线平行的已知条件下得出角相等或互补的结论。
2、从作用上看平行线的识别是判断两条直线平行的依据，而平行线的性质是作为判断“两个同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”等的依据。
二者所用文字完全相同，差别就是在于前后两句话的顺序的颠倒，而这个颠倒正是它们之间的本质区别。
所以，我们在学习中要注意两者的因果关系。
二、解决平行线问题的方法在解决有关平行线的问题中，我们可从下面几个方面入手.1．寻找基本图形在一个图形中有两组以上的平行线,先根据每一组平行线探索其中的结论，然后再找出所得结论之间存在的关系.2.构造基本图形当已知的图形中没有同位角、内错角或同旁内角时，可以通过适当的辅助线构造基本图形，利用平行线的特征解题.3. 综合运用平行线的特征与平行的条件图3平行线的特征与平行的条件的综合运用,是解决与平行线有关的问题的常用方法.先由“形”得到“数”，即应用特征得到角相等（或互补），再利用角之间的关系进行计算，得到新的关系.然后再由“数”到“形”得到一组新的平行.三、借助辅助线解决问题1．在解题过程中，有些题目由已知条件不能直接推出结论，需要添加适当的线，帮助解决问题，像这样的线叫辅助线。
添加的辅助线一般都用虚线表示，并且要说明作法。
添加辅助线是解题的一种手段，一般只有当题目中因已知不易或不能直接推出结论时，才要添加辅助线. 本章的辅助线通常是作平行线，目的是构造两条直线被第三条直线所截的基本图形，以便利用平行线的判定和性质.2．学习了平行线的特征，我们可以根据特征来解决一些与角度的计算以及探索角度关系的问题，但有一类问题不能根据已知条件直接求出角的度数或找到角的关系．需要先适当地引平行线，然后综合借助平行线的特征求解。
人教版数学第5章平行线的性质与判定及辅助线模型
平行线判定和性质以及四大模型汇总第一部分平行线的判定判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．第二部分平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补第三部分平行线的四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.第四部分平行线的四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.第五部分平行线的四大模型的应用案例1如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．2如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．3如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .4如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．5如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为 ．6 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .7如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.8如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.9如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .10如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.11如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．12如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°133如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .14如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .15 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．16已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.17如图(l )，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ，∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的 关系．(2)如图(2)，己知MA 1∥NA 4，探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4，∠B 1、∠B 2之间的关系． (3)如图(3)，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的关系．如图所示，两直线AB ∥CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．18如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第六部分 平行线的四大模型实战演练1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5． 6． 7．8．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .9．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .10．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .11．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.第七部分平行线的性质和判定综合应用1．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD ＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°2．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，求∠3的度数为（）4．如图，∠B+∠C＝180°，∠A＝50°，∠D＝40°，则∠AED＝．5．如图，如果∠C＝70°，∠B＝135°，∠D＝110°，那么∠1+∠2＝6．如图，AB∥CD，求∠1+∠2+∠3+∠4＝7．如图，AB∥CD，试找出∠B、∠C、∠BEC三者之间的数量关系．8．如图，三角形ABC中，点E为BC上一点（1）作图：过点E作EM∥AC交AB于M，过点E作EN∥AB交AC于N；（2）求∠A+∠B+∠C的度数，写出推理过程．9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED．10．如图，AC∥BD．（1）作图，过点B作BM∥AP交AC于M；（2）求证：∠PBD﹣∠P AC＝∠P．11．如图，AB∥CD，∠B＝∠C，求证：BE∥CF．12．如图①，木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图①中的橡皮筋拉成下列各图②③的形状，请问∠A、∠B、∠C之间的数量关系?。
知识卡片-平行线的判定与性质
平行线的判定与性质能量储备平行线的判定和性质的区别与联系平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”；而平行线的判定，是以角的相等或互补为前提，然后推导出两直线平行，是由“数量关系”到“位置关系”．通关宝典★ 基础方法点方法点1.平行线的判定和性质的综合运用综合分析法：对于比较复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要有哪些条件，再结合已知条件进行推证，看由这些条件能推导出哪些结论，最后把两个方面综合，找到解题思路，写出证明过程．例1：如图所示，已知∠BAE ＋∠AED ＝180°，AM 平分∠BAE ，EN 平分∠AEC.求证：∠M ＝∠N.分析：要证∠M ＝∠N, 根据两直线平行，内错角相等需要证AM ∥EN ；要证AM ∥EN ，根据内错角相等，两直线平行需要证∠EAM ＝∠AEN ；要证∠EAM ＝∠AEN ，条件中AM 平分∠BAE ，EN 平分∠AEC ，所以只需要证∠BAE ＝∠AEC ；要证∠BAE ＝∠AEC ，根据两直线平行，内错角相等需要证AB ∥CD ，因为∠BAE ＋∠AED ＝180°，所以AB ∥CD 得证．证明：∵ ∠BAE ＋∠AED ＝180°，∴ AB ∥CD (同旁内角互补，两直线平行)，∴ ∠BAE ＝∠AEC (两直线平行，内错角相等)．∵ AM 平分∠BAE ，EN 平分∠AEC ，∴ ∠EAM ＝12∠BAE ，∠AEN ＝12∠AEC ， ∴ ∠EAM ＝∠AEN (等量代换)，∴ AM ∥EN (内错角相等，两直线平行)，∴ ∠M ＝∠N (两直线平行，内错角相等)．方法点2.利用平行线的性质和判定解决生活实际问题例1：如图所示，MN ，EF 表示两面互相平行的镜面，一束光线AB 照射到镜面MN 上，反射光线为BC ，此时∠1＝∠2；光线BC 经过镜面EF 反射后的光线为CD ，此时∠3＝∠4.试判断入射光线AB 与反射光线CD 的位置关系，并说明理由．解：AB∥CD.理由：∵ MN∥EF，∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠3＝∠4，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.∵∠1＋∠ABC＋∠2＝180°，∠3＋∠BCD＋∠4＝180°，∴∠ABC＝∠BCD，∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．★★易混易误点1.混淆平行线的判定和性质例1：如图:所示，已知∠1＝∠A，∠2＝40°，则∠3＝________.解析：∵∠1＝∠A，∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．∴∠3＝∠2＝40°(两直线平行，内错角相等)．答案：40°蓄势待发考前攻略平行线的判定方法常与平行线的性质综合命题，有一定难度．完胜关卡。
平行线的判定、性质公理及定理
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
考点一平行线的判定：1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。
例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD．（1） （2） 3．如图，如果AB∥CD，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。
达标训练： 一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( ) A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CD C ．∠3=∠4 D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 二．填空题αγβED C BAAB D E12FOCABDE5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空． （1）∵∠A =_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （ ） 三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ． 求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.11．如图，是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识． 根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等. 定理：两直线平行，内错角相等.CFDEBAOHG321ED C BA定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。
平行线与垂直线的判断与性质
平行线与垂直线的判断与性质在几何学中，平行线与垂直线是非常重要的概念。
它们在我们日常生活中的应用广泛，例如在建筑设计、地理测量、工程规划等领域都起到了重要的作用。
本文将介绍平行线和垂直线的判断方法及其性质。
一、平行线的判断与性质平行线是指在同一个平面上永远不相交的两条直线。
判断两条线是否平行可以通过以下几种方法：1. 在平面上的两条直线，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判定为平行线。
斜率的概念是直线上任意两点间纵坐标之差与横坐标之差的比值。
2. 如果两条直线上的任意一组对应角互相等于，则可以判定为平行线。
对应角是指两条直线上同位于相同位置的角度。
3. 如果两条直线之间的夹角为180度，则可以判定为平行线。
夹角是指两条直线相交时所形成的角度。
平行线具有以下性质：1. 平行线与一条截线形成的对应角互相等于。
2. 平行线上的任意一对内错角和外错角互相补角。
3. 平行线上的任意一对同位角相等。
二、垂直线的判断与性质垂直线是指与另一条线段或线相交时形成的直角的线。
判断两条线是否垂直可以通过以下几种方法：1. 如果两条直线的斜率互为倒数且乘积为-1，则可以判定为垂直线。
2. 如果两条直线上的任意一组对应角互为互补角，则可以判定为垂直线。
3. 如果两条直线的夹角为90度，则可以判定为垂直线。
垂直线具有以下性质：1. 垂直线与一条直线形成的内错角和外错角互为补角。
2. 垂直线上的任意一对同位角互相等于。
3. 垂直线与平面上的一条截线形成的对应角互为互补角。
三、平行线与垂直线的应用平行线和垂直线在日常生活中有广泛的应用。
以下是几个典型的例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行线和垂直线起到了重要的作用。
例如，在绘制建筑图纸时，需要合理利用平行线和垂直线来确定各个建筑元素的位置和关系，以保证整体结构的稳定性和美观性。
2. 套房布局：在家居装修中，平行线和垂直线的应用也非常常见。
例如，在设计套房的布局时，通常会利用平行线和垂直线来划分房间的大小和位置，以确保每个房间的功能和空间利用率都达到最佳状态。
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质平行线的判定：1.内错角相等，两直线平行；2.同位角相等，两直线平行；3.同旁内角互补，两直线平行 平行线的性质：1.两直线平行，内错角相等；2.两直线平行，同位角相等；3.两直线平行，同旁内角互补平行线的判定（一）一、填空1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ．2．若a⊥c，b⊥c，则a b ．3．如图２，写出一个能判定直线a ∥b 的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。
6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）；（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ）8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ．9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空：（1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）；（2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）；（4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）；A CB 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A BC ED 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3A F C DB E图８A D CB O 图５ 图６ 5 1 24 3 l 1 l 2 图７5 4 3 2 1 A D C B二、解答下列各题11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明理由．13．如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。
平行线的判定及性质课件
05
总结与展望
总结
01
02
03
04
05
直线平行的定义
直线平行的判定 方法
直线平行的性质
平行线在实际生 活中的应用
平行线在数学中 的地位
在同一平面内，不相交的 两条直线叫做平行线。
同位角相等，两直线平行 ；内错角相等，两直线平 行；同旁内角互补，两直 线平行。
两直线平行，同位角相等 ；两直线平行，内错角相 等；两直线平行，同旁内 角互补。
在几何图形中，平行线具 有非常重要的应用价值， 如矩形、菱形、正方形等 都有平行线的性质。
平行线是数学几何学中的 重要概念之一，是研究平 面图形性质的基础之一。 掌握平行线的判定方法和 性质对于学习数学几何学 非常重要。
展望
进一步探索平行线的性质
加强实际应用
除了已经学习的平行线的基本性质外，还 有许多复杂的性质和定理，值得进一步探 索和学习。
详细描述
在制造业中，机器人使用平行线来定位和移动物体，进行高效和精确的生产操作。例如 ，在汽车制造中，机器人通过使用平行线来定位和抓取车辆部件，以提高生产效率和质 量。在医疗领域，手术机器人使用平行线来精确控制手术器械，提高手术的准确性和安
全性。
04
平行线在数学问题中 的应用
代数中与平行线相关的知识点
在道路交通中，平行线是确保车辆安全行驶的重要标志。它们被用来划分车道、标识道路边缘以及引 导驾驶员在正确的车道上行驶。在高速公路上，平行线被用来表示应急车道和车道分隔线，帮助驾驶 员在紧急情况下做出正确的反应。
机器人在工作中的应用
总结词
机器人广泛应用于生产制造、医疗服务和军事等领域，平行线在机器人的工作中发挥着 重要作用。
平行线与垂直线的性质与判定方法
平行线与垂直线的性质与判定方法平行线与垂直线是几何学中常见的概念，它们在许多数学问题和实际情境中起着重要的作用。
本文将介绍平行线与垂直线的性质，并说明它们的判定方法。
一、平行线的性质1.定义：平行线是在同一个平面内永不相交的两条直线。
记作∥。
2.性质1：平行线上的任意两点与另一直线的交点的连线，与平行线上的任意两点与该直线的交点的连线相交于同一直线上。
3.性质2：平行线与同一条直线的两条相交线段的比例相等。
4.性质3：平行线的错位角、内错角、同旁内角和同旁外角相等。
二、垂直线的性质1.定义：垂直线是与另一条直线形成直角的线段。
记作⊥。
2.性质1：垂直线与同一条直线的两条相交线段的乘积相等。
3.性质2：垂直线的错位角互补，即错位角的和为180°。
4.性质3：垂直线的内错角互补，即内错角的和为180°。
三、平行线的判定方法1.方法1：同位角相等法。
若两条直线被一条横截线所截，且截线上的同位角相等，那么这两条直线是平行线。
2.方法2：平行线与传统几何图形的关系法。
在平行线与其他几何图形（如矩形、正方形等）相交的条件下，可以判定出平行线的存在。
3.方法3：斜率法。
若两条直线的斜率相等且不为无穷大，则这两条直线是平行的。
四、垂直线的判定方法1.方法1：垂直线的定义法。
两条直线的斜率相乘为-1时，它们是互为垂直的。
2.方法2：对称法。
若两条直线关于某点对称且这条直线垂直于另一条直线，那么这两条直线是垂直的。
3.方法3：垂直线与传统几何图形的关系法。
在垂直线与其他几何图形（如正方形、直角三角形等）相交的条件下，可以判定出垂直线的存在。
综上所述，平行线与垂直线在几何学中具有重要的性质和判定方法。
学好这些性质和方法，对于解决相关的数学问题和实际生活中的空间关系具有重要的指导意义。
通过不断的练习和实践，我们可以更好地理解和应用平行线与垂直线的性质与判定方法。
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A B
C
D
E
教师辅导讲义
学员姓名： 年 级：七年级 课时数： 辅导科目：数学 授课时间：
课 题
平行线及其判定及性质
教学目标
1.理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的两种位置关系；
2.掌握平行公理及其推论，会按要求画平行线；
3.掌握平行线的判定方法，并会运用这些方法进行简单的推理证明；
教学内容
知识回顾
写出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角
同位角： 内错角： 同旁内角：
新课知识
一、平行线的判定
知识点1：平行线的判定1
用该符号语言表示：如图，
∵∠1=∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
两直线平行的判定方法1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单地说: 同位角相等,两直线平行.
例1.如图，直线a,b都与直线c相交，若∠1=120°，,2=60°，则a∥b.在下列括号中填写推理理由.
∵∠1=120°（）.
∴∠3=60°（）.
又∵∠2=60°（）.
∴∠2=∠3（）.
∴a∥b
知识点2：平行线的判定2
思考：下图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗?写出你的推理过程.
解：∵∠1=∠7 ( )
∠1=∠3( )
∴∠7=∠3( )
∴AB∥CD( )
用该符号语言表示：如图，
∵∠2=∠3（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
两直线平行的判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单地说: 内错角相等,两直线平行.
知识点3：平行线的判定3
下图中，如果∠4+∠7=180°，能得出AB∥CD?
解: ∵∠4+∠7=180 °（）
∠4+∠3=180°（）
∴∠7=∠3（）
∴AB∥CD（）
用该符号语言表示：如图，
∵∠2+∠4=180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
两直线平行的判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单地说: 同旁内角互补,两直线平行.
例4. 如图所示，回答下列问题，并说明理由．
（1）由∠C＝∠2，可判定哪两条直线平行？
（2）由∠2＝∠3，可判定哪两条直线平行？
（3）由∠C＋∠D＝180°，可判定哪两条直线平行？
注：（1）要掌握直线平行的判定方法，首先要掌握同位角、内错角、同旁内角的定义；
（2）判定方法是从角的关系得到两直线平行的。
知识点4：平行线的判定方法的推论
（一）两条平行线间的距离
1、定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。
如图所示，a//b，A是直线上任意一点，，垂足为B，则线段AB的长即是两平行线、间的距离。
若在直线上任找一点，过作，垂足为D，则线段CD的长也是两平行线、间的距离。
由此可见：
2、平行线间的距离处处相等。
例4.如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1=∠2.
（1）请说明AB∥CD的理由
（2）试问BM与DN是否平行？为什么？
二、平行线的性质
知识点1：平行线的性质1
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
如图所示，AB∥CD，有∠1=∠2.
格式：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
例1.如图，已知a∥b,∠1=65°,则∠2的度数为（）
A.65°
B.125°
C.115°
D.25°
知识点2：平行线的性质2
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
格式：如图所示，AB∥CD，有∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）.
说明：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠3，∴∠2=∠3
例2.如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C=50°，∠BDE=60°，则∠CDB的度数等于（）
A.70°
B.100°
C.110°
D.120°知识点3：平行线的性质3
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
格式：如图所示，∵AB∥CD（已知）.
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
例3.如图，若AB∥DE，BC∥FE，则∠E+∠B= .
注：同位角相等、同旁内角互补；内错角相等，都是平行线特有的性质，且不可忽略前提条件“两直线平行”，不要看到同位角或内错角，就认为是相等的。
三、平行线的性质和判定方法的综合应用
平行线的判定和性质的区别和联系：
平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”；
而平行线的判定，是以角的相等或互补为前提，推导出平行，是从“数量关系”到“位置关系”
判定
即：两角的数量关系两直线的位置关系
性质
由此可见，判定与性质之间的关系是一种互逆关系。
例4.潜望镜中的两个镜子MN和PQ是互相平行的，如图所示，光线AB经镜面反射后射出，由题意知∠2=∠1，∠4=∠3，则进入的光线AB与射出的光线CD平行吗？为什么？
随堂巩固
平行线的判定
一、填空题：
1．如图③∵∠1=∠2，∴_______∥________（）
∵∠2=∠3，∴_______∥________（）
2．如图④∵∠1=∠2，∴_______∥________（）
∵∠3=∠4，∴_______∥________（）
二、选择题：
1．如图⑦，∠D=∠EFC，那么（）
A．AD∥BC B．AB∥CD C．EF∥BC D．AD∥EF 2．如图⑧，判定AB∥CE的理由是（）
A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE
3.如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6，
③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b的是（）
A.①③B．②④C．①③④D．①②③④
三、完成推理，填写推理依据：
1．如图⑩∵∠B=∠_______，∴AB∥CD（）
B A 1
∵∠BGC=∠_______，∴ CD ∥EF （ ）
∵AB ∥CD ，CD ∥EF ，∴AB ∥____（ ）
2.已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空。
∵∠1＋∠2＝180°（ ）又∠2＝∠3（ ）
∴∠1＋∠3＝180°∴_________（ ） 四、证明题
1.如图：已知∠A=∠D ，∠B=∠FCB ，能否确定ED 与CF 的位置关系， 请说明理由。
2.如图，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。
求证：AB∥CD，MP∥NQ．
3.如图，已知：∠AOE ＋∠BEF ＝180°，∠AOE ＋∠CDE ＝180°，
求证：CD ∥BE 。
4.如图，已知：∠A ＝∠1，∠C ＝∠2。
求证：求证：AB ∥CD 。
平行线的性质
1.如图1所示,AB∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
F
2
A B C
D
Q E 1
P M
N
O
F E D C
B
A
E
2
1
D
C
B
(1) (2) （3） 2.如图2所示,CD∥AB,OE 平分∠AOD,OF⊥OE,∠D=50°,则∠BOF 为( ) A.35° B.30° C.25° D.20°
3．如图3，AB∥CD，EG⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠E = ．
4.∠1和∠2是直线AB 、CD 被直线EF 所截而成的内错角,那么∠1和∠2 的大小关系是( ) A.∠1=∠2 B.∠1>∠2; C.∠1<∠2 D.无法确定
5、如图,已知:DE∥CB,∠1=∠2,求证:CD 平分∠ECB.
6．如图6，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．
求证：（1）AB∥CD； （2）∠2 +∠3 = 90°．
C
图6
1 2 3
A
B D
F。