第3讲,中国数学(汉唐篇)
08中国数学上
十进位值制记数法、分数的应用 及筹算
算筹是中国古代的计算工具。 筹，筹算。 从春秋战国时期一直到 元代末年，算筹在我国沿 用了两千多年。
1983年陕西出土的西汉象牙算筹
运筹帷幄
《史记· 太史公自序》：“运筹帷幄之中，制 胜于无形，子房计谋其事，无知名，无勇功， 图难于易，为大于细。” 《史记· 留侯世家》、《汉书· 张良传》：刘邦 曾赞“运筹帷幄之中，决胜于千里之外，子房 功也。” 张良坐在军帐中运用计谋，就能决定千里之外 战斗的胜利。这说明张良心计多，善用脑，善 用兵。后来人们就用“运筹帷幄”表示善于策 划用兵，指挥战争。
“方田”，主要论述了各种平面图形的地亩面 积算法及分数的运算法则。 “粟米”章主要论述了20种粮食及其成品如稻、 米、麦、面、饭等之间的兑换比率及四项比例 算法。 “今有术”：所求数=（所有数×所求率）/所 有率。 “已知麦与米的比率是3：2，现有麦子60斤， 问能兑换大米多少斤？”按公式，能兑换的大 米的斤数为（60×2）/3=40（斤）。
十进位值制记数法、分数的应用 及筹算
到春秋战国时代，算术四则运算已经成熟。 据汉代燕人韩婴所撰的《韩诗外传》介绍，标 志着乘除法运算法则成熟的“九九歌”在春秋 时代已相当普及。 《吕氏春秋》里的一则故事。
在春秋战国时代的齐国，齐桓公执政的时候， 有一个人熟背“九九歌”，便向齐桓公毛遂自 荐，齐桓公问他：“难道仅仅因为你精通九九 之术，我便要重用你吗？”这个人答道：“如 果君王对我这样一个仅会九九歌的人都能礼遇 重用，还怕真正有才能的人不来为君主效力 吗？” 齐桓公是否厚待此人不得而知，但这 至少从一个侧面说明了在当时九九歌已被人们 广泛地应用了。
数学专著：《九章算术》
数学专著：《九章算术》今天小编给大家整理了一篇有关数学专著：《九章算术》的相关内容，以供大家阅读参考！《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种。
该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。
根据考古研究，《九章算术》具体作者无法查证，一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。
最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在西汉后期已经基本定型。
现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。
《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。
在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。
注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。
它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。
《九章算术》将书中的所有数学问题分为九大章。
它们的主要内容分别是：第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。
包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。
另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。
第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三章“衰分”：比例分配问题。
第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；介绍了开平方、开立方的方法。
第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。
今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。
中国古代数学中的数学文化
算筹记数的表示方法
• 中国传统数学的最大特 点是建立在筹算基础之
上，是中国传统数学对
人类文明的特殊贡献，
这与西方及阿拉伯数学 是明显不同的。
虽然也早有位置制的思想，但没有零的记号。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
• 我国是世界上首先发现和认识负数的国家。战 国时法家李悝（约公元前455－前395年）曾 任魏文侯相，主持变法，我国第一部比较完整 的法典《法经》（现已失传）中已应用了负数， “衣五人终岁用千百不足四百五十”，意思是 说，5个人一年开支1500钱，差450钱。甘肃 居延海附近（今甘肃省张掖市管领）发现的汉 简中有“负四筭（suàn，筹码，同算），得七 筭，相除得三筭”的句子。
九九乘法表
• 文学作品中，就有很多“九九”乘法口诀。
• 《西游记》中，唐僧师徒四人去西天取经，沿途经历 七七四十九劫，九九八十一难。
• 《越王勾践》中，翻过九九八十一座山，渡过八八六 十四条溪，走了七七十九天，终于找到秦溪山。
• 方言俗语、地方谚语，均能看到乘法表的影子。
• “六六三十六，阎王接你吃腊肉”、“不管三七二十 一”等。
精湛的几何思想
• 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一 些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象 概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词 的定义和命题，例如：［圆，一中同长也］、 ［平，同高也］等等。墨家还给出有穷和无穷 的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说 和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象 的数学思想，例如［一尺之棰，日取其半，万 世不竭］等。这些许多几何概念的定义、极限 思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想。
精湛的几何思想
• 不过名、墨两家在先秦诸子中是属例外的情形， 其它包括儒、道、法等各家的著作则很少关心 与数学有关的论题。而这与古希腊的学派有很 大不同。秦始皇统一中国，结束了百家争鸣的 局面，到东汉独尊儒术，名、墨著作中的数学 论证思想，便失去进一步成长的机会，这种重 视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好 的继承和发展。
数学史课件第三讲中世纪的中国数学
《周髀算经》与《九章算术》 刘徽与祖冲之 宋元数学
古代背景
十进制计数法
古代背景
6708
筹算记数法
千一凡 十纵算 《 相十之 孙 望横法 子 ，，， 算 万百先 经 百立识 》 相千其
当僵位 。，，
古代背景
《史记·夏本纪》
大禹治水(公元前21世纪)
先秦诸子百家
意大利斐波那契1202年 瑞士欧拉1743年 德国高斯1801年
隙积术
沈括(北宋, 1031-1095)
隙积术
李约瑟：中国整部科学史中最卓 越的人物，中国科学史的坐标轴。
会圆术
隙积术
《梦溪笔谈》(1093)
宋元算法
隙积术 大衍术 开方术
垛积术 招差术 天元术
中算的衰落
《四元玉鉴》是宋元(960-1368)数学的绝唱 明初起300余年内中国传统数学研究呈现全 面衰退 明清(1368-1911)共543年宋元数学的精粹 长期失传、无人通晓
《孙子算经》与物不知数
今有物不知其数，三三数之剩二，五 五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
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《张邱建算经》与“百鸡问题”
今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱 三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百 只。问鸡翁、母、雏各几何?
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3.中算发展的第三次高峰 数学全盛时期
社会背景
毕升(北宋, 约970-1051)
《周髀算经》
勾股定理的普遍形式 求邪至日者，以日下为 勾，日高为股，勾股各 自乘，并而开方除之， 得邪至日。
陈子测日法 相似形方法
《周髀算经》(西汉, 约公元前100年)
《九章算术》
六艺：礼、乐、射、御、书、数
数说中囯数学内容
数说中囯数学内容
中国是世界上数学发展最早、最悠久的国家之一。
从先秦时期的《周髀算经》到现代的高等数学、数学物理、概率论等研究，中国数学的发展历史可以概括为以下几个时期：
1. 先秦时期：《周髀算经》是中国数学史上最早的著作之一，内容包括算术、几何和代数等方面。
《九章算数》和《数书九章》也是此时期的代表作。
2. 汉唐时期：唐朝数学家《算经六书》、李冶《数书九章》、刘徽《九章算法》、杨辉《详解九章算法》和祖冲之《张丘建算经注》等著作，奠定了中国古代数学的基础。
3. 宋元明清时期：在这个时期，中国数学逐渐进入到了一个全面发展的时期。
数学家秦九韶和杨辉等人所著的《数书九章》、《详解九章算法》等著作深刻阐述了像平方差分公式、杨辉三角、数学归纳法等理论，开创了新的数学研究方法。
明代的数学家朱权则把中国数学理论推向了新的高峰。
他发明了中国古代数学中最重要的代数学会——方程方法。
4. 现代时期：进入现代以后，中国数学不仅在应用数学也在纯数学上都有很大的发展。
中国的高等数学、数学物理、几何学等领域的学术成果也逐渐受到国际学术界的认可。
总体来说，中国数学在古代经历了一个漫长而辉煌的过程，远远超越了许多西方国家。
现代数学的发展中，中国在一些领域取得了很大的成就，但仍需要不断地创新和进步。
中国古代数学成就,中国古代数学的特征
[标签:标题]篇一：论中国古代数学成就及其影响论中国古代数学成就及其影响摘要：中国历史久远，而数学历史亦是久矣。
真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间。
《算数书》、《周髀算经》、《九章算术》为这一时期的重要成就。
中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物。
南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作问世。
而在这一时期最具代表性和影响力的应该就是祖冲之、祖暅父子。
从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。
中国古代数学以宋、元数学为最高境界。
到了明代，数学的主要成就应该首推珠算的普及。
关键词：古代数学;重要成就;影响Abstract: China’s long history, and mathematical history is also a long lasting. The real China ancient mathematical system formed in the western han dynasty to the southern and northern dynasties three in four hundred, period. The count book “, “weeks thigh is the”, “nine chapters arithmetic”for the period of important achievements. Ancient Chinese mathematics in The Three Kingdoms period of jin and focused on theory study, among them with ZhaoShuang and LiuHui as the main representative character. Is the northern and southern dynasties ancient Chinese mathematics of booming development period, the idea has the grandson is the “, “apfa Yang is the”, “ZhangQiu built is the”and so on the math works to come out. And in this period the most representative and influential should is zu chongzhi, fathers Geng father and son. From the 11 th century to 14 of the century the song and yuan dynasties, is the counsel as the main contents of the ancient Chinese mathematics heyday, its performance is the period emerging many outstanding mathematicians and mathematics books. Ancient Chinese mathematics to song, yuan mathematics for the highest realm. In the Ming dynasty, the main achievement of mathematics should first abacus calculation popularization.Keywords: ancient mathematical; Important achievement; influence中国历史久远，而数学历史亦是久矣。
数学史--第三讲 古代中国的数学--课件
3.1 《周髀算经》和《九章算术》
3.1.1 《周髀算经》
作者不祥，成书不晚于公元前2世纪西汉时期。 内容涉及数学和天文知识，有的可以追溯到西周（前 11世纪－前8世纪）。 最突出的成就：勾股定理 记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对 话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径隅五”， 这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与 陈子（约前6、7世纪）的对话中，包含了勾股定理的一 般形式：
3.3 宋元数学
“宋元四大家” 杨辉、秦九韶、李治和朱世杰 3.3.1 从“贾宪三角”到“正负开方”术 宋元数学最突出的成就之一是高次方程求数值解，这是《九章算 术》中开方术（开平方和开立方）的继承和发展。 目前有明确记载保留下来的最早的高次开方法是北宋时期的贾宪 创造的“增乘开方法”。 贾宪的“增乘开方法”原则上可以用于求解高次方程，但贾宪本 人并没有认识到一点。南宋数学家秦九韶在他的代表著作《数学 九章》（1247年）中将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形， 他将自己的方法称为“正负开方术”。
第三讲 古代中国数学
• 古代中国是世界四大文明古国之一。在商朝的甲骨 文中已经使用完整的十进制记数（约公元前1600年 左右）。至迟到春秋战国时期，又开始出现严格的 十进位值制筹算记数(约公元前500年）。 • 关于几何学，据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时 已使用了规、矩、准、绳等作图与测量工具。从 战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工制 作有关的实用几何知识。
“。。。以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开 方除之，得邪至日。” 《周髀算经》中还讨论了测量“日高”的方法。 图 3.1 • 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3 世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，运用面 积出入相补证明了勾股定理。赵爽还证明了《周髀算 经》中的日高公式。 图3.2
第3讲,中国数学(汉唐篇)
（2）乘法表 从出土的文物来看，春秋战国时期的文献
中已有乘法口诀。次序与现代不同，由“九 九八十一”开始。因此又称乘法口诀或乘法 表为“九九”，这种次序流行了一千六、七 百年，直到南宋初才改为现今的顺序。
（3）战国技术手册《考工记》中的分数运算 “少半”：1/3；大半：2/3；半：1/2
（4）名家的思辨
宋 刻 本 《 九 章 算 术 》 书 影
《九章算术》的特点：
采用按类分章的数学问题集的形式； 算式都是从筹算记数法发展起来的； 以算术、代数为主，很少涉及图形性质； 重视应用，缺乏理论阐述等。
《九章算术》的内容：
第一章，「方田」：
平面图形面积的量法及算法，如矩形、三 角形、圆、弧形、环形等的田地的求积公式， 及分数算法，包括加减乘除法、约分﹝将分母， 分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约 分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平 均数等
包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面 积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的 引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般 二次方程解法等。
• 约分术：副置分母、子之数，以少减多，
更相减损，求其等也。以等数约之。
49
7
91
13
49 49 7 7 91 42 42 7
比例算法
• a:b=c:x
所有率 : 所求率 = 所有数 : 所求数
第七章，「盈不足」： 算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现
在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、 夹叉求零点、双假设法等。 第八章，「方程」：
有关一次方程组的内容，最后还有不定方 程。将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方 程」，这是《九章算术》中解多一次方程组的 方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性 变换。在方程章里提出了正负数的不同表示法 和正负数的加减法则。
06级第4讲：中世纪的中国数学
、八。
21
“二四为肩”就是二和四像一个人两个肩膀的位置。 “六八为足”足就是脚, 就是像两个人的脚的位置。
“左三右七, 戴九履一”, 戴就是戴帽子, 戴头上。履 就是穿的鞋, 在下面。
他这是描述洛书数字排列的状态, 有这样的几句话, 很容易记忆, 也非常形象, 一下子就记住了。
这个洛书这样的九个数字这样排列, 排列成这样一 个状态, 每一横行, 每一竖列, 两条对角线, 三个数字之 和都等于十五。它每一横行, 每一竖列和两条对角线, 每一组三个数字之和都等于十五。
河图的数字排列构成它就是十个数字，五和十居中 央，然后四个方向，从一开始从上，从上面开始排， 一方两个数，从外向内。然后按顺时针，就是往右转 ，一二从外向内，然后三四从外向内，六七从外向内
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，八九从外向内
这八个数这样分布, 分布于四方。所以阳动阴静, 就 是这样排好之后, 一和七是阳数, 阳动, 就是单数动一和 七交换位置, 这个一本来在上面挪到下面, 七本来是下 面移到上面。左右三和九动, 交换位置。这个三和九这 样交换一下, 这样交换的结果, 下边是一六居乎北, 二七 居乎南, 三八居乎东, 四九居乎西。这就是成了河图的 数字排列了。所谓“阳动阴静”就这个意思。就是单数 动双数不动。“阳静阴动”“阳静阴动”, 正好和这相 反。
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背负河图的龙马, 传说是像龙的马, 或者是说像马 的龙。就这样的龙马呢, 它长的是龙头、龙尾。身体 和腿是马的形状。所以在后人的想象当中呢, 就对龙 马的形象, 到底什么样子, 做了种种猜测。下页是程 大位的《算法统宗》当中的一个龙马图, 这个龙马— —龙头, 尾巴也是龙, 身体和腿是马。
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中国古代的科学技术在数学方面有辉煌的成就, 其中 在河图洛书问题上的表现, 是最早的也是最重要的成果 之一。
中国数学的发展史
中国数学的发展史数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。
中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。
到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。
为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。
据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。
公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。
《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为”六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。
这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。
名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出”矩不方，规不可以为圆”，把”大一”(无穷大)定义为”至大无外”，”小一”(无穷小)定义为”至小无内”。
还提出了”一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。
而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。
中国古代数学ppt课件
4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《杜忠算术》和《许商算术》是中国有 记载可考的最早的数学著作
《算数书》是目前中国所能见到的最早 的数学专著
《周髀算经》是比《九章算术》更早的 一本具重要影响的数学专著
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4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《周髀算经》是一部介绍宇宙模型的天 文学著作，但其包含了深刻的数学内容， 如分数运算、勾股定理等
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 1.各种比例问题
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 2.几何成就
勾股章第6题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐。问水深、葭长 各几何？答曰，水深一丈 二尺，葭长一丈三尺。”
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4.2.2 《九章算术》
中国数学中关于开平方、开立方的方法 都是二项展开式的原则运用。因此，找 出二项展开式中的系数的规律就可以利 用它来进行对高次幂的开方。中国数学 史上，较早给出二项式展开式中的系数 规律的是北宋数学家贾宪。
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4.3.1 高次方程的数值解法
贾宪利用贾宪三角进行高次开方 x2 =(a+b)2 , 称为“增乘开方法” 秦九韶在其名著《数书九章》中将“增
乘开方法”推广到高次方程的求解，称 为“正负开方术”
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4.3.2秦九韶的数学成就
《孙子算经》中提出了“物不知其数问 题”并给出了解答，但对这类问题的研 究只是初具雏形。秦九韶把这个问题和 解法进行了推广，创立了“大衍求一 术”，得到了孙子剩余定理，从理论上 彻底解决了一次同余式组的一般解法。
中国古代数学的辉煌成就
中国古代数学的辉煌成就中国古代数学的辉煌成就有哪些？答：中国古代数学的辉煌成就有以下方面：一、先秦时期的数学成就1.十进位制计数法十进位制计数法的文字记载最早可以追溯到奴隶社会的商朝。
商朝时期中国已经有了完整的十进制系统,并且还有“十”、“百”、“千”、“万”等专用的大数名称。
从河南安阳殷墟发掘出来的甲骨上刻着“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人。
”(八日辛亥那天的战争中,消灭了敌方2656人)。
通过殷墟出土的甲骨文记载证明我国在公元前1600年,已经采用了十进位值2.商高的勾股定理在公元前1000年左右，西周初期的商高就发现勾股定理的一个特例：勾三,股四,弦五。
而勾股定理被称为“几何学的基石”，对数学和其他学科都有着重要作用。
但是，中国却比第二发明者毕达哥拉斯早五百到六百年发现勾股定理二、汉唐时期的数学成就1.《周髀算经》《周髀算经》约成书于公元前1世纪，是我国流传至今最古老的天文学和数学著作，对我国古代历法、算术、天体测量都有了深入的研究。
在数学上，《周髀算经》的主要成就是介绍并证明了勾股定理。
2.《九章算术》《九章算术》系统总结了战国、秦汉时期的数学成就，是现存最完整的的一部数学专著,也是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。
在数学上，《九章算术》的独特成就包括：“最早提到分数问题，首先记录了盈不足等问题，还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。
3.祖冲之的世界记录祖冲之，南北朝时期杰出的数学家、天文学家，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。
他首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在 3.1415926和3.1415927之间。
由他撰写的《大明历》是当时最科学最进步的历法，区分了回归年和恒星年，最早将岁差引进历法。
其主要著作有《缀术》《述异记》《历议》等。
4.《算经十书》《算经十书》是指汉、唐1000多年间的十部重要的数学著作,曾列为隋唐时期国子监算学科的教科书，对建立中国古代数学教育制度至关重要。
中国古代数学及其成就
① 圆周率 据推测， 祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算 出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到 3.1415926< π <3.1415927。他又创造了新的方法，得到 圆周率两个分数值，即约率22/7(= 3.142857142857143) 和密率355/113(= 3.141592920353982 )。祖冲之这一工 作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久。 ② 祖暅公理和球体积 祖暅总 结了刘徽的有关工作，提出“幂 势既同则积不容异”即等高的两 立体，若其任意高处的水平截面 积相等，则这两立体体积必相等， 这就是著名的祖暅公理。祖暅应 用这个公理和刘徽的“牟合方盖” 模型（ 图8），解决了刘徽尚未 解决的球体积公式。
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天 历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？” 商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八 十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一 矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹 之所以治天下者，此数之所生也。”
数—算术与数论知识
一、中国数学的起源与早期发展
周代的数
一、中国数学的起源与早期发展
算筹与筹算 算筹是中国古代的主要计算工具，用这种工具进行计 算和演算则称为筹算。春秋战国之际，筹算已得到普 遍的应用。筹算记数法已使用十进位值制。
一、中国数学的起源与早期发展
算筹 《墨经》：“一少于二而多于五，说在建位。” 这就是说，一在个位少于二，在十位就多于五， 每个数字的大小除由它本身所表示的数值决定 外，还要看它在整个数中所处的位置。 根据后来约公元4世纪的《孙子算经》的记载， 任何数都是由九个纵排数字和九个横排数字按 个、百、万等用纵筹，十、千等用横筹来表示， 零用空位表示。
浅谈中国古代数学成就
浅谈中国古代数学成就中国是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国。
中国古代的四大发明曾经极大地推动了世界文明的进步。
同样，作为中国文化的一个重要组成部分，中国古代数学，由于其自身的历史渊源和独特的发展过程，形成了与西方迥然不同的风格，成为世界数学发展的历史长河中的一支不容忽视的源头。
数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为“算术”即“算数之术”。
中国古代数学所研究的内容大体上是今天数学教科书中的算术、代数、几何、三角等方面的内容。
与世界上其他民族的数学相比，中国数学源远流长，成就卓著。
本文将按照年代的顺序，巡视一下中国古代数学发展的状况。
一、先秦时期————中国古代数学的萌芽中国是世界著名的文明古国，和古巴比伦、埃及和印度一样，她也是人类文化的发源地之一。
数学作为中国文化的重要组成部分，他的起源可以追溯到遥远的古代。
根据古籍记载、考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元前3000年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽。
一般认为，这一时期的数学成就主要有以下几点：1、结绳记事中国古代记数方法的起源是很早的。
据《易.系辞传》称：“上古结绳而治。
”《易.九家义》明确地解释了这种方法：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。
结之多少，随物众寡。
”这种结绳记事的方法是很古老的。
据《史记》记载：“伏羲始画八卦，造书契，以代结绳之治。
”这表明，在伏羲这一位中国神话中的人类始祖之前，结绳记事这种方法就已十分流行，并且在他的时代已开始用“八卦”和“书契”等方法来代替“结绳记事”了。
2、规矩的使用规矩是中国传统的几何工具。
至于它们的用途，《周礼》、《荀子》、《淮南子》、《庄子》等古籍都有明确的记载：“圆者中规，方者中矩。
”说明它们分别用于圆与方的问题。
它们的起源也是很早的，据《史记》记载，夏禹在治水时就“左准绳，又规矩，载四时，以开九州，通九道”。
甚至在汉武梁祠中还有“伏羲手执规、女娲手执矩”的造像，将这两种工具的最早使用归功于传说中的伏羲与女娲。
【高中数学】中国古代的数学名著简介
【高中数学】中国古代的数学名著简介中国古代数学，和天文学以及其他许多科学技术一样，也取得了极其辉煌的成就。
可以毫不夸张地说，直到明代中叶以前，在数学的许多分支领域里，中国一直处于遥遥领先的地位。
中国古代的许多数学家曾经写下了不少著名的数学著作。
许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书而得以流传下来。
这些中国古代数学名著是了解古代数学成就的丰富宝库。
例如，已知的最早的数学著作《周笔算经》和《九章算术》都是公元前后的著作，已有大约2000年的历史。
能够将2000年前的数学书籍传播到现在，这是一项伟大的成就。
开始，人们是用抄写的方法进行学习并且把数学知识传给下一代的。
直到北宋，随着印刷术的发展，开始出现印刷本的数学书籍，这恐怕是世界上印刷本数学著作的最早出现。
现在收藏于北京图书馆、上海图书馆、北京大学图书馆的传世南宋本《周髀算经》、《九章算术》等五种数学书籍，更是值得珍重的宝贵文物。
从汉唐到宋元，历代都出现了著名的算术书籍：或用传统的中国方法注释现有的算术书籍，并在注释过程中提出自己的新算法；或者再写一本新书，创新，创新。
在这些传世的算术古籍中，浓缩了历代数学家的劳动成果，是历代数学家留下的宝贵遗产。
《算经十书》《算经十书》是指汉唐时期1000多年的十部著名数学著作。
它们曾是隋唐时期国子监（国学数学）的教科书。
这十本书的名字分别是：《周笔算经》、《九章算经》、《岛算经》、《五草算经》、《孙子算经》、《下后阳算经》、《章秋剑算经》、《五经算经》、《九书》。
这十部算书，以《周髀算经》为最早，不知道它的作者是谁，据考证，它成书的年代当不晚于西汉后期（公元前一世纪）。
《周髀算经》不仅是数学著作，更确切地说，它是讲述当时的一派天文学学说──“盖天说”的天文著作。
就其中的数学内容来说，书中记载了用勾股定理来进行的天文计算，还有比较复杂的分数计算。
当然不能说这两项算法都是到公元前一世纪才为人们所掌握，它仅仅说明在现在已经知道的资料中，《周髀算经》是比较早的记载。
第三讲 古代中国数学成就展
“凡算之法，先识其位。一(个)纵十横，百 立千僵。千十相望，百万相当。”(《孙子 算经》) 用筹算表示数有纵横两种摆法：
纵式用来表示个位、百位、万位……，横 式用来表示十位、千位、十万位……，纵 横交错，零则用空位。
记数时与十进位值制相配合，采用从左到 右（或从上到下）纵横相间的摆法。 如6724表示为 ；如遇零时则空出 一格，如76031，表示为 。
中世纪的中国数学
《周髀算经》和 《九章算术》
之一
希腊几何的演绎精神，随着希腊文明的衰 微而在整个中世纪的欧洲湮没不彰。数学 史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长 的东方时期。除了埃及外，河谷地区再次 成为数学活跃的舞台。 中世纪（公元5-17世纪）数学的主角，是 中国、印度与阿拉伯地区的数学。
赵爽证明勾股定理采用了“弦图”的证明方法。 所谓“弦图”就是以弦为边的正方形。赵爽称直角 三角形的面积为“朱实”，中间小正方形的面积为 “黄实”。
赵爽在《勾股圆方图注》中 写道“案弦图，又可勾股相 乘为朱实二，倍之朱实四， 以勾股之差自乘为中黄实， 加差实亦成弦实”。
赵爽先巧妙地构造“弦图”，再经过简单的代数 运算，获得问题的证明。这个证明可谓别具匠心，极 富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明 代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性， 为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结 合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数 学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一 点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。ຫໍສະໝຸດ 《周髀算经》和勾股定理
比《九章算术》稍早且流 传下来的一部重要的著作 是《周髀算经》，该书原 名《周髀》，大约成书于 公元前2世纪的西汉时期， 其许多内容甚至可以追溯 到西周。 唐代李淳风在为国子监明 算科选定教科书时将其列 入《算经十书》，并改名 为《周髀算经》。
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• 5、西周及春秋战国时期的数学
（1）算筹记数法和十进位值制 春秋战国之际，筹算已得到普遍的应 用，筹算记数法已使用十进位值制，这 种记数法对世界数学的发展是有划时代 意义的 。
《孙子算经》：
第3讲 中国数学 -------先秦汉唐数学
咸阳师范学院数学系 唐泉
一、先秦数学 • 二、汉代数学 • 三、魏晋南北朝数学 • 四、隋唐数学
•
一、先秦数学
• 1、旧石器时代没有留下数学资料
• 2、新石器时代（约一万多年前）的数学知识
（1）最早的数目观念：从一和多到二、三 等等。 （2）对几何形状的认识（陶纺轮；平行线， 折线，三角形，长方形，圆，菱形，弧等） （3）计数的方法：结绳和刻划。东汉郑玄： “事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多 少，随之多寡。”
宋 刻 本 《 九 章 算 术 》 书 影
• 《九章算术》的特点：
• • • • 采用按类分章的数学问题集的形式； 算式都是从筹算记数法发展起来的； 以算术、代数为主，很少涉及图形性质； 重视应用，缺乏理论阐述等。
• 《九章算术》的内容：
• 第一章，「方田」： 平面图形面积的量法及算法，如矩形、三 角形、圆、弧形、环形等的田地的求积公式， 及分数算法，包括加减乘除法、约分﹝将分母， 分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约 分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平 均数等 • 第二章，「粟米」： 各种粮食交换之间的计算，讨论比例算法。
二、秦汉数学
• 1、专业科学家 张苍（北平侯）、落下闳、邓平、淳于意、 耿寿昌（大司农中丞）、许商、杜忠 • 2、最早的数学著作—《算数书》 1983年，出土于湖北江陵县张家山。全 书有60多个小标题。
• 3、《周髀算经》 我国今存最早的天文学著作，数学内容 主要有三方面： （1）、复杂的分数乘除运算； （2）、计算太阳远近，用勾股定理； （3）、测量太阳的高、远，奠定后世重 差术的基础。
天干&地支: 60周期
子 丑 2 13 14 25 26 37 27 15 16 17 3 4 5 6 7 寅 卯 52 53 54 55 56 57 辰 巳 42 43 44 45 46 47 午 未 32 33 34 35 36 申 酉 2壬 癸
“割圆术”图
l2 n AD
2 1 2 n
AC CD
2 2
2
( l ) [r r ( l ) ]
2 1 2 n
2
S 2n
ln r 1 1 n( AB OD ) n Ln r 2 2 2
S 2 n S0 S 2 n ( S 2 n S n )
355 22 • 密率： ；约率： 113 7
球体积计算
V球 : V牟合方盖 = π: 4
• 3、夏代的数学：人们创造了规、矩、准、 绳等作图与测量工具。据《史记· 夏本纪》 记载，夏禹治水时已使用了这些工具。
• 4、（商代）甲骨文中的数学 （1）甲骨文中的数目字。甲骨文中最大的数 目字当时已经达到“三万”。
关于十、百、千、万的倍数大都采用合书的方式。
• （2）商代的运算法则：商代至少应有加法、 减法和乘法运算，只是没有明确的记载。 • （3）商代的干支纪年法 在商代的记数法中还有一种六十循环的办 法，这就是主要用在历法上的所谓“天干地 支”。天干有10个，即甲、乙、丙、丁、戊、 己、庚、辛、壬、癸；地支有12个，即子、丑、 寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。 从干、支的头一个字甲、子开始，依次各取一 个，配成甲子、乙丑、丙寅、……干或支取完 了接着循环再取，直到癸亥，共取60次以后， 又是出现甲子一个循环。在商代的一片甲骨上 就有一个完整的甲子表。
三、魏晋南北朝数学
1、赵爽和《周髀算经》注 • 赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明 与推导的最早的数学家之一。生活在东汉， 死于三国。他对《周髀算经》的研究，包括： 1、文字解释；2、较为详细数学理论推演；3、 补图。 • 他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图 及注”和“日高图及注”是十分重要的数学 文献。赵爽的工作是带有开创性的，在中国 古代数学发展中占有重要地位。
• 第七章，「盈不足」： 算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现 在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、 夹叉求零点、双假设法等。 • 第八章，「方程」： 有关一次方程组的内容，最后还有不定方 程。将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方 程」，这是《九章算术》中解多一次方程组的 方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性 变换。在方程章里提出了正负数的不同表示法 和正负数的加减法则。 • 第九章，「勾股」： 专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。
•
《九章算术》的出现，标志着我国古代数 学体系的正式确立，当中有以下的一些特点： 1.是一个应用数学体系，全书表述为应用问题 集的形式；2.以算法为主要内容，全书以问、 答、术构成，“术”是主要需阐述的内容；3. 以算筹为工具。 《九章算术》取得了多方面的数学成就， 包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面 积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的 引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般 二次方程解法等。
《周髀算经》书影
• 4、《九章算术》
《九章算术》九卷，作者不详。编纂年代 大约是在东汉初期。书中收集了246个应用问 题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少 广、商功、均输、盈不足、方程、句股九章。 每道题由问、答、术三个部分组成，全部 都是与生产实践有联系的实际应用问题。
武 英 殿 聚 珍 版 丛 书 《 九 章 算 术 》 书 影
(i)
0 0 3 4 5 2 8 1 1 39 24 39
(ii)
0 0 3 0 5 2 4 1 1 11 24 39
(iii)
0 0 4 0 4 0 4 0 0 11 17 37
(iv)
• 5、汉代的历法
• 西汉初期，刘邦根据张苍（前250~前152）的 建议，沿袭了秦代的《颛顼历》，仍以十月为 岁首。 • 汉武帝元封七年（-104），下诏颁行由邓平与 落下闳制定的新历，并赐名为《太初历》。 • 《太初历》在西汉末年经过刘歆（？~23）的 改编，定名为《三统历》。 • 元和二年（85），汉章帝诏编訢与李梵编制 新历，同年二月，他们献上新历，汉章帝下令 颁行天下，定名《东汉四分历》。 • 公元206年，刘洪撰成《乾象历》。
• 刘徽的工作 • （1） 几何方面的成就 • 出入相补原理（割补法、以盈补虚法）：一 个几何图形(平面的或立体的)被分割成若干部 分后，面积或体积的总和保持不变。 • 割圆术（推导圆面积，周长，或圆周率） • 刘徽原理（阳马术） ：邪解立方得两壍堵； 邪解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二， 鳖臑居一，不易之率也。 • 截割原理：圆形立体的体积与其外切方形立 体体积之比，等于其截面圆面积与其外切正方 形之比，也等于其圆周长与其外切正方形周长 之比，即等于 : 4
•《隋书· 经籍志》： “九章算术十卷，刘 徽撰”
• “九章重差图一卷， 刘徽撰” • 《海岛算经》
《九章算术》“方程”章“正负术”
• 刘徽的地位 • 三上义夫：刘徽是古今东西数学界的一大伟 人。 • 吴文俊：从对数学贡献的角度来衡量，刘徽 应该与欧几里得、阿基米德相提并论。 • 梅荣照：刘徽是整个中国古代数学理论的奠 基人。 • 定位：如果按成就和创造性的大小来论，刘 徽在中国的数学家中首推第一，另一位可以 和他相提并论的是祖冲之。
凡算之法，先识其位。一纵十横， 百立千僵。千十相望，万百相当。
《夏侯阳算经》：
一纵十横，百立千僵。千十相望， 万百相当。满六以上，五在上方。 六不积算，五不单张。
• （2）乘法表 从出土的文物来看，春秋战国时期的文献 中已有乘法口诀。次序与现代不同，由“九 九八十一”开始。因此又称乘法口诀或乘法 表为“九九”，这种次序流行了一千六、七 百年，直到南宋初才改为现今的顺序。
线性方程组解法
《九章算术》―方程”章
3 x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3 z 26
左行 1 2 3 26 中行 2 3 1 34 右行 3 2 1 39
线性方程组解法
1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39
• （3）战国技术手册《考工记》中的分数运算 “少半”：1/3；大半：2/3；半：1/2
• （4）名家的思辨 把“大一”(无穷大)定义为“至大无 外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无 内”。还提出了“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”等命题。 • （5）周代的八卦和64卦。
• （6）《墨经》中的几何学 • “平，同高也”。这是“平”的定义，可能 是指平行线。 • “直，参也”。这是直线的定义，“参”就 是“三”，是说三个点共线的问题。 • “同长，以正相尽也”。这是两线段相等的 定义 • “中，同长也”．这是线段中点的定义。 • “圜，一中同长也”。“圜”就是圆，这是 关于圆的定义。 • 此外《墨经》还有关于点、线、面、体的说 明，以及它们之间的关系。
• 约分术：副置分母、子之数，以少减多，
更相减损，求其等也。以等数约之。
49 91 49 91 49 42 7 42 7 7
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比例算法 • a:b=c:x
所有率 : 所求率 = 所有数 : 所求数
• 今有术：以所有数乘所求率为实， 以所有率为法，实如法而一。
盈不足术
―盈不足”章第1题： 今有共买物，人出八盈三；人出七不 足四。问人数、物价各几何？ • 盈不足术： 置所出率，盈、不足各居其下。令维 乘所出率，并以为实，并盈、不足为 法。……置所出率，以少减多，余， 以约法、实。实为物价，法为人数。