随机波浪及工程应用第二章
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6
课程的主要内容：
随机波浪理论的基础 海浪的统计特征(外部特征) 海浪谱(内部特征) 不规则波波浪的模拟和变形 不规则波对工程建筑物的作用
7
Chapter 1 随机过程
1.1 随机过程的基本概念
确定性过程： 可以预先知道其变化过程
自然界中的 两种变化过程
随机的变化过程 （随机过程）
各态历经性的数学条件： Et x1 t Et x2 t Et xi t Et x1 t x1 t Et x2 t x2 t =E t x i t xi t =
X(t1)
X(t2)
X(t1)
X(t2)
mx(t) 和Dx(t)相同，但是它们的特性很明显有本质的区别，这种 差别可以用自协方差函数来描述
自协方差函数
Cov x t1 , x t2
表示随机函数每一对时间截口间的 相关程度
x t1 mx t1 x t2 mx t2 f x dx
n 1 n n n
4
工程应用：
由于实际的海浪是随机的波浪，目前国内外的 “规范”中规定，海岸工程设计中都采用不规则 波设计方法：防波堤设计；港内波况；波浪与建 筑物的作用力等。 日本1979年出版的由运输省港湾局主编的“港湾 设施技术标准及编制说明”，比较系统的引进了 不规则波的概念，并采用了不规则波的设计方法。 西方国家多要求按不规则波进行试验。
Et xi t E X t Et xi t xi t E X t X t
22
1.5 正态随机过程
一般过程的概率分布函数难于确定，但是如果随 机过程满足某种理论分布，只要知道统计特征 参数即可确定其概率密度函数 如果随机变量xi(t)，符合正态分布，整体符合 正态分布，随机过程称为正态的随机过程。
D[ a ] 0
E[ X 2 ] mx 2
D[aX ] a 2 D[ X ]
D[ a X ] D[ X ]
13
协方差(Covariance) 考虑两个变量的相关性
Cov[ X , Y ] E[( X mx )(Y my )] E[ X Y ]
E[ XY ] mx E[Y ] my E[ X ] mx my
Rxx t1 , t2 E X t1 X t2
二、随机过程的特征及其运算
1。随机函数加上一个非随机函数
Y t X t t
(1.2.25) (1.2.26) (1.2.27) (1.2.28) (1.2.29)
my t mx t t
Covz t , t ' Covx t , t ' Cov y t , t ' Covxy t , t ' Covxy t ' , t
Covxy t , t ' Cov yx t ' , t
mz t mx t my t
8
随Байду номын сангаас过程：
预先无法知道其变化过程 每次可以测得一确定的过程(一个现实或样 本) 每次测得的结果各不相同： 风、浪、地震 等
9
随机过程是随机变量系的推广：
为了得到随机过程的统计特 性，必须进行大量的独立测 量。 n个样本
x1 x1(t) x2 x3 xn x2(t)
总体
………. xn(t) X(t1) X(t2)
25
1.6 随机变量的变换
已知某一随机变量的概率密度函数及其与其它变 量的函数关系，求其它变量的概率密度函数
单变量之间的变换
随机变量X ——— 密度函数f(x) 函数关系 ——— X=f(Y)
发生的概率相同
f ( y) [ f ( x)]x f ( y )
Covy t1, t2 Covx t1, t2
2。随机函数乘上一个非随机函数
my t t mx t
Covy t1, t2 t1 t2 Covx t1, t2
3。两个随机函数相加
Z t X t Y t
x的自相关函 数
17
Cov x t1 , x t2 E x t1 mx t1 x t2 mx t2
Cov x t1 , x t2 E x t1 x t2 mx t1 mx t2
中心化的随机变量 (零均值)
E[ XY ] mx my
相关矩Rxy
Rxy mx my
Cov[ X , Y ] Rxy
当 mx my 0
E[ XY ] E[ X ]E[Y ]
当两个变量的相互独立时
14
离散样本的协方差
Cov X , Y 1 1 xi x yi y n xi yi x y n s s
随机过程是随机变量系的推广，是时间的函数，其 统计特征随时间变化
均值（数学期望）：
mx t E X t xf x dx
是每个时间截口的随机 变量的分布中心，平 均函数，非随机的
方差(variance)：
Dx t D X t
0
平稳的随机过程：可以在长的历时过程中任意选择初始时刻。
19
随机波浪是平稳的随机过程
(t ) ai cos(ki x i t i )
i 1 M
一些非平稳的随机过程可在一定条件下看作平稳 的随机过程（实际波浪并非完全平稳，一般观测 10～20分钟） 有时把空间平稳的随机过程称为均匀的随机过程
随机波浪及其工程应用
1
一、概述
海洋、海岸工程荷载：风、浪、流等。 其中海浪是作用于海洋工程建筑物上的主要荷载。 如何描述海浪的运动成为求解波浪运动特性及其对 建筑物的作用首先要解决的问题。
2
研究波浪的发展过程：
波浪理论：属于规则波，H, T保持不变。 线性波 非线性波：Stokes波；椭余 波；孤立波等。理想化。
平稳的随机过程：可以在长的 历时过程中任意选择初始时刻。问题：能否用一个足够长的 但是仍需要进行大量的观测， 样本统计意义上代替总体呢？ 需要考虑总体的统计特征
20
1.4 平稳随机过程的各态历经性
如果平稳的具有以下特点，我们称随机过程是 平稳的、各态历经的随机过程
总体中每个现实与其它现实相当(各个样本的统 计特征相同)
( p( xi ) 1)
2
方差(variance)：
2
x D[ X ] E[( x mx ) ]
( xi mx )2 p( xi )
s
离散随机变量 连续随机变量
( x mx ) 2 f ( x)dx
s
样本的方差
x
2
1 n ( xi x )2 n i 1
18
1.3 平稳的随机过程
如果随机过程任意时刻的统计特征相同 平稳的随机过程
数学描述：
数学期望是常数 方差是常数 自协方差仅取决 于时间差
mx t xf x dx mx 常数
Dx t Dx 常数 Covx t, t Covx Covx t, t Covx 0 Dx 常数
3
随机波浪理论：把波浪看作为一随机的过程，采 用概论分析理论 Sverdrup-Munk(1943)首先提出有效波的概念， 用于预报风浪，是最早开展不规则波浪研究的学 者。 Pierson(1952)最早把Rice无线电噪声理论(随机过 程)应用于海浪的分析研究，建立了在时域描述波 (t ) a cos( t ) 浪的数学模型。 Neuman(1952)提出了能量谱的概念(频域特性)。 Longuet-Higgins（50年代中）研究了随机波浪的 概率分布理论：各种波浪要素的概率预报。
D1 D= R21 Rn1
R12 D2 Rn 2
R1n R2 n Dn D11
Rij E X i t X j t
D2 R32 Rn 2
R23 D3 Rn 3
R2 n R3n Dn
24
正态随机过程的特征
统计特征完全由其均值和方差来确定 正态随机过程通过线性变换得到的随机过 程也是整体的 如果正态的随机过程具有窄谱，则过程的 峰－谷波高值符合瑞利分布
相关函数定义为无因次的协方差，即
rxy Cov X , Y / x , y 1 xi x yi y n x y s
0 xy 1
反映了两个随机变量的相关 程度
随机变量：只需要均值和方 差即可表征其特性
15
二、随机过程的特征及其运算
一个充分长时段的现实能够统计地代替同一时 段地总体
21
定义时间均值 和协方差函数
Et xi t
lim
1 T xi t dt T T 0
1 lim Ei x t x t T T i i
T
0
xi t xi t dt
2 2 E X t mx E X t E X t
2
不同于随机变量，只有随机过程的数学期望和方 差不足于描述随机过程的特性
16
不同于随机变量，只有随机过程的数学期望和方差不足于描述随机过程 的特性相关程度相关程度
5
国内开展不规则波浪的研究始于50年代：
青岛海洋大学文圣常院士1960年提出普遍的风浪谱；62 年出版《海浪理论》 1966年国家科委组织提出“会战谱” 1973年交通部《港口工程技术规范－海港水文》有效波 H1/3、H1%波纳入规范 1977－78年翻译出《港工建筑物的不规则波设计法》， 即Goda普及不规则波系列文章。 1979年10月，我校主办教育部校际“随机波动理论及其 工程应用”讨论班。文圣常主讲。 80年代，南科院、大工等建立了不规则波浪水槽，开展不 规则波波浪及其对建筑物的作用试验研究。
一维正态分布：(数学期望和方差)
f x 1 2 1 2 exp x mx / x 2 x 2
23
多维正态分布：(数学期望和方差)
f x1 , x2 , 1
1 n n , xn exp D X X ij i j n/2 2 D1/ 2 2 D i 1 j 1
随机函数
随机变量系 的推广
10
1.2 随机过程的统计特征及其运算
11
一、随机变量的特征及其运算
均值（数学期望）： 概率质量度函数
xi p( xi )
xf ( x ) dx
s
m x E[ X ]
离散随机变量
独立的观测值 （样本）
s
连续随机变量
概率密度函数
1 n x xi n i 1
( p( xi ) 1)
反映了随机变量的离散程度 12
随机变量均值的特性
E[ aX ] aE[ X ] E[ X Y ] E[ X ] E[Y ]
随机变量方差的特性
D[ X ] E[( X mx )2 ] E[ X 2 2 Xmx mx 2 ]
E[ X 2 ] 2mx E[ X ] E[mx 2 ] E[ X 2 ] 2mx mx mx 2
课程的主要内容：
随机波浪理论的基础 海浪的统计特征(外部特征) 海浪谱(内部特征) 不规则波波浪的模拟和变形 不规则波对工程建筑物的作用
7
Chapter 1 随机过程
1.1 随机过程的基本概念
确定性过程： 可以预先知道其变化过程
自然界中的 两种变化过程
随机的变化过程 （随机过程）
各态历经性的数学条件： Et x1 t Et x2 t Et xi t Et x1 t x1 t Et x2 t x2 t =E t x i t xi t =
X(t1)
X(t2)
X(t1)
X(t2)
mx(t) 和Dx(t)相同，但是它们的特性很明显有本质的区别，这种 差别可以用自协方差函数来描述
自协方差函数
Cov x t1 , x t2
表示随机函数每一对时间截口间的 相关程度
x t1 mx t1 x t2 mx t2 f x dx
n 1 n n n
4
工程应用：
由于实际的海浪是随机的波浪，目前国内外的 “规范”中规定，海岸工程设计中都采用不规则 波设计方法：防波堤设计；港内波况；波浪与建 筑物的作用力等。 日本1979年出版的由运输省港湾局主编的“港湾 设施技术标准及编制说明”，比较系统的引进了 不规则波的概念，并采用了不规则波的设计方法。 西方国家多要求按不规则波进行试验。
Et xi t E X t Et xi t xi t E X t X t
22
1.5 正态随机过程
一般过程的概率分布函数难于确定，但是如果随 机过程满足某种理论分布，只要知道统计特征 参数即可确定其概率密度函数 如果随机变量xi(t)，符合正态分布，整体符合 正态分布，随机过程称为正态的随机过程。
D[ a ] 0
E[ X 2 ] mx 2
D[aX ] a 2 D[ X ]
D[ a X ] D[ X ]
13
协方差(Covariance) 考虑两个变量的相关性
Cov[ X , Y ] E[( X mx )(Y my )] E[ X Y ]
E[ XY ] mx E[Y ] my E[ X ] mx my
Rxx t1 , t2 E X t1 X t2
二、随机过程的特征及其运算
1。随机函数加上一个非随机函数
Y t X t t
(1.2.25) (1.2.26) (1.2.27) (1.2.28) (1.2.29)
my t mx t t
Covz t , t ' Covx t , t ' Cov y t , t ' Covxy t , t ' Covxy t ' , t
Covxy t , t ' Cov yx t ' , t
mz t mx t my t
8
随Байду номын сангаас过程：
预先无法知道其变化过程 每次可以测得一确定的过程(一个现实或样 本) 每次测得的结果各不相同： 风、浪、地震 等
9
随机过程是随机变量系的推广：
为了得到随机过程的统计特 性，必须进行大量的独立测 量。 n个样本
x1 x1(t) x2 x3 xn x2(t)
总体
………. xn(t) X(t1) X(t2)
25
1.6 随机变量的变换
已知某一随机变量的概率密度函数及其与其它变 量的函数关系，求其它变量的概率密度函数
单变量之间的变换
随机变量X ——— 密度函数f(x) 函数关系 ——— X=f(Y)
发生的概率相同
f ( y) [ f ( x)]x f ( y )
Covy t1, t2 Covx t1, t2
2。随机函数乘上一个非随机函数
my t t mx t
Covy t1, t2 t1 t2 Covx t1, t2
3。两个随机函数相加
Z t X t Y t
x的自相关函 数
17
Cov x t1 , x t2 E x t1 mx t1 x t2 mx t2
Cov x t1 , x t2 E x t1 x t2 mx t1 mx t2
中心化的随机变量 (零均值)
E[ XY ] mx my
相关矩Rxy
Rxy mx my
Cov[ X , Y ] Rxy
当 mx my 0
E[ XY ] E[ X ]E[Y ]
当两个变量的相互独立时
14
离散样本的协方差
Cov X , Y 1 1 xi x yi y n xi yi x y n s s
随机过程是随机变量系的推广，是时间的函数，其 统计特征随时间变化
均值（数学期望）：
mx t E X t xf x dx
是每个时间截口的随机 变量的分布中心，平 均函数，非随机的
方差(variance)：
Dx t D X t
0
平稳的随机过程：可以在长的历时过程中任意选择初始时刻。
19
随机波浪是平稳的随机过程
(t ) ai cos(ki x i t i )
i 1 M
一些非平稳的随机过程可在一定条件下看作平稳 的随机过程（实际波浪并非完全平稳，一般观测 10～20分钟） 有时把空间平稳的随机过程称为均匀的随机过程
随机波浪及其工程应用
1
一、概述
海洋、海岸工程荷载：风、浪、流等。 其中海浪是作用于海洋工程建筑物上的主要荷载。 如何描述海浪的运动成为求解波浪运动特性及其对 建筑物的作用首先要解决的问题。
2
研究波浪的发展过程：
波浪理论：属于规则波，H, T保持不变。 线性波 非线性波：Stokes波；椭余 波；孤立波等。理想化。
平稳的随机过程：可以在长的 历时过程中任意选择初始时刻。问题：能否用一个足够长的 但是仍需要进行大量的观测， 样本统计意义上代替总体呢？ 需要考虑总体的统计特征
20
1.4 平稳随机过程的各态历经性
如果平稳的具有以下特点，我们称随机过程是 平稳的、各态历经的随机过程
总体中每个现实与其它现实相当(各个样本的统 计特征相同)
( p( xi ) 1)
2
方差(variance)：
2
x D[ X ] E[( x mx ) ]
( xi mx )2 p( xi )
s
离散随机变量 连续随机变量
( x mx ) 2 f ( x)dx
s
样本的方差
x
2
1 n ( xi x )2 n i 1
18
1.3 平稳的随机过程
如果随机过程任意时刻的统计特征相同 平稳的随机过程
数学描述：
数学期望是常数 方差是常数 自协方差仅取决 于时间差
mx t xf x dx mx 常数
Dx t Dx 常数 Covx t, t Covx Covx t, t Covx 0 Dx 常数
3
随机波浪理论：把波浪看作为一随机的过程，采 用概论分析理论 Sverdrup-Munk(1943)首先提出有效波的概念， 用于预报风浪，是最早开展不规则波浪研究的学 者。 Pierson(1952)最早把Rice无线电噪声理论(随机过 程)应用于海浪的分析研究，建立了在时域描述波 (t ) a cos( t ) 浪的数学模型。 Neuman(1952)提出了能量谱的概念(频域特性)。 Longuet-Higgins（50年代中）研究了随机波浪的 概率分布理论：各种波浪要素的概率预报。
D1 D= R21 Rn1
R12 D2 Rn 2
R1n R2 n Dn D11
Rij E X i t X j t
D2 R32 Rn 2
R23 D3 Rn 3
R2 n R3n Dn
24
正态随机过程的特征
统计特征完全由其均值和方差来确定 正态随机过程通过线性变换得到的随机过 程也是整体的 如果正态的随机过程具有窄谱，则过程的 峰－谷波高值符合瑞利分布
相关函数定义为无因次的协方差，即
rxy Cov X , Y / x , y 1 xi x yi y n x y s
0 xy 1
反映了两个随机变量的相关 程度
随机变量：只需要均值和方 差即可表征其特性
15
二、随机过程的特征及其运算
一个充分长时段的现实能够统计地代替同一时 段地总体
21
定义时间均值 和协方差函数
Et xi t
lim
1 T xi t dt T T 0
1 lim Ei x t x t T T i i
T
0
xi t xi t dt
2 2 E X t mx E X t E X t
2
不同于随机变量，只有随机过程的数学期望和方 差不足于描述随机过程的特性
16
不同于随机变量，只有随机过程的数学期望和方差不足于描述随机过程 的特性相关程度相关程度
5
国内开展不规则波浪的研究始于50年代：
青岛海洋大学文圣常院士1960年提出普遍的风浪谱；62 年出版《海浪理论》 1966年国家科委组织提出“会战谱” 1973年交通部《港口工程技术规范－海港水文》有效波 H1/3、H1%波纳入规范 1977－78年翻译出《港工建筑物的不规则波设计法》， 即Goda普及不规则波系列文章。 1979年10月，我校主办教育部校际“随机波动理论及其 工程应用”讨论班。文圣常主讲。 80年代，南科院、大工等建立了不规则波浪水槽，开展不 规则波波浪及其对建筑物的作用试验研究。
一维正态分布：(数学期望和方差)
f x 1 2 1 2 exp x mx / x 2 x 2
23
多维正态分布：(数学期望和方差)
f x1 , x2 , 1
1 n n , xn exp D X X ij i j n/2 2 D1/ 2 2 D i 1 j 1
随机函数
随机变量系 的推广
10
1.2 随机过程的统计特征及其运算
11
一、随机变量的特征及其运算
均值（数学期望）： 概率质量度函数
xi p( xi )
xf ( x ) dx
s
m x E[ X ]
离散随机变量
独立的观测值 （样本）
s
连续随机变量
概率密度函数
1 n x xi n i 1
( p( xi ) 1)
反映了随机变量的离散程度 12
随机变量均值的特性
E[ aX ] aE[ X ] E[ X Y ] E[ X ] E[Y ]
随机变量方差的特性
D[ X ] E[( X mx )2 ] E[ X 2 2 Xmx mx 2 ]
E[ X 2 ] 2mx E[ X ] E[mx 2 ] E[ X 2 ] 2mx mx mx 2