船体振动学 第3章资料
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f ( x, t )
o x
Ship Vibration
x
dx
l
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
梁的横向位移是 w( x, t ) ，长度是 l ，横截面面积 是 A ，横截面对中性轴的惯性矩是 I ；梁的密度 是 ，材料的弹性模量是 E ；单位长度梁上作用
的分布外力是 f ( x, t ) 。在梁上 x 处取长为 dx 的 微段，微段 dx 的受力图如图所示。 f ( x, t )dx
w Q Adx 2 Q Q dx f ( x, t )dx t x
2
化简为
2w Q A 2 f ( x, t ) t x
Ship Vibration
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
f ( x, t )dx
Ship Vibration
3.1 连续系统 各种工程结构和构件，例如杆、梁、板、壳等都
是具有分布质量的弹性体。要确定弹性体上各点
的位置需要无限多个广义坐标，因此弹性体是具
有无限多自由度的系统，也称为连续系统。
x
w1
w2
wn
z
wi wi 1
Ship Vibration
3.1 连续系统
x
w1
M Q
M
M dx x
Q
Adx
2w t 2
Q dx x
dx
再写出微段绕 y 轴的力矩平衡方程 ，得
M f ( x, t ) 2 Q A 2 w 2 M x dx 2 dx M Q x dx dx 2 t 2 dx 0
船体振动学
第3章 梁的横向振动
Ship Vibration
第3章 梁的横向振动 3.1 连续系统 3.2 梁的横向自由振动 3.3 梁的横向强迫振动 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的 横向自由振动的影响
3.5 梁的横向自由振动的近似解法
Ship Vibration
第3章 梁的横向振动
3.1 连续系统
M Q
M
M dx x
Q Q dx x 2w Adx 2 t
Ship Vibration
dx
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
f ( x, t )dx
MHale Waihona Puke BaiduQ
M
M dx x
Q
Adx
2w t 2
Q dx x
dx
由牛顿第二定律写出微段沿 z 轴的力平衡方程
真实解的一种近似。随着离散点的数目不断增加，
所得到的解将逐渐收敛于梁的真实解。
Ship Vibration
3.1 连续系统
连续系统具有连续分布的质量和弹性，它的振动 规律要用时间和空间坐标的连续函数来描述，其 运动微分方程是偏微分方程。在数学上，离散系 统和连续系统代表两种不同类型的系统。但在本 课程里，离散系统和连续系统只不过是描述同一 物理系统的两个数学模型而已。尽管离散系统的 振动用常微分方程来描述，连续系统的振动用偏 微分方程来描述，但是在物理本质上以及振动的 基本概念、分析方法上连续系统的振动与离散系 统的振动是相似的。
Ship Vibration
3.1 连续系统 弹性体的振动需要用偏微分方程来描述 ，不同弹
性体的振动方程是不同的。只有对一些简单的、
规则的弹性体才能得到振动方程的精确解，如均
匀直杆的纵向振动、均匀圆轴的扭转振动以及均
匀直梁的横向振动等等。对于大多数的实际弹性 体的振动，仍然要采用各种近似的离散化方法， 将连续系统转化为离散系统来处理。但本章讨论 的离散化不同于上一章的将分析模型离散化，而
Ship Vibration
第3章 梁的横向振动
3.2 梁的横向自由振动
Ship Vibration
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
梁的横向振动的运动微分方程 如图所示，考虑梁在 xz 平面内的振动。假定发生 振动变形前垂直于梁轴线的横截面是平面，在发 生振动变形后该横截面仍然是平面且仍然垂直于 变形后的梁轴线，即忽略了横截面的剪切变形和 转动惯量的影响，这种梁模型也称为欧拉-伯努利 z 梁。
w2
wn
z
wi wi 1
对于图示的简支梁，在第2章中提到的处理方法
n 个集中 是将梁离散化，即将梁近似的看作是由
质量组成的无质量的梁。当梁作横向弯曲振动时， 用有限个离散点处的横向位移
w1 (t ), w2 (t ),, wn (t ) 来代替真实的、连续的动挠
度曲线。显然，采用这种方法得到的解只是梁的
略去 dx 的二次项后，得
M Q x
Ship Vibration
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
M 2w Q 将Q 代入 A 2 f ( x, t ) ，得 x t x
2M 2w A 2 f ( x, t ) 2 x t 2 w 由材料力学知 M EI 2 ，并代入上式，得 x 2 2 2 w w EI 2 A 2 f ( x, t ) 2 x x t
上式就是欧拉-伯努利梁横向振动的运动微分方程 。 对于等截面梁，则 EI 是常数，上式又可写成
Ship Vibration
4w 2w EI 4 A 2 f ( x, t ) x t
3.2 梁的横向自由振动
固有频率和振型
4w 2w EI 4 A 2 f ( x, t ) x t 固有频率和振型 在上式中令 f ( x, t ) 0 得到梁横向自由振动的运 动微分方程 4w 2w
是按固有振型离散化。
Ship Vibration
3.1 连续系统 梁是弹性体中最常见的，也是最基本的构件。对 于横截面具有两条对称轴线的梁，存在着四种形 式的振动，即垂直平面内的振动、水平面内的振 动、纵向振动和扭转振动。本章仅介绍梁在垂直 平面内的横向振动。假定梁的材料均质、各向同 性，以及服从虎克定律（表示振动时梁内的应力 不超过材料的比例极限，使得梁的应力与应变关 系是线性的）。其次假定振动是微小的，使得应 变与位移的几何关系也是线性的。最后假定梁在 平衡状态下的轴线是一直线，发生振动变形前垂 直于梁轴线的横截面，在发生振动变形后仍然保 持为平面。
o x
Ship Vibration
x
dx
l
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
梁的横向位移是 w( x, t ) ，长度是 l ，横截面面积 是 A ，横截面对中性轴的惯性矩是 I ；梁的密度 是 ，材料的弹性模量是 E ；单位长度梁上作用
的分布外力是 f ( x, t ) 。在梁上 x 处取长为 dx 的 微段，微段 dx 的受力图如图所示。 f ( x, t )dx
w Q Adx 2 Q Q dx f ( x, t )dx t x
2
化简为
2w Q A 2 f ( x, t ) t x
Ship Vibration
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
f ( x, t )dx
Ship Vibration
3.1 连续系统 各种工程结构和构件，例如杆、梁、板、壳等都
是具有分布质量的弹性体。要确定弹性体上各点
的位置需要无限多个广义坐标，因此弹性体是具
有无限多自由度的系统，也称为连续系统。
x
w1
w2
wn
z
wi wi 1
Ship Vibration
3.1 连续系统
x
w1
M Q
M
M dx x
Q
Adx
2w t 2
Q dx x
dx
再写出微段绕 y 轴的力矩平衡方程 ，得
M f ( x, t ) 2 Q A 2 w 2 M x dx 2 dx M Q x dx dx 2 t 2 dx 0
船体振动学
第3章 梁的横向振动
Ship Vibration
第3章 梁的横向振动 3.1 连续系统 3.2 梁的横向自由振动 3.3 梁的横向强迫振动 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的 横向自由振动的影响
3.5 梁的横向自由振动的近似解法
Ship Vibration
第3章 梁的横向振动
3.1 连续系统
M Q
M
M dx x
Q Q dx x 2w Adx 2 t
Ship Vibration
dx
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
f ( x, t )dx
MHale Waihona Puke BaiduQ
M
M dx x
Q
Adx
2w t 2
Q dx x
dx
由牛顿第二定律写出微段沿 z 轴的力平衡方程
真实解的一种近似。随着离散点的数目不断增加，
所得到的解将逐渐收敛于梁的真实解。
Ship Vibration
3.1 连续系统
连续系统具有连续分布的质量和弹性，它的振动 规律要用时间和空间坐标的连续函数来描述，其 运动微分方程是偏微分方程。在数学上，离散系 统和连续系统代表两种不同类型的系统。但在本 课程里，离散系统和连续系统只不过是描述同一 物理系统的两个数学模型而已。尽管离散系统的 振动用常微分方程来描述，连续系统的振动用偏 微分方程来描述，但是在物理本质上以及振动的 基本概念、分析方法上连续系统的振动与离散系 统的振动是相似的。
Ship Vibration
3.1 连续系统 弹性体的振动需要用偏微分方程来描述 ，不同弹
性体的振动方程是不同的。只有对一些简单的、
规则的弹性体才能得到振动方程的精确解，如均
匀直杆的纵向振动、均匀圆轴的扭转振动以及均
匀直梁的横向振动等等。对于大多数的实际弹性 体的振动，仍然要采用各种近似的离散化方法， 将连续系统转化为离散系统来处理。但本章讨论 的离散化不同于上一章的将分析模型离散化，而
Ship Vibration
第3章 梁的横向振动
3.2 梁的横向自由振动
Ship Vibration
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
梁的横向振动的运动微分方程 如图所示，考虑梁在 xz 平面内的振动。假定发生 振动变形前垂直于梁轴线的横截面是平面，在发 生振动变形后该横截面仍然是平面且仍然垂直于 变形后的梁轴线，即忽略了横截面的剪切变形和 转动惯量的影响，这种梁模型也称为欧拉-伯努利 z 梁。
w2
wn
z
wi wi 1
对于图示的简支梁，在第2章中提到的处理方法
n 个集中 是将梁离散化，即将梁近似的看作是由
质量组成的无质量的梁。当梁作横向弯曲振动时， 用有限个离散点处的横向位移
w1 (t ), w2 (t ),, wn (t ) 来代替真实的、连续的动挠
度曲线。显然，采用这种方法得到的解只是梁的
略去 dx 的二次项后，得
M Q x
Ship Vibration
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
M 2w Q 将Q 代入 A 2 f ( x, t ) ，得 x t x
2M 2w A 2 f ( x, t ) 2 x t 2 w 由材料力学知 M EI 2 ，并代入上式，得 x 2 2 2 w w EI 2 A 2 f ( x, t ) 2 x x t
上式就是欧拉-伯努利梁横向振动的运动微分方程 。 对于等截面梁，则 EI 是常数，上式又可写成
Ship Vibration
4w 2w EI 4 A 2 f ( x, t ) x t
3.2 梁的横向自由振动
固有频率和振型
4w 2w EI 4 A 2 f ( x, t ) x t 固有频率和振型 在上式中令 f ( x, t ) 0 得到梁横向自由振动的运 动微分方程 4w 2w
是按固有振型离散化。
Ship Vibration
3.1 连续系统 梁是弹性体中最常见的，也是最基本的构件。对 于横截面具有两条对称轴线的梁，存在着四种形 式的振动，即垂直平面内的振动、水平面内的振 动、纵向振动和扭转振动。本章仅介绍梁在垂直 平面内的横向振动。假定梁的材料均质、各向同 性，以及服从虎克定律（表示振动时梁内的应力 不超过材料的比例极限，使得梁的应力与应变关 系是线性的）。其次假定振动是微小的，使得应 变与位移的几何关系也是线性的。最后假定梁在 平衡状态下的轴线是一直线，发生振动变形前垂 直于梁轴线的横截面，在发生振动变形后仍然保 持为平面。