人教版七年级下册(新)同步教案：6.1 平方根(第2课时)

6.1 平方根(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
用有理数估计带根号的无理数的大小，初步认识一些无限不循环小数，用计算器求算术平方根．
2．内容解析
通过用有理数估计的大小，得到的越来越精确的近似值，进而给出是无限不循环小数的结论．这个估算过程既体现了估算平方根大小的一般方法，又为后面学习无理数作铺垫．使用计算器进行复杂的运算，可以使学习的重点更好地集中到理解数学的本质上来．本节课对初步培养学生的估算意识，发展估算能力，起到重要的作用．
基于以上分析，可以确定本课的教学重点：能用有理数估计一个带算术平方根符号的无理数的大致范围．
二、教材解析
对于可以表示成有理数的平方的数，由于它们的算术平方根都是有理数，因此学生容易把握这些算术平方根的大小．但是对于像2这样不能表示成一个有理数的平方的数，它的算术平方根到底有多大，对学生来讲是一个新问题．本课利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小，进而给出是无限不循环小数的结论．另外，本课还使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根．通过一个实际问题，给出了一种常见的用有理数估计无理数的方法，它利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小，也使学生感受到估算能力是生活中需要的一种能力．
三、教学目标和目标解析
1．教学目标
(1)用有理数估计无理数的大致范围，并初步体验“无限不循环小数”的含义．
(2)用计算器求一个非负数的算术平方根．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生了解用夹逼法求的近似值的过程和方法，并初步认识无限不循环小数的特点；学生能够利用与被开方数最接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小．
达成目标(2)的标志：给出一个非负数，学生能够利用计算器算出它的算术平方根．
四、教学问题诊断分析
在出现之前，学生已经知道利用乘方运算，通过观察的方法求一些完全平方数的算术平方根，但是对于象2这样的非完全平方数，它的算术平方根到底有多大，对学生来说是一个新问题．另外，通过分析的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小，给出是无限不循环小数的结论，对学生来说也比较困难．
基于以上分析，本课的教学难点：用夹逼法估计的大小．
五、教学过程设计
1．解决上节课的问题
问题1有多大呢？
师生活动：学生思考，讨论并估计大概有多大．由直观可知，大于而小于．
追问1 你是怎样判断出大于1而小于2的？
学生回答：
因为12＝1，22＝4，而1＜2＜4，所以1＜＜2．
追问2 你能不能得到的更精确的范围呢？
因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，而1.96＜2＜2.25，
所以1.4＜＜1.5；
因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.061 4，而1.988 1＜2＜2.016 4，所以1.41＜＜1.42；
因为1.4142＝1.999 396，1.4152＝2.002 225，而1.999 396＜2＜2.002 225，
所以1.414＜＜1.415；
……
师生活动：让学生继续用这种思路计算出更加精确的近似值．
教师展示：
教师讲解：事实上，＝1.414 213 562 373…，它的小数位数无限，且小数部分不循环，这样的小数称为无限不循环小数，是一个无限不循环小数．实际上，许多正有理数的算术平方根(例如，，等)都是无限不循环小数．
追问3 你以前见过这种数吗？
学生回答： ＝3.141 592 635 897…
【设计意图】通过用有理数估计的大小，使学生初步体会是无限不循环小数；同时这个过程也给出了用有理数估计带算术平方根符号的无理数的大小的一般方法．2．用计算器求算术平方根
大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．例1 用计算器求下列各式的值：
(1)；
依次按键 3 136
显示：56．
∴＝56．
(2) (精确到0.001)．
依次按键 2
显示：1.414 213 562．
∴．
教师讲解：计算器上显示的值是1.414 213 562，它是有限位小数，这容易给我们一个错觉“是有理数”，而当我们用平方运算来验证时，发现(1.414 213 562)2≠2，因此用计算器计算得到的1.414 213 562仅是的近似值．
【设计意图】使学生学会使用计算器可以很方便的计算出任意一个正数的算术平方根(或算术平方根的近似值)．
问题2 你能解决章引言中提出的问题吗？
同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位：m/s)而小于第二宇宙速度v2(单位：m/s)．v1，v2的大小满足＝gR，＝2gR，其中g≈9.8m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106m．怎样求v1，v2呢？
追问1你能把v1，v2表示出来吗？
学生回答：根据算术平方根的定义及符号表示，可知v1＝，v2＝．
追问2你能算出v1，v2吗？
学生回答：因为g≈9.8，R≈6.4×106，可以直接代入求值，然后用计算器求v1和v2，得
v1≈≈7.9×103，
v2≈≈1.1×104．
因此，第一宇宙速度v1大约是7.9×103 m/s，第二宇宙速度v2大约是1.1×104 m/s．【设计意图】让学生利用算术平方根的概念，借助信息技术手段解决实际问题，进一步复习巩固算术平方根的概念和求法，并体会数学的应用价值．
问题3 利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
……
……
师生活动：学生能够通过按计算器填表，并发现：结论中每隔一个格中的数字都一样，只是小数点的位置不一样．
教师追问：被开方数的变化与算术平方根的变化之间有什么联系？
学生回答：被开方数每扩大100倍，其算术平方根就扩大10倍．
【设计意图】使学生初步认识：被开方数的小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．
问题4 你能用计算器计算 (精确到0.001)吗？并利用你在问题３中发现的规律说出，，的近似值．
师生活动：学生根据上题的结论回答问题．
追问你能根据的值说出是多少吗？
【设计意图】使学生能够辨别什么情况下才可以使用这个规律．
例2比较大小：与0.5．
师生活动：引导学生分析要比较与0.5，只需要比较－1与1的大小关系，即比较与2的大小．因为5＞4＝22，所以＞2．因此＞0.5．
【设计意图】通过例题的讲解提高学生的估算能力．
问题5 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2
的长方形纸片，使它的长宽之比为3 : 2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
教师提问：“你能将这个问题转化为数学问题吗？你是怎样转化的？”
学生回答：
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm，则有3x·2x＝300，6x2＝300，
x2＝50，x＝，故长方形纸片的长为3cm，宽为2cm．
追问长方形的长和宽与正方形的边长之间的大小关系是什么？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
学生回答：因为50＞49，所以＞7，而3＞3×7＝21，21cm比原正方形的边长20 cm更长，这是不可能的．所以，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【设计意图】使学生体会算术平方根以及用有理数估计带算术平方根符号的无理数的大小在实际生活中的应用．
3．归纳小结
问题6举例说明如何估算算术平方根的大小．
【设计意图】总结本课主要内容．
4．布置作业
第44页第1，2(1)(2)(4)题；习题6.1第6题．
五、目标检测设计
1．利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)．
(1)；(2)．
【设计意图】考查学生是否会使用计算器求一个数的算术平方根．
2．比较大小：(1) _______6；(2)－＋1 ______－．
【设计意图】考查学生是否会用有理数估计无理数的大致范围．
3．一个正方形的草坪面积为658m2，问这个草坪的周长是多少？(精确到0.1m)
【设计意图】考查学生能否将实际问题转化为数学问题并进行解答．。