计算机算法设计与分析 五种常用算法

浅论五个常用算法

软件工程

姓名：余智昆

专业班级：软件102班

日期：2012.2.18

【摘要】随着信息工业的发展，计算机已然成为人们日常生活中不可或缺的工具。目前，

各行业、各领域都广泛采用了计算机信息技术，并由此产生出开发各种应用软件的需求。为了以最少的成本、最快的速度、最好的质量开发出适应各种应用需求的软件，必须遵循软件工程的原则。设计一个高效的程序不仅需要编程小技巧，更需要合理的数据组织和清晰高效的算法，这正是计算机科学领域数据结构与算法设计所研究的主要内容。通过对计算机算法系统的学习与研究，掌握算法设计的主要方法，培养对算法的计算复杂性正确分析的能力，为独立设计算法和对算法进行复杂性分析奠定了坚实的理论基础。

在计算机语言中，算法的概念是至关重要的，一个优秀的软件，设计出有效的算法将起决定性的作用。本篇论文将对五种常用算法概括总结，希望能够对算法有更深入的理解。

【关键词】递归与分治策略、动态规划、贪心算法、回溯法、分之界限法

【正文】

一、递归与分治策略

A．1.递归：一个直接或间接调用自身的算法称为递归算法。在计算机算法设计与分析中，使用递归技术往往使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解。有些数据结构如二叉树等，由于其本身固有的递归特性，特别适合用递归形式来描述。还有一些问题，虽然本身并没有明显的递归结构，但是用递归技术来求解设计出的算法简洁易懂且易于分析。

2.递归算法要求：递归算法所体现的“重复”一般有三个要求

一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；

二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；

三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。

3.递归过程实质：

算法的嵌套调用，只是

调用算法和被调用算法

是同一个算法。和每次

调用相关的一个重要概

念是递归算法的调用层

次。若调用一个递归算

法的主算法为第0层算

法，则主算法调用递归

算法为进入第一层调

用；从第i层递归调用

本算法为进入第i+1层

调用。反之，退出第i

层调用，则返回第i-1

层递归调用。为了保证

递归调用正确执行，系

统要建立一个递归调用

工作栈，为各层次的调

用数据存储区。

4.递归算法的优缺点：结构清晰、可读性强，且容易用数学归纳法证明算法的正确性，

因此它为设计算法、调试程序带来很大的方便。然而，递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的空间都要比非递归算法要多。因此，我们使用递归算法，必须权衡运行时间与内存这两者的消耗。

B.1.分治策略：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

它的一般算法设计模式：

Divid-and-Conquer(p)

{

If(|p|<=n0) Adhoc(p);

Divid P into smaller subinstances

P1,P2,…,Pk;

for(i=1;i<=k;i++)

yi=Divide-and-Conquer(pi);

return Merge(y1,y2,…yk);

}

2.分治法的基本步骤：分治法在每一层递归上都有三个步骤：

分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；

合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

3.分治的应用：

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

（2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；（3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

分治策略在计算机算法中应用还是比较多的，如：二分搜索技术、大整数乘法、Strassen 矩阵乘法、期盼覆盖、合并排序、快速排序、线性时间选择。最接近点问题、循环赛日程表。

二、动态规划

1.基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。

与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。

2.适合解哪类问题：

能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：

(1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

(2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

（3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

3、求解的基本步骤

动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线(通常是求最优的活动路线)。如图所示。动态规划的