《微分方程数值解法》复习、练习题

第一章 复习题

1、建立差分格式的三个主要步骤（三个离散化）。

2、差分格式的相容性、收敛性概念。

3、Poisson 方程的5点菱形差分格式，矩形、非矩形区域情形边界条件的处理（离散化）。

4、对长方形区域作正方形网格剖分，求解Poisson 方程边值问题的五点菱形差分格式，按什么顺序对节点编号，可使差分方程带宽更窄？ （按短方向排）

5、差分方程有哪些共同特性，求解选用哪类方法？（大型稀疏，带状，主对角占优等，一般采用迭代法）多重网格等略。

6、极值原理。

7、5点菱形差分格式求解Poisson 方程第一边值问题的收敛性。

第一章 练习题

1、设有边值问题

⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡+∂∂-=-==<<<<=∆====x u n u u y u u y x x u y y x x 2,1122.00,3.00,2.003.00

取h =0.1的正方形网格。

（1） 用5点菱形格式在内点建立差分格式；

（2） 用截断误差为)(2

h O 的方法离散化第三边界条件（有两种方式）； （3） 写出整理后的差分方程的矩阵形式

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

D C B A u u u u

2、定义方形算子如下：

(),1,1

1,11,11,1,21

42i j i j i j i j i j i j u u u u u u h

---++-++=

+++- 试讨论5点方形差分方程,,i j i j u f =逼近微分方程(,)u f x y ∆=的截断误差是几阶？

3、设有{}220,(,)0,1ln (1)u x y x y u x y ∂Ω∆=∈Ω=<<⎧⎪⎨⎡⎤=++⎪⎣⎦⎩

， 取h =1/3，列出5点方形差分格式所得的差分方程。

第二章 复习题

1、差分格式稳定性与收敛性的定义。

2、有关求特征值的几个结论。

3、判断稳定性的矩阵法和Fourier 分析法（Von-Neumann 条件）的应用。

4、显隐格式在一般情况下的优缺点。

5、熟悉古典显、隐格式，六点对称隐格式（C-N 格式）。

6、叙述Lax 等价定理。

7、高维抛物型方程的ADI 格式的优点。

8、了解非线性方程差分格式的建立，讨论稳定性的冻结系数法。

第二章 练习题

1、设有求解抛物型方程组t xx

t

xx u av v au =-⎧⎨=⎩的初值问题的差分格式

11+1211111+121(2+)1(2+)k k j j k k k

j j j k k

j j k k k j j j u u a v v v h v v a u u u h ττ

+-++++-⎧-=--⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 试写出用Fourier 分析法讨论稳定性时的增长矩阵。

2、对上题考虑另一个差分格式

1111

1+11+121111

1+11+121(2+)(2+)21(2+)(2+)2k k j j k k k k k k j j j j j j k k

j j k k k k k k j j j j j j u u a v v v v v v h v v a u u u u u u h ττ++++--++++--⎧-⎡⎤=--+-⎪⎣⎦⎪⎨-⎪⎡⎤=-+-⎣⎦⎪⎩

试讨论该格式的稳定性。

3、对抛物型方程,0t xx u au a =>，考虑著名的Du Fort-Frankel （1953）格式

11

111+121(()+)2k k j j

k k k k

j j j j u u a

u u u u h

τ

+-+---=-+ (1)推导该格式是否满足稳定性的V on-Neumann 条件？ (2)该格式与Richardson 格式有什么关系？

4、 讨论求解+,.t xx yy u u u cu c const =+=的古典显格式的稳定性。

5、 写出逼近

(),()0u u a x a x t x x ∂∂∂⎛⎫

=> ⎪∂∂∂⎝⎭

的古典显格式。 6、

讨论逼近22,,.u u

iw i w R w const t x

∂∂==∈=∂∂的显格式 11+1

2

2+k k k k k

j j

j j j u u u u u iw

h τ

+---=

的稳定性。 7、 对初值问题：

010,01,00,01

(0,)0,0,0t xx t x u u x t u x u u t t x ==-=<<>⎧⎪

=≤≤⎪⎨

∂⎪==>⎪∂⎩

用截断误差为2()O h 的方法将右边界条件离散化。

第三章 复习题

1、设有一阶拟线性双曲型方程

(,,)

(,,)(,,)u u a x t u b x t u c x t u t x

∂∂+=∂∂ （1） 写出相应的特征线方程及特征线上的微分关系；

（2） 熟悉特征线差分计算过程。

2、一阶双曲型方程组的定义、正规形式、特征线及其上的微分关系。

3、对0u t a u x ∂∂+∂∂=，熟悉以下差分格式：

（1） L-F 格式； （2）偏心差分格式；（3）C-I-R 格式； （4） Leap-Frog 格式 ； (5) L-W 格式。

4、差分格式偏向与特征线走向的关系，CFL 条件的几何意义。

第三章 练习题

1、设有T t x x u a t u ≤<+∞-∞∈=∂∂+∂∂0),,(,

0，

(,0),u x x x =-∞<<∞，取步长h =0.2，0.1τ=，试合理选用一阶偏

心差分格式（最简显格式）计算u (x ,t )在点(0.2,0.2)-处的近似值。 2、设有u t a u x c ∂∂+∂∂=，a ，c 为常数，考虑差分格式