《微分方程数值解法》复习、练习题

第一章 复习题1、建立差分格式的三个主要步骤（三个离散化）。

2、差分格式的相容性、收敛性概念。

3、Poisson 方程的5点菱形差分格式，矩形、非矩形区域情形边界条件的处理（离散化）。

4、对长方形区域作正方形网格剖分，求解Poisson 方程边值问题的五点菱形差分格式，按什么顺序对节点编号，可使差分方程带宽更窄？ （按短方向排）5、差分方程有哪些共同特性，求解选用哪类方法？（大型稀疏，带状，主对角占优等，一般采用迭代法）多重网格等略。

6、极值原理。

7、5点菱形差分格式求解Poisson 方程第一边值问题的收敛性。

第一章 练习题1、设有边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂-=-==<<<<=∆====x u n u u y u u y x x u y y x x 2,1122.00,3.00,2.003.00取h =0.1的正方形网格。

（1） 用5点菱形格式在内点建立差分格式；（2） 用截断误差为)(2h O 的方法离散化第三边界条件（有两种方式）； （3） 写出整理后的差分方程的矩阵形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C B A u u u u2、定义方形算子如下：(),1,11,11,11,1,2142i j i j i j i j i j i j u u u u u u h---++-++=+++- 试讨论5点方形差分方程,,i j i j u f =逼近微分方程(,)u f x y ∆=的截断误差是几阶？3、设有{}220,(,)0,1ln (1)u x y x y u x y ∂Ω∆=∈Ω=<<⎧⎪⎨⎡⎤=++⎪⎣⎦⎩， 取h =1/3，列出5点方形差分格式所得的差分方程。

第二章 复习题1、差分格式稳定性与收敛性的定义。

2、有关求特征值的几个结论。

3、判断稳定性的矩阵法和Fourier 分析法（Von-Neumann 条件）的应用。

4、显隐格式在一般情况下的优缺点。

5、熟悉古典显、隐格式，六点对称隐格式（C-N 格式）。

6、叙述Lax 等价定理。

7、高维抛物型方程的ADI 格式的优点。

8、了解非线性方程差分格式的建立，讨论稳定性的冻结系数法。

第二章 练习题1、设有求解抛物型方程组t xxtxx u av v au =-⎧⎨=⎩的初值问题的差分格式11+1211111+121(2+)1(2+)k k j j k k kj j j k kj j k k k j j j u u a v v v h v v a u u u h ττ+-++++-⎧-=--⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 试写出用Fourier 分析法讨论稳定性时的增长矩阵。

2、对上题考虑另一个差分格式11111+11+1211111+11+121(2+)(2+)21(2+)(2+)2k k j j k k k k k k j j j j j j k kj j k k k k k k j j j j j j u u a v v v v v v h v v a u u u u u u h ττ++++--++++--⎧-⎡⎤=--+-⎪⎣⎦⎪⎨-⎪⎡⎤=-+-⎣⎦⎪⎩试讨论该格式的稳定性。

3、对抛物型方程,0t xx u au a =>，考虑著名的Du Fort-Frankel （1953）格式11111+121(()+)2k k j jk k k kj j j j u u au u u u hτ+-+---=-+ (1)推导该格式是否满足稳定性的V on-Neumann 条件？ (2)该格式与Richardson 格式有什么关系？4、 讨论求解+,.t xx yy u u u cu c const =+=的古典显格式的稳定性。

5、 写出逼近(),()0u u a x a x t x x ∂∂∂⎛⎫=> ⎪∂∂∂⎝⎭的古典显格式。

6、讨论逼近22,,.u uiw i w R w const t x∂∂==∈=∂∂的显格式 11+122+k k k k kj jj j j u u u u u iwh τ+---=的稳定性。

7、 对初值问题：010,01,00,01(0,)0,0,0t xx t x u u x t u x u u t t x ==-=<<>⎧⎪=≤≤⎪⎨∂⎪==>⎪∂⎩用截断误差为2()O h 的方法将右边界条件离散化。

第三章 复习题1、设有一阶拟线性双曲型方程(,,)(,,)(,,)u u a x t u b x t u c x t u t x∂∂+=∂∂ （1） 写出相应的特征线方程及特征线上的微分关系；（2） 熟悉特征线差分计算过程。

2、一阶双曲型方程组的定义、正规形式、特征线及其上的微分关系。

3、对0u t a u x ∂∂+∂∂=，熟悉以下差分格式：（1） L-F 格式； （2）偏心差分格式；（3）C-I-R 格式； （4） Leap-Frog 格式 ； (5) L-W 格式。

4、差分格式偏向与特征线走向的关系，CFL 条件的几何意义。

第三章 练习题1、设有T t x x u a t u ≤<+∞-∞∈=∂∂+∂∂0),,(,0，(,0),u x x x =-∞<<∞，取步长h =0.2，0.1τ=，试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）计算u (x ,t )在点(0.2,0.2)-处的近似值。

2、设有u t a u x c ∂∂+∂∂=，a ，c 为常数，考虑差分格式11+1+1(1)(1)(1)(1)20,k k k kj jj j ar u ar u ar u ar u c r hττ++++----+-==试讨论（1）该格式的稳定性；（2）该格式的截断误差。

第四章 复习题1、空间完备性的概念。

2、Banach 空间、Hilbert 空间的概念。

3、2[,]L a b 定义、内积、范数。

4、广义导数的定义、唯一性，与古典导数的关系。

5、一阶Sobolev 空间1H 的定义、内积、完备性； 二阶Sobolev 空间2H 的定义、内积、完备性。

6、变分法基本引理、结论。

7、由边值问题适当选取函数空间（集合），建立双线性泛函与线性泛函，提出两种变分问题。

8、古典解与广义解及其关系。

9、叙述Hilbert 空间中变分方程解的存在唯一性定理。

10、变分问题的近似解描述以及Ritz-Galerkin 方程的形式。

11、传统（古典）Ritz-Galerkin 方法的主要缺点。

12、三角形网格剖分的优点和基本要求。

13、什么是单元形状函数？试探函数？试探函数空间？14、试探函数的两个基本要求？属于哪个函数集合？1E H 、2E H 等。

（1）满足强制边界条件（如果有的话）； （2）有适当的广义导数；（3）是分段（片）m 次多项式。

15、节点基函数有什么特性？会带来什么好处：属于哪个函数空间？10H 、20H 等。

16、提高有限元近似解精度的两个基本原则。

17、按什么原则对节点编号，可使有限元方程组带宽最小？提示：相邻节点编号差的最大者达到最小。

带宽：最大的邻点编号差×2+1. 18、有限元方程组的求解用什么方法较好。

19、（重点）常、偏微分边值问题，m =1,2,3时，分别提出单元形状函数和基函数的插值条件，形成有限元方程组的思路，有限元解的基函数表示。

第四章 练习题1、对微分方程边值问题1111122222(())()(),(,)()(),0,0()(),0,0ddu p x q x u f x x a b dx dx du a u a d dx du b u b d dx αβαβαβαβ⎧-+=∈⎪⎪⎪+=≥>⎨⎪⎪+=≥>⎪⎩提出两种变分问题。

2、由Green 第一公式推导Green 第二公式2()()u v u vdxdy u vdxdy v u ds n n ΩΩ∂Ω∂∆∂⎡⎤∆=∆⋅∆+-∆⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 并对双调和方程边值问题1221212(,),(,),(,),0,u f x y x y u u g g n uu x y n αϕα∂ΩΓΓ⎧⎪∆=∈Ω⎪⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪∂⎡⎤⎪∆+=≥ΓΓ=∂Ω⎢⎥∂⎪⎣⎦⎩建立两个相应的变分问题。

3、针对二维Poisson 方程，采用线性元求解，对下图的区域网格剖分，如何编号，有限元方程组带宽最小？带宽是多少？有限元方程组是多少阶？4、设有边值问题()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧='+''=='=<<=+-2,,,,2244b y b y b y a y a y b x a x f qy dxyd dx y d γβα 试建立相应的虚功问题和极小位能问题。

5、用线性有限元法求解边值问题⎩⎨⎧==<<-=+''-=4)2(,0)0(20,2)(2y y x x y y y L 在1=x 处的值。

（要求导出其相应的变分方程、变分问题，明确写出双线性泛函和线性泛函的具体形式，以及允许函数空间和试探函数空间。

在用有限元方法求解时，仅取两个单元即可。

）第五章 复习题解抛物型方程的有限元方法的思路。

第六章 复习题1、总纲阵存储方法及特点。

2、有限元节点优化方法。

3、有限元程序设计的预处理。

4、对称性及降维问题。

5、有限元方法与有限差分方法的比较。

第六章 练习题1、设有一对称矩阵A ，其中写有a ij 的元素都是非零元素，其余全为零元素。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6664615552444341332211a a a a a a a a a a a A 对称 请采用两种方法对该矩阵进行非零元素压缩存储（一维存储），并举例说明如何查找。