2021年高考数学 第五节 数列的综合应用教材

2021年高考数学第五节数列的综合应用教材

考点串串讲

1．用数学模型解题的基本模式

(1)日常生活中涉及到的利息、产量、繁殖等与增长率有关的实际问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等问题均可转化为相应的数列问题，利用数列的有关知识去解决．

(2)建立数学模型的一般步骤

①认真审题，准确理解题意，明确问题属于哪类应用问题，弄清题目的已知事项，明确题目所求的结论；

②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达出来；

③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学表达式．2．常见的数列模型

(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．

(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．

(3)递推数列模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推关系式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．

注意 ①认真阅读题干，明确所给条件是组成等差数列、等比数列还是一个递推关系式，确定出相应的数列模型．

②如果是等差数列、等比数列，应明确a1，an ，n ，d ，q ，Sn 这些基本量，已知哪几个，要求哪几个；如果是递推关系式，应明确关系式是关于Sn 的还是an 的，又或者是二者综合的，然后再确定要求解的量． 3．数列与其他知识的综合

(1)数列与函数、不等式的综合主要是由函数解析式得到数列递推关系式，或利用函数的单调性证明数列中的不等关系．

(2)数列与解析几何的综合主要是利用曲线上点的坐标满足曲线的方程，利用解析几何的有关知识，如中点坐标公式，弦长公式等建立递推关系式，然后用数列知识求解．

注意 ①数列与其他知识的综合，关键是根据题中条件，结合相关知识的概念与公式，列出递推关系式．

②数列与其他知识的综合是近几年高考命题的热点，除了传统的数列与函数、不等式的综合外，数列与解析几何、三角函数、程序框图等的综合也经常出现，对此需要引起注意. 典 例 对 对 碰 题型一等差数列模型

例1如图，在一直线上共插有13面小旗，相邻两面间距离为10m ，在第一面小旗处某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？

分析 本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和．

解析 设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗处，共走路程为10(x －1)，然后回到第二面处再到第x 面处是20(x －2)，……，从第x 面处到第(x ＋1)面处的路程为20，从第x 面处到第(x ＋2)面取旗再到第x 面处，路程为20×2，…… 总的路程为

S ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×2＋20×1＋20＋20×2＋…＋20×(13－x) ＝10(x －1)＋20×

x －1

x －2

2＋20×

13－x

14－x

2

＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x)(14－x)] ＝10(2x2－29x ＋183) ＝20(x －294)2＋3115

4

∵x ∈N*，∴x ＝7时，S 有最小值S ＝780(m)．

答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短．

点评 本题属等差数列应用问题，应用等差数列前n 项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.

变式迁移1

某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的

维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？(即年平均费用最少)

解析 设汽车使用年限为n 年，f(n)为使用该汽车的年平均费用． f(n)＝1

n [10＋0.9n ＋(0.2＋0.4＋…＋0.2n)]

＝10n ＋n

10

＋1≥1＋2＝3 当且仅当n 10＝10

n

即n ＝10(年)时等号成立．

因此该汽车使用10年报废最合算.

题型二等比数列模型 例2

xx 年初，某一万人口贫困乡镇为脱贫致富奔小康，将人口年增长率控制为千分之二，并利用其资源优势创办一家新企业，这一企业xx 年创利90万元，自xx 年开始，每年实现利润为前面所有利润总和的2

3

.

(1)若以xx 年为第一年，试写出这家企业第n 年的利润an 与n 之间的关系式；

(2)设该乡镇xx 年除上述企业外的收入为3000万元，问xx 年底时该乡镇人民能否达到人均收入不少于5000元的小康水平？

分析 由题意，每年实现利润为前面所有利润总和的2

3，即说明了第n 年的利润与前n －1

年利润总和之间的一个递推关系，从而利用递推数列有关知识解决．

解析 (1)设xx 年起，该企业各年的利润组成数列{an}，Sn 为其前n 项和． 则a1＝90，an ＝2

3Sn －1(n≥2)，

∴n≥2时，Sn －Sn －1＝2

3Sn －1，

∴Sn ＝5

3

Sn －1，

∴Sn ＝(53)n －1S1＝90×(5

3

)n －1.

∴n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝60×(5

3)n －2，

∴an ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

90 n ＝1，60×5

3n －2n≥2. (2)xx 年底时， a9＝60×(5

3

)7＝2143.35

总收入为3000＋2143.35＝5143.35万元． 总人口为