2021年高考数学 第五节 数列的综合应用教材

2021年高考数学第五节数列的综合应用教材考点串串讲1．用数学模型解题的基本模式(1)日常生活中涉及到的利息、产量、繁殖等与增长率有关的实际问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等问题均可转化为相应的数列问题，利用数列的有关知识去解决．(2)建立数学模型的一般步骤①认真审题，准确理解题意，明确问题属于哪类应用问题，弄清题目的已知事项，明确题目所求的结论；②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达出来；③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学表达式．2．常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推数列模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推关系式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．注意 ①认真阅读题干，明确所给条件是组成等差数列、等比数列还是一个递推关系式，确定出相应的数列模型．②如果是等差数列、等比数列，应明确a1，an ，n ，d ，q ，Sn 这些基本量，已知哪几个，要求哪几个；如果是递推关系式，应明确关系式是关于Sn 的还是an 的，又或者是二者综合的，然后再确定要求解的量． 3．数列与其他知识的综合(1)数列与函数、不等式的综合主要是由函数解析式得到数列递推关系式，或利用函数的单调性证明数列中的不等关系．(2)数列与解析几何的综合主要是利用曲线上点的坐标满足曲线的方程，利用解析几何的有关知识，如中点坐标公式，弦长公式等建立递推关系式，然后用数列知识求解．注意 ①数列与其他知识的综合，关键是根据题中条件，结合相关知识的概念与公式，列出递推关系式．②数列与其他知识的综合是近几年高考命题的热点，除了传统的数列与函数、不等式的综合外，数列与解析几何、三角函数、程序框图等的综合也经常出现，对此需要引起注意. 典 例 对 对 碰 题型一等差数列模型例1如图，在一直线上共插有13面小旗，相邻两面间距离为10m ，在第一面小旗处某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？分析 本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和．解析 设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗处，共走路程为10(x －1)，然后回到第二面处再到第x 面处是20(x －2)，……，从第x 面处到第(x ＋1)面处的路程为20，从第x 面处到第(x ＋2)面取旗再到第x 面处，路程为20×2，…… 总的路程为S ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×2＋20×1＋20＋20×2＋…＋20×(13－x) ＝10(x －1)＋20×x －1x －22＋20×13－x14－x2＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x)(14－x)] ＝10(2x2－29x ＋183) ＝20(x －294)2＋31154∵x ∈N*，∴x ＝7时，S 有最小值S ＝780(m)．答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短．点评 本题属等差数列应用问题，应用等差数列前n 项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.变式迁移1某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？(即年平均费用最少)解析 设汽车使用年限为n 年，f(n)为使用该汽车的年平均费用． f(n)＝1n [10＋0.9n ＋(0.2＋0.4＋…＋0.2n)]＝10n ＋n10＋1≥1＋2＝3 当且仅当n 10＝10n即n ＝10(年)时等号成立．因此该汽车使用10年报废最合算.题型二等比数列模型 例2xx 年初，某一万人口贫困乡镇为脱贫致富奔小康，将人口年增长率控制为千分之二，并利用其资源优势创办一家新企业，这一企业xx 年创利90万元，自xx 年开始，每年实现利润为前面所有利润总和的23.(1)若以xx 年为第一年，试写出这家企业第n 年的利润an 与n 之间的关系式；(2)设该乡镇xx 年除上述企业外的收入为3000万元，问xx 年底时该乡镇人民能否达到人均收入不少于5000元的小康水平？分析 由题意，每年实现利润为前面所有利润总和的23，即说明了第n 年的利润与前n －1年利润总和之间的一个递推关系，从而利用递推数列有关知识解决．解析 (1)设xx 年起，该企业各年的利润组成数列{an}，Sn 为其前n 项和． 则a1＝90，an ＝23Sn －1(n≥2)，∴n≥2时，Sn －Sn －1＝23Sn －1，∴Sn ＝53Sn －1，∴Sn ＝(53)n －1S1＝90×(53)n －1.∴n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝60×(53)n －2，∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧90 n ＝1，60×53n －2n≥2. (2)xx 年底时， a9＝60×(53)7＝2143.35总收入为3000＋2143.35＝5143.35万元． 总人口为1×(1＋0.002)9≈1＋9×0.002＋36×0.0022≈1.018. 5000×1.018＝5090＜5143.35. 即xx 年能达到小康水平． 答：xx 年能达到小康水平．点评 本例中建立了Sn －1与an 的关系，利用an ＝Sn －Sn －1(n≥2)求通项公式．在比较大小时，应用了二项式定理来进行近似计算.变式迁移2某地区原有木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设an 为n 年后该地区森林木材存量． (1)求an 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量不能少于79a ，如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年(取lg2＝0.30)?解析 (1)设第一年的森林木材存量为a1， 第n 年后森林木材存量为an ， 则a1＝a(1＋14)－b ＝54a －b ，a2＝54a1－b ＝(54)2a －(54＋1)b ，a3＝54a2－b ＝(54)3a －[(54)2＋54＋1]·b ，…an ＝(54)na －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋1]·b＝(54)na －4b[(54)n －1](n ∈N*)． (2)当b ＝1972a 时有an ＜79a ，∴(54)na －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ， 即(54)n ＞5， ∴n ＞lg5lg5－2lg2＝1－lg21－3lg2≈7.2.答：经过8年该地区就开始水土流失.题型三 分期付款问题例3用分期付款的方式购买一件标价为1150元的家电，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若从交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？解析 购买时付出150元后，余欠款1000元，按题意应分20次付清．由于每次都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列．设每次交付欠款的数额依次为a1，a2，…，a20，则 a1＝50＋1000×1%＝60(元) a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元) ……a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元) 即第10个月应付款55.5元．由于{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列， 所以有S20＝60＋60－19×0.52×20＝1105(元)，即全部付清后实际共付款1105＋150＝1255元.变式迁移3某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后付清，也可以一次付清，并优惠x%.问开发商怎样确定优惠率可以鼓励购房者一次付款(按一年定期存款税后利率2%，一年一年续存方式计算，x 取整数，计算过程中可参考以下数据：1.029＝1.19,1.0210＝1.2,1.0211＝1.24)． 解析 由题意得 50×1.029×(1－x%)＜5(1.029＋1.028＋…＋1.02＋1)， ∴10×1.029×(1－x%)＜1.0210－11.02－1，1－x%＜ 1.0210－110×1.029×0.02＝1.2－110×1.19×0.02＝11.19＝0.8403，∴x%＞15.97%.故一次付款的优惠率应不低于16%.题型四 数列与程序框图的综合应用例4某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是________．解析 按照程序框图运行后可得S ＝0＋1＋3＋…＋49＝25×1＋492＝625，故输出的结果是625. 答案 625变式迁移4执行如图所示的程序框图，若p ＝4，则输出的S ＝________.答案1516解析 程序执行过程为： n ＝1，S ＝12；n ＝2，S ＝12＋14；n ＝3，S ＝12＋14＋18；n ＝4，S ＝12＋14＋18＋116＝1516.程序结束，输出S ＝1516.题型五 函数、数列、不等式的综合应用例5已知f(x)＝(x －1)2，g(x)＝10(x －1)，数列{an}满足a1＝2，(an ＋1－an)g(an)＋f(an)＝0，bn ＝910(n ＋2)(an －1)．(1)求证：数列{an －1}是等比数列；(2)当n 取何值时，bn 取最大值，并求出bn 的最大值； (3)若tm bm ＜tm ＋1bm ＋1对任意m ∈N*恒成立，求实数t 的取值范围．解析 (1)证明：∵(an ＋1－an)g(an)＋f(an)＝0，f(an)＝(an －1)2，g(an)＝10(an －1)， ∴(an ＋1－an)·10(an －1)＋(an －1)2＝0， 即(an －1)(10an ＋1－9an －1)＝0.若an≠1，则有10an ＋1－9an －1＝0， 即an ＋1－1＝910(an －1)，∴an ＋1≠1，又∵a1＝2，∴对任何n ∈N*，an －1≠0， ∴an ＋1－1an －1＝910，∴{an －1}是以a1－1＝1为首项，910为公比的等比数列．(2)由(1)可知an －1＝(910)n －1(n ∈N*)，∴bn ＝910(n ＋2)(an －1)＝(n ＋2)(910)n ，bn ＋1bn＝n ＋3910n ＋1n ＋2910n ＝910(1＋1n ＋2)．当n ＝7时，b8b7＝1，b8＝b7；当n ＜7时，bn ＋1bn ＞1，bn ＋1＞bn ；当n ＞7时，bn ＋1bn ＜1，bn ＋1＜bn ，∴当n ＝7或n ＝8时，bn 取最大值，最大值为b7＝b8＝98107.(3)由tm bm ＜tm ＋1bm ＋1，得tm[1m ＋2－10t9m ＋3]＜0. (*)依题意，(*)式对任意m ∈N*恒成立，①当t ＝0时，(*)式显然不成立，因此t ＝0不合题意．②当t ＜0时，由1m ＋2－10t9m ＋3＞0，可知tm ＜0(m ∈N*)．而当m 是偶数时，tm ＞0，因此t ＜0不合题意． ③当t ＞0时，∵tm ＞0(m ∈N*)，∴1m ＋2－10t 9m ＋3＜0， ∴t ＞9m ＋310m ＋2(m ∈N*)．设h(m)＝9m ＋310m ＋2(m ∈N*)，∵h(m ＋1)－h(m)＝9m ＋410m ＋3－9m ＋310m ＋2＝－910·1m ＋2m ＋3＜0，∴h(1)＞h(2)＞…＞h(m －1)＞h(m)＞…， ∴h(m)的最大值为h(1)＝65，∴实数t 的取值范围是t ＞65.点评 递推数列问题是高考的热点问题，而本题将函数、数列、不等式融为一体，综合性比较强，覆盖的知识点比较多．第(1)问是由函数切入，关键在于对递推关系式an ＋1＝910an＋110作合理的变形；第(2)问实际上是研究数列的单调性；第(3)问中的“恒成立”是高考的热门话题，需要多多体会该题型的解法技巧.变式迁移5已知数列{an}中，a1＝1，且点P(an ，an ＋1)(n ∈N*)在一次函数y ＝x ＋1的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若函数f(n)＝1n ＋a1＋1n ＋a2＋1n ＋a3＋…＋1n ＋an (n ∈N*，且n≥2)，求函数f(n)的最小值；(3)设bn ＝1an ，Sn 表示数列{bn}的前n 项和．试问：是否存在关于n 的整式g(n)，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn －1＝(Sn －1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由．解析 (1)∵点P(an ，an ＋1)在函数y ＝x ＋1的图象上，即an ＋1－an ＝1，又a1＝1， ∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴an ＝1＋(n －1)·1＝n.(2)∵f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，f(n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴f(n ＋1)－f(n)＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＞12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，∴f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(2)＝712.(3)∵bn ＝1n ，∴Sn ＝1＋12＋13＋…＋1n，∴Sn －Sn －1＝1n (n≥2)，即nSn －(n －1)Sn －1＝Sn －1＋1，∴(n －1)Sn －1－(n －2)Sn －2＝Sn－2＋1，…，2S2－S1＝S1＋1，∴nSn －S1＝S1＋S2＋…＋Sn －1＋n －1，∴S1＋S2＋…＋Sn －1＝nSn －n ＝(Sn －1)·n(n≥2)，∴g(n)＝n.故存在关于n 的整式g(n)＝n ，使等式对于一切不小于2的自然数n 恒成立.题型六 等差数列与等比数列的混合模型 例6某油库已储油料a 吨，按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出b 吨，设an 为正式运营后第n 年的储油量． (1)求an 的表达式并加以证明；(2)为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于23a 吨，如果b ＝724a 吨，该油库能否长期按计划运营，如果可以请加以证明，如果不行请说明理由．(取lg2＝0.30，lg3＝0.48)解析 (1)依题意，油库原有储油量为a 吨，则 a1＝54a －b ，a2＝54a1－b ＝(54)2a －(54＋1)b ，a3＝54a2－b ＝(54)3a －[(54)2＋54＋1]b.推测：an＝(54)na －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54＋1]b.＝(54)na －4[(54)n －1]b(n ∈N*)． 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a1＝54a －4(54－1)b ＝54a －b ，推测成立．②假设当n ＝k(k≥1，k ∈N*)时， ak ＝(54)ka －4[(54)k －1]b 成立．当n ＝k ＋1时，依题意ak ＋1＝54ak －b.∴ak ＋1＝54{(54)ka －4[(54)k －1]b}－b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－54]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b. 即当n ＝k ＋1时，推测也成立． 由①②知，对于n ∈N*，推测成立．(2)如果b ＝724a 吨时，该油库第n 年年底储油量不少于23a 吨，即(54)na －4[(54)n －1]·724a≥23a. 即(54)n≤3. n≤log 543＝lg3lg5－2lg2＝lg31－3lg2＝0.481－3×0.3＝4.8.答：该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营.变式迁移6为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到xx 年底，将当地沙漠绿化了40%.从xx 年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠．问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg2＝0.3，最后结果精确到整数．)解析 设该地区总面积为1,xx 年底绿化面积为a1＝25，经过n 年后绿洲面积为an ＋1.设xx年底沙漠面积为b1，经过n 年后沙漠面积为bn ＋1，则a1＋b1＝1，an ＋bn ＝1. 依题an ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an 减去被侵蚀的部分8%·an 的剩余面积92%·an ，另一部分是新绿化的12%·bn ，所以 an ＋1＝92%·an ＋12%(1－an) ＝45an ＋325， an ＋1－35＝45(an －35)，∴{an －35}是以－15为首项，45为公比的等比数列，则an ＋1＝35－15(45)n.∵an ＋1＞50%，∴35－15(45)n ＞12.∴(45)n ＜12.n ＞log 4512＝lg21－3lg2＞3. 则当n≥4时，不等式(45)n ＜12恒成立．所以至少需要4年才能使绿洲面积超过50%.题型七 递推数列模型例7某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d ＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r ＞0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n －1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n －2，….以Tn 表示到第n 年末所累计的储备金总额．(1)写出Tn 与Tn －1(n≥2)的递推关系式；(2)求证：Tn ＝An ＋Bn ，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列． 解析 (1)由题意有，Tn ＝Tn －1(1＋r)＋an(n≥2)．(2)证明：T1＝a1，对n≥2反复使用上述关系式，得Tn ＝Tn －1(1＋r)＋an ＝Tn －2(1＋r)2＋an －1(1＋r)＋an ＝…＝a1(1＋r)n －1＋a2(1＋r)n －2＋…＋an －1(1＋r)＋an ， ① 在①式两端同乘以1＋r ，得(1＋r)Tn ＝a1(1＋r)n ＋a2(1＋r)n －1＋…＋an －1(1＋r)2＋an(1＋r)， ②②－①，得rTn ＝a1(1＋r)n ＋d[(1＋r)n －1＋(1＋r)n －2＋…＋(1＋r)]－an ＝dr [(1＋r)n －1－r]＋a1(1＋r)n －an ，即Tn ＝a1r ＋d r2(1＋r)n －d r n －a1r ＋dr2.如果记An ＝a1r ＋d r2(1＋r)n ，Bn ＝－a1r ＋d r2－dr n ，则Tn ＝An ＋Bn.其中{An}是以a1r ＋d r2(1＋r)为首项，1＋r(r ＞0)为公比的等比数列；{Bn}是以－a1r ＋d r2－dr 为首项，－dr为公差的等差数列．点评 数列的递推应用问题往往是以一定的实际问题作为背景进行命题，本题以社会热点问题——养老储备金为背景，综合等差数列、等比数列的基本概念和基本方法等相关知识，考查考生阅读资料、提取信息、建立数学模型和应用所学知识分析和解决实际问题的能力．在构造数列模型时，最容易忽视的是哪一项是数列的首项，例如本题中第n 年末是数列的第n项还是第n ＋1项，同时还需要弄清楚是等差数列、等比数列模型还是递推数列模型，是求an 还是求Sn 等.变式迁移7△OBC 的三个顶点的坐标分别为O(0,0)、B(1,0)、C(0,2)，设P1为线段BC 的中点，P2为线段CO 的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n ，Pn ＋3为线段PnPn ＋1的中点，令Pn 的坐标为(xn ，yn)，an ＝12yn ＋yn ＋1＋yn ＋2. (1)求a1，a2，a3及an ；(2)证明：yn ＋4＝1－14yn ，n ∈N*； (3)若记bn ＝y4n ＋4－y4n ，n ∈N*，证明：{bn}是等比数列．解析 (1)因为y1＝y2＝y4＝1，y3＝12，y5＝34， 所以a1＝a2＝a3＝2，又由题意可知yn ＋3＝yn ＋yn ＋12， 得到an ＋1＝12yn ＋1＋yn ＋2＋yn ＋3＝12yn ＋1＋yn ＋2＋yn ＋yn ＋12＝12yn ＋yn ＋1＋yn ＋2＝an ，所以{an}为常数列，即an ＝a1＝2，n ∈N*.(2)证明：将等式12yn ＋yn ＋1＋yn ＋2＝2两边同除以2，得14yn ＋yn ＋1＋yn ＋22＝1， 又yn ＋4＝yn ＋1＋yn ＋22，所以14yn ＋yn ＋4＝1， 即yn ＋4＝1－14yn ，n ∈N*. (3)证明：因为bn ＋1＝y4n ＋8－y4n ＋4＝(1－14y4n ＋4)－(1－14y4n)＝－14(y4n ＋4－y4n)＝－14bn ，又b1＝y8－y4＝－14≠0，所以{bn}是首项为－14、公比为－14的等比数列.方 法 路 路 通1．数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．2．在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数列模型，然后再应用数列的通项公式和求和公式求解；②用无穷递缩等比数列的求和公式求解；③通过归纳得到结论，用数列知识求解．3．建立数学模型的一般方法步骤是：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题；②弄清题目中的主要已知事项；③明确所求的结论是什么．(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系式、方程、不等式)．4．建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比数列模型，还是递推数列模型？是求an 还是求Sn ，n 是多少？正 误 题 题 辨例一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？错解 因球每次着地后跳回到原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成一公比为12的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，共经过的路程应为其前10项之和．即：S10＝100[1－1210]1－12≈199(米) 点击 上述解法中，忽略了球落地一次的路程有往有返的情况．正解 球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了2×1002＝100(米)，从这时到球第三次着地时经过了2×10022＝50(米)…….因此到球第十次着地时共经过的路程为：100＋100＋1002＋10022＋…＋10028可见从第一次着地开始，每一次着地经过的路程形成一等比数列，故到球第10次着地时总共经过的路程为：100＋100[1－129]1－12≈300米．。