高考数学数列大题专题训练

高考数学数列大题专题训练

命题：郭治击 审题：钟世美

参考答案

1.解：（Ⅰ）设221,,,+n t t t 构成等比数列，其中100,121

==+n t t ，则

2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①

1212t t t t T n n n ⋅⋅⋅=+⋅+

②

①×②并利用)21(,102213+≤≤=⋅=⋅+-+n i t t t t n i n i

，得

（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知 另一方面，利用 得 所以

2.解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A 5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列，

所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .

所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a 2000—a 1000≤1， a 2000—a 1000≤1 …… a 2—a 1≤1

所以a 2000—a≤19999，即a 2000≤a 1+1999.

又因为a 1=12，a 2000=2011,

所以a 2000=a 1+1999.

n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列.

综上，结论得证。

（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则

因为2111112c c a a c a a ++=++=

……

所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S

因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以

所以)1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数,

所以要使2

)

1(,0)

(-=n n A S n 必须使

为偶数, 即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即.

当

,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n 的项满足数列时14=k a ),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a

当n A E N m m n

数列时,*)(14∈+=的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a

当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，

使得.0)(,01==n A S a

3.

4.解（１）法一：

1

12(1)

n n n a ba n a n --=

+-，得

111

2(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+⋅， 设

n n n b a =，则121

n n b b b b

-=⋅+(2)n ≥， （ⅰ）当2b =时，

{}n b 是以

12为首项，1

2

为公差的等差数列， 即111

(1)222

n

b n n =

+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠

时，设12()n n b b b λλ-+=

⋅+，则122

(1)n n b b b b

λ-=⋅+-， 令21(

1)b b λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b

-∴+=⋅+--(2)n ≥，

知12n

b b +

-是等比数列，11112()()22n n b b b b b -∴+=+⋅--，又11

b b

=， 12112()222n n

n n n

b b b b b b b -∴=⋅-=⋅

---，(2)

2n n n n

nb b a b -∴=-．

法二：（ⅰ）当2b =时，

{}n b 是以

12

为首项，

12

为公差的等差数列，

即111

(1)222

n

b n n =

+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，332233

33(2)

242

b b b a b b b -==++-，

猜想(2)

2

n n n n

nb b a b -=-，下面用数学归纳法证明： ①当1n

=时，猜想显然成立；

②假设当n k =时，(2)

2

k k k k

kb b a b -=-，则 11

11

(1)(1)(2)(1)(2)

2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===

+--+⋅--， 所以当1n k =+时，猜想成立，

由①②知，*n N ∀∈，(2)

2n n n n

nb b a b -=-．

（２）（ⅰ）当2b =时，

1

12212

n n n a ++==+，故2b =时，命题成立；

（ⅱ）当2b ≠

时，22122n n n n b b ++≥=，

21211222n n n n b b b --+⋅+⋅≥=，

11111,222n n n n n n b b b +--++⋅+⋅≥=，以上n 个式子相加得

2212n n b b -+⋅+

111122n n n n b b +--++⋅+⋅+

2121222n n n n b n b -++⋅+≥⋅，

2111211(2)(22)2(2)

n n n n n n n n n b b b b +++++-⋅+⋅-=

-1

112n n b ++=+．故当2b ≠时，命题成立； 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．

5.解：（I ）由已知1,n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得

即21(1),n n a r a ++=+

又21,a ra ra ==所以r=0时，

数列{}n a 为：a ，0，…，0，…；

当0,1r

r ≠≠-时，由已知0,0n a a ≠≠所以（*n N ∈）

，