16.3分式方程(二)

100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做分式方程.
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。 以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
x2 x (1) 2 3
4 3 7 x y
2、解这个整式方程.
3、检验 4、写出原方程的根. 为什么要检验？
一化二解三检验
1 10 例1： 解分式方程： 2 x 5 x 25
方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10 解得： x=5
为什么会产生 增根？增根产 生的原因？
检验：当x=5时最简公分母（x-5）（x+5）=0， 所以x=5是增根。
k x k2
• 当x=1时,原方程无解，则k=-1
• 当x=-1时，k值不存在 • 当k=-2时，k+2=0, 原方程无解
∴当k=-1或k=-2时，原方程无解
思考：“方程有增根”和“方程无解” 一样吗？ “增根”是你可以求出来的，但代入后方 程的分母为0无意义，原方程无解。 “无解”包括增根和这个方程没有可解的根
例2：k为何值时，方程 增根？
k 1 x 3 产生 x2 2 x
问：这个分式方程何时有增根？ 答：这个分式方程产生增根，则增根一定是使 方程中的分式的分母为零时的未知数的值，即 x=2。 问:当x=2时，这个分式方程产生增根怎样利用 这个条件求出k值？
答：把含字母k的分式方程转化成含k的整式方 程，求出的解是含k的代数式，当这个代数式等 于2时可求出k值。
1、加深解分式方程的思路
2、利用增根解决问题 3、分清“有增根”和“无解”的 区别
x 1 m 1.m为何值时，方程 x 1 x 1 增根？
会产生
3 k 1 2.若关于x的方程 产生增 1 x 根，k为何值？ x 1
例3：
k为何值时，分式方程 有增根？ 解： 方程两边都乘以(x-1)(x+1),得
x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0 解，得
k x k2
x k x 0 x 1 x 1 x 1
• 当x=1时,原方程有增根，则k=-1
• 当x=-1时，k值不存在 ∴当k=-1，原方程有增根。
变式2： K取何值时，分式方程 有解？
x k x 0 x 1 x 1 x 1
x-3 1.解关于x的方程 x-1 = 则常数m的值等于( ) (A)-2 (B)-1
m x-1 (C ) 1
产生增根,
(D) 2
x m 2.当m为何值时，方程 x 3 2 x 3
无解？有解呢？
变式1：
k 1 x 3 k为何值时，方程 x2 2 x
无解？
变式2：
k为何值时，方程
k 1 x 3 有解？ x2 2 x
思考：“方程有增根”和“方程无解” 一样吗？
例4： x k x 0 k为何值时，分式方程 x 1 x 1 x 1 无解？ 解： 方程两边都乘以(x-1)(x+1),得 x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0 解，得
例2：k为何值时，方程
k 1 x 3 产生增根？ x2 2 x
解：方程两边都乘以x-2，约去分母，得
k+3（x-2)=x-1 解这个整式方程，得
5k x 2
当x=2时，原分式方程产生增根，即
5k 2 2
解这个方程，得 K=1
k 1 x 3 所以当k=1时，方程 产生增根。 x2 2 x
1.什么是整式方程？ 分母里不含有未知数的方程叫 做整式方程。 2.什么是分式方程? 分母里含有未知数的方程叫做 分式方程。
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,
它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与
以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水
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的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
3 2 (2) x x3
3X-9=2X 解得 X=9 检验：X=9时X(X-3) ≠0 所以X=9是原方程的解
解：去括号，得3x-9=2x 方程两边同乘以X(X-3)得： 移项，得3x-2x=9 解得x=9
解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
原分式方程无解。
对于分式方程，当分式中分母的值为零时无 意义，所以分式方程，不允许未知数取那些 使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐 含着分母不为零的条件。当把分式方程转化 为整式方程以后，这种限制取消了，换言之， 方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化 后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允 许值之外的值，那么就会出现增根。
整式方程
1 3 (2) x2 x
x ( x 1) (4) 1 x
(3)
3 x

x 1 x 2 10 （6） x 5 2
1 （5）x 2 x
2x 1 3x 1 x
分式方程
解分式方程 的步骤是什 么？ 解分式方程和解整式方程有什么区别？
(1) 3(X-3)=2X