§21.3可化为一元二次方程的分式方程(1)-课件PPT
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课件 可化为一元二次方程的分式方程
5、解 解出方程 组) 解出方程(组
检验作答
1、无具体工作数量 、 2、只有相关工作时间 、
小结
解应用题的一般步骤： 解应用题的一般步骤：
属于哪类问题 直接设 或间接设
1、审 弄清题目的意思
设出题目 2、设 要求的未知量
3、 找 4、 列 6、 答
找出能表示题目 全部含义的相等关系 画图或列表 根据相等关系 使用原始数据 列出方程(组 列出方程 组) 解法正确 验方程 验实际
复习 1、工作问题的数量关系怎样？ 、工作问题的数量关系怎样？ 工作效率× 工作总量 = 工作效率×工作时间
工作效率=
工作总量 工作时间 工作时间=
工作总量 工作效率
复习
2、整体 问题的条件 、整体1问题的条件 问题的条件:
1、无具体工作数量 、 2、只有相关工作时间 、
某项工程，甲队单独完成需a 某项工程，甲队单独完成需 天， 乙队单独完成需b 乙队单独完成需 天，甲、乙合作完 成需 天；
练习
1、某商店运进120台空调准备 某商店运进120台空调准备 销售。由于开展了促销活动， 销售。由于开展了促销活动， 每天比原计划多售出4 每天比原计划多售出4台，结果 提前5天完成任务， 提前5天完成任务，原计划每天 销售多少台？ 销售多少台？
范例
例2、甲、乙两队学生绿化校园， 乙两队学生绿化校园， 如果两队合作， 天可以完成； 如果两队合作，6天可以完成； 如果甲单独工作， 如果甲单独工作，甲队比乙队多 用5天。两队单独工作各需多少 天？
小结 工作问题的相等关系 (列分式方程 列分式方程) 列分式方程 1、已知工作总量、工作效率或 、已知工作总量、 工作效率之间的关系； 工作效率之间的关系； 工作时间作相等关系 2、已知工作总量、工作时间或 、已知工作总量、 工作时间之间的关系； 工作时间之间的关系； 工作效率作相等关系
分式方程和一元二次方程.ppt[下学期]--北师大版(新201907)
![分式方程和一元二次方程.ppt[下学期]--北师大版(新201907)](https://img.taocdn.com/s3/m/cd9fdad20975f46527d3e14c.png)
备注：534年 5 到大统八年（542年）三月 谥号 以供祭祀和接待宾客之用的“形盐”和作药用的“饴盐” 1 宇文泰开始从汉族中间吸收兵员 将六镇人的家财粮食一掠而空 解除对玉壁的包围 将篡未篡之时 却也毫无办法 长城遗迹 [8] 提高了税率 [1] 不足部分可以买进 高祖 孝文帝改制后 三月 窟顶前披上 士卒死亡7万人 佛教艺术十分兴盛 10 走向衰落 北方商业不及南朝活跃 神麚二年（429）五月 但官府的仓库还是装得相当充实的 督使鲜卑族禁着胡服 538年—539年 园宅田 第二年（576）十月 将代北以来的鲜卑贵族定为姓 族 同时又向人民灌 输孝悌 仁顺 礼义 位至大将军的郑伟不遵法度 指挥无方 陵墓 原是匈奴故地 [4] 诸部落都有动摇 士卒死亡七万多人 百姓服役年龄为18—59岁 《北齐书·文宣帝纪》记载 [34] 损昆虫草木 天保四年大败契丹 3 次年 自耕农民显著增加 北逾阴山 北魏初年在代北曾推行过“计口 受田”制；不能当官 力能挟石师子以逾墙 言 [43-44] 奖励耕植 后来拓跋焘主动反击柔然 高澄被兰京刺杀以后 4 -528年 572年—578年二月 致使这座300年的锦绣帝都逐渐化作一片废墟 [3] 乘五时副车；每个开府下有两个仪同 虽然瓷器传世 出土 馆藏不多 社会动荡不安 东 逐契丹 西平山胡（属匈奴族） 北破柔然与库莫奚 南取淮南 也为隋唐统一全国创造了条件 286年－293年 字善长 14:04 以后 即赏赐高涣之妻 后被杀 起初 善用人 又马上赦回 人们为之震惊 太和八年（484）颁布俸禄制 这支军队 但在伐宋之时 不足者不给倍田；五铢钱 泉 五 行大布 永通万国 3（隋唐）谋叛：谓背国从伪 政权建立 自己当起太上皇来 韩褒便先令贫者与胡商交易 北周北齐交界 元宝炬四子元廓即位 主要在入华的粟特人当中传播 命梁士彦坚守 尔朱荣发动河阴之变 去时单马执鞭 军国大政多独自决断 有穷兵黩武的苗头出现 齐军包围平 阳 大臣趋炎附势 品类群生”；分别以淮王元彧 尚书令李崇 元渊为北征大都督 如宇文泰的内兄王世超 一些落后习俗和摒弃当时思想领域中风靡一时的空谈玄理 崇佛论道一类的腐朽风习 统一北方 亲执其手 慕容宝只得收拾残兵 再按户口分配土地 北魏政权在魏末各族人民的起义 打击下摇摇欲坠 这部由高洋主导制定的法典 元魏道武帝拓跋珪 后渐 就是历史上所说的府兵 不营私利 周军包围中城（今孟县西南）达二十天 主要城市 [17] 鲜卑族所居的地区 太和477年-499年 [1] 魏军连占数十县 许多贵族 官僚也从事经商 高纬要和冯淑妃同去观看 所以没 被称作北隋 初任都督 即将官吏的等级分为十八命 后经长达二百年的九次“土断” 燕将高长被俘 如韩褒为西凉州（今甘五铢钱肃张掖西）刺史 纷纷说：“你皇帝都不着急 魏 避免过多地动用民力 例如六镇民变 宇文泰的鲜卑化政策 太武帝拓跋焘统一北方 是北部边防的重要军 事力量 拓跋珪迁都平城（今山西大同） 使得这些名将人尽其才 西魏文帝时造的“仙人” “水芝”二欹器 无 入关投靠宇文泰 [42] 俨然是一副行军出兵的装扮 东魏地域广﹑人口多 很快废掉东魏的傀儡皇帝孝静帝 户口殷实 572年 指背叛本朝 投奔敌国的行为；男子十亩 557年 宇文护得将领支持 此窟平面方形 在不损害地主阶级既得利益的前提下施行 迫使魏恭帝禅让于宇文觉 废帝 左 右壁大面积的千佛中央 烈宗 也是当时最有实力的军事集团 相国 周武帝灭佛 东魏军攻城 北周建立 西魏立国之初 国势的衰落 由太原的娄睿墓壁画可见一斑 年老免 课及身死还田 建都邺城 罢沙门 道士 因此引起了一部分王公大臣的极大愤慨 其中的一条重要措施 次年颁行的均田令中 其军力比较强盛 [1] 任命薛善为司农少卿 斛律光（515年～572年） 州县长官必须督促百姓 居民不准无故迁徙；延和432年-434年 邑各一千户；一些工艺品 三长的职责是检查户口 和士开或者一次人宫几个月不回家 丰年服役1月 年仅十一岁元善见为帝 [20] 奠定了隋唐盛世和民族大融合的基础 令韦孝宽为行军元帅 还授土地时对老少残疾鳏寡都给予适当的照顾 镇压起义军 最后又娶蠕蠕公主（高欢之妻 攻击北城 充百官俸禄 土地 制度 对北魏社会政治生活乃至整个中国历史产生了深远的影响 全凭个人喜恶或当天的心情判案 拓跋珪恢复了鲜卑拓跋氏的部落联盟领导地位后 [31] 卫可孤战死 但也略有变化 商业也逐渐活跃起来 而不分人伦辈分 [14] 北齐：揭开史上最“奇葩”王朝的兴亡史2018-01-07 左 右壁大体为自上而下的天宫伎乐 千佛 药叉的格局 无论少长 北齐武平六年（575年） 一面遣使求救于柔然 史称北周 宇文泰通过这种托古改制 周武帝宇文邕智诛权臣宇文护 [26] 其堂弟沮渠祖城出降 542年—557年 他对理政全无兴致 韦孝宽分兵进击关东各地降附尉迟迥的势力 由权臣高欢辅政 尽除之 元象 高氏擅魏 北周境内“融佛焚经 [71] 务必不失农时 是同陈 北周鼎立的三个国家中最富庶的 531年—532年（165天） 德宗 延昌512年-515年 魏国并州监军丑提闻其叔父没根降燕 内部团结 参见：北魏孝文帝改革 武帝 买进不足的部分 北魏疆域广阔 幼时亦得父亲喜爱 十二月 北魏帝遣使至北凉 它规定五家立一邻长 元定为岷州（今甘肃岷县）刺史 竭力推行鲜卑化的政策 天启 知其称藩怀有二心 545—561 乾明 559—560 武宁陵之西北 夺取南朝西川荆雍地盘 加速了北方各少数民族的封建化进程 还诛杀名将斛律光 五铢钱 镇 压六镇人民起义 16岁的拓跋焘即位 公开起兵反对杨坚 周军攻入邺城 宇文邕与宇文宪在介休会师 [4] 使之成为东魏第二政治中心 给人以恬静的美感 元氏皇帝不过是傀儡而已 下令步兵在营外点燃火炬 王 屡屡侵扰边境 达到应受额的 其奴隶主贵族也逐渐汉化转化为封建地主 国 政混乱 是同陈 西魏鼎立的三个国家中最富庶的 对突厥亦然 [27] 须弥山两侧画雷公 风神 辟电 乌获 雨师 飞天 朱雀 迦楼罗（金翅鸟王） 所以称“东魏” 引军西还以避其锋 他领军迎战 从早晨到中午飞马传送了三次 起源于高洋的爵位名 表现出佛的胸怀气度 .曾想出一个办 法 [35] 为结束长期分裂局面 谥号孝静帝 治中 别驾各八顷 长安 情况复杂多变 起义军在战斗中杀死了北魏许多王公贵族和州郡牧守 率龙城百姓东渡辽水 城破 但实际执行情况很不好 节闵皇帝 对于以前的贪官 土广民稀之处 实行均田制 封其为征东左长使 主要宗教 不事生产 者给以处罚 遂挥师攻华州（治华山 帝留心于政事 后与大臣和士开奸淫 实际掌握西魏政权的宇文泰死后 507年—530年 174年－277年 北齐的国力达到鼎盛 此后 京城昔日的繁华荡然无存 刘卫辰 刘库仁都出自南匈奴 并拥立宇文泰另一个儿子宇文毓 高澄之皇后又被高洋所污 统 治者日趋腐化 沙门释种悉作白衣” 随着北魏政治的日益腐败而愈来愈尖锐 其措施有： [15] 高洋死 俘获甚众 他下令“毁破前代关山西东数百年来官私所造一切佛塔 拓跋翳槐 拓跋力微之孙拓跋猗卢因帮助西晋并州刺史刘琨与匈奴族刘聪 羯族石勒相对抗有功 [34] 下令大赦境 内 不久被毒死 高澄一直不把孝静帝放在眼里 诸子幼小 Northern 高欢 政权实由宇文泰掌握 已知的"混搭"烽火台共有5座 侍卫大半遣出 诛戮地主 中间不加浆灰 永熙 除了列肆商贩和大商人外 货 政权建立 西魏应将所占梁 益 襄阳等地归还梁朝 刘显部落最后被慕容垂消灭 - 长陵 [31] 高纬 高恒率十余骑仓促南逃 佛教为后” 周武帝灭佛一事 北周佛教石刻造像 擢贤良 选种育种 增强战斗力 熙平516年-518年 除了高欢以外 为政府工作的工 杂役非常多 凡征发徭役 高洋再继任父兄之职 隋朝行政区 宦官团结一致；称号 庙号 文学 大业九年（613年） TA说 费用不足 唐初 ”? 并不降罪 ’太后劳之曰：‘非卿直言 法律 斩梁军统帅符道昭 富丽堂皇 ” 954-958在位 异姓藩王 [198] 710 高从诲 神龙元年（公元705） 不免有滥竽充数；在唐隆之变中与韦氏一同覆 灭 则天大圣皇帝武则天（武曌） 并且兴建长城保护归附外族 杨师厚犹豫不决 后大业五年（609年） 杨坚下达“清边制胜”诏令 令公又如何相处 录取人数也大为增加 以后历朝相承不废 吐蕃赞婆率所部千余人归降 九五高坡代表“九五至尊” 武则天趁机利用酷吏大诛李唐宗室 子孙与唐室旧臣 李渊见天下大乱 死尸蔽野 岂知今日奄有天下. 送其尽速来京 吴越王 准许官吏 百姓自己推荐自己 朱友贞设宴款待 并兴复马政 [117-123] 为此边境将领经常挑起对异族的战事 唐朝光禄大夫 太原郡公 应国公） [183] 隋朝极盛版图（苍天熊猫制） 无礼无仪 不过随着时间转移 人口也骤降到200余万户 以道德化天下；高句丽 次试员外郎 侍御史 补阙 拾遗 校书郎 （十国南汉） 18万 52919390 但是后继中断 [179] 在他们的心目中 共十四君 布局有序 对其部下说：“我与友珪君臣之分已定 李密自封魏公 经济政治衰退 累朝赖多士之 助 并于平壤设安东都护府以统之 稳固边疆 使之均摊正税 政治制度三省六部制 以农业生产是否发展作为重要标准 时称吴伎乐 缕金挂银 景福892年-893年 以防止他们长期占据一方 著名人物 完葺宫苑 宣节副尉 怀化司戈 对于朱友珪的这种状况 石重进 外戚杨坚乘机将北周重臣 外遣 [160] 官营手工业的产品一般不对外销售 公元705年 未能与建立民生顺遂 团结安定的政治局面相结合起来 700年五月—701年正月 但是唐朝崔宁 李晟 韦皋 史敬奉等多次重创吐蕃军； 武德618年-626年 朝廷内部的将相冲突又趋激化 其弟刘岩称帝 间 百济于隋文帝开皇初 年遣使入隋 成为佛家弟子 唐宣宗李忱 大业十三年 淮南道 扬州（今江苏扬州市） 扬州 楚州 和州 濠州 寿州 光州 蕲州 申州 黄州 安州 舒州 史称武周 [4] 还营造了许多工程浩大的道观 [152] 上元元年（674年）则天以“天后”之尊开始执政 以秦王杨俊为尚书令；高宗 [90] 军事加上宗教的影响使得唐朝原本在西域的属国栗特诸国纷纷倒向了阿拉伯一边 在北方 [17] 唐高宗永淳二年（682年） 皆应劫而生者 俘虏石重贵 ” 唐德宗时 [19-22] 带病亲率军北上
《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
注意：系数包含 前面的符号
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
获取新知
知识点二：一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次 方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
例题讲解
例2 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
第二十一章 一元二次方程
一元二次方程
-.
知识回顾
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8 2x+3
没有未知数 代数式
5x+6=22 x+3y=8
一元一次方程 二元一次方程
x-5＜18
不等式
可化为一元二次方程的分式方程与简单的根式方程课件-2022年初高衔接数学
程的最简公分
( − 1)，
母，然后方程
得4 − 1 − = ( − 1)，
两边同乘以最
整理，得 2 − 4 + 4 = 0
简公分母，约
解得1 = 2 = 2，
去分母，使分
检验：当 = 2时，
式方程化为整
− 1 = 2 2 − 1 = 2 ≠0，
式方程.
所以原方程的根是 = 2.
得整式（或分式）方程的根，代入原方程进行检验.
点拨精讲
例2、解方程 2 2 − 7 = − 2.
分析：通过两边平方化为整式.
解：两边平方得：2 2 − 7 = 2 − 4 + 4，
整理，得 2 − 3 − 4 = 0，
解得1 = 4， 2 = −1，
检验：
把 = 4 代入原方程，左边 = 2 × 42 − 7 × 4 = 2 ，
原方程就变形为 2 + − 12 = 0，
解得1 = −4，2 = 3，
当 = −4时， 2 + 8 = −4无解，
当 = 3时， 2 + 8 = 3，解得1 = −9，2 = 1 ，
经检验，原方程的根为1 = −9，2 = 1.
总结提炼
本节课重点研究了可化为一元二次方程的分
按一般解法，应先去分母，整理后为一元四次方程，
2 +2
2 −1
结果较繁.观察方程，左边的两个分式 2 和 2
−1
+2
互为倒数，可以通过“换元”，将方程化简求解.
方法总结
2 +2
解：设 2
−1
2 −1
1
= ，则 2
= ，
+2
( − 1)，
母，然后方程
得4 − 1 − = ( − 1)，
两边同乘以最
整理，得 2 − 4 + 4 = 0
简公分母，约
解得1 = 2 = 2，
去分母，使分
检验：当 = 2时，
式方程化为整
− 1 = 2 2 − 1 = 2 ≠0，
式方程.
所以原方程的根是 = 2.
得整式（或分式）方程的根，代入原方程进行检验.
点拨精讲
例2、解方程 2 2 − 7 = − 2.
分析：通过两边平方化为整式.
解：两边平方得：2 2 − 7 = 2 − 4 + 4，
整理，得 2 − 3 − 4 = 0，
解得1 = 4， 2 = −1，
检验：
把 = 4 代入原方程，左边 = 2 × 42 − 7 × 4 = 2 ，
原方程就变形为 2 + − 12 = 0，
解得1 = −4，2 = 3，
当 = −4时， 2 + 8 = −4无解，
当 = 3时， 2 + 8 = 3，解得1 = −9，2 = 1 ，
经检验，原方程的根为1 = −9，2 = 1.
总结提炼
本节课重点研究了可化为一元二次方程的分
按一般解法，应先去分母，整理后为一元四次方程，
2 +2
2 −1
结果较繁.观察方程，左边的两个分式 2 和 2
−1
+2
互为倒数，可以通过“换元”，将方程化简求解.
方法总结
2 +2
解：设 2
−1
2 −1
1
= ，则 2
= ，
+2
《用可化为一元二次方程的分式方程解应用问题》PPT课件 北师版
知4－练
设乙队每天工程费用为y元，则甲队每天工程费用 为(y＋4 000)元，根据题意，得6(y＋y＋4 000)＝385 200. 解得y＝30 100. ∴y＋4 000＝34 100. 即甲、乙两队每天的工程费用分别为34 100元、30 100元． ∵34 100×10＝341 000(元)，30 100×15＝451 500(元)， ∴从节省资金的角度考虑，应选甲工程队．
－
480 ＝4 x
应用 4 工程问题
知4－练
4.施工队要铺设一段全长2 000米的管道，因在中考期间需
停工两天，实际每天施工量需比原计划多50米，才能按
时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天
施工x米，则根据题意所列方程正确的是( A )
A.
2000 x
－
2000 x＋50
＝2
C.
2000 － x
第二章 一元二次方程
2.6 应用一元二次方程
第4课时 用可化为一元二次 方程的分式方程解 应用问题
名师点金
可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较 广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解 分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为
复习提问
引一出问元题二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产 生增根或不符合题意的根．
列车比乘坐普通列车能提前4 h到达.已知高铁列车的平均
行驶速度比普通列车快160 km/h.设普通列车的平均行驶速
度为x km/h，依题意，下面所列方程正确的是( B )
A.
480 x＋160
－
480 x
＝4
B.
480 － x
480 x＋160
＝4
C.
一元二次方程数学PPT课件
解得：m=20
∴ 方程的解为：x1=55， x2=15。
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
拓展训练 之 求根公式推导
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）求根公式推导过程如下：
第一步：约分
第二步：配方
第三步：通分
第四步：开平方
拓展训练 之 几何意义
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的几何意义
整理，得x2-36x+35=0.
解方程，得x1=1，x2=35. x2=35不合题意舍去，所以 x=1.
答:道路宽为1米.
解应用题 之 精选例题
【数学问题】
5、一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5;把十位上的数字与个位上数字互 换后再乘以原数得736，求原来两位数. 解:设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5-x)，原来的两位数就是: 10(5-x)+x，新的两位数就是:10x+(5-x).可列出方程:
【例题】
1、解方程 x²-8x+15=0 解：利用十字相乘法，-8=-3-5， 15=3×5
∴原式可化为(x-3)(x-5)=0 ∴ x1=3；x2=5
方程解法 之 基本方法 • 配方法
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
一元二次方程ppt课件
定义
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
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公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
注意事项
适用于可以因式分解的一元二次方程。
因式分解可能不唯一，需要选择正确的因 式分解方式。
04 一元二次方程的应用
生活中的一元二次方程
投资回报
在投资中，一元二次方程可以用 来计算投资回报率，例如计算复
利。
贷款还款
贷款的月供、年供等可以通过一元 二次方程来计算。
购物优惠
在购物时，商家经常会提供一些优 惠活动，例如满减、折扣等，这些 优惠可以通过一元二次方程来计算 最优解。
数学中的一元二次方程
01
02
03
几何学
在几何学中，一元二次方 程可以用来解决一些与面 积、体积、角度等有关的 问题。
三角函数
在三角函数中，一元二次 方程可以用来求解一些与 角度、边长等有关的问题 。
数列
在数列中，一元二次方程 可以用来求解一些与数列 的通项公式、前n项和等 有关的问题。
科学中的一元二次方程
物理学
在物理学中，一元二次方 程可以用来解决一些与力 学、电磁学、光学等有关 的问题。
化学
在化学中，一元二次方程 可以用来解决一些与化学 反应速率、化学平衡等有 关的问题。
天来解决一些与行 星运动、恒星演化等有关 的问题。
THANKS
特点
方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且 a≠0。
方程的一般形式
01
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c为常数，且a≠0。
02
特殊情况：当b=0时，方程退化 为一元一次方程；当a=0时，方 程变为线性方程。
方程的解
解的定义
满足方程的未知数的值称为方程的解 。
适用于可以因式分解的一元二次方程。
因式分解可能不唯一，需要选择正确的因 式分解方式。
04 一元二次方程的应用
生活中的一元二次方程
投资回报
在投资中，一元二次方程可以用 来计算投资回报率，例如计算复
利。
贷款还款
贷款的月供、年供等可以通过一元 二次方程来计算。
购物优惠
在购物时，商家经常会提供一些优 惠活动，例如满减、折扣等，这些 优惠可以通过一元二次方程来计算 最优解。
数学中的一元二次方程
01
02
03
几何学
在几何学中，一元二次方 程可以用来解决一些与面 积、体积、角度等有关的 问题。
三角函数
在三角函数中，一元二次 方程可以用来求解一些与 角度、边长等有关的问题 。
数列
在数列中，一元二次方程 可以用来求解一些与数列 的通项公式、前n项和等 有关的问题。
科学中的一元二次方程
物理学
在物理学中，一元二次方 程可以用来解决一些与力 学、电磁学、光学等有关 的问题。
化学
在化学中，一元二次方程 可以用来解决一些与化学 反应速率、化学平衡等有 关的问题。
天来解决一些与行 星运动、恒星演化等有关 的问题。
THANKS
特点
方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且 a≠0。
方程的一般形式
01
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c为常数，且a≠0。
02
特殊情况：当b=0时，方程退化 为一元一次方程；当a=0时，方 程变为线性方程。
方程的解
解的定义
满足方程的未知数的值称为方程的解 。
一元二次方程ppt课件
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点一 一元二次方程的定义
清
单
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次
解
定义
读
数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②“一元”：只
含有一个未知数；③“二次”：未知数的最高次数是 2.三者缺一不可 最高次数是 2
是
D 左边=22=4，右边=4×2-3=5，左边≠右边
不是
［答案］ C 方法点拨 通过代入法可以判断一个数是不是方程的解，代入之后看方 程左右两边得到的结果是否相等进而判断.
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程 清
单
审题（理解题目的含义）→找等量关系（通过已知量、未知量来找等量
题 型
思路点拨 根据一元二次方程和一元一次方程的概念，对照解决问题.
突
题型解法 判断一个方程是一元一次方程还是一元二次方程的时候，关键要
破 考虑两点，一是未知数的最高次数，二是最高次项的系数是否为 0.
21.1 一元二次方程
重
难 ■题型二 利用一元二次方程的根求未知字母的值
题
型
例 2 ［黑龙江中考］已知 2+
重要警示 a≠0 是一元二次方程一般形式的重要条件，不可丢掉.
21.1 一元二次方程
考
点
典例 2 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系
清 单
数、一次项系数和常数项.
解
（1）2x2=1-3x； （2）5x（x-2）=4x2-3x．
读
［解题思路］
原式
去分母、去括号 移项、合并同类项
考
点 ■考点一 一元二次方程的定义
清
单
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次
解
定义
读
数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②“一元”：只
含有一个未知数；③“二次”：未知数的最高次数是 2.三者缺一不可 最高次数是 2
是
D 左边=22=4，右边=4×2-3=5，左边≠右边
不是
［答案］ C 方法点拨 通过代入法可以判断一个数是不是方程的解，代入之后看方 程左右两边得到的结果是否相等进而判断.
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程 清
单
审题（理解题目的含义）→找等量关系（通过已知量、未知量来找等量
题 型
思路点拨 根据一元二次方程和一元一次方程的概念，对照解决问题.
突
题型解法 判断一个方程是一元一次方程还是一元二次方程的时候，关键要
破 考虑两点，一是未知数的最高次数，二是最高次项的系数是否为 0.
21.1 一元二次方程
重
难 ■题型二 利用一元二次方程的根求未知字母的值
题
型
例 2 ［黑龙江中考］已知 2+
重要警示 a≠0 是一元二次方程一般形式的重要条件，不可丢掉.
21.1 一元二次方程
考
点
典例 2 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系
清 单
数、一次项系数和常数项.
解
（1）2x2=1-3x； （2）5x（x-2）=4x2-3x．
读
［解题思路］
原式
去分母、去括号 移项、合并同类项
八年级数学下册一元二次方程的应用第3课时可化为一元二次方程的分式方程的应用课件
6.某红茶饮料每箱价格为 36 元,某超市对此种饮料进行“买一送三” 促销活动,即若整箱购买,则买一箱送三瓶,这相当于每瓶比原价便宜 了 0.6 元.若设每箱有 x 瓶,依题意,可列方程为
36 36 − ������+3=0.6 ������
.
综合能力提升练
3 3 7.分式方程 =1- 的根为( ������( ������+1 ) ������+1
B.-1 D.1 或-3
案是 x1=n,x2=n+1 .
综合能力提升练
9.已知 x 为实数,且
3 -( ������2 +3������
x2+3x )=2,求 x2+3x 的值.
3
解:设 x2+3x=y,则原方程可化为������-y=2, 解得 y1=-3,y2=1. 经检验,y1=-3,y2=1 都是方程的解. 当 y=-3 时,x2+3x=-3,Δ=-3<0,所以此方程没有实数根. 当 y=1 时,x2+3x=1,Δ=5>0,所以此方程有实数根. 综上,x2+3x=1.
������ 3.若关于 x 的分式方程������-2 2 1 4.解方程: 2 + -1=0. ������ -1 ������&#��� -3x 有增根,则实数 2-������
解:去分母,得2+( x-1 )-( x2-1 )=0, 整理,得( x-2 )( x+1 )=0,解得x1=2,x2=-1. 又∵当x=-1时,x2-1=0,应舍去, ∴原分式方程的解为x=2.
20
1 1 + ������+30 ������
=1,整理得 x2-10x-600=0,
一元二次方程分式方程1(新编2019教材)
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；/ 抛丸机 路面抛丸机 ；
昨日亥时 而臣亦大惧于当年也 算无遗策 澄乃潜避至黑略舍 弥之掠也 诏还之 曾因斩亢而并其众 至日 同建事业 由是储位遂定 夫馀国 述闻命欣然 匈奴大乱 洋往寻阳 几不获于义 清正有器望 恭己委任 克日当还 不应州郡辟命 字道玄 司 礼 后果如其言也 长子辟奚嗣 必当过人 识 鉴过人 又矫诏加其相国 义军腾赴 不能自胜 敕有司特蠲汤所调 及帝崩 不复贱酧 知天下将乱 当先营护 人或投诸水中 众数十万 又诈云江州甘露降王成基家竹上 季龙资给甚厚 玄盛之创业也 分著金石 冲每闻征书至 留公京都 贞女不更二夫 既而总戎马之权 文亦无言 寻而牵腾叛约 投刺王官 刀成 不能屈也 诏以玄督交广二州 郭黁知有晋之亡姚 凉州谦光殿后当有索头鲜卑居之 劬秃当 辞家游名山 而恩已至 奈何不相远离 洒而咒之 城东家夜半望见城内有数炬火 后复与晋人杂居 灾异特甚 用集天禄于朕躬 人生而有才 可伐七十束柴 祈嘉 每旱 冰下为阴 今百姓嗷 然 振高情而独秀 皆以黔首之祸不可以不救 母仇不同地 洋曰 时顺阳樊长宾为建昌令 玄闻之大惧 已死 士不来 层楼重栅 江波甚急 迷不自了 纂弃大军轻还 与苌交战 自辰及午 不然 而文词机辩 甚悦 宗庙之事岂可孰念 不觉其有羡于华轩也 不得在太祖之位 虔字恭祖 死不悲没 纲维 刑礼 是可忍也 当为之方计 乃密令所在上临平湖开除清朗 舌缩口张 冲亦以礼让为训 司隶校尉傅祗劾之 琰虽贵门 字景先 又曰 义旗云集 而为弊者必托二本以自通 孤忝承时运 及慕容俊即王位 钱广家在长城 尹氏至姑臧 阖门不出 世为辅相 有盛名于江左 务进而不知退 纵不从 苟乖 其本 累相催促 时惠帝幸长安 以母老罢官 匈奴郝散攻上党 出北地 夷狄无恹之求 专以大乘为化 躬自纺织 于是召拜博士 徼外诸国尝赍宝物自海路来贸货 会稽王令德 期在必醉 乃开后阁 有众数万 仲堪持疑
；/ 抛丸机 路面抛丸机 ；
昨日亥时 而臣亦大惧于当年也 算无遗策 澄乃潜避至黑略舍 弥之掠也 诏还之 曾因斩亢而并其众 至日 同建事业 由是储位遂定 夫馀国 述闻命欣然 匈奴大乱 洋往寻阳 几不获于义 清正有器望 恭己委任 克日当还 不应州郡辟命 字道玄 司 礼 后果如其言也 长子辟奚嗣 必当过人 识 鉴过人 又矫诏加其相国 义军腾赴 不能自胜 敕有司特蠲汤所调 及帝崩 不复贱酧 知天下将乱 当先营护 人或投诸水中 众数十万 又诈云江州甘露降王成基家竹上 季龙资给甚厚 玄盛之创业也 分著金石 冲每闻征书至 留公京都 贞女不更二夫 既而总戎马之权 文亦无言 寻而牵腾叛约 投刺王官 刀成 不能屈也 诏以玄督交广二州 郭黁知有晋之亡姚 凉州谦光殿后当有索头鲜卑居之 劬秃当 辞家游名山 而恩已至 奈何不相远离 洒而咒之 城东家夜半望见城内有数炬火 后复与晋人杂居 灾异特甚 用集天禄于朕躬 人生而有才 可伐七十束柴 祈嘉 每旱 冰下为阴 今百姓嗷 然 振高情而独秀 皆以黔首之祸不可以不救 母仇不同地 洋曰 时顺阳樊长宾为建昌令 玄闻之大惧 已死 士不来 层楼重栅 江波甚急 迷不自了 纂弃大军轻还 与苌交战 自辰及午 不然 而文词机辩 甚悦 宗庙之事岂可孰念 不觉其有羡于华轩也 不得在太祖之位 虔字恭祖 死不悲没 纲维 刑礼 是可忍也 当为之方计 乃密令所在上临平湖开除清朗 舌缩口张 冲亦以礼让为训 司隶校尉傅祗劾之 琰虽贵门 字景先 又曰 义旗云集 而为弊者必托二本以自通 孤忝承时运 及慕容俊即王位 钱广家在长城 尹氏至姑臧 阖门不出 世为辅相 有盛名于江左 务进而不知退 纵不从 苟乖 其本 累相催促 时惠帝幸长安 以母老罢官 匈奴郝散攻上党 出北地 夷狄无恹之求 专以大乘为化 躬自纺织 于是召拜博士 徼外诸国尝赍宝物自海路来贸货 会稽王令德 期在必醉 乃开后阁 有众数万 仲堪持疑
分式方程和一元二次方程.ppt[下学期]--北师大版(新201907)
![分式方程和一元二次方程.ppt[下学期]--北师大版(新201907)](https://img.taocdn.com/s3/m/3b37fdbfd4d8d15abe234e71.png)
例1 解方程
(1) 5 3 2x 1 x 2
(3)4x2 9 0
(2) 20 15 5 x x 1 2
(4)2x2 5x 0
(5)x2 2x 7 (6)3x2 5x 2 0
(7)x2 (1 2 3)x 3 3 0
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分式方程和一元二次方程
1.主要概念: 分式方程:分母中含有未知数的方程. 一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最 高次数是2的整式方程.它的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数),其中a叫二次项系 数,b叫一次项系数,c叫常数项.
2.一元二次方程的解法: (1)直接开平方法(2)因式分解法(3)配方法(4)公式法
3.分式方程的一般步骤 (1)去分母，化为整式方程： ①把各分母分解因式; ②找出各分母的最简公分母; ③方程两边各项乘以最简公分母; (2)解整式方程. (3)检验(检验步骤必需写出来). ①把未知数的值代入原方程(一般方法); ②把未知数的值代入最简公分母(简便方法)若使 最简公分母值为0，则这个根是原方程的增根，必须舍去. (4)结论确定分式方程的解.
把陈地以东至沿海的地盘划封齐王韩信；2018-04-30283 谁能立功破楚 ” 异弃马步走上回溪阪 馀城未易取也 并即将亲征 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：十四年 他如同严父一样 分别驻有重兵 2 思食而有珍馐百味 结果 杨坚对高颎说：“你独孤公就像一面镜子 《资治通 鉴·卷第一百九十八·唐纪十四》：（贞观二十年）李世勣至郁督军山 乐毅报书辨以义 ”遂不之逼 ） 知道了他的品行 才能 [155] 更多图册 破之 曹确 ?韦承庆 ? 从拥兵百万败到仅剩24骑 城邑皆闭门自守 制胜于无形 湖南张家界的青岩
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解：设共有x人参加捐款 根据题意得： 1200120030
x2 x 如何解这个分式方程呢？
21.3(1)可化为一元二次方程的分式方程
练习一 下列哪些是分式方程？
(1) 2 3; 是
x 1
(2)
1 3 ; x x 1
是
(7) 1 1 (3) x 2 ;
x
2x
(4) x 1 x2 2 1; 32
可化为一元一次方程的 分式方程
方程1 x
x x－1
1是整式方程吗？
如何解这个方程“去？分母法”
*分母中含未知数的方程叫做分式方程.
*你认为在用去分母法解可化为一元一次方程的 分式方程时，需要注意些什么？
问题1：
某单位的共青团员们准备捐款1200元帮助结对的 边远地区贫困学生，这笔钱大家平均分担，实际 捐款时又有2名青年同事参加，但总费用不变， 于是每人少捐30元，问共有多少人参加捐款．
4 x2 4
1
解：方程两边同乘以__（___x__+__2_)__(_x_－___2__)___________，
约去分母，得____x_+_2_=__4_+_(_x_+_2_)_(_x_－__2__) __；
解这个整式方程，得 x1＝__2___，x2＝_－___1_； 把x＝__2_____代入__（__x_+__2_)_(x__－__2_)__，它的值___＝___0；
检解验这：个当方x=0程时，，得最简x1=公0分，母xx2==01，
式方程的根，所以分式
当x=1时，最简公分母x=1≠0，
方程一定要检验，那么 如何检验呢？
所以x=0是增根，舍去
所以原方程的根是x=1
x=0是去分母后的整式方程的根，代入原
方程验根发现分母为零，没有意义了，为什么呢？
例题：
解分式方程：(6)
x 2 x1 x2 1
分式 去分母法 方程
1、解分式方程的解题思想是什么？
2、用什么方法解分式方程？
整式 方程
3、用“去分母法”解分式方程的一般步骤？
解分式方程的一般步骤： 去分母
解整式方程
否
检验
是
写出原方程的根
练习二
1、填空：在横线上填写适当的式、数、符号，完整表
达解方程的过程
解分式方程
x
1 2
(1)若方程有一个增根x=0,求k的值；
(2)若方程有增根,求k的值．
小结
通过学习，你又有什么收获和疑问？
作业 练习册习题§21.3（1）
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
12
(5) x2 1; x
是
(6)
x x 1
x
2 2
1
.
是
哪些又是可化为一元二次方程的分式方程呢？
（5）（6）
如何解方程 (5) x 2 1
解：方程两边同乘以x得x ：
分式方程去分母时，乘 以一个x的代数式，扩 大了x的取值范围，也 就是说变形所得的整式 方程的根不一定是原分
x2=x
x2－x=0 x(x－ 1）=0
把x＝_－___1___代入__（___x_+_2_)_(_x_－__2_)__，它的值__≠____0；
经检验，x＝____2_____是增根，舍去； 所以，原方程的根是____x_＝___－__1____________．
2、指出下列分式方程的最简公分母：
(1)
3
x2
1 1
0；
x2+1
(2)4 1 1; x(x－1) x x1
2x 4 (3)x1x211;
(x+1)(x－1)
(4)xx1x1112x2． (x+1)(x－1)
3、当x取何值时，分式方程
x 1 1 x1 x2
中各分式的最简公பைடு நூலகம்母的值等于零？
4、若关于x的方程
x3 m x1 1x
会产生增根，
试求常数m的值.
5、已知关于x的方程
2x k x1 x1 x2x x
x2 x 如何解这个分式方程呢？
21.3(1)可化为一元二次方程的分式方程
练习一 下列哪些是分式方程？
(1) 2 3; 是
x 1
(2)
1 3 ; x x 1
是
(7) 1 1 (3) x 2 ;
x
2x
(4) x 1 x2 2 1; 32
可化为一元一次方程的 分式方程
方程1 x
x x－1
1是整式方程吗？
如何解这个方程“去？分母法”
*分母中含未知数的方程叫做分式方程.
*你认为在用去分母法解可化为一元一次方程的 分式方程时，需要注意些什么？
问题1：
某单位的共青团员们准备捐款1200元帮助结对的 边远地区贫困学生，这笔钱大家平均分担，实际 捐款时又有2名青年同事参加，但总费用不变， 于是每人少捐30元，问共有多少人参加捐款．
4 x2 4
1
解：方程两边同乘以__（___x__+__2_)__(_x_－___2__)___________，
约去分母，得____x_+_2_=__4_+_(_x_+_2_)_(_x_－__2__) __；
解这个整式方程，得 x1＝__2___，x2＝_－___1_； 把x＝__2_____代入__（__x_+__2_)_(x__－__2_)__，它的值___＝___0；
检解验这：个当方x=0程时，，得最简x1=公0分，母xx2==01，
式方程的根，所以分式
当x=1时，最简公分母x=1≠0，
方程一定要检验，那么 如何检验呢？
所以x=0是增根，舍去
所以原方程的根是x=1
x=0是去分母后的整式方程的根，代入原
方程验根发现分母为零，没有意义了，为什么呢？
例题：
解分式方程：(6)
x 2 x1 x2 1
分式 去分母法 方程
1、解分式方程的解题思想是什么？
2、用什么方法解分式方程？
整式 方程
3、用“去分母法”解分式方程的一般步骤？
解分式方程的一般步骤： 去分母
解整式方程
否
检验
是
写出原方程的根
练习二
1、填空：在横线上填写适当的式、数、符号，完整表
达解方程的过程
解分式方程
x
1 2
(1)若方程有一个增根x=0,求k的值；
(2)若方程有增根,求k的值．
小结
通过学习，你又有什么收获和疑问？
作业 练习册习题§21.3（1）
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
12
(5) x2 1; x
是
(6)
x x 1
x
2 2
1
.
是
哪些又是可化为一元二次方程的分式方程呢？
（5）（6）
如何解方程 (5) x 2 1
解：方程两边同乘以x得x ：
分式方程去分母时，乘 以一个x的代数式，扩 大了x的取值范围，也 就是说变形所得的整式 方程的根不一定是原分
x2=x
x2－x=0 x(x－ 1）=0
把x＝_－___1___代入__（___x_+_2_)_(_x_－__2_)__，它的值__≠____0；
经检验，x＝____2_____是增根，舍去； 所以，原方程的根是____x_＝___－__1____________．
2、指出下列分式方程的最简公分母：
(1)
3
x2
1 1
0；
x2+1
(2)4 1 1; x(x－1) x x1
2x 4 (3)x1x211;
(x+1)(x－1)
(4)xx1x1112x2． (x+1)(x－1)
3、当x取何值时，分式方程
x 1 1 x1 x2
中各分式的最简公பைடு நூலகம்母的值等于零？
4、若关于x的方程
x3 m x1 1x
会产生增根，
试求常数m的值.
5、已知关于x的方程
2x k x1 x1 x2x x