一元二次方程的解法-公式法 ppt课件
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一元二次方程的解法-公式法》PPT课件
解：化简为一般形式：x 2 3 x 3 0
2
a 1、 b -2 3、 c 3 2 2 b 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2 ∴ x1 x2 3
结论：当b2-4ac=0时，一元二次方程有两 个相等 的实数根.
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数， 求这个三角形的三边长．
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x x 2 x 2 .
2 2 2
即x 8x 0.
2
B
解这个方程 ,得
x1 8, x2 0(不合题意 , 舍去).
x 2 6, x 2 10.
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x2 3 2 3 x
解： 原方程化为：x 2 2 3 x 3 0
a 1 ，b 2 3，c 3
b 4ac 2 3 4 1 3 0
2
2
（ 2 3） 0 2 3 x 3 21 2 x1 x2 3
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 1.化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系 数）; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
（a≠0）
2
a 1、 b -2 3、 c 3 2 2 b 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2 ∴ x1 x2 3
结论：当b2-4ac=0时，一元二次方程有两 个相等 的实数根.
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数， 求这个三角形的三边长．
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x x 2 x 2 .
2 2 2
即x 8x 0.
2
B
解这个方程 ,得
x1 8, x2 0(不合题意 , 舍去).
x 2 6, x 2 10.
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x2 3 2 3 x
解： 原方程化为：x 2 2 3 x 3 0
a 1 ，b 2 3，c 3
b 4ac 2 3 4 1 3 0
2
2
（ 2 3） 0 2 3 x 3 21 2 x1 x2 3
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 1.化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系 数）; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
（a≠0）
湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)
反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18
3.2《一元二次不等式及其解法》PPT课件
2
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
数学_公式法解一元二次方程_课件
22
4
x1
1 2
，x2
=4
九年级数学名师课程
1 用公式法解一元二次方程
练一练：方程2x2+5x-3=0的解是( C )
A.x=3 B.x=-3
1 C.x1=-3,x2= 2
1 D.x=
2
九年级数学名师课程
随堂练习 解方程：
（1）x2 +7x – 18 = 0； 解 ∵ a＝1，b＝7，c＝－18. b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根
公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由
求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
九年级数学名师课程
想一想：若b2-4ac ＜0，那么方程有实数根吗？
∵a 0, 4a2 0, 当b2-4ac ＜0时，
x
b 2a
2
b2
x 3 1 = 3 1
2 1
2
∴x1=-1 ，x2=-2
初三数学名师课程
1 用公式法解一元二次方程
例 解下列方程：
（2）2(x2-2)=7x 解: 把方程化成一般形式，得2x2-7x-4=0 ∵a＝2，b＝－7，c＝-4.
b2－4ac＝(－7)2－4×2×(－4)＝81＞0.
x 7 81 = 7 9
4ac 4a2
＜0.
而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根.
九年级数学名师课程
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由
方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，
可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-
一元二次方程的解法 公式法1(PPT)5-3
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
解: 把方程两边都除以 aBiblioteka x2 b x c 0 aa
移项，得 配方，得
x2 b x c
a
a
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
形病势沉重。 【病房】名医院、疗养院里病人住的房间。 【病夫】名体弱多病的人（含讥讽意）。 【病根】名①（～儿）没有完全治好的旧病：这是坐月 子时留下的～儿。②比喻能引起失败或灾祸的原因：找出工厂连年亏损的～。 【病故】动因病去世。 【病害】名细菌、真菌、病度或不适宜的气候、土壤等 对植物造成的危害，如引起植物；印刷报价 印刷报价 ；体发育不良、枯萎或死亡。 【病号】（～儿）名部队、学校、机关等集体中的病 人：老～（经常生病的人）｜～饭（给病人特做的饭食）。 【病候】名中医泛指疾病反映出来的各种症候。 【病患】名①疾病。②病人；患者：救治～｜ 给～更贴心的关怀。 【病家】名病人和病人的家属（就医生、医院、房方面说）。 【病假】名因病请的假。 【病句】名在语法修辞或逻辑上有毛病的句子： 改正～。 【病菌】名能使人或其他生物生病的细菌，如脑膜炎球菌、炭疽杆菌、霍乱弧菌等。 【病况】名病情。 【病理】名疾病发生和发展的过程和原理。 【病历】名医务人员对病人的病情、诊断和处理方法的记录。 【病例】名某种疾病的实例。某个人或生物患过某种疾病，就是这种疾病的病例。 【病魔】名 比喻疾病（多指长期重病）：～缠身｜战胜～。 【病情】名疾病变化的情况：～好转｜～恶化｜～稳定。 【病区】名医院根据住院病人治疗和管理的需要所 划分的若干住院区。 【病人】名生病的人；受治疗的人。 【病容】名有病的气色：面带～。 【病入膏肓】病到了无法医治的地步，也比喻事情严重到了不 可挽救的程度（膏肓：我国古代医学上把心尖脂肪叫膏，心脏和膈膜之间叫肓，认为是力达不到的地方）。 【病弱】形（身体）有病而衰弱：年老～｜～的 身体。 【病史】名患者历次所患疾病的情况。 【病势】名病的轻重程度：服之后，～减轻。 【病逝】动因病去世。 【病榻】名病人的床铺：缠绵～。 【病 态】名心理或生理上不正常的状态：～心理｜这不是正常的胖，而是一种～◇社会～。 【病体】名患病的身体：～康复。 【病痛】名指人所患的疾病：不 堪～折磨。 【病退】动因病退职、退学或提前退休。 【病危】形病势危险：医院已经下了～通知。 【病象】名疾病表现出来的现象，如发热、呕吐、咳嗽 等。 【病休】动因病休息：～一周。 【病恹恹】（～的）形状态词。病体衰弱无力、精神委靡的样子。 【病秧子】?〈方〉名多病的人。 【病疫】名指流 行性传染病；疫病。 【病因】ī名发生疾病的原因：～尚未查明。 【病友】名称跟自己同时住在一个医院的病人。 【病愈】动病好了：～出院。
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
一元二次方程ppt课件
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
解一元二次方程课件PPT
补充：十字相乘法
• 如6y∧2+19y+15=0
• 用因式分解法解下列方程 • 4x∧2+8x+3=0
• 6x∧2-7x+2=o
用适当的方法解下列方程
• (2x+1)(2x-1)=11 • (x+2)∧2=-6x • (4x∧2-9)-2(2x-3)=0 • x(x-3)=4
总结：选择适当的方法解一元二次方程
7
• ( 1 ) 已知方程5x^2+kx-6=0的一个跟是6，求另一个根和k. • （2）设a b是方程x^2-3x-3=0的2个解，则b∕ a+a∕ b的值为_____. • （3）若一个一元二次方程的两根为a,b，且满足a^2+b^2=10,ab=3，则这
个方程是______________. • (4)已知关于x的方程2x^2+3x-m+1=0的2个实数根的倒数和为3，求m.
• 一般来说，首选开平方法；再选因式分解发， 最后选公式法，配方法不指定则不用。
探索一下~
• 一元二次方程ax∧2+bx+c=0 (a不为0）的2个 解为多少？
• 相加等于多少？ • 相乘等于多少？
• 任何一个一元二次方程的根与系数的关系是：
• 两根之和等于一次项系数与二次项系数的比 的相反数；
• (2)将二次三项式2x^2-4x+6进行配方，正确 的结果是______.
• （3）已知关于x的一元二次方程x^2-2√3x-k=0有2个相等的实数根，则k的 值是多少/
• (4)已知关于x的一元二次方程（k-1)x^2-2x+1=0有2个不相等的实数根，则 k的取值范围是_______.
一元二次方程的解法—公式法ppt课件
k≠0
k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项 系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1； 二“移”：将常数项移到方程的右边； 三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理 为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1； 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
一元二次方程的解法 公式法1(PPT)3-1
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
极地旋转轴偏移了8多度，之前旋转轴位于当前赤道旁度左右位置。木卫二极地旋转轴猛烈的偏移很可能是由于极地表面以下存在着厚厚的冰层。马特苏亚马 说，“旋转体需要在最大程度的旋转轴变化基础上寻求稳定平衡。对于木卫二而言，其外壳的厚度不一致将导致很大程度上的不平衡，因此木卫二在运行中 必须改变旋转轴寻求新的稳定状态。”像这样的变化被称为“真实极地偏移”，并不像由于板地筑造学上的视觉漂移。在地球、火星和土星的土卫二上也存 在着真实极地偏移。马特苏亚马称，我们的研究也将木卫二列入其中，这说明我们需要对这颗行星进行更多的重新定位研究。同时这项研究暗示着木卫二内 部有液态水存在，科学家基于宇宙飞船拍摄的照片曾猜测这颗行星有广阔的地下海洋，这些照片揭示木卫二表面以下有断裂的冰表面。木卫二重力作用形成 的潮汐力可将地下冰壳海洋；ABM https:///article/20190920/925754.shtml ABM ；加热成为热态水，即使地下海洋切断了太阳能来源， 但是热量和液态水也有可以孕育生命。木卫二可能存在鱼类生命9年月，美国亚利桑那大学科学家理查德-格林博格等人经研究发现，木卫二可能存在类似于 鱼类的生命木卫二可能存在类鱼生命木卫二可能存在类鱼生命如今许多科学家都相信，木卫二表面没有陆地，而在厚厚的冰层之下存在着一个覆盖全球的海 洋，海洋深度大约为公里。格林博格的最新研究表明，木卫二的海洋正在吸收大量的氧气，它所吸收的氧气量比此前的模拟预测结果还要多得多。科学家认 为，这些氧气足够支持多种生命形态的存在，从理论上讲，木卫二海洋中至少应该存在万吨类鱼生物。格林博格解释说，“尽管目前还不能说那里肯定存在 生命，但我们至少知道那里的物理环境支持生命的存在。”美国伍兹海尔深海生态学家蒂莫西-尚克认为，木卫二的海底环境与地球海洋底部的“热液出口” 具有极大的相似性。众所周知，地球海底热液出口处存在着许多生命形态。因此尚克坚持认为，“如果木卫二上没有生命，那才是奇怪的事。”探索发现编 辑飞掠观测有关木卫二的大多数知识都获取自旅行者和伽利略两次任务中的飞掠观测（flyby）。计划一雄心勃勃的木星轨道器计划已于年取消，但是还有各 种各样针对木卫二的未来探索任务的议案被不断的的提出[]。年NASA（美国航空暨太空总署）的预算中编列了应美国国会的口头提请为未来的环航木卫二计 划而建立基金。在设想中，该计划的任务包括：通过重力和高度的测量手段确认木卫二的表面冰壳下是否存在海洋；大范围地对地表进行高解析拍摄，通过 光谱分析以确认其表面物质的化学成分；以及利用穿冰雷达对冰
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21.2.2一元二次方程的解法 ---公式法
总结提高
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式,通常用△表示. 判别式定理
当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根 当b2-4ac＜0时,方程没有实数根 当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
(3)x2 2x 1 0
解:
2
a , b 2, c 1 2
b2 4ac 2 2 0
x ( 2) 0 2 0
2
2
(4)4x2-3x+2=0 解: a 4,b 3, c 2 b2 4ac 9 32 23 0
方程没有实数根.
x1 x2
2. 2
当 b2-4ac＜0 时，一元 二次方程没有实数根。
=
=
即 x1=2, x2= -
例3 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
解：移项，得
x2 -2 x+3 = 0 a=1，b=-2 ，c=3 b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
∴x=
==
x1 = x2 =
当 b2-4ac=0 时，一
元二次方程有两个相等 的实数根。
随堂 2.用公式法解下列方程： 练习
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 .
3、练习:用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.
解: a 1,b 2 2, c 2 b2 4ac 8 8 0
x (2 2) 0 2 2 0
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ②
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
∴x=
=
= 即 x1= - 3 , x2=
X= ③
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解：
④
x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
2a
又 x1 x2,
b b2 4ac b b2 4ac
,
2a
2a
即 b b2 4ac b b2 4ac , b 0,此时ac 0,
2a
2a
当b 0, ac 0时,原方程的两根互为相反数.
想一想
记•解一一记元二次方问程一时问应先化 课
为一般形式，然后利用公 下
又∵ b24 a c( 2)24k3= 4-12k
∴ 4-12k ≥0，解得 k 1
∴ 当k 1
3
3
且 k≠0 时，
方程有实数根.
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2, b=5, c= -3,
①
∴ △ > 0方程有两个不等实根
含有字母系数时，将△配方后判断
1、不解方程，判断根的情况.
(1)2x2-4x-5=0;
解：b 2 4 a c ( 4 )2 4 2 ( 5 )=56 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)x2-(m+1)x+m=0.
解：b 2 4 a c (m 1 )2 4 1 m
做一做
1.用公式法解下列方程：
(1) x2 +2x =5
填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2.
解: x2 2x 5 0 a 1,b 2,c 5
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . b2 4ac 4 20 24 0
x=
=
当m 17 时,b2 4ac 0, 4
则原方程有两个相等的实数解.
思考题
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
解 : a 0,当b2 4ac 0时,方程的根为:
b x1
b2 4ac
b
2a
, x2
b2 4ac ;
m 22m 14m (m 1)2 ≥0
∴当m-1=0时， 方程有两个相等的实数根；
当m-1≠0时， 方程有两个不相等的实数根；
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
解：∵ 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0，
b24ac0
=
.
即 x1 = -2 , x2 =
. x 2 24 1 6 2
. x1 1 6, x2 1 6
例2 用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以3, 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
∴x=
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。 2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b24ac0时,方程无实数解;
当b2 4ac 0时,一元二次方程才有实数根.
3、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
4、写出方程的解：
、
1
x
2
动手试一试吧！
无实数根
（4） ≥0
两个实数根
应用1. 不解方程判断方程根的情况：
(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16
=4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
∴ △≥ 0方程有实根
(2) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数)
解：△=m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4
总结提高
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0 若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
一元二次方程根的判别式
b2 4ac
（1） （2） （3）
＞0 =0 ＜0
两个不相等实根 两个相等实根
2
2
x1 x2 2.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
解 : a 1, b 2m 1, c m2 4, b2 4ac (2m 1)2 4(m2 4) 4m2 4m 1 4m2 16 4m 17
由4m 17 0, 得m 17 . 4
总结提高
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式,通常用△表示. 判别式定理
当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根 当b2-4ac＜0时,方程没有实数根 当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
(3)x2 2x 1 0
解:
2
a , b 2, c 1 2
b2 4ac 2 2 0
x ( 2) 0 2 0
2
2
(4)4x2-3x+2=0 解: a 4,b 3, c 2 b2 4ac 9 32 23 0
方程没有实数根.
x1 x2
2. 2
当 b2-4ac＜0 时，一元 二次方程没有实数根。
=
=
即 x1=2, x2= -
例3 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
解：移项，得
x2 -2 x+3 = 0 a=1，b=-2 ，c=3 b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
∴x=
==
x1 = x2 =
当 b2-4ac=0 时，一
元二次方程有两个相等 的实数根。
随堂 2.用公式法解下列方程： 练习
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 .
3、练习:用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.
解: a 1,b 2 2, c 2 b2 4ac 8 8 0
x (2 2) 0 2 2 0
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ②
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
∴x=
=
= 即 x1= - 3 , x2=
X= ③
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解：
④
x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
2a
又 x1 x2,
b b2 4ac b b2 4ac
,
2a
2a
即 b b2 4ac b b2 4ac , b 0,此时ac 0,
2a
2a
当b 0, ac 0时,原方程的两根互为相反数.
想一想
记•解一一记元二次方问程一时问应先化 课
为一般形式，然后利用公 下
又∵ b24 a c( 2)24k3= 4-12k
∴ 4-12k ≥0，解得 k 1
∴ 当k 1
3
3
且 k≠0 时，
方程有实数根.
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2, b=5, c= -3,
①
∴ △ > 0方程有两个不等实根
含有字母系数时，将△配方后判断
1、不解方程，判断根的情况.
(1)2x2-4x-5=0;
解：b 2 4 a c ( 4 )2 4 2 ( 5 )=56 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)x2-(m+1)x+m=0.
解：b 2 4 a c (m 1 )2 4 1 m
做一做
1.用公式法解下列方程：
(1) x2 +2x =5
填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2.
解: x2 2x 5 0 a 1,b 2,c 5
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . b2 4ac 4 20 24 0
x=
=
当m 17 时,b2 4ac 0, 4
则原方程有两个相等的实数解.
思考题
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
解 : a 0,当b2 4ac 0时,方程的根为:
b x1
b2 4ac
b
2a
, x2
b2 4ac ;
m 22m 14m (m 1)2 ≥0
∴当m-1=0时， 方程有两个相等的实数根；
当m-1≠0时， 方程有两个不相等的实数根；
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
解：∵ 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0，
b24ac0
=
.
即 x1 = -2 , x2 =
. x 2 24 1 6 2
. x1 1 6, x2 1 6
例2 用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以3, 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
∴x=
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。 2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b24ac0时,方程无实数解;
当b2 4ac 0时,一元二次方程才有实数根.
3、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
4、写出方程的解：
、
1
x
2
动手试一试吧！
无实数根
（4） ≥0
两个实数根
应用1. 不解方程判断方程根的情况：
(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16
=4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
∴ △≥ 0方程有实根
(2) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数)
解：△=m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4
总结提高
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0 若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
一元二次方程根的判别式
b2 4ac
（1） （2） （3）
＞0 =0 ＜0
两个不相等实根 两个相等实根
2
2
x1 x2 2.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
解 : a 1, b 2m 1, c m2 4, b2 4ac (2m 1)2 4(m2 4) 4m2 4m 1 4m2 16 4m 17
由4m 17 0, 得m 17 . 4