公式法解一元二次方程课件
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一元二次方程的解法公式法-最全资料PPT
解：去括号，化简为一般式：
3x27x80
这里 a3 、 b =-7 、 c =8 b24ac（ 7） 2438
4996-470
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0;
（2）9x2+6x+1=0;
（3）16x2+8x=3.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
时
解：去括号，化简Байду номын сангаас一般式：
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
2用、配求方出法解一般形式的的值一，元二次方程
b b 4ac 解思：考去 题括号，化简为一般式：
2
用把配方方 程法两解边一都般除形以式的一元二次方程
2（、2求）出 9x2+6x+1=0; 的值，
2
b b 4ac 1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
即 x （1）2x2-9x+8=0;
2a 解：去括号，化简为一般式：
2a
特别提醒 一元二次方程的
求根公式
b b2 4ac x
2a
x b b2 4ac 2a
例 1 解方程： x27x180
解： 这里 a 1b 7c 1 8
4、写出方程的解：
x
、
1
x
2
x b b2 4ac 2a
例 2 解方程： x232 3x
解： 化简为一般式：x22 3x30 这里 a1、 b=-23、 c=3
3x27x80
这里 a3 、 b =-7 、 c =8 b24ac（ 7） 2438
4996-470
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0;
（2）9x2+6x+1=0;
（3）16x2+8x=3.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
时
解：去括号，化简Байду номын сангаас一般式：
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
2用、配求方出法解一般形式的的值一，元二次方程
b b 4ac 解思：考去 题括号，化简为一般式：
2
用把配方方 程法两解边一都般除形以式的一元二次方程
2（、2求）出 9x2+6x+1=0; 的值，
2
b b 4ac 1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
即 x （1）2x2-9x+8=0;
2a 解：去括号，化简为一般式：
2a
特别提醒 一元二次方程的
求根公式
b b2 4ac x
2a
x b b2 4ac 2a
例 1 解方程： x27x180
解： 这里 a 1b 7c 1 8
4、写出方程的解：
x
、
1
x
2
x b b2 4ac 2a
例 2 解方程： x232 3x
解： 化简为一般式：x22 3x30 这里 a1、 b=-23、 c=3
《解一元二次方程—公式法》课件PPT
方程没有实数解。
当堂检测—不做不讲
1.不解方程，判断下列一元二次 方程的根的情况（每小题5分）
(1)2x2-3x-1.5=0
(2)16x2-24x+9=0
(3)x2-4x+9=0 (4)3x2+10=2x2+8x
2.用公式法解下列方程：（1-4每小题10分 5，6每小题20分）。
(1)2x2-x-1=0
(3)4x-x2=x2+2
• 解：方程整理为：x2-2x+1=0 • a=1,b=-2,c=1 • ∵ ⊿=b2-4ac • =(-2)2-4 ×1 ×1 • =4-4=0 • ∴方程有两个相等的实数根。
利用判别式判断根的情况的 步骤
• 1、化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
• 2、找准 a,b,c • 3、求出⊿=b2-4ac的值 • 4、判断根的情况
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2, b=5, c= -3,
①
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49>0 ②
∴x= 即
= x1= -3 , x2=
③
=
④
用公式法解一元二次方程的 一般步骤：
• 1、化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) • 2、找准 a,b,c • 3、求出⊿=b2-4ac的值 • 4、判断根的情况
人民教育出版社九年级数学上册
21.2 解一元二次方程 —公式法
学习目标:
1、理解一元二次方程求根公式的推导过 程
2 、会熟练应用公式法解一元二次方 程．
重点和难点
1重点：求根公式的推导和公式 法的应用．
解一元二次方程(公式法)(ppt课件)
这时
b
2
4ac 4a 2
＞0，
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
b b2 4ac
b
x1
2a
, x2
b2 4ac .
2a
方程有两个不 相等实数根
探究新知
⑵b2-4ac=0
这时
b2 4ac 0， 4a 2
x1=x2=- b 2a
方程有两个相 等实数根
探究新知
解：方程化为 2x2－5x－9＝0.
a＝2，b＝－5，c＝－9.
Δ＝(－5)2－4×2×(－9)＝97＞0.
方程有两个不等的实数根
x＝－b±
b2－4ac＝5±
2a
4
97，
即
x1＝5＋4
97，x2＝5－4
97 .
随堂练习
3．用公式法解方程：x2－3x＋4＝0. 解：a＝1，b＝－3，c＝4. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7<0. 方程无实数根．
课堂小结
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: △=b2-4ac的值; 4.判断：若△=b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0，则方程没有实数根.
当堂测试
1. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围
,
x2
1．
（2） x2 4x 7 0 ，
a 1， b 4 ， c 7 ，
b2 4ac (4)2 417 44 0 ，
用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：
用公式法求解一元二次方程-ppt课件
2
且四边形的周长是12，则△ 的面积为___．
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 公式法的应用
1.在长 、宽 的矩形场地中修如图所示的
两条宽度相同的小路，小路的面积为 ，则
小路的宽为( A )
A.
B.
C.
D.
等．若停车位的总占地面积为 ,求车道的宽度（单位：）．
解：设车道的宽度为 .
根据题意，得 − − = .
整理，得 − + = ，解得 = ，
= （不合题意，舍去）．
答：车道的宽度为 ．
4.某主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三
解得 = + ， = − .
∵ = ± 都符合题意，
∴ 能围成面积为 的矩形场地.
答：道路的宽度应设计为 ．
9.张大爷要建一个矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有
的一道墙，墙长为 ,另外三边用竹篱笆围成，如图1所示，已知篱笆
总长为 .
（1）①若足够长，是否能围成面积为 的矩形场地?如果可以，
求养鸡场的长、宽各是多少米；如果不可以，请说明理由.
答：养鸡场的长和宽分别是 ， ，或养鸡场的长和宽分别是
，. .
②是否能围成面积为 的矩形场地?
解：结合题意及①，得 − = ．
整理，得 − + = ．
∵ = −
− × × = − < ，
∴ 此时方程的根为 = = ．
= .
9.已知关于的一元二次方程 + + + − = ，其中，
且四边形的周长是12，则△ 的面积为___．
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 公式法的应用
1.在长 、宽 的矩形场地中修如图所示的
两条宽度相同的小路，小路的面积为 ，则
小路的宽为( A )
A.
B.
C.
D.
等．若停车位的总占地面积为 ,求车道的宽度（单位：）．
解：设车道的宽度为 .
根据题意，得 − − = .
整理，得 − + = ，解得 = ，
= （不合题意，舍去）．
答：车道的宽度为 ．
4.某主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三
解得 = + ， = − .
∵ = ± 都符合题意，
∴ 能围成面积为 的矩形场地.
答：道路的宽度应设计为 ．
9.张大爷要建一个矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有
的一道墙，墙长为 ,另外三边用竹篱笆围成，如图1所示，已知篱笆
总长为 .
（1）①若足够长，是否能围成面积为 的矩形场地?如果可以，
求养鸡场的长、宽各是多少米；如果不可以，请说明理由.
答：养鸡场的长和宽分别是 ， ，或养鸡场的长和宽分别是
，. .
②是否能围成面积为 的矩形场地?
解：结合题意及①，得 − = ．
整理，得 − + = ．
∵ = −
− × × = − < ，
∴ 此时方程的根为 = = ．
= .
9.已知关于的一元二次方程 + + + − = ，其中，
用公式法求解一元二次方程ppt课件
题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
公式法解一元两次方程_课件
b2 4ac 2a
，x2 b
b2 4ac 2a
②当b2﹣4ac＜0时，原方程无解。
【思路点拔】①检查原题中的解题过程是否有误：在第四步时，在开方时 对b2﹣4ac的值是否是非负数没有进行讨论；②更正：分类讨论b2﹣4ac≥0 和b2﹣4ac＜0时，原方程根的情况。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况 重点、难点知识★▲
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况 重点、难点知识★▲
例4.一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是（ B ）
A.k＞2 B.k＜2且k≠1 C.k＜2 D.k＞2且k≠1
解：由题可知 Δ=b2﹣4ac=22﹣4×（1﹣k）×（﹣1）＞0，解得k＜2， ∵（1﹣k）是二次项系数，不能为0， ∴k≠1且k＜2。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况 重点、难点知识★▲
练习1.下列方程有实数根的是（ A ）
A.x2﹣x﹣1=0
B.x2+x+1=0
C.x2﹣6x+10=0
D.x2﹣ 2 x+1=0
解： A.Δ=（-1）2﹣4×1×（-1）=5＞0，则方程有实数根。 B.Δ=1﹣4×1×1=﹣3＜0，则方程无实数根。 C.Δ=36﹣4×1×10=﹣4＜0，则方程无实数根。 D.Δ=2﹣4×1×1=﹣2＜0，则方程无实数根。
【思路点拔】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根时必须满足Δ=b2﹣4ac＞0。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况 重点、难点知识★▲
练习4.已知关于x的方程kx2﹣3x+2=0有两个实数根，
一元二次方程的解法 公式法 课件
2 --） （x1 = 1x2 =- --） 3 （x1 = x2 = ）
Байду номын сангаас
b2-4ac=-----
0
（2） x2 - 2 ）
x+2= 0
鲜花为你盛开，你一定行！ 鲜花为你盛开，你一定行！
你能编一个有解的一元二次 方程吗？ 方程吗？ 试一试，考考你的同学吧！ 试一试，考考你的同学吧！
这是收获的 一、由配方法解一般的一元二 时刻， 时刻，让我 们共享学习 的成果
)2 =
-q
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一般形式的一元二次方程 a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0)
a,得 解:把方程两边都除以 a,得x2 + 移项，得 移项， 配方， 配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 + x2 + x+( x= )2 =)2 = +( )2 x+ = 0
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 × ×
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
用公式法解下列方程： （口答）填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2 . ： 1、x2 +2x =5 （x1=-1+ ，x2 =-1）
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 x1 = -2 , = x2 = . = 2、 6t2 -5 =13t . ，t2 = （t1 =
等腰
用配方法解一元二次方程的步骤： 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 +px+q=0的形式 的形式。 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 +px=2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 的一半的平方。 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。 x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+ )2 = -q+( )2
Байду номын сангаас
b2-4ac=-----
0
（2） x2 - 2 ）
x+2= 0
鲜花为你盛开，你一定行！ 鲜花为你盛开，你一定行！
你能编一个有解的一元二次 方程吗？ 方程吗？ 试一试，考考你的同学吧！ 试一试，考考你的同学吧！
这是收获的 一、由配方法解一般的一元二 时刻， 时刻，让我 们共享学习 的成果
)2 =
-q
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一般形式的一元二次方程 a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0)
a,得 解:把方程两边都除以 a,得x2 + 移项，得 移项， 配方， 配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 + x2 + x+( x= )2 =)2 = +( )2 x+ = 0
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 × ×
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
用公式法解下列方程： （口答）填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2 . ： 1、x2 +2x =5 （x1=-1+ ，x2 =-1）
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 x1 = -2 , = x2 = . = 2、 6t2 -5 =13t . ，t2 = （t1 =
等腰
用配方法解一元二次方程的步骤： 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 +px+q=0的形式 的形式。 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 +px=2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 的一半的平方。 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。 x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+ )2 = -q+( )2
《公式法》一元二次方程PPT课件 (共8张PPT)
= -q+(
)2
)2 =
-q
用配方法解一般形式的一元二次方程 解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
( x +
∴当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当
a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为
互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0
有两个相等的实数解
一元二次方程
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+
)2
练习:用公式法解方程 1、 x2 x -1= 0
2、 2x2 - 2 x+1= 0
用公式法解一元二次方程的
小结
由配方法解一般的一元
一般步骤： 1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。
公式法解一元二次方程2个课时的课件
学习是件很愉快的事
例 3 解方程： x 21 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
b b2 4ac x 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
b2 4ac 7 2 4 3 8 （ ）
1.x1 2; x2 4.
2 4 2.x1 ; x2 . 3 3 3 3.x1 1; x2 . 2 3 4. y1 y2 . 3
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
4.3 y
2
1 2 3 y.
动脑筋
关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的
件时，方程的两根为互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实 数解
解方程:
2 1 x x 1 x 2 2
Байду номын сангаас
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
b b2 4ac x 2a
解：这里 a 1 b 7 c 18
b 4ac 7 4 1 18 121 （ ） （ ）
2 2
7 121 7 11 x 21 2
即：
x1 9 x2 2
学习是件很愉快的事 例 2 解方程： x 3 2 3 x
2、 当b 4ac 0时, 方程有两个相等的实数根； 2 3 当b 4ac 0时, 、 方程没有实数根；
2
学习是件很愉快的事
不解方程判别下列方程的根的情况
用公式法求解一元二次方程课件
4. 用公式法求解一元二次方程一般步骤是什么？ (1) 化：一般情势 (2) 定：确定 a、b、c 的值 (3) 算：计算 b2 - 4ac 的值 (4) 判：判断 Δ = b2 - 4ac 与 0 的大小 (5) 解：由求根公式求出方程的根
2.3.1 用公式法求解一元二次方程 实践与拓展
分别用配方法和公式法解方程 2x2 + 3 = 7x，并比较两种方法的异同？
一元二次方程的根的情况可由 b2 - 4ac 来判定，我们把 b2 - 4ac 叫做一元 二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 来表示.
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
例2 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2 + 5 = 7x 解：将方程化为一般情势，得 2x2 - 7x + 5 = 0， 这里 a = 2，b = -7，c = 5. ∵Δ = b2 - 4ac = ( -7 )2 - 4 × 2 × 5 = 9 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根.
2a
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x1 =
b
b2 4ac ，x2 = b
2a
b2 4ac 2a
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
探究
x
b 2
2
b2 4ac 4a 2
当
b2
-
4ac
=
0
时，则
b2 4ac 4a 2
0 ，即
x
b 2a
2
0
.
∴方程有两个相等的实数根.
b 即 x 1 x2 2a .
北师大版九年级上册数学同步课件
2.3.1 用公式法求解一元 二次方程
2.3.1 用公式法求解一元二次方程 实践与拓展
分别用配方法和公式法解方程 2x2 + 3 = 7x，并比较两种方法的异同？
一元二次方程的根的情况可由 b2 - 4ac 来判定，我们把 b2 - 4ac 叫做一元 二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 来表示.
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
例2 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2 + 5 = 7x 解：将方程化为一般情势，得 2x2 - 7x + 5 = 0， 这里 a = 2，b = -7，c = 5. ∵Δ = b2 - 4ac = ( -7 )2 - 4 × 2 × 5 = 9 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根.
2a
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x1 =
b
b2 4ac ，x2 = b
2a
b2 4ac 2a
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
探究
x
b 2
2
b2 4ac 4a 2
当
b2
-
4ac
=
0
时，则
b2 4ac 4a 2
0 ，即
x
b 2a
2
0
.
∴方程有两个相等的实数根.
b 即 x 1 x2 2a .
北师大版九年级上册数学同步课件
2.3.1 用公式法求解一元 二次方程
解一元二次方程 公式法ppt课件
解题思路：
1.方程有两个相等的实数解，等价于 b2 4ac 0，把方程系数
代入解出m的值.
2.方程的两根为互为相反数，等价于 b2 4ac＞0，且x1 x2，用
求根公式求解.
即：x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 0(b2 4ac＞0). 2a
答案：1.m＝ 17 .
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
2 3 21
3.
例3.用公式法解方程 (x－2)(1－3x)＝6. 解：去括号，化简为一般式 3x2－7x＋8＝0. a＝3，b＝－7，c＝8.
b2 4ac (7)2 4 38 47＜0.
方程没有实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式，并写出 a，b，c 的值.
2.求出＝b2－4ac 的值. 注意：当＝b2－4ac ＜0 时，方程无解.
3.代入求根公式: x = b
b2 4ac .
2a
4.写出方程的解：x1，x2 .
随堂练习
用公式法解下列方程：
（1）2x2－9x＋8＝0； （2）9x2＋6x＋1＝0； （3）16x2＋8x＝3.
（1）2x2－9x＋8＝0. 解：a＝2，b＝－9，c＝8. b2 4ac (9)2 4 28 17＞0. 方程有两个不等的实数根：
x2
2a
.
(2)当b2
4ac
0时，这时
b2 4ac 4a2
0，
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b. 2a
(3)当b2
4ac＜0时，这时
b2
4ac 4a2
＜0，
一元二次方程的解法—公式法ppt课件
k≠0
k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项 系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1； 二“移”：将常数项移到方程的右边； 三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理 为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1； 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
2.3.1用公式法解一元二次方程 课件(共20张PPT)
典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.
例 5：若x²+3xy-2y²=0，则
点拨：方程两边同时乘
=
,得
− ±
.
+ × − = ,
设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意： 虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第 二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值
范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理
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∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例3：用公式法解方程 x2+4x=2
这里的a、b、c 的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
练习: 用公式法解下列方程： 1、x2 +2x =5
2、 6t2 -5 =13t
例4 解方程： x2 3 2 3x
解： 原方程化为：x2 2 3x 3 0
a 1,b 2 3,c 3
b2 4ac 2 3 2 4 13 0
开平方法解之，如果右边是个负数，则指 出原方程无实根。
公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
解 : x2 b x c 0. aa
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c .
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2
b
x
b
2
b
2
c.
3.配方:方程两边都加上一次项
解：
a 2,b 7,c c
又 b2 4ac 72 4 2 c 0
8c 49,即c 49
8
x1
x2
b 2a
7 22
7 4
现有一块长80cm，宽60cm的薄钢 片，在每个角上截去四个相同的小 正方形，然后做成底面积为 1500cm²的无盖的长方体盒子，那 么截去的小正方形的边长为多少？
独立
知识的升华
作业
祝你成功！
思考题：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
想一想：
关于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 ，当
X²-140X+3300=0
边长为30cm（注意，回答时单位不要 漏掉）
五、小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c
２.再求出 b2 4ac
３.最后代入公式
当 b2 4ac 0 时，有两个实数根 当 b2 4ac 0 时，方程无实数
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 .
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6 , x2= 2 6 .
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 : a 5,b 4, c 12
1.变形:化已知方 程为一般形式;
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0. 2.确定系数:用
x b b2 4ac
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
5
x1
6 5
;
x2
2.
5.定根:写出原方 程的根.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解:
a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式 法
学习是件很愉快的事
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的解为：
x1 b
b2 2a
4ac , x2
b
b2 4ac 2a
x1 x2
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
b b 2a 2a
b 0
提高练习
已知方程2X²+7X+c=0,方程的根为一个实数， 求c和x的值.
x 2 3 0 2 3 3
2 1
2
x1 x2 0
结论：当 b2 4ac 0 时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
例 用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
小结
用公式法解一元二次方程的 一般步骤：
由配方法解一般的一元二 次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
∴x=
=
= 即 x1=2,
x2= -
例 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 a=1，b=-2 ，c=3
b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
∴x=
==
x1 = x2 =
练习:用公式法解方程 1、 x²- x -1= 0 2、 2x²- 4 x+2= 0
a 2a 2a a 系数绝对值一半的平方;
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
当b2 4ac 0时,
x b b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 .
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为 1(方程两边都除以二次项系数)；
2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数绝对值的
一半的平方，使左边成为完全平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接