2.3用公式法解一元二次方程(1)
《用公式法求解一元二次方程(一)》
（3）什么情况下
（4）如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？
（5）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与有关.
师：教学反思或疑惑
生：学习收获或疑惑
（1）已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
（2）一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂一元二次方程的求根公式，能够利用公式法求解一元二次方程.
重点难点：
（1）正确地导出一元二次方程的求根公式；
２、上述方程如果有解，求出方程的解
四、精点巧拨，归纳生成:
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？
3、用公式法解方程应注意的问题是什么？
4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
五、分层设练，拓展延伸:
用公式法解下列方程
1、课本47页1,2题。
2、列方程解应用题
（2）正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程.
一、优化导入，揭示目标;
①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0
②总结用配方法解方程的一般方法:
二、指导自学，整体感悟
1、解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
解：
思考：（1）为什么可以两边都除以一次项系数:a
九年级数学科探究新知导学案主备人时间审定人执教人（或学生）
学习内容：
2.3《用公式法求解一元二次方程（一）》
师：教学设计生：学习笔记
三、互动互研，解难释疑:
１、判断下列方程是否有解：（学生口答）
九年级数学上册-用公式法解一元二次方程
－1 且 k≠0，综上，k 的取值范围为 k≥－1.
7. 已知关于 x 的方程 x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为 x＝0，求代数式(2m－1)2 ＋(3＋m)(3－m)＋7m－5 的值(要求先化简再求值)．
解：设AB为xm，则BC为（50-2x）m， 根据题意得方程：x（50-2x）=300， 2x2-50x+300=0， 解得；x1=10，x2=15， 当x1=10时50-2x=30＞25（不合题意，舍去）， 当x2=15时50-2x=20＜25（符合题意）． 答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300 平方米
故当矩形温室的长为 28 m，宽为 14 m 时，蔬菜种 植区域的面积是 288 m2.
◎拓展提升
6. (2017·齐齐哈尔)若关于 x 的方程 kx2－3x－94 ＝ 0 有实数根，则实数 k 的取值范围是( C )
A．k＝0
B．k≥－1 且 k≠0
C．k≥－1
D．k＞－1
【解析】当 k＝0 时，方程为－3x－49＝0，解得 x＝
老师提示:在检验时,方 程的根一定要符合问题 的实际意义.否则,舍去.
12m
探究2 我—小亮,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都 相同你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是多少吗?
16m
12m xm
探究2 我—小颖 ,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直
②当 b2－4ac____<_0________时，一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
北师大版九年级数学上名校课堂练习2.3用公式法求解一元二次方程(含答案)
2.3 用公式法求解一元二次方程基础题知识点1 用求根公式解一元二次方程1．利用求根公式求方程5x 2＋12＝6x 的根时，a 、b 、c 的值分别是( )A ．5，12，6B ．5，6，12C ．5，－6，12D ．5，－6，－122．方程x 2－x －1＝0的一个根是( )A ．1－ 5 B.1－52C ．－1＋ 5 D.－1＋523．已知一元二次方程x 2－x －3＝0的较小根为x 1，则下面对x 1的估计正确的是( )A ．－2<x 1<－1B ．－3<x 1<－2C ．2<x 1<3D ．－1<x 1<04．(陕西中考)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值为() A ．1或4 B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－45．解方程：(1)x 2＋1＝3x ；(2)3x 2＋2x ＋1＝0.知识点2根的判别式6．(铜仁中考)已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( ) A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定7．(河北中考)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a＞1C．a≤1 D．a≥18．(岳阳中考)若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝________．9．对于二次三项式x2－10x＋36，小明同学得到如下结论：无论x取何值，它的值都不可能是10.你是否同意他的说法？请你说明理由．知识点3方案设计10．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( ) A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C ．10(x ＋10)＝900D ．2[x ＋(x ＋10)]＝90011．如图，某小区规划在一个长30 m 、宽20 m 的长方形土地ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78 m 2，那么通道宽应设计成多少米？设通道宽为x m ，则由题意列得方程为( )A ．(30－x)(20－x)＝78B ．(30－2x)(20－2x)＝78C ．(30－2x)(20－x)＝6×78D ．(30－2x)(20－2x)＝6×7812．用一块长80 cm ，宽60 cm 的薄钢片，在四个角上各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后做成底面积为1 500 cm 2无盖的长方体盒子，为了求出x ，根据题意列出方程并整理后得____________．中档题13．(淄博中考)一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝ 2B ．x 1＝0，x 2＝－2 2C ．x 1＝2，x 2＝－3 2D ．x 1＝－2，x 2＝3 214．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围( ) A ．m>52 B ．m ≤52且m≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m≠215．若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b ＝(a ＋1)2－ab ，则方程(x ＋2)*5＝0的解为________________．16．用公式法解方程：(1)x 2－3x ＝5；(2)(泰州中考)2x2－4x－1＝0.17．(泰州中考)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．18．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为多少米？综合题19．(淄博中考)关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－32x－7x2－8x＋11的值．参考答案基础题1．C 2.B 3.A 4.B5.(1)将原方程化为一般形式，得x 2－3x ＋1＝0，∵a ＝1，b ＝－3，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0.∴x ＝－（－3）±52×1.∴x 1＝3＋52，x 2＝3－52. (2)∵a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0.∴原方程没有实数根．6.B7.B8.949.同意．理由如下：设x 2－10x ＋36＝10，∴x 2－10x ＋26＝0.∴Δ＝102－4×1×26＝－4＜0，即方程没有实数根．∴无论x 取何值，它的值都不可能是10.∴小明同学的说法是正确的．10.B 11.C 12.x 2－70x ＋825＝0中档题13．C 14.B 15.x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5216.(1)将原方程化为一般形式，得x 2－3x －5＝0.∵a ＝1，b ＝－3，c ＝－5，b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×(－5)＝9＋20＝29>0.∴x ＝－（－3）±292×1＝3±292.∴x 1＝3＋292，x 2＝3－292. (2)∵a ＝2，b ＝－4，c ＝－1，∴Δ＝(－4)2－4×2×(－1)＝16＋8＝24.∴x ＝4±264＝2±62.∴x 1＝2＋62，x 2＝2－62. 17.(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0，解得m 1＝－2，m 2＝－4.18.设道路宽为x 米，由题意，得(30－x)(20－x)＝551，解得x 1＝1，x 2＝49(舍)．答：修建的路宽应为1米．综合题19．(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a －6)×9≥0.解得a≤709且a≠6.∴a 的最大整数值为7. (2)①当a ＝7时，原一元二次方程变为x 2－8x ＋9＝0，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28.∴x ＝－（－8）±282，即x ＝4±7.∴x 1＝4＋7，x 2＝4－7. ②∵x 是一元二次方程x 2－8x ＋9＝0的根，∴x 2－8x ＝－9.∴2x 2－32x －7x 2－8x ＋11＝2x 2－32x －7－9＋11＝2x 2－16x ＋72＝2(x 2－8x)＋72＝2×(－9)＋72＝－292.。
北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法解一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用物理抛物线运动的例子来演示一元二次方程的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是常数，且a≠0。它是解决许多现实问题的有力工具，尤其在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用公式法解决实际问题中的一元二次方程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-求根公式中各个参数的代入和计算过程，尤其是根号内判别式的计算；
-理解并应用根的判别式Δ来判断根的性质，包括Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况；
-在实际问题中，如何将问题转化为标准的一元二次方程形式，以便应用求根公式；
-对于系数a、b、c为分数或小数时，如何进行精确计算。
举例：在解决一元二次方程2x² - 5x + 3 = 0时，学生可能会在计算判别式Δ时出错，或者在将分数系数化简为整数时遇到困难。教师需要针对性地解释和演示如何进行这些计算，以及如何避免常见的计算错误。
《2.3 用公式法求解一元二次方程》课时同步训练 2020-2021年北师大版数学九年级上册
《2.3 用公式法求解一元二次方程》课时同步训练2020-2021年数学北师大版九（上）一．选择题（共10小题）1．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A．B．C．D．2．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，83．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A．B．C．D．4．方程x（x﹣1）＝2的两根为（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝2 5．已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（）A．3B．2C．1D．06．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≤﹣1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤﹣1且m≠0 7．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a≥1且a≠0 8．定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．有一个实根D．没有实根9．将4个数a、b、c、d排成2行、2列．两边各加一条竖线，记成，并规定，例如：＝8×5﹣9×3＝13＝﹣1的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个相等的实数根10．问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y ﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数（）A．4y2+y﹣15＝0B．4y2+y+15＝0C．15y2+y﹣4＝0D．15y2﹣y﹣4＝0二．填空题（共8小题）11．方程4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）＝5的解为．12．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为．13．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为．14．已知x＝（b2﹣4c≥0），则式子x2+bx+c的值是．15．关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝．16．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，则m＝．17．关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围．18．定义比如，4⊗2＝22⊗（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解．三．解答题（共6小题）19．用公式法解方程：（1）4x2﹣4x+1＝0；（2）3x2﹣2x+1＝0；（3）3x（x﹣3）＝2（x﹣1）（x+1）．20．用公式法解方程：（1）x2+2x﹣2＝0；（2）2x（x+2）＝3﹣x；（3）x2﹣8x+8＝17x2．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．23．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．24．对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△得值；（2）如果关于x的方程x△（a△x）＝有两个相等的实数根，求实数a的值．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：∵a＝1，b＝﹣6，∴△＝（﹣4）2﹣4×4×1＝32＞0，则x＝＝＝3±2，故选：D．2．解：∵3x2﹣3x＝8，∴3x8﹣4x﹣8＝7，则a＝3，b＝﹣4，故选：B．3．解：这里a＝3，b＝5，∵△＝25﹣12＝13，∴x＝，故选：A．4．解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝4，a＝1，b＝﹣1△＝6+8＝9＞7∴x＝解得x1＝﹣1，x4＝2．故选D．5．解：设常数项为c，由题意可知：△＝4﹣4×8c＝4﹣12c≥0，∴c≤，故选：D．6．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥﹣2且m≠0．故选：C．7．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+6＝0有实数根，∴，∴a≤4且a≠0，故选：C．8．解：∵x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k4﹣1）＝4k3+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．9．解：∵方程＝﹣1，∴3x4﹣6x＝﹣1，∴7x2﹣6x+7＝0，∴△＝（﹣6）4﹣4×3×7＞0，∴方程＝﹣1两个不相等的实数根，故选：A．10．解：设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，将x＝﹣y代入方程4x2﹣x﹣15＝5，得：4×（﹣y）2﹣（﹣y）﹣15＝8，化简，得：4y2+y﹣15＝4，故选：A．二．填空题（共8小题）11．解：∵4（x+1）5﹣（2x+5）（2x﹣5）＝5，∴4（x2+2x+7）﹣（4x2﹣25）﹣3＝0，∴4x2+8x+4﹣7x2+25﹣5＝6，∴8x+24＝0，∴3x＝﹣24，∴x＝﹣3，故答案为：x＝﹣3．12．解：由题意得：x2+3x+m＝7的解为x1＝1，x8＝﹣4，可得m＝﹣4，方程为x2﹣3x﹣4＝7，分解因式得：（x﹣4）（x+1）＝6，解得：x1＝4，x7＝﹣1．故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．13．解：3x2＝2（x+2），3x6＝5x+10，3x5﹣5x﹣10＝0，故答案为：3x2﹣5x﹣10＝3．14．解：∵x＝（b2﹣4c≥6），∴x2+bx+c＝（）2+b•+c＝++＝＝0，故答案为：0．15．解：∵ax2﹣bx﹣c＝0，∴△＝b5+4ac，∵对于任意实数b，b2≥8，ac＞0，∴b2+7ac＞0，∴一元二次方程ax2+bx+c＝6有两个不相等的实数根．∴x＝．故答案为：．16．解：∵方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，∴△＝（﹣7）2﹣4×7×（﹣m）＝1+4m＝6，解得：m＝﹣．17．解：根据题意得m﹣1≠0且△＝（﹣7）2﹣4（m﹣2）×3＞0，解得m＜且m≠1．故答案为m＜且m≠1．18．解：（1）当x2﹣（x+1）≤8时，方程变为kx2﹣1＝7．∵方程变为kx2﹣1＝3有两个不等实数根，∴△＞0，即△＝4k＞6．∴方程的解为x＝±．又∵x2﹣（x+6）≤1，∴﹣1≤x≤4，∴﹣1≤﹣＜≤2．（2）当x2﹣（x+1）＞5时，x＞2或x＜﹣1，∴方程变为k（x+6）﹣1＝0．因为k≠4时，此方程是一元一次方程方程﹣1，与题意不符；当k≠8时方程不存在，不符合题意．综上，k≥．故答案为：k≥．三．解答题（共6小题）19．解：（1）∵4x2﹣6x+1＝0，∴（4x﹣1）2＝3，则2x﹣1＝8，解得x1＝x2＝2.5；（2）∵3x7﹣2x+1＝7，∴a＝3，b＝﹣2，则△＝（﹣4）2﹣4×5×1＝﹣8＜5，∴该方程无实数根；（3）整理为一般式，得：x2﹣9x+2＝0，∵a＝1，b＝﹣5，∴△＝（﹣9）2﹣8×1×2＝73＞7，则x＝＝，即x4＝，x6＝．20．解：（1）∵a＝1，b＝2，∴△＝b5﹣4ac＝4+2＝12＞0，∴x＝＝﹣7±，即x1＝﹣8+，x2＝﹣7﹣；（2）方程化为2x3+5x﹣3＝2，∴a＝2，b＝5，∴△＝b6﹣4ac＝56+4×2×5＝49＞0，∴方程有两个不等的实数根∴x＝＝，∴x1＝，x2＝﹣3；（3）方程化为4x2+x﹣1＝3，∴a＝2，b＝1，∴△＝b7﹣4ac＝17﹣4×2×（﹣4）＝9＞0，∴方程有两个不等的实数根∴x＝＝，∴x1＝﹣1，x8＝．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+4﹣k＝0有两个不相等的实数根．∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（7﹣k）＞0，解得k＞0．（2）由（1）知，实数k的取值范围为k＞6，故取k＝1，则x2﹣5x＝0，即x（x﹣2）＝4，解得，x1＝0，x7＝2．22．解：（1）△＝4﹣4（k﹣8）＝12﹣4k＞0，∴k＜3．（2）由（1）可知：k＝2，∴此时方程为：x2+2x＝0，∴x（x+2）＝2，∴x＝0或x＝﹣2．23．解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣8x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤2且k≠7．（2）当k＝2时，方程为：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣6）2＝0，解得：x2＝x2＝1．24．解：（1）﹣2△＝﹣2×++4；（2）∵a△x＝ax+x，∴x△（a△x）＝x（ax+x）+ax+x，∴关于x的方程x△（a△x）＝化为x（ax+x）+ax+x＝﹣，整理得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，∵方程有两个相等的实数根，∴a+1≠6且△＝（a+1）2﹣5（a+1）×＝0，即a的值为0．。
用公式法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
22.2.3公式法解一元二次方程
22.2.3公式法解一元二次方程一、素质教育目标（一）知识储备点理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程，了解b-4ac的值对一元二次方程根的意义．（二）能力培养点通过求根公式的推导，培养学生推理能力，运用公式法解一元二次方程，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高．（三）情感体验点让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．二、教学设想1．重点：运用公式法解一元二次方程．2．难点：正确确定系数和准确运用公式．3．疑点：b-4a c<0时，一元二次方程的解．4．课型与基本教学思路：新授课．本节课运用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0），推导出一元二次方程的求根公式，并能运用求根公式解一元二次方程．三、媒体平台1．教具、学具准备：自制投影胶片2．多媒体课件撷英：http：//【注意】课件要根据实际需要进行适当修改．四、课时安排１课时五、教学步骤（一）教学流程（1）用配方法解2x2-8x-9=0．（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程吗？ax2+bx+c=0（a≠0）2．课前热身（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）配方法解一元二次方程的步骤是什么？3．合作探究（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-8x-9=0；二次项系数化为1得x2-4x-92=0；移项x2-4x=92；配方x 2-4x+22=92+4；（x-2）2=172，x-2解得x 1=2+2x 2=2-2． 引导学生继续解ax 2+bx+c=0（a ≠0）； 二次项系数化为1得x 2+b a x+c a =0； 移项x 2+b a x=-c a；• 配方x 2+2·x ·2b a +（2b a ）2=（2b a ）2-c a即（x+2b a ）2=2244b ac a-． （2）师生互动互动1师：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式中，要求b 2-4ac •≥0•，•那么b 2-4ac<0时会怎样呢？生：当b 2-4ac<0ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实数解．明确 b 2-4ac ≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b 2-4ac<0时，此方程无解，•也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．因为a ≠0，所以4a 2>0，当b 2-4ac≥0时，直接开平方得x+2b a =所以x=-2b a =2a 即x=2b a-ax 2+bx+c=0（a≠0）的求根公式b 2-4ac ≥0）．利用这个公式可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，•直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．互动2P34例6解下列方程：①2x 2+x -6=0； ②x 2+4x=2；③5x 2-4x-12=0； ④4x 2+4x+10=1-8x ．明确 运用公式法解一元二次方程的步骤：（•1）•把方程化为一般形式，•确定a 、b 、c 的值；（2）求出b 2-4ac 的值；（3）若b 2-4ac≥0，把a 、b 、c 及b 2-4ac 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b 2-4ac<0，此时方程无解．互动3请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．明确 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x -a ）2=b （b ≥0）时，可用直接开平方法；（2）•当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）•配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）•公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．4．达标反馈选择题：（1）用公式法解方程4x 2+12x+3，得到 （A ）A ．B ．C ．D ． （2）关于x 的方程ax 2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是（B ）A ．有两个正实数根B ．两根异号且正根绝对值大于负根绝对值C ．有两个负实数根D ．两根异号且负根绝对值大于正根绝对值（3）关于x 的一元二次方程k （x 2-2x+1）-2x 2+x=0有两个实数根，则k 的取值范围是（C ）A ．k>-14B ．k ≥-14C ．k>-14且k ≠2D ．k ≥-14且k ≠2 （2）解答题：①用公式法解下列方程⑴6x 2-13x-5=0； ⑵x （x+8）=16；2-4x ⑷-12x 2-3x+6=0； ⑸x 2=2（x+1）； ⑹0.009x 2-3x+6=0；⑺4y 2-）．【答案】 ⑴52，-13⑵± 4②求关于x 的一元二次方程m 2-2m+m （x 2+1）=x 的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】 m ，-1，m 2-m③不解方程，判别下列方程的根的情况．⑴2x 2+3x-4=0； ⑵16y 2+9=24y ； ⑶5（x 2+1）-7x=0．【答案】 ⑴两不等实根 ⑵两等根 ⑶无实根5．学习小结（1）•引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，•只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．（二）拓展延伸1．链接生活链接一：通过本节课的学习我们知道，根据b 2-4ac •值的情况可以判别方程根的情况．当b 2-4ac>0时，方程有两个不相等的根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的根；b 2-4ac<0时，方程没有实数根．你能解决这样的问题吗？若关于x 的方程x 2+2（a+1）x+（a 2+4a-5）=0有实数根，试求正整数a 的值．链接二：根据求根公式b 2-4ac ≥0），请同学们计算方程的两根之和与两根之积，并根据你的计算结果计算下列各题．（1）设x 1、x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：①11x +21x ；②2111x x +1211x x ；③（x 1-x 2）2；④x 13+x 23． （2）已知关于x 的方程2x 2-（4m-3）x+m 2-2=0，根据下列条件，分别求出m •的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1．2．巩固练习（1）选择适当的方法解下列关于x 的方程：①（2x2=8； ②12x 2+7x+1=0；③x 2--1=0； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0；⑤mx 2-（3m 2+2）x+6m=0（m ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=-2②x 1=-13，x 2=-14 ③ ④x=-14 ⑤x 1=2m ，x 2=3m （2）用公式法解下列方程．①2x 2-5x+2=0； 2；③2mnx 2+2m 2x=n 2x+mn （mn ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=12 ②x=2③x 1=2n m ，x 2=-m n （3）求证：方程（x-a ）（x-a-b ）=1有两个实数根，其中一个大于a ，另一个小于a ．【答案】 略（4）已知关于x 的方程2x 2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c 和x 的值．【答案】 c=498，x=-74（5）关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是什么？【答案】 k>-1且k ≠0（6）不解方程，判别下列方程的根的情况．①2x 2+4x+35=0； ②4m （m-1）+1=0；③0.2x 2-5=32x ； ④4（y 2+0.99）=2.4y ；⑤12x 2； ⑥t 2+15）． 【答案】 ①无实根;②两等根; ③两不等实根;④无实根;⑤两不等实根;⑥两等根7．求证：关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．【答案】 证：△=（2k+1）2-4（k-1）=4k 2+5>0，•所以原方程有两个不相等的实数根．（三）板书设计§22．2 一元二次方程的解法3．公式法解一元二次方程公式法：___________________ 例题讲解：___________公式法的步骤：_____________ 学生练习：___________注意事项：_________________六、资料下载已知方程的根怎样求一元二次方程中待定的字母系数及其他？已知方程ax 2+bx+c=0，变形为x 2+b a x+c a=0，变形为 （x+2b a ）2=2244b ac a- 依求根公式得它的两根为x 1，x 2＝2b a-± 可见，一元二次方程的根是由它的系数确定的．可以算出：x 1+x 2=-b a ；x 1·x 2=c a （根与系数的关系）所以，我们可以利用根与系数的关系去求．例1 已知方程5x 2+（k-1）x-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．解法一 设方程的另一根为x 1，那么根据根与系数的关系，得2x 1=-65， ∴x 1=-35， 又-35＋2＝－15k -，∴k-1=-5（-35+2）， k -1=-7，k=-6， 答：方程的另一根是-35，k 的值是-6． 解法二 ∵2是方程5x 2+（k-1）x-6=0的根．∴5×22+（k-1）×2-6=0k=-6又设方程的另一个根是x 2，则2x 2=-65，x 2=-35， 答：方程的另一个根是-35，k 的值是-6． 例2 已知方程2x 2-（m-1）x+m+1=0的两根满足关系式x 1-x 2=1，求参数m 和两个根．解 ∵x 1-x 2=1，∴（x 1-x 2）2=1，（x 1+x 2）2-4x 1x 2=1，（12m-）2－12m+×4=1整理，得m2-10m-11=0，（m-11）（m+1）=0，∴m1=11，m2=-1，当m1=11时，原方程为2x2-10x+12=0，解得x1=2，x2=3，当m2=-1时，原方程为2x2+2x=0，解得x1=0，x2=-1．例3 已知方程x2+3x+m=0的两根为x1、x2，m为何值时，3x1-x2=4．解∵3x1-x2=4，∴3（x1+x2）-4x2=4，∵x1+x2=-3，∴3×（-3）-4x2=4，x2=-134，将x2=-134代入原方程，得（-134）2＋3×（-134）+m=0m=－13 16．。
§2-3 公式法1 一元二次方程的解法
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 21 2
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
b b2 4αc x 2α
例 2 解方程：
x 3 2 3x
2
解：化简为一般式：x2
2. 用公式法解下列方程. 参考答案:
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
下课了!
结束寄语
•
•
配方法和公式法是解一元二次 方程重要方法,要作为一种基本 技能来掌握. 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
4 4
参考答案： 1.x1 2; x2 4. 2.x1 2 6; x2 2 6.
我最棒
,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长. 解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x 2 x 2 x 2 .
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
,用公式法解下列方程
2.31公式法解一元二次方程(1)
1 k 1 x k 1 x 0 4
2
先把下列一元二次方程化成一般形 式，再写出一般形式的a、b、c： （1）方程2x2+x-6=0中，a= 2 ，b= c= -6 ；b2－4ac= 49 .
1，
（2）方程5x2－4x=12中，a= 5 ，b= -4 ， c= -12 ；b2－4ac= 256 . （3）方程4x2－4x+1=0中，a= 4 ，b=-4 ， c= 1 ；b2－4ac= 0 .
2
即
b 2 b2 -4ac (x+ ) = 2a 4a2
∴当b2-4ac≥0时 即
-b b2 - 4ac x= 2a 2a
-b b2 - 4ac x= 2a
通过上题（一元二次方程的一般形式）的解答 过程和结果我们可以看出所有一元二次方程的 解的形式（解存在时）都可以表示为
-b b2 - 4ac x= 2a
小试牛刀
例：用公式法解方程
3x -5x -2= 0
解：
2
a=3,b=-5,c=-2
2
b - 4ac= (-5)2 -4 3 (2)= 49 0
-b b2 - 4ac -5 49 x = 2a 23
即
x1 1, x 2 -2
x 4x 2
2
解：方程化为：x2+4x-2=0 ∵ a=1，b=4，c=－2
2
b 4ac 0
2
bx c 0 (a 0)
中，
如果b2-4ac＜0，那么方程无实数根，这是 由于 b 2 4ac 无意义
一般形式的一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
b 4ac
用公式法解一元二次方程说课稿
2.3用公式法解一元二次方程说课稿今天我说课的内容是北师大版九年级数学上册第二章《2.3用公式法解一元二次方程》。
我主要从教材分析、教法分析、过程分析、板书设计四个方面对本节课作如下说明.一、教材分析（一）教材的地位和作用“一元二次方程的解法”是初中代数的方程中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方、以及前三种因式分解法、直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和开平方两个知识的综合运用和升华。
通过本节课的教学使学生明确配方法是解方程的通法，同时会根据题目选择合适的方法解一元二次方程。
一元二次方程的解法也是今后学习二次函数和一元二次不等式的基础。
（二）教学目标知识技能方面：理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程。
数学思考方面：通过求根公式的推导过程进一步使学生熟练掌握配方法，培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及由特殊到一般的数学思想。
解决问题方面：结合用公式法解一元二次方程的练习，培养学生快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力。
情感态度方面：让学生体验到所有的方程都可以用公式法解决，感受到公式的对称美、简洁美，渗透分类的思想；公式的引入培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。
（三）教学重、难点重点：掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤；会熟练用公式法解一元二次方程。
难点：理解求根公式的推导过程和判别式二、教学法分析教法：本节课采用引导发现式的自主探究式与交流讨论结合的方法；在教学中由旧知识引导探究一般化问题的形式展开，利用学生已有的知识、多交流、主动参与到教学活动中来。
学法：让学生学会善于观察、分析讨论和分类归纳的方法，提出问题后，鼓励学生通过分析、探索、尝试解决问题的方法，铜锁亲自尝试，使学生的思维能力得到培养。
三、过程分析本节课的教学设计成以下六个环节：复习导入——呈现问题——例题讲解——巩固练习——课时小结——布置作业。
(13)2.3用公式法求解一元二次方程(1)
北师大版九年级（上）数学科导学案（13）课题：2.3用公式法求解一元二次方程（1）（P41-43） 主备： 审核：初三备课组班级 姓名 学号 家长签名：【学习目标】： 1、通过推导求根公式，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。
2、会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
一、课前预习：预习评价： （师傅检查后填写）1、一元二次方程05322=--x x 中，二次项系数为____，一次项系数__________， 常数项为________;2、把方程1532=--））（（x x 化为一般形式_______________；其中 a = ________，b = __________，c = ___________;3、用配方法解下列方程： 05322=--x x4、你能用配方法解方程)0(02≠=++a c bx ax 吗？解：两边都除以a ，得：2、通过上述的推导得到一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为： 当042≥-ac b 时，x =__________________________二．预习交流。
三、互助探究1、用公式法解下列方程：05322=--x x解：这里a= _______, b =________, c =________∵b 2－4ac = __________ = ___________ > 0∴x = ___________ = ____________即 1x = ___________, 2x = _______2、解方程: x 2－7x －18=0四、分层提高：1、用公式法解下列方程：（1）23210x x +-= （2）21683x x +=（3）29610x x ++= （4） 22350x x -+=能力提高：1、对于一元二次方程来说)0(02≠=++a c bx ax ，方程是否有解，由___________决定。
当b 2－4ac ________0，方程有___________个根，根是_____________________；当b 2－4ac ________0，方程有___________个根，根是_____________________；当b 2－4ac ________0，方程___________根。
新北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》优质课课件(共18张PPT)
解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成 x m2，根据题意
46 000－22 000 46 000－22 000
得：
x
－
1.5x
＝4，解得 x＝2 000，经
检验，x＝2 000 是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完
成 2 000 平方米 (2)设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，(20
－3x)(8－2x)＝56，解得 x1＝2 或 x2＝236(不合题意，舍去)．答： 人行道的宽为 2 米
2.3 用公式法求解一元二次方程
1．对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac≥0 时， －b± b2－4ac
它的根 x＝
2a
，我们把这个式子称为一元二次方程的
求根公式，用求根公式解一元二次方程称为 公式法 ．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，
－1＋ 5
－1－ 5
则方程(x＋2)*5＝0 的解为x1＝ 2 ，x2＝ 2
．
15．用公式法解方程：
(1)7x2－6x＝5
3＋2 11
3－2 11
解：x1＝ 7 ，x2＝ 7
(2)x(2x－4)＝5－8x
－2＋ 14
－2－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
16．解方程 2x2＋4 3x＝2 2.有一位同学解答如下： 这里 a＝ 2，b＝4 3，c＝2 2，∴b2－4ac＝(4 3)2－4× 2
(2)x2－2 3x＋3＝0 解：∵Δ＝12－4×3＝0，∴x1＝x2＝ 3
知识点二：根的判别式 6．下列关于x的方程有实数根的是( D ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 7．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1 ＝0，当b<0时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的 反例是( A ) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0
北师大版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程课件(共25张)
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m （m+1）=0． ∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=-1， ∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9m2+7m-5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5； 把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
0(a≠0)没有实数根．
练习
参考答案:
1.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三 角形的三边长.
B
A
C
课堂练习
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的 实数根的方程是( A )
x2＝
1－ 2
5
x2＝1－
6 2
.
探究新知
知识模块一 探索一元二次方程的求根公式 (一)自主探究
1.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
用公式法求解一元二次方程课件
2.3.1 用公式法求解一元二次方程 实践与拓展
分别用配方法和公式法解方程 2x2 + 3 = 7x，并比较两种方法的异同？
一元二次方程的根的情况可由 b2 - 4ac 来判定，我们把 b2 - 4ac 叫做一元 二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 来表示.
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
例2 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2 + 5 = 7x 解：将方程化为一般情势，得 2x2 - 7x + 5 = 0， 这里 a = 2，b = -7，c = 5. ∵Δ = b2 - 4ac = ( -7 )2 - 4 × 2 × 5 = 9 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根.
2a
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x1 =
b
b2 4ac ，x2 = b
2a
b2 4ac 2a
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
探究
x
b 2
2
b2 4ac 4a 2
当
b2
-
4ac
=
0
时，则
b2 4ac 4a 2
0 ，即
x
b 2a
2
0
.
∴方程有两个相等的实数根.
b 即 x 1 x2 2a .
北师大版九年级上册数学同步课件
2.3.1 用公式法求解一元 二次方程
2.3.1用公式法解一元二次方程 课件(共20张PPT)
典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.
例 5：若x²+3xy-2y²=0，则
点拨：方程两边同时乘
=
,得
− ±
.
+ × − = ,
设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意： 虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第 二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值
范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理
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2.3 用公式法求解一元二次方程（1）
2014.9
公式法是这样生产的......
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)
b c 解: x a x a 0
2
4a 2 0 当 b2 4ac 0时
b b 4ac x 2a 4a 2
此方程无解
2014.9
对于一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a ≠ 0），
当 b 2 - 4 ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 b 2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b 2 - 4 ac < 0 时，方程没有实数根．
2014.9
随堂练习 1．不解方程，判断下列方程的根的情况： （ 1） 2 x2 + 5 = 7 x； （ 2） 4 x（ x - 1） + 3 = 0 ； （3）4（y 2 + 0.09）= 2.4 y. 2．用公式法解下列方程： （ 2） 9 x 2 + 6 x + 1 = 0 ； （3）16 x 2 + 8 x = 3． （4）x（x - 3）+ 5 = 0.
2
2014.9
2 b 4ac 0 时 当
b b2 4ac x 2a
2014.9
探索新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2
当
b2 - 4ac ≥ 0 时
b b2 4ac x 2a
A C
x 2 6, x 2 10.
答 : 三角形的三条边长分别 为6,8,10.
2014.9
问题解决
知识的升华
3.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八 寸,两相去适一丈.问户高,广各几何.”
大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少?
2
2
b c x x a a
2
2
b c b b 3 方法总结 2 x x a a 2a 2a
2
b b 4ac 即 x 2a 2a
2
b b 4ac 链接中考 x 2a 4a 2
2
2
b b 4ac x 2a
2014.9
3、代入求根公式 :
x2 4、写出方程的解： x1、
b b 4ac x 2a
2
例： 解方程：（1）x2-7x-18=0
（2）4x2+1=4x
2014.9
例题讲解
例（3） x2-2x+3=0
解： a
1 b 2 c 3
2 2
b 4ac （ 2） 4 1 3 8 0
2014.9
2014.9
小结
拓展
回味无穷
• 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
对于一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a ≠ 0），
当 b 2 - 4 ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
2014.9
我最棒
,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角形的三边长.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x x 2 x 2 .
2 2 2BBiblioteka 即x 8x 0.2
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意, 舍去).
解：设门的高为 x 尺，根据题意得
x x 6.8 10 2 .
2 2
即 解这个方程,得
2x2+13.6x-9953.76＝0.
10
x
x1 ＝9.6; x-6.8 x2 ＝-2.8(不合题意,舍去). 答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺. ∴x-6.8=2.8.
2014.9
问题解决 4．长方体木箱的高是 8 dm，长比宽多 5 dm，体 积是 528 dm3，求这个木箱的长和宽．
当 b 2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b 2 - 4 ac < 0 时，方程没有实数根．
2014.9
独立 作业
知识的升华
P43习题2.5 第2，4题; 完成练习册到26页
2014.9
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次 方程重要方法,要作为一种基本 技能来掌握. • 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.