《用求根公式法解一元二次方程》教学设计

“用求根公式法解一元二次方程”教学设计
一、使用教材
新人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册
二、素质教育目标
（一）知识教学点
1、一元二次方程求根公式的推导
2、利用公式法解一元二次方程
（二）能力训练点
通过配方法解一元二次方程的过程，进一步加强推理技能训练，同时发展学生的逻辑思维能力。

（三）德育渗透点
向学生渗透由特殊到一般的唯物辩证法思想。

三、教学重点、难点、关键点
1、教学重点：一元二次方程的求根公式的推导过程
2、教学难点：灵活地运用公式法解一元二次方程
3、教学关键点：
（1）掌握配方法的基本步骤
（2）确定求根公式中a 、b 、c 的值
四、学法引导
1、教学方法：指导探究发现法
2、学生学法：质疑探究发现法
五、教法设计
质疑—猜想—类比—探索—归纳—应用
六、教学流程
（一）创设情境，导入新课：
前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。

< 设计意图 > 数学是一种逻辑性较强的科目，并且有时计算量较大，如果能简化计算，那是我们所期望的，逐步激发学生的学习欲望。

教师；下面我们先用配方法解下列一元二次方程
学生；（每组一题，每组派一名同学板演）
1．2x 2-4x-1=0 2. x 2+1.5=-3x
3．02
1
22=+-x x 4. 4x 2-3x+2=0 完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。

学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤
教师板书：（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
教师：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？
学生：独立思考
< 设计意图 > 规律的探索与猜想不仅要体现数学知识的应用，而且要注重在观察实践中抽象出规律。

（二）新知探索
教师：作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0） 能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。

学生：动手亲自解方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）找一名同学板演。

教师：巡视，作个别点评，辅导。

教师：现在我们大家共同观察黑板上的探索过程
x 2+bx+c=0（a ≠0）
ax 2+bx=-c
教师：这是配方法中的哪一个过程 学生:移项
x 2+b a x=-c a 教师：这是配方法中的哪一个过程
学生：将二次项的系数化为1
x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a
）2 即（x+2b a
）2=2244b ac a - 教师：这是配方法中的哪一个过程 学生：配方
教师：这是什么运算 学生：开平方运算
教师：有条件限制吗？ 学生: 有 当22
44b ac a -≥0时,才可以开平方
教师：在什么2244b ac a
-才能大于或等于0？学生：（思考、回答）因为a ≠0
所以４a 2 ＞0，如果使2244b ac a -≥0，那么只有b 2-4ac ≥0
教师：如果 b 2-4ac<0 时，可以进行开平方运算吗？
学生：不可以，因为负数没有平方根
教师：同学们推导的都很好，那么我们来总结一下，在用配方法解a x 2+bx+c=0（a ≠0）时，需注意什么？
学生：畅所欲言
归纳总结：对于a x 2+bx+c=0（a ≠0），当 b 2-4ac ≥ 0 时，在这里我们把
称为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一
元二次方程。

（三）新知应用
例、用公式法解下列一元二次方程（解答后与配方法对照,体会两种解法异同）
1．2x 2-4x-1=0 2. x 2+1.5=-3x 3. 02
122=+-x x 4. 4x 2-3x+2=0 学生：动手操作 ,四名学生板演,
教师：巡视，解答学生解题中的疑问。

（解答后，生生先互评，师生再评，并规范解题过程）
疑问先由学生作补充回答，如（1）中的 c 是＋1还是－1。

（2）中的 b 与 c 呢？
教师作终结性点评：应用公式法解一元二次方程时，必须先化为一般形式，再确定 a 、 b 、 c 的值。

< 设计意图 > 通过学生自主探究推导出公式，然后用新公式解决问题，通过对比，让学生进一步体会公式法由配方法产生，且优于配方法，从而达到知识正迁移的目的。

教师：谁能直接对配方法，公式法解一元二次方程，谈谈自己的感想。

学生１：公式法简单。

学生２：配方法是公式法的基垫。

教师：用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
学生：（1）先将方程化为ax 2 +bx+c=0(a ≠0) 的一般形式。

（2）确定a 、b 、c 的值，（注意a、b、c的确定应包括各自的符号）
（3）求解b2－4ac的值，如果b2－4ac≥0
（4）代入公式，即可求出一元二次方程的根。

教师强调：解一元二次方程的五个注意点：
1、注意化方程为一般形式；
2、注意方程有实数根的前提条件是b2－4ac≥0；
3、注意a、b、c的确定应包括各自的符号；
4、注意一元二次方程如果有根，应有两个；
5、求解出的根应注意适当化简
教师：下面进行练习，看看谁掌握的准，计算的快？
（四）反馈矫正，强化新知
1、教材第42页练习1、（1、
2、
3、4）题
2、用公式法解一元二次方程填空：
将原方程化为一般形式，得∵a= b= c=
∴b2 -4ac0
∴x=
∴x1= x2=
3．综合提高：（优生选做）
（1）用公式法解一元二次方程
（2）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两
根，①试探究x1+x2
=-b
a
，x1·x2=c
a
；②•试求x2 +y2的值
方程的值的符号
的关系（填“相等”“不等”“不存在”
请观察上表，综合的符号，提出你的猜想，
< 设计意图> 及时对所学的知识进行练习，孝查学生对知识的掌握情况。

题目设计由浅至深，符合学生的认识梯度，激发学生的进一步探索欲望。

（五）交流体会，归纳总结。

教师：本节课你学到了哪些知识？
学生甲：用公式法解一元二次方程
学生乙：用公式法比用配方法简单
教师：在本节课中你有什么体会？
学生：（我想找一种比公式法更简单的方法？很多问题都有不同的解法?......）
< 设计意图> 让学生从知识上、方法上，学习情况上进行反思、评价。

（六）布置作业：教材45页习题22、2 复习巩固第4题
选做综合应用第8题
七、板书设计
§22.2. 一元二次方程的解法
用求根公式法解一元二次方程
公式法：___________________ 例题讲解：___________
公式法的步骤：_____________ 学生练习：___________
注意事项：_________________
教学反思
1．充分利用教材，在练习题与例题的编排上打破常规，让学生先用配方法解四个一元二次方程，通过质疑—猜想—类比—探索—归纳—总结出公式法，再让学生用公式法解这四个方程，适时地参透了类比的数学思想，并深刻地体现了新教材的课改理念。

2．在授课过程中，教师给学生留下了很大的思维空间，通过自己的亲自操作，运用探索发现法，让学生积极参与自主探究，合作交流，把主体地位返还给学生。

无论是公式的推导，还是公式的应用，都是在教师的引导下，学生自己完成的，教师这样做，重视了知识的形成过程，在应用中又开拓了学生的视野，使学生的发散思维与应用技巧得到了锻炼。

3．在巩固新知识的阶段中，习题的编排上有梯度上，即注重了双基训练，又注重了能力的培养。

使学生在掌握基础的前提下，循序渐进，步入公式的大家庭中。

同时在探索升级中，进一步锻炼，培养了学生的猜想能力。

4．在推导公式中，对4a2开平方结果为｜2a｜，应再细化，使基础不理想的同学也清楚。