一元二次方程初中数学讲课教案PPT课件
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人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
【跟踪训练】
3．把方程 x(2x－1)＝1 化成 ax2＋bx＋c＝0 的形式，则 a，
b，c 的一组值是( A )
A．2，－1，－1
B．2，－1,1
C．2,1，－1
D．2,1,1
4．把下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式，并指出其 二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－1； (2)a(x2－x)＝bx＋c(a≠0)． 解：(1)一般形式为 3x2－5x＋1＝0，二次项系数为 3，一次 项系数为－5，常数项为 1. (2)一般形式为 ax2－(a＋b)x－c＝0，二次项系数为 a，一次 项系数为－(a＋b)，常数项为－c.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话， 另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．一元二次方程的概念 只含有__一__个___未知数，并且未知数的最高次数是___2____ 的___整__式___方程，叫做一元二次方程． 注意：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程．
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 8、若9am2-4m+4与5a9是同类项，则m= ___
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
一元二次方程数学PPT课件
解： 3 2 + 2 − 2 − 6 + 6 = 0
3 2 = 0
二次项：3 2 . 其系数为3.
二次项： 2 、系数为1
一次项：－8，其系数为－8
一次项：0、系数: 0
常数项: －10
常数项：0
课堂测试
一元二次方程
3x2=6x-1
(x+3)(x -1)=6
5-7x2=0
一般
形式Βιβλιοθήκη 二次项二次项系数
一次项
一次项
系数
常数项
课堂测试
1、判断下列方程中,哪些是一元二次方程?
(1)X
2
1
+ -3=0
分母中有未知数
(2)X 3-3x+4=0
最高项次数为3
(3)X 2 -2y-3=0
有两个未知数
(4)Ax 2+bx+c=0
(5)4x 2＋3x－2=(2x-1)2
a可能为0
化简之后是一元一次方程
情景思考
问题1：正方形桌面的面积是 4 m2，求它的边长？
分析：正方形的面积=边长×边长
解：设正方形桌面的边长是
2 = 4
情景思考
问题2：一个数的平方是这个数的
6倍，求这个数？
解：设这个数为，得
2 = 6
思考
观察下列各方程有什么共同点？
2
=4
2
= 6
1 2 1
− = 28
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do
something
第一单元 一元二次方程
1.1 一元二次方程
部 编 版 九 年 级 数 学 上 册
汇报人：xx
一元一次方程知识点回顾
3 2 = 0
二次项：3 2 . 其系数为3.
二次项： 2 、系数为1
一次项：－8，其系数为－8
一次项：0、系数: 0
常数项: －10
常数项：0
课堂测试
一元二次方程
3x2=6x-1
(x+3)(x -1)=6
5-7x2=0
一般
形式Βιβλιοθήκη 二次项二次项系数
一次项
一次项
系数
常数项
课堂测试
1、判断下列方程中,哪些是一元二次方程?
(1)X
2
1
+ -3=0
分母中有未知数
(2)X 3-3x+4=0
最高项次数为3
(3)X 2 -2y-3=0
有两个未知数
(4)Ax 2+bx+c=0
(5)4x 2＋3x－2=(2x-1)2
a可能为0
化简之后是一元一次方程
情景思考
问题1：正方形桌面的面积是 4 m2，求它的边长？
分析：正方形的面积=边长×边长
解：设正方形桌面的边长是
2 = 4
情景思考
问题2：一个数的平方是这个数的
6倍，求这个数？
解：设这个数为，得
2 = 6
思考
观察下列各方程有什么共同点？
2
=4
2
= 6
1 2 1
− = 28
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something
第一单元 一元二次方程
1.1 一元二次方程
部 编 版 九 年 级 数 学 上 册
汇报人：xx
一元一次方程知识点回顾
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
一元二次方程(PPT课件)
x2 5 . x1 1， 所以：
解法3：利用配方法。将方程左边配方，有：
x 2 6 x 9 9 5 0 ，即 x 32 4
x2 5 . x 3 2 即 x1 1， 所以：
想一想
例题中的三种解法各具有哪些特点？本题 中使用哪种方法比较简洁？
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(1) x 2 4 x 12 0 ；(2) 3x 2 4 x 1 0；
(3) x 2 2 x 2 0 ；(4) x 2 4 x 2 0 .
再 见！
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§3.3
一元二次方程
安溪华侨职校数学组
目 录
知 识 讲 授 典 型 例 题
课 堂 练 习
课 外 作 业
1、一元二次方程：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。其一般形式为：
ax2 bx c 0
a 0 .
2、解一元二次方程的基本方法:
公式法、配方法和因式分解法
_______ ⑷方程 x 2 2 x 8 0中， ，此方程
_______实数根；
课堂练习
2、解下列各方程：
(1) x 2 3x 10 0 ； (2) 2 x 2 3x 9 0； (3)பைடு நூலகம்3x 2 4 x 4 0 .
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课外作业
用适当的方法解下列各方程：
3、一元二次方程的求根公式：
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。求根公 式为：
b b 2 4ac x . 2a
4、一元二次方程解得讨论：
2 b 4ac ，则： 判别式为
(1) 当 0 时，一元二次方程有两个不相等的实 数解； (2) 当 0 时，一元二次方程有两个相等的实数解； (3) 当 0 时，一元二次方程没有实数解。
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》课件(共8张PPT)
即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
一般步骤：
1. 把方程化成一般形式。
(a≠0, b2-4ac≥0)
并写出a，b，c的值。
例1.用公式法解方程4x2+x-3=0
2.
求出b2-4ac的值。
解: a=4 b=1 c= -3
3. 代入求根公式 :
∴ b2-4ac=12-4×4×(-3)=49>0
X=
∴x=
= 1 4 9
24
(a≠0, b2-4ac≥0)
= 1 7
8
即
x1= - 1
3
x2= 4
4. 写出方程的解： x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2.
用公式法解下列方程： 1. x2 +2x =5
小结
由配方法解一般的一元
二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方程的 一般步骤：
1. 把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2. 求出b2-4ac的值。 3. 代入求根公式
4. 写出方程的解： x1=?, x2=?
（1）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b x c0（ a0 ） 有实数根．
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
一元二次方程数学PPT课件
解得：m=20
∴ 方程的解为：x1=55， x2=15。
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
拓展训练 之 求根公式推导
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）求根公式推导过程如下：
第一步：约分
第二步：配方
第三步：通分
第四步：开平方
拓展训练 之 几何意义
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的几何意义
整理，得x2-36x+35=0.
解方程，得x1=1，x2=35. x2=35不合题意舍去，所以 x=1.
答:道路宽为1米.
解应用题 之 精选例题
【数学问题】
5、一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5;把十位上的数字与个位上数字互 换后再乘以原数得736，求原来两位数. 解:设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5-x)，原来的两位数就是: 10(5-x)+x，新的两位数就是:10x+(5-x).可列出方程:
【例题】
1、解方程 x²-8x+15=0 解：利用十字相乘法，-8=-3-5， 15=3×5
∴原式可化为(x-3)(x-5)=0 ∴ x1=3；x2=5
方程解法 之 基本方法 • 配方法
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
24.1 一元二次方程课件(共20张PPT)
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
一元二次方程ppt课件
定义
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次方程(第一课时)课件
一元二次方程(第一课 时)ppt课件
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
一元二次方程ppt课件
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点一 一元二次方程的定义
清
单
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次
解
定义
读
数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②“一元”：只
含有一个未知数；③“二次”：未知数的最高次数是 2.三者缺一不可 最高次数是 2
是
D 左边=22=4，右边=4×2-3=5，左边≠右边
不是
［答案］ C 方法点拨 通过代入法可以判断一个数是不是方程的解，代入之后看方 程左右两边得到的结果是否相等进而判断.
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程 清
单
审题（理解题目的含义）→找等量关系（通过已知量、未知量来找等量
题 型
思路点拨 根据一元二次方程和一元一次方程的概念，对照解决问题.
突
题型解法 判断一个方程是一元一次方程还是一元二次方程的时候，关键要
破 考虑两点，一是未知数的最高次数，二是最高次项的系数是否为 0.
21.1 一元二次方程
重
难 ■题型二 利用一元二次方程的根求未知字母的值
题
型
例 2 ［黑龙江中考］已知 2+
重要警示 a≠0 是一元二次方程一般形式的重要条件，不可丢掉.
21.1 一元二次方程
考
点
典例 2 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系
清 单
数、一次项系数和常数项.
解
（1）2x2=1-3x； （2）5x（x-2）=4x2-3x．
读
［解题思路］
原式
去分母、去括号 移项、合并同类项
考
点 ■考点一 一元二次方程的定义
清
单
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次
解
定义
读
数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②“一元”：只
含有一个未知数；③“二次”：未知数的最高次数是 2.三者缺一不可 最高次数是 2
是
D 左边=22=4，右边=4×2-3=5，左边≠右边
不是
［答案］ C 方法点拨 通过代入法可以判断一个数是不是方程的解，代入之后看方 程左右两边得到的结果是否相等进而判断.
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程 清
单
审题（理解题目的含义）→找等量关系（通过已知量、未知量来找等量
题 型
思路点拨 根据一元二次方程和一元一次方程的概念，对照解决问题.
突
题型解法 判断一个方程是一元一次方程还是一元二次方程的时候，关键要
破 考虑两点，一是未知数的最高次数，二是最高次项的系数是否为 0.
21.1 一元二次方程
重
难 ■题型二 利用一元二次方程的根求未知字母的值
题
型
例 2 ［黑龙江中考］已知 2+
重要警示 a≠0 是一元二次方程一般形式的重要条件，不可丢掉.
21.1 一元二次方程
考
点
典例 2 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系
清 单
数、一次项系数和常数项.
解
（1）2x2=1-3x； （2）5x（x-2）=4x2-3x．
读
［解题思路］
原式
去分母、去括号 移项、合并同类项
一元二次方程pptPPT学习教案
项系数；一次项、一次项系数；常数项． 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）
2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形 式． 解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一 次项系数2；常数项-4．
（3）x(2x 1) 3x(x 2) 0
2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0
（4）2x(x 1) 3(x 5) 4
2x2－5x－11=0
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
第35页/共55页
拓展练习：
1、 关于x的方程ax2 —2bx＋a＝2x2, 在什么条件下此方程为一元二次
程．
第8页/共55页
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；
（2）一元二次方程的一般形式 ax2 bx 和c 0(a 0)
二次项、二次项系数，一次项、一次项 系数，常数项的概念及其它们的运用．
第9页/共55页
第二课时
1．一元二次方程根的概念； 2．根据题意判定一个数是否是一元二次方
程的根及其利用它们解决一些具体题目．
合实际意义的方程。
第21页/共55页
第22页/共55页
1、下列式子哪些是方程？
2＋3＝5 没有未知数
方程的本质 特征是什么
？
3x＋2 不是等式
5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程
x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
第23页/共55页
2、我们学过哪些方程？
一元一次方程、二元一次方程、 3、分什式么叫方一程元。一次方程？方程的“元”和
2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形 式． 解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一 次项系数2；常数项-4．
（3）x(2x 1) 3x(x 2) 0
2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0
（4）2x(x 1) 3(x 5) 4
2x2－5x－11=0
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
第35页/共55页
拓展练习：
1、 关于x的方程ax2 —2bx＋a＝2x2, 在什么条件下此方程为一元二次
程．
第8页/共55页
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；
（2）一元二次方程的一般形式 ax2 bx 和c 0(a 0)
二次项、二次项系数，一次项、一次项 系数，常数项的概念及其它们的运用．
第9页/共55页
第二课时
1．一元二次方程根的概念； 2．根据题意判定一个数是否是一元二次方
程的根及其利用它们解决一些具体题目．
合实际意义的方程。
第21页/共55页
第22页/共55页
1、下列式子哪些是方程？
2＋3＝5 没有未知数
方程的本质 特征是什么
？
3x＋2 不是等式
5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程
x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
第23页/共55页
2、我们学过哪些方程？
一元一次方程、二元一次方程、 3、分什式么叫方一程元。一次方程？方程的“元”和
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(2x -１)(x＋７) = 0
∴ 2x -1 = 0 , x =0.5
一
或 x +7 = 0, x = -７
元
二
∴原方程的根是x1=0.5 , x2= -7
次
方
程
返回 首页
第（1）题答案：
x2 = 2x
x2 －2x = 0
x(x －2) = 0
一
x1=0 , x2=2
元
二
次
方
程
返回
第（2）题答案：
3x2 － 27=0
x2 －9 = 0
(x+3)(x －3) = 0
一
x+3 == 0 或 x －3 = 0
元 二
x1=－3 , x2=3
次
方
程
返回
第（3）题答案：
(x+4)(x －3) = 0
x+4= 0 或x －3=0
一
x1=－4 , x2=3
元
二
次
方
程
返回
第（4）题答案：
(3x+1)(2x －1) = 0
次
就可以用因式分解法解这个方程。
方
程 小结 首页
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元
二
次
方
程
首页
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方
(4) 6x2 － x － 1= 0 答案
程
想一想
观察方程 x 2 + x - 20 = 0 有何特征？
特征如下：
①等号两边都是整式 ②又只含有一个未知数 ③并且未知数的最高次数是2
0
方 程
3二x2次－项1系= 数0 为3，常数项为-1，一次项系数0为000
首页
解一元二次方程
使得一个一元二次方程方程左右两边的值相等
的未知数的值叫做这个一元二次方程的根。
求一个一元二次方程的根的过程，叫解一元
二次方程。
一
元
一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)
二
后，如果它的左边的二次三项式能因式分解，那么
这样的方程叫 一元二次方程
一 元 二 次 方 程
返回
一元二次方程的一般形式
任何一个关于x 一元二次方程,经过整理都可以化为
以下形式 a x 2 + b x + cc = 0 (a ≠ 0)
一次项系数
说明：要确定一元二次方程的系数和常数项， 必须先将方程化为一般形式。
一
元
二
次
方
程
返回
小结
•一元二次方程的定义
1
•一元二次方程的一般形式
2
•因式分解法
3
一
•转化思想
元
二
次
方
程
如果a是一元二次方程x2－3x+m=0的 一个根，-a是一元二次方程x2 + 3x－m=0 的一个根，那么a的值是多少？
练习 请填写下表:
方程
二次项系数 一次项系数 常数项
一
2x2+x -3=0
2
1
-3
元
二
x2+x = 1
1
1
-1
次
x- 7x2 = 0
-7
1
0
方
3y2 = 6
3
0
-6
程
定义 首页
巩固练习:
选择题
方程 ( y + ) ( y － ) + ( 2y +１ )２＝４y－
的二次项系数与一次项系数的和为(A )
((A) 5 (B) －５+
(C)
(D) 0
填空题
一 元
数、3x方3一x( 3程次x(x+x项23(+)xx2系=+)(2=数1x)1+1=+与212)+1常(=123+(x数132－1x(+项3－52x)的(－53)x积5－)是5)的二0次0项系
二
3x2 + 6x = 11 + 6x －10
0
次
3x2 + 6x － 6x－11 ＋10 = 0
方
程 首页
观察方程 x 2 + x - 20 = 0 有何特征？
特征如下：
①等号两边都是整式 ②又只含有一个未知数 ③并且未知数的最高次数是2
这样的方程叫 一元二次方程
一
பைடு நூலகம்
练习 请判断下列方程是否为一元二次方程：
元
(1) 2x = y 2 - 1
(4) 3z2+1 = z (2z2 - 1)
二
(2) y - y 2 = 1
3x+1= 0 或2x －1=0
一
x1=? , x2=?
元
二
次
方
程
返回
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方 程
例 解方程：
(5) x 2 = 0
次 方
3
(3) x 2-
2 x
-3=0
(6) ( x + 2) 2 = 4
程
以上方程中(1)、(3)、(4)不是一元二次方程
首页
一元二次方程的一般形式
任何一个关于x 一元二次方程,经过整理都可以化为
以下形式 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
一次项系数
说明：要确定一元二次方程的系数和常数项， 必须先将方程化为一般形式。
(1) x2 = 2x
答案
元
(2) 3 x2－27 = 0
答案
二
次
方
程
(1) x2－３x = 0
解: 把方程左边分解因式,得
x(x－３) = 0
∴ x = 0 或x －3 = 0
一
元
∴原方程的根是x1=0 , x2=3
二
次
方
程
返回 首页
(2) 2 x2+13x －7= 0
解: 把方程左边分解因式,得
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方
(4) 6x2 － x － 1= 0 答案
程
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
引入 定义 一般形式 巩固练习1 例题 巩固练习2 小结
制 作 ：
王 晓 忠
一元二次方程
问题：
建造一个面积为20平方米，长比 宽多 1 米的长方形花坛，问它的宽是 多少？
解：设这个花坛的宽为x米，
x+1
一 元
则长为（x+1）米，
根据题意得：
x
二
x ( x+1) = 20
次
即 x 2 + x - 20 = 0
∴ 2x -1 = 0 , x =0.5
一
或 x +7 = 0, x = -７
元
二
∴原方程的根是x1=0.5 , x2= -7
次
方
程
返回 首页
第（1）题答案：
x2 = 2x
x2 －2x = 0
x(x －2) = 0
一
x1=0 , x2=2
元
二
次
方
程
返回
第（2）题答案：
3x2 － 27=0
x2 －9 = 0
(x+3)(x －3) = 0
一
x+3 == 0 或 x －3 = 0
元 二
x1=－3 , x2=3
次
方
程
返回
第（3）题答案：
(x+4)(x －3) = 0
x+4= 0 或x －3=0
一
x1=－4 , x2=3
元
二
次
方
程
返回
第（4）题答案：
(3x+1)(2x －1) = 0
次
就可以用因式分解法解这个方程。
方
程 小结 首页
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元
二
次
方
程
首页
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方
(4) 6x2 － x － 1= 0 答案
程
想一想
观察方程 x 2 + x - 20 = 0 有何特征？
特征如下：
①等号两边都是整式 ②又只含有一个未知数 ③并且未知数的最高次数是2
0
方 程
3二x2次－项1系= 数0 为3，常数项为-1，一次项系数0为000
首页
解一元二次方程
使得一个一元二次方程方程左右两边的值相等
的未知数的值叫做这个一元二次方程的根。
求一个一元二次方程的根的过程，叫解一元
二次方程。
一
元
一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)
二
后，如果它的左边的二次三项式能因式分解，那么
这样的方程叫 一元二次方程
一 元 二 次 方 程
返回
一元二次方程的一般形式
任何一个关于x 一元二次方程,经过整理都可以化为
以下形式 a x 2 + b x + cc = 0 (a ≠ 0)
一次项系数
说明：要确定一元二次方程的系数和常数项， 必须先将方程化为一般形式。
一
元
二
次
方
程
返回
小结
•一元二次方程的定义
1
•一元二次方程的一般形式
2
•因式分解法
3
一
•转化思想
元
二
次
方
程
如果a是一元二次方程x2－3x+m=0的 一个根，-a是一元二次方程x2 + 3x－m=0 的一个根，那么a的值是多少？
练习 请填写下表:
方程
二次项系数 一次项系数 常数项
一
2x2+x -3=0
2
1
-3
元
二
x2+x = 1
1
1
-1
次
x- 7x2 = 0
-7
1
0
方
3y2 = 6
3
0
-6
程
定义 首页
巩固练习:
选择题
方程 ( y + ) ( y － ) + ( 2y +１ )２＝４y－
的二次项系数与一次项系数的和为(A )
((A) 5 (B) －５+
(C)
(D) 0
填空题
一 元
数、3x方3一x( 3程次x(x+x项23(+)xx2系=+)(2=数1x)1+1=+与212)+1常(=123+(x数132－1x(+项3－52x)的(－53)x积5－)是5)的二0次0项系
二
3x2 + 6x = 11 + 6x －10
0
次
3x2 + 6x － 6x－11 ＋10 = 0
方
程 首页
观察方程 x 2 + x - 20 = 0 有何特征？
特征如下：
①等号两边都是整式 ②又只含有一个未知数 ③并且未知数的最高次数是2
这样的方程叫 一元二次方程
一
பைடு நூலகம்
练习 请判断下列方程是否为一元二次方程：
元
(1) 2x = y 2 - 1
(4) 3z2+1 = z (2z2 - 1)
二
(2) y - y 2 = 1
3x+1= 0 或2x －1=0
一
x1=? , x2=?
元
二
次
方
程
返回
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方 程
例 解方程：
(5) x 2 = 0
次 方
3
(3) x 2-
2 x
-3=0
(6) ( x + 2) 2 = 4
程
以上方程中(1)、(3)、(4)不是一元二次方程
首页
一元二次方程的一般形式
任何一个关于x 一元二次方程,经过整理都可以化为
以下形式 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
一次项系数
说明：要确定一元二次方程的系数和常数项， 必须先将方程化为一般形式。
(1) x2 = 2x
答案
元
(2) 3 x2－27 = 0
答案
二
次
方
程
(1) x2－３x = 0
解: 把方程左边分解因式,得
x(x－３) = 0
∴ x = 0 或x －3 = 0
一
元
∴原方程的根是x1=0 , x2=3
二
次
方
程
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(2) 2 x2+13x －7= 0
解: 把方程左边分解因式,得
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方
(4) 6x2 － x － 1= 0 答案
程
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
引入 定义 一般形式 巩固练习1 例题 巩固练习2 小结
制 作 ：
王 晓 忠
一元二次方程
问题：
建造一个面积为20平方米，长比 宽多 1 米的长方形花坛，问它的宽是 多少？
解：设这个花坛的宽为x米，
x+1
一 元
则长为（x+1）米，
根据题意得：
x
二
x ( x+1) = 20
次
即 x 2 + x - 20 = 0