一元二次方程最新经典讲解 PPT课件
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认识一元二次方程ppt课件
析
［领悟提能］
求一元二次方程的项及各项系数时，应先化为一般形式
，注意各项系数包括前面的符号.
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，a≠0）
一个解 x 的范围为0.6＜x＜0.7.
［答案］ C
2.1 认识一元二次方程
考 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程
点
清
（1）审题（理解题目的含义）
单
解
（2）找等量关系（通过已知量、未知量
读
步骤
来找等量关系）
（3）设未知数
（4）列出一元二次方程
单
解
次方程 的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二
读
的解
次方程的根
一般步骤：（1）列表，利用未知数的取
估计一元 值分别计算方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）中
二次方程 ax2+bx+c 的值；（2）在表中找出使ax2
的解
+bx+c 的值可能等于 0 的未知数符合要求
的范围；
2.1 认识一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ x（x-1）=30
2.1 认识一元二次方程
重 ■题型一 利用一元二次方程的定义求值
难
|m|+1-3x=7 是关于 x 的一元
例1
已知方程（m-1）x
题
型 二次方程，则有 （
）
突
破
A． m=1
B． m=-1
C． m=±1
D． m≠±1
2.1 认识一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整
［领悟提能］
求一元二次方程的项及各项系数时，应先化为一般形式
，注意各项系数包括前面的符号.
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，a≠0）
一个解 x 的范围为0.6＜x＜0.7.
［答案］ C
2.1 认识一元二次方程
考 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程
点
清
（1）审题（理解题目的含义）
单
解
（2）找等量关系（通过已知量、未知量
读
步骤
来找等量关系）
（3）设未知数
（4）列出一元二次方程
单
解
次方程 的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二
读
的解
次方程的根
一般步骤：（1）列表，利用未知数的取
估计一元 值分别计算方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）中
二次方程 ax2+bx+c 的值；（2）在表中找出使ax2
的解
+bx+c 的值可能等于 0 的未知数符合要求
的范围；
2.1 认识一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ x（x-1）=30
2.1 认识一元二次方程
重 ■题型一 利用一元二次方程的定义求值
难
|m|+1-3x=7 是关于 x 的一元
例1
已知方程（m-1）x
题
型 二次方程，则有 （
）
突
破
A． m=1
B． m=-1
C． m=±1
D． m≠±1
2.1 认识一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整
北师大版数学九年级上册 2.1 第2课时 一元二次方程的解及其估算 课件(共23张PPT)
归纳总结
规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤： ①在未知数x的取值范围内排除一部分取值; ②根据题意所列的具体情况再次进行排除; ③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选; ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
当堂练习
1.请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根（精确到0.1）. 解：（1）列表.依次取x=0,1,2,3,…
x
0 0.5 1
1.5
2
2x2 - 13x + 11 11
5
0
-4 -7
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求 解方法吗?与同伴进行交流．
例3：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程x2 +12 x - 15 = 0.
1m 10m
8m
xm
你能猜出滑动距离
x的大致范围吗？
下面是小亮的求解过程：
B·九年级上册
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程 第2课时 一元二次方程的解及其估算
学习目标
1.理解方程的解的概念. 2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点) 3.会估算一元二次方程的解.（难点）
导入新课
一元二次方程有哪些特点？一元二次方程的一般形式是什么？ 一元二次方程的特点： ① 只含有一个未知数; ②未知数的最高次项系数是2; ③整式方程．
a9 4
4.已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得 a12b1c0
即 abc0
思考： （1）若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的一个根吗?
解一元二次方程(公式法)(ppt课件)
这时
b
2
4ac 4a 2
＞0，
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
b b2 4ac
b
x1
2a
, x2
b2 4ac .
2a
方程有两个不 相等实数根
探究新知
⑵b2-4ac=0
这时
b2 4ac 0， 4a 2
x1=x2=- b 2a
方程有两个相 等实数根
探究新知
解：方程化为 2x2－5x－9＝0.
a＝2，b＝－5，c＝－9.
Δ＝(－5)2－4×2×(－9)＝97＞0.
方程有两个不等的实数根
x＝－b±
b2－4ac＝5±
2a
4
97，
即
x1＝5＋4
97，x2＝5－4
97 .
随堂练习
3．用公式法解方程：x2－3x＋4＝0. 解：a＝1，b＝－3，c＝4. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7<0. 方程无实数根．
课堂小结
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: △=b2-4ac的值; 4.判断：若△=b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0，则方程没有实数根.
当堂测试
1. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围
,
x2
1．
（2） x2 4x 7 0 ，
a 1， b 4 ， c 7 ，
b2 4ac (4)2 417 44 0 ，
一元二次方程ppt课件
(1)
3x 2 +1=6x
(2)
4x 2 +5x=81
(3)
x(x十5)=0
(4)
(2x-2)(x-1)=0
(5)
x(x十5)=5x-10
(6)
(3x-2)(x+1)=x(2x-1)
●2.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般
形式:
(1)一个圆的面积是2m 2 ，求半径;
(2)一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm 2 ，求较长
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于
较长一段的长的平方，求较短一段的长 x.
●1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次
项系数、一次项系数和常数项:
无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm，那么铁皮
各角应切去多大的正方形?
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，
根据方盒的底面积为3600cm 2 ，
得 (100-2x)(50-2x)=3600.
4x 2 -300x+1400=0.
x 2 -75x+350=0.
不是，未知数在分母上
一元二次方程的三个必要条件
●1.未知数只有一个
●2.未知数的最高次数是2
●3.分母中没有未知数
●方程（m+2）x ㎡-2 +3mx+1=0，是关于x的一元二次方程，
求m的值
解：因为是一元二次方程，所以m 2 -2=2，得出m=2和m=-2
一元二次方程课件
感谢您的观看
计算判别式
02
$Delta = b^2 - 4ac$
判别式Δ的几何意义
03
代表一元二次函数图像与x轴交点的个数
判别式Δ与方程解的关系
当$Delta > 0$时， 方程有两个不相等的 实根
当$Delta < 0$时， 方程无实根，即根为 复数
当$Delta = 0$时， 方程有两个相等的实 根，即一个重根
一元二次方程可能有两个实数解、一个实数解或无实数解，这取决于判别式b²-4ac的值。当b²-4ac>0时，方程有两个不相等 的实数解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解；当b²-4ac<0时，方程无实数解。
02 一元二次方程解法
直接开平方法
适用情况
注意事项
适用于形如 $(x+a)^2=b$ 的一元二 次方程。
根与系数关系在解题中的应用
利用根与系数的关系可以解决一些与 方程根相关的问题，如判断方程的根 的情况、求方程的根的取值范围等。
VS
例如，已知方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根x1、x2满足x1 < 0， x2 - 2x1 > 0，则可以推断出系数a、 b、c的符号关系。具体推导为：由x1 * x2 = c/a > 0，知c与a同号；由x1 + x2 = -b/a < 0，结合x1 < 0，得a 与b异号；由x2 - 2x1 > 0，得x2 > 2x1，即x2 - x1 > x1，结合x1 + x2 < 0，得x2 - x1 > -(x1 + x2) = b/a > 0，得a与b异号。
计算判别式
02
$Delta = b^2 - 4ac$
判别式Δ的几何意义
03
代表一元二次函数图像与x轴交点的个数
判别式Δ与方程解的关系
当$Delta > 0$时， 方程有两个不相等的 实根
当$Delta < 0$时， 方程无实根，即根为 复数
当$Delta = 0$时， 方程有两个相等的实 根，即一个重根
一元二次方程可能有两个实数解、一个实数解或无实数解，这取决于判别式b²-4ac的值。当b²-4ac>0时，方程有两个不相等 的实数解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解；当b²-4ac<0时，方程无实数解。
02 一元二次方程解法
直接开平方法
适用情况
注意事项
适用于形如 $(x+a)^2=b$ 的一元二 次方程。
根与系数关系在解题中的应用
利用根与系数的关系可以解决一些与 方程根相关的问题，如判断方程的根 的情况、求方程的根的取值范围等。
VS
例如，已知方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根x1、x2满足x1 < 0， x2 - 2x1 > 0，则可以推断出系数a、 b、c的符号关系。具体推导为：由x1 * x2 = c/a > 0，知c与a同号；由x1 + x2 = -b/a < 0，结合x1 < 0，得a 与b异号；由x2 - 2x1 > 0，得x2 > 2x1，即x2 - x1 > x1，结合x1 + x2 < 0，得x2 - x1 > -(x1 + x2) = b/a > 0，得a与b异号。
一元二次方程ppt课件
b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
注意 ①若a＜0,那么最好在方程的左右两边同乘-1,使二次项系数变为 正整数；②指出一元二次方程的各个系数时,一定要带上前面的符号.
即学即练，趁热打铁
1.下列方程哪些是一元二次方程? 为什么?
(1)8x3 - 5x2 - 4 = 0
最高指数是3
(2)7x2 - 4y + 6= 0
方程中同时出现x、y两个未知数
(3) 2x 1 1 0 3x
(4) y2 0 2
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
非整式方程
√
化简后是一元一次方程
2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的
二次项系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
经化简得x2 - 8x - 20＝0（一般式）.
例3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面 的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多 少米？（列出方程即可）
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端
距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后 梯子底端距墙 (x+6) m ;
2.1 认识一元二次方程
学习目标
1.了解一元二次方程的概念;（重点） 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a≠0）.
（重点） 3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型，培养学
生的数形结合思想. （难点）
导入新课
（一 ）、学前准备： 1、什么叫方程？
3x2= 5x - 1
3x2 - + 2) (x - 1)=6
一元二次方程ppt课件
次项系数、一次系数和常数项系数：
ax2+bx+c=0
（1） 5x2-1=4x ；
（2）4x2=81 ；
（3）4x(x+2)=25 ;
（4）(2x-2)(x-1)=0
当堂检测
5.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化为一元二
次方程的一般式：
（1） 4个完全相同的正方形面积之和为25，求正方形的边长x ；
(1)x2
+
-5=0
分母中有未知数，不是整式
(2)x3-3x+7=0
最高项次数为3
(3)x2 -2y+1=0
有两个未知数
(4)ax2+bx+c=0
(5)5x2+6=0
a可能为0
是
典例精析
例 将下列方程化为一般形式，并判断二次项系数、一次项系数、常数项
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解：3x 2 − 3x = 5x + 10
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数最高次数是2（二次），这样的方程
叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a≠0）
【提问】为什么强调a≠0
其中 ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，
b是一次项系数，c是常数项.
判断一元二次方程
判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
算一算：
x＝-2，x＝1,哪个方程2x2-3x+1＝0的解？
小结
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一般形式
相同点
ax2+bx+c=0
（1） 5x2-1=4x ；
（2）4x2=81 ；
（3）4x(x+2)=25 ;
（4）(2x-2)(x-1)=0
当堂检测
5.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化为一元二
次方程的一般式：
（1） 4个完全相同的正方形面积之和为25，求正方形的边长x ；
(1)x2
+
-5=0
分母中有未知数，不是整式
(2)x3-3x+7=0
最高项次数为3
(3)x2 -2y+1=0
有两个未知数
(4)ax2+bx+c=0
(5)5x2+6=0
a可能为0
是
典例精析
例 将下列方程化为一般形式，并判断二次项系数、一次项系数、常数项
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解：3x 2 − 3x = 5x + 10
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数最高次数是2（二次），这样的方程
叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a≠0）
【提问】为什么强调a≠0
其中 ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，
b是一次项系数，c是常数项.
判断一元二次方程
判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
算一算：
x＝-2，x＝1,哪个方程2x2-3x+1＝0的解？
小结
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一般形式
相同点
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
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运动，设运动时间为t秒.
问:当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？
分类讨论思想
A
PD
t 7 或 t 16
2
ห้องสมุดไป่ตู้
3
B
QC
你说我说大家说
请你谈谈学习本节 课后的感受!
0
两不相等实根 两相等实根 无实根
判别式的应用: 1、不解方程，判别方程的根的情况
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
（1） 2x2 3x 4 0
（2） 16 y2 9 24 y
（3） 5 x2 1 7x 0
解：（1） = b2 4ac 32 4 2 4 41 0
一元二次方程的概念：
1.（07兰州）下列方程中是一元二次方程的是
（ C）
A、2x＋1＝0
B、y2＋x＝1
C、x2＋1＝0
D、 1 x 2 1
一元二次方程三要素: x
1.一个未知数. 2.含未知项的最高次数是2次. 3.方程两边都是整式. 2.（08青岛）关于x的方程(m 2)xm22 3x 7 0
是一元二次方程，求m的值。 m=-2
注意: 二次项的系数不等于0.
一、一元二次方程的概念
注意：一元二次方程的
引例：判断下列方程是不是一元二次方程 三个要素
（（113、））已4axx知-²+12关ｂx于²x++xc的3=0方=0程（不m是一²-定1）x²（（+（24））m3x-x1+²）-1xxy-=2-10m=+01=不0不，是是当
B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，
其中一点到终点，另一点也随之停止。连结PQ。
设动点运动时间为x秒。
A
（示（△（边存1B形在2P3Q）） B）、，AQ用当 是P为P请Q含B为否等C的求的x何存腰的长出面值在三代度此积时x角数；时的等，形式x值于；的表，2值0使c；m得2？若四若不 P 存在，请说明理由。
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 根的判式是:
b2 4ac
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
判别式的情况 根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根 0
b2 4ac 0 两个相等实根 0
b2 4ac 0 无实根(无解)
BQ C
其它类型应用题：
5.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿
线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，
动点Q从点C出发，沿线段CB 以每秒1个单位
长度的速度向点B运动. 点P、Q分别从点D、C
同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止
1、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程
（1）、3x2-5x=0
（2）、3x²-1=0
（3）、x（2x +3）=5（2x +3）（4）、3(x-2)2=9
（5）、x²- 3 x +2=0
（6）、(3x-3)2=4(x-2)2
6、若a是方程x2 3x 3 0的一个根，则 3a2 9a 2 11
下面所列方程正确的是( ) B
A.200(1+a％)2=148; B.200(1-a％)2=148; C.200(1-2a％)=148; D.200(1+a2％)=148;
其它类型应用题：
4.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，
BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同
时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点
7、n是方程x2 mx n 0一个根（ n 0）， n m -1
8、x2 4x 2 0,请用配方法转化成（x m）2 n的
形式，则 (x 2)2 2
9、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2 (x+1)(x-2)=0
三、 一元二次方程根的判别式
修建的路宽应为（ A ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
面积类应用题：
2.（08十堰）如图，利用一面墙（墙的
长度不超过45m），用80m长的篱笆围一
个矩形场地．
⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?
⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，
为什么?
墙
D
C
A
B
增长率类应用题：
3.（09兰州）2008年爆发的世界金融危机， 是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场 金融危机。受金融危机的影响，某商品原价 为200元，连续两次降价a％后售价为148元，
m ≠±1 时是一元二次方程，当m= -1 次方程，当m= ½ 时，x=0。
时是一元一
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二次方程则
m ≠－ 2 。
一元二次方程（关于x）一般形式
3x²-1=0 3x（x-2）=2（x-2）
二次项 系数
一次项 常数项 系数
练习 ：一元二次方程的解法
所以，原方程有两个不相等的实根。
说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△， 然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情 况，得出结论。
一元二次方程的应用：
面积类应用题：
1.（09年甘肃庆阳）如图，在宽为20米、长为 30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余 下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则