上海市静安区2019高三一模数学试卷
2019-2020学年上海市静安区高三年级一模考试数学试卷
2019-2020 学年上海市静安区高三年级一模考试数学试卷2019.12一、填空题： (本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.计算lim(1 0.9n) ____ .n【答案】1【解析】lim(1 0.9n) 1n2. ______________________________________________ 双曲线在单位圆中，60 的圆心角所对的弧长为.【答案】3【解析】l 2r33. ___________________________________________________________ 若直线l1和直线l2的倾斜角分别为32和152则l1与l2的夹角为 _____________________________________ .【答案】60【解析】180 152 32 604. _______________________________________________________ 若直线l 的一个法向量为n (2,1) ，则若直线l 的斜率k ____________________________________________ .【答案】22【解析】n (2,1) ，则单位向量d ( 1,2)，k 215. 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7 小时后，1个此种细胞将分裂为____ 个.【答案】128【解析】1 271286. __________________________________ 设ABC是等腰直角三角形，斜边AB 2, 现将ABC(及其内部) 绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为.2【答案】3【解析】1r21( 2)223 3 3uuru uuur7.如图，在平行四边形 ABCD 中， AB 2， AD 1,则 AC BD 的值为 ___________【答案】-3uuur uuur uuur uuur uuur uuur【解AC BD (AB AD)( AD AB) 1 4 -3 8.三倍角的正切公式为 tan3【答案】【解析】32tan tan tan3 21 3tan2 .9. 设集合 A 共有 6 个元素，用这全部的 6 个元素组成的不同矩阵的个数为________ 【答案】 2880【解析】 4 种类型的矩阵 4P 66288010.现将函数 y secx,x (0, ) 的反函数定义为正反割函数，记为： y arc sec x . 则 arc sec( 4) ________ .(请保留两位小数)【答案】 1.82【解析】y ， x (0, ) ，故可知 4， t arccos( ) 1.82.cosx cost 42211.设双曲线 x 2y的两个焦点为 F 、F 2 ，点P 在双曲线上，若 PF PF 2 ，则点 P 到坐标原点 Oa 2 a 2 2的距离的最小值为 ________ . 【答案】3 2【解析】 2 2 1 3 c 2 a 2a ,a 2时，可知 c min 2 . 12.设 a 0,a ,M 0,N 0，我们可以证明对数的运算性质如下：Qa logaM logaN a logaM a logaN MN ，①log a MN log a M log a N .我们将 ①式称为证明的 “关键步骤”则.证明 log a M rr log a M (其中 M 0,r R )的 “关键步骤 ”为 ________ .r答案】log a M r r log a M解析】Q(a logaM)r a r loga M M r, log a M r r log a M .、选择题(本大题 4 小题，每题5分，共20分)13. “三个实数a, b, c成等差数列”是“2b a c ”的( )【A 】充分不必要条件【B 】必要不充分条件【C】充要条件【D 】既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为三个实数a,b, c成等差数列”，所以2b a c .xi14. 设x, y R，若复数是纯虚数，则点p( x, y)一定满足( )yi【A 】y x 【B】y 【C】y x 【D】yxx【答案】Bx 1 (x i)(y i) xy (x y)i xy (x y)i x 1【解析】 2 2 2，并且为纯虚数，则xy 0，y i (y i)(y i) y2y2y2 y i1y.x315.若展开(a )(a 2)(a 3)(a 4)(a 5) ，则展开式中a3的系数等于( )【A 】在，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和；【 B 】在，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和；【C】在，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和；【D 】以上结论都不对.【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中a3的系数等于在，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和.2 方向，且塔顶的仰角为8 ，16. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为答案】C解析】000sin5 sin60 cos69 tan87 292.728米.. 解答题（本大题共 5 题，共14+14+14+16+18=76 分）17. （本题满分12 分，第1小题6 分，第2小题8分）如图，在正六棱锥P ABCDEF 中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为60 .（1）求该六棱锥的体积V ；（2）求证：PA CE答案】（1）12；（2）见解析解析】（1）解：设底面中心为O，联结PO,AO ．（1 分）PO 底面ABCDEF ，PAO为侧棱与底面所成的角60 ．⋯⋯（2 分）ABCDEF 是正六边形，AO AB 2 ．∴在Rt AOP中，OP AOtan60 2 3．（1 分）S ABCDEF 6 21 2 2 23 6 3，⋯（1分）V P ABCDEF 1 6 3 OP 12 ．⋯⋯⋯（ 1 分）PO CE ．AO CE ，又PO AO O ，CE 面PAO ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）又PA 在平面PAO 上，PA CE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）18. （本题满分14 分，第1小题7 分，第2小题7分）请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.32）证明：PO 底面ABCDE ，C（ 2）如图 2，要在一个长半轴为 2 米，短半轴为 1 米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形 如何截取？并求出这个最大矩形的面积 .图1答案】（1）1（2）22∵ sin2 1 ，∴当 时，所截取的最大矩形的面积最大为1平方米． ⋯⋯⋯ （2 分）4（2）以 O 为坐标原点， OB 为 x 轴的正半轴建立直角坐标系， ⋯⋯⋯ （1 分）2x 2设点 C 的坐标为 x,y ，故，y 2 1．⋯（2 分） 4所以，矩形 ABCD 的面积S 2xy 2 xy 22 ，（2 分）4当且仅当 x 2y 时等号成立．故，当 x 2米， y2米时，矩形的面积最大为 2平方米． ⋯（2 分）2注： 在以上两个方法和用参数方程的方法中任意选取两个方法都可．19. （本题满分 14分，第 1小题 6分，第 2小题 8分） 设a n 是等差数列，公差为 d ，前 n 项和为 S n .（1）设 a 1 40， a 6 38，求 S n 的最大值 .（2）设 a 1 1，b n 2a n（n N *），数列 b n 的前n 项和为 T n ，且对任意的 n N * ，都有T n 20 ，求d 的取值ABCD ，A O B图2【解析 】（1）联结 OC ，设 COB ，⋯⋯⋯⋯⋯ （1分） 则 OBcos ， BC sin ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）所以，矩形 ABCD 的面积S 2sin cos sin2 , 0⋯⋯ （2分）DCa 1 40, a 1 5d 38.2解得 d . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （2 分）5所以数列{a n}单调递减，2设 a n 0 ，即 40 （n 1）0，解得 n 101． 5所以S n 的最大值是 S 101 S 100 2020. ⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （4 分）2）解： b 1 2a12 0 ，an 1又bn 12a2an 1 an2d正常数．b n2an{b n } 为等比数列．范围. 答案】解析】1）2020（ 2） 1）由题意，有9- ,log 210当 d 0 时， T n，不符，舍去；当 d 0 时， T n 2n ，不符，舍去； 当 d 0 时， 0 2d1 ，lim T n n2d1 2dd1 2d所以，20．d 9． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 102 分）1 分）2 分）（ 3 分）20. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知抛物的准线方程为x y 2 0.焦点为 F 1,1 .（1）求证：抛物线上任意一点P 的坐标x,y 都满足方程：x22xy y28x 8y 0;（2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x 轴的直线与抛物线交于A、B两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程【答案】（1）见解析（2）关于y x对称x -1,y 1。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
(完整版)静安区2019年度高三数学一模含答案
静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式(x 2−1x )5的展开式中，x 4项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线轴平行，则a 的值是__________． 5．若α、β是一元二次方程2x 2+x +3=0的两个根，则1α+1β=__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为13的等比数列．设T n =a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1，则lim n→∞T n =__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线l 1:2x +y =0和l 2:x +3y +5=0的交点为圆心，并且与直线x +3y +15=0相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率π） 11．集合A ={y|y =log 12x −x,1≤x ≤2}，B ={x |x 2−5tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是__________．12.若定义在实数集R 上的奇函数y =f(x)的图像关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 13，则方程f (x )=13在区间（−4，10）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为x 216+y 2m 2=1 (m >0)，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知下列4个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数．②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数． ③复数z 是实数的充要条件是z =z̅．（z̅是z 的共轭复数）． ④已知复数z 1=−1+2i,z 2=1−i,z 3=3−2i （i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y =1. 则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个16．设 a ⃗⃗⃗ ,b ⃗⃗⃗ 表示平面向量，|a ⃗⃗⃗ |,|b ⃗⃗⃗ |都是小于9的正整数，且满足(|a ⃗⃗⃗ |+|b ⃗⃗⃗ |)(|a ⃗⃗⃗ |+3|b ⃗⃗⃗ |)=105，(a ⃗⃗⃗ +b ⃗⃗⃗ )∙(a ⃗⃗⃗ +3b ⃗⃗⃗ )=33，则a ⃗⃗⃗ 和b⃗⃗⃗ 的夹角大小为（ ）. （A ）π6（B ）π3(C )2π3（D ）5π6三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．x m -422162m -822-m 42-m18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13，x ∈[−π2，π2]． （1）求函数f (x )的最大值M ；（2）对（1）中的M ，是否存在常数b （b >0且b ≠1），使得当a >1时， y =log b M 有意义，且y 的最大值是−43？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若k 1∙k 2=−1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且9<4TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ <10，求实数b 的取值范围．F P A B CD E21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅Λ21记为ini a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++Λ21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求P 5+S 5；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni ？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．12． 5．−13． 6．lim n→∞T n =98.7．13795.16元 8．97． 9．(x −1)2+(y +2)2=10. 10．12288π cm 3． 11．t ≤−23. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，AB =1.95,AC =1.40，∠BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：BC 2≈3.571. BC ≈1.89.答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解： (1)f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14 设cosx =t ，因为x ∈[−π2，π2]，所以t ∈[0,1].f (x )=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14=−t 2+2at +a 2−6a +14.FPABCDE GM ={a 2−6a +14,(a <0),2a 2−6a +14,(0≤a ≤1),a 2−4a +13,(a >1).(2)当a >1时，M =a 2−4a +13=(a −2)2+9≥9，该函数当a ∈（1，2]时递减，当a ∈[2，+∞）时递增。
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静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式(x 2−1x )5的展开式中，x 4项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线轴平行，则a 的值是__________． 5．若、是一元二次方程2x 2+x +3=0的两个根，则1α+1β=__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为13的等比数列．设T n =a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1，则lim n→∞T n =__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线l 1:2x +y =0和l 2:x +3y +5=0的交点为圆心，并且与直线x +3y +15=0相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率） 11．集合A ={y|y =log 12x −x,1≤x ≤2}，B ={x |x 2−5tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是__________．12.若定义在实数集R 上的奇函数y =f(x)的图像关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 13，则方程f (x )=13在区间（−4，10）内的所有实根之和为__________．x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为x 216+y 2m 2=1 (m >0)，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知下列4个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数．②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数． ③复数z 是实数的充要条件是z =z̅．（z̅是z 的共轭复数）． ④已知复数z 1=−1+2i,z 2=1−i,z 3=3−2i （i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y =1. 则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个16．设 a ⃗⃗⃗ ,b ⃗⃗⃗ 表示平面向量，|a ⃗⃗⃗ |,|b ⃗⃗⃗ |都是小于9的正整数，且满足(|a ⃗⃗⃗ |+|b ⃗⃗⃗ |)(|a ⃗⃗⃗ |+3|b ⃗⃗⃗ |)=105，(a ⃗⃗⃗ +b ⃗⃗⃗ )∙(a ⃗⃗⃗ +3b ⃗⃗⃗ )=33，则a ⃗⃗⃗ 和b⃗⃗⃗ 的夹角大小为（ ）. （A ）π6 （B ）π3 (C )2π3（D ）5π6三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．x m -422162m -822-m 42-m18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13，x ∈[−π2，π2]． （1）求函数f (x )的最大值M ；（2）对（1）中的M ，是否存在常数b （b >0且b ≠1），使得当a >1时， y =log b M 有意义，且y 的最大值是−43？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若k 1∙k 2=−1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线F P A B CD El 对称，且9<4TA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ <10，求实数b 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21记为ini a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++ 21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求P 5+S 5；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni ？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．12． 5．−13． 6．lim n→∞T n =98.7．13795.16元 8．97． 9．(x −1)2+(y +2)2=10. 10．12288 cm 3． 11．t ≤−23. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，AB =1.95,AC =1.40，BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：BC 2≈3.571. BC ≈1.89.答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解： (1)f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14FPABCDE G设cosx =t ，因为x ∈[−π2，π2]，所以t ∈[0,1].f (x )=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14=−t 2+2at +a 2−6a +14.M ={a 2−6a +14,(a <0),2a 2−6a +14,(0≤a ≤1),a 2−4a +13,(a >1).(2)当a >1时，M =a 2−4a +13=(a −2)2+9≥9，该函数当a ∈（1，2]时递减，当a ∈[2，+∞）时递增。
上海市静安区2019届高三上学期高中教学质量检测数学试卷Word版含解析
上海市静安区2019届上学期高中教学质量检测高三数学试卷一、填空题1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数_______．【答案】4【解析】∵，且复数是纯虚数∴，即故答案为42. 若为上的奇函数，当时，，则_______．【答案】-2【解析】∵为上的奇函数∴，∵当时，∴∴故答案为3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是_______；【答案】【解析】试题分析：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，，该正三棱锥的体积：．考点：正三棱锥的体积．4. 在菱形中，，，为的中点，则的值是_______；【答案】1【解析】如图所示：在菱形中，，∴故答案为15. 用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为________立方米．【答案】【解析】半径为1米的半圆的周长为，则制作成圆锥的底面周长为，母线长为1 设圆锥的底面半径为，则，即∴圆锥的高为∴圆锥的体积故答案为6. 已知为锐角，且，则________ ．【答案】【解析】∵∴∵∴∴故答案为点睛：三角函数求值中，要注意“角”的变换，察出“已知角”与“待求角”之间的关系，再选择应用两角和与差的正弦余弦公式变形．7. 设函数，若存在同时满足以下条件：①对任意的，都有成立；②，则的取值范围是_________．【答案】∴∴或故答案为点睛：本题主要考查三角函数的性质，考查了转化思想、恒成立问题与存在问题、逻辑推理能力与计算能力，本题的解答中正确转化不等式恒成立是解答本题的关键8. 若不等式的解集是区间的子集，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】由题意可得：不等式等价于设∵不等式的解集是区间的子集∴∴故答案为9. 已知且，)，，若对任意实数均有，则的最小值为________．【答案】4【解析】∵且，)，，且对任意实数均有∴对任意的实数均成立∴，即∵∴，则，即，当且仅当，取等号.故答案为4.....................10. 如图，正方形的边长为2，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论：①；②对任意，都有；③对任意，且，都有；其中所有正确结论的序号是_______；【答案】①②【解析】设交正方形于点，如图所示：①当时，∵∴,故①正确②∵根据题意可知，当时，表示射线未经过正方形的面积，∴表示正方形∴∵，且∴成立，故正②确③不妨设∵则由题意可知，从到，阴影部分面积不断扩大，即有∴∵即∴，故③错误故答案为①②二、选择题11. “抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵抛物线的标准方程为，其准线方程为∴∵双曲线的∴焦点为∵抛物线即为∴抛物线的焦点为，则∴∴“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的充分不必要条件故选A12. 已知等比数列前项和为，则下列一定成立的是（）A. 若，则；B. 若，则；C. 若，则；D. 若，则．【答案】C【解析】设等比数列的公比为，且若，则，所以，故正确，不正确；若，则可能大于0，也可能小于0，因此，不正确．故选C13. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A. 336种；B. 320种；C. 192种；D. 144种.【答案】A【解析】根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加,有种情况；若甲乙两人都参加,有种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A.14. 已知椭圆抛物线焦点均在轴上，的中心和顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则的左焦点到的准线之间的距离为（）A. ；B. ；C. 1；D. 2．【答案】B【解析】∵由表可知，抛物线焦点在轴的正半轴，设抛物线,则有,∴将代入，代入可得,即∴抛物线的标准方程为，则焦点坐标为,准线方程为,设椭圆,把点代入得, ，即∴的标准方程为;∵∴左焦点∴的左焦点到的准线之间的距离故选B点睛：本题考查椭圆与抛物线的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法的应用及学生的计算能力，属于中档题．15. 对于集合，定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素是集合对运算“”的单位元素．例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素是集合对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②{表示阶矩阵，}，运算“”为矩阵加法；③（其中是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集．其中对运算“”有单位元素的集合序号为（）A. ①②；B. ①③；C. ①②③；D. ②③．【答案】D【解析】对于①，若，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；对于②，表示阶矩阵，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，其单位元素为集合．故选D三、解答题16. 将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小.【答案】(1) (2).【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径，，再由三角形面积公式计算后即得.（2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与所成的角，再结合题设条件确定，．得出即可．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．由的长为，可知．，．（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为直线与所成的角．由长为，可知，又，所以，从而为等边三角形，得．因为平面，所以．在中，因为，，，所以，从而直线与所成的角的大小为．【考点】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.视频17. 设双曲线：，为其左右两个焦点．(1)设为坐标原点，为双曲线右支上任意一点，求的取值范围；(2)若动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，求动点的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）设，，左焦点，由利用二次函数的性质求出对称轴，求出的取值范围；（2）根据题设得点轨迹为椭圆，利用，，结合余弦定理以及基本不等式求解椭圆方程即可.试题解析：（1）设，，左焦点，（）对称轴∴（2）由椭圆定义得：点轨迹为椭圆，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立∴，则∴，∴动点的轨迹方程为18. 如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段的函数表达式；（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值．【答案】（1）（2）景观路长为千米 (3)【解析】试题分析：（1）由题意可得，代入点，即可求出解析式．本题考察的三角函数求值，令，即可求出此时的横坐标，从而根据两点间的距离即可求出景观路的长度．作图求平行四边形的面积，再根据，即可求出最值．试题解析：1）由已知条件，得又∵又∵当时，有∴曲线段的解析式为．（2）由得又…6分∴景观路长为千米（3）如图，作轴于点，在中，在中，∴当时，即时：平行四边形面积最大值为考点：实际问题中建立三角函数模型19. 设集合存在正实数，使得定义域内任意都有．(1) 若，试判断是否为中的元素，并说明理由；(2) 若，且，求的取值范围；(3) 若（），且，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）利用，判断出；（2）由，通过判别式小于0，求出的取值范围；（3）由题意得，推出，即对任意都成立，然后分离变量，通过当时，当时及当时，分别求解最小值即可.试题解析：（1）∵，∴.（2）由∴，故.（3）由,即：∴对任意都成立∴当时，；当时，；当时，.综上：20. 设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；（2）设，求数列的伴随数列的前100之和；（3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和．【答案】（1）1,4,7（2）见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据伴随数列的定义求出数列；（2）根据伴随数列的定义得：，由对数的运算对分类讨论求出伴随数列的前100项以及它们的和；（3）由题意和与的关系式求出，代入得，并求出伴随数列的各项，再对分类讨论，分别求出伴随数列的前项和．试题解析：（1）1,4,7．（2）由，得∴当时，当时，当时，当时，当时，∴（3）∵∴当时，∴由得：∵使得成立的的最大值为，∴当时：当时：当时：∴点睛：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题．。
静安区2019年度高三数学一模含答案
静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式(x 2−1x )5的展开式中，x 4项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线轴平行，则a 的值是__________． 5．若α、β是一元二次方程2x 2+x +3=0的两个根，则1α+1β=__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为13的等比数列．设T n =a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1，则lim n→∞T n =__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线l 1:2x +y =0和l 2:x +3y +5=0的交点为圆心，并且与直线x +3y +15=0相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率π） 11．集合A ={y|y =log 12x −x,1≤x ≤2}，B ={x |x 2−5tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是__________．12.若定义在实数集R 上的奇函数y =f(x)的图像关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 13，则方程f (x )=13在区间（−4，10）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为x 216+y 2m 2=1 (m >0)，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知下列4个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数．②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数． ③复数z 是实数的充要条件是z =z̅．（z̅是z 的共轭复数）． ④已知复数z 1=−1+2i,z 2=1−i,z 3=3−2i （i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y =1. 则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个16．设 a ⃗⃗⃗ ,b ⃗⃗⃗ 表示平面向量，|a ⃗⃗⃗ |,|b ⃗⃗⃗ |都是小于9的正整数，且满足(|a ⃗⃗⃗ |+|b ⃗⃗⃗ |)(|a ⃗⃗⃗ |+3|b ⃗⃗⃗ |)=105，(a ⃗⃗⃗ +b ⃗⃗⃗ )∙(a ⃗⃗⃗ +3b ⃗⃗⃗ )=33，则a ⃗⃗⃗ 和b⃗⃗⃗ 的夹角大小为（ ）. （A ）π6（B ）π3(C )2π3（D ）5π6三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．x m -422162m -822-m 42-m18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13，x ∈[−π2，π2]． （1）求函数f (x )的最大值M ；（2）对（1）中的M ，是否存在常数b （b >0且b ≠1），使得当a >1时， y =log b M 有意义，且y 的最大值是−43？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若k 1∙k 2=−1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且9<4TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ <10，求实数b 的取值范围．F P A B CD E21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21记为ini a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++ 21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求P 5+S 5；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni ？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．12． 5．−13． 6．lim n→∞T n =98.7．13795.16元 8．97． 9．(x −1)2+(y +2)2=10. 10．12288π cm 3． 11．t ≤−23. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，AB =1.95,AC =1.40，∠BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：BC 2≈3.571. BC ≈1.89.答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解： (1)f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14 设cosx =t ，因为x ∈[−π2，π2]，所以t ∈[0,1].f (x )=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14=−t 2+2at +a 2−6a +14.FPABCDE GM ={a 2−6a +14,(a <0),2a 2−6a +14,(0≤a ≤1),a 2−4a +13,(a >1).(2)当a >1时，M =a 2−4a +13=(a −2)2+9≥9，该函数当a ∈（1，2]时递减，当a ∈[2，+∞）时递增。
2019年上海市静安区高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）函数y＝log2（4﹣x2）的定义域是．2．（3分）已知向量＝（1，2），＝（3，5），则向量的坐标是．3．（3分）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是．4．（3分）若直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则a的值是．5．（3分）若α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，则＝．6．（3分）在数列{a n}中，a1＝1，且{a n}是公比为的等比数列，设T n＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1，则T n＝．（n∈N*）7．（3分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为元．（结果保留两位小数）8．（3分）已知cos（）＝，则cos（）＝．9．（3分）以两条直线11：2x+y＝0．l2：x+3y+5＝0的交点为圆心，并且与直线x+3y+15＝0相切的圆的方程是．10．（3分）已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是cm3．11．（3分）集合A＝{y|y＝log x﹣x，1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣5tx+1≤0}，若A∩B＝A，则实数t的取值范围是12．（3分）若定义在实数集R上的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当0≤x ≤1时，f（x）＝x，则方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内的所有实根之和为．二、选择题13．（3分）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）A．A•A B．C•CC．A•A D．C•C14．（3分）已知椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x轴上，则其焦距为（）A．2B．2C．2D．215．（3分）已知下列4个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数③复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数）．④已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x+y（x，y∈R），则x+y＝1．则其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．（3分）设表示平面向量，||，||都是小于9的正整数，且满足（||+||）（||+3||）＝105，（+）（+3）＝33，则和的夹角大小为（）A．B．C．D．三、解答题17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位：米）18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，P A⊥平面ABCD，P A＝AC＝AB，E、F分别是CD、PD的中点．（1）求证：CD⊥平面P AE；（2）求异面直线AF与PE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．设f（x）＝sin2x+2a cos x+a2﹣6a+13．x∈[﹣，]．（1）求函数f（x）的最大值M；（2）对（1）中的M，是否存在常数b（b＞0且b≠1），使得当a＞1时，y＝log b M有意义，且y的最大值是﹣？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．20．设m＞0，椭圆Γ：＝1与双曲线C：m2x2﹣y2＝m2的焦点相同．（1）求椭圆Γ与双曲线C的方程；（2）过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，Q（P，Q不同于右顶点），若k1•k2＝﹣1，求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点T（0，2），若对于直线l：y＝x+b，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且9＜4＜10，求实数b的取值范围．21．将n个数a1，a2，…，a n的连乘积a1•a2•…•a n记为a i，将n个数a1，a2，…，a n 的和a1+a2+…+a n记为，n∈N*）（1）若数列{x n}满足x1＝1，x n+1＝x+x n，n∈N*，设P n＝，S n＝．求P5+S5；（2）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.4]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列{x n}满足x1＝1，x n+1＝x+x n，n∈N*，求[]的值；（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足，当＜n≤（m∈N*）时，f（n）＝m，问是否存在正整数n，使得＝2019？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由（已知＝）．2019年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．【解答】解：要使函数有意义，4﹣x2＞0，得x2＜4，得﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）2．【解答】解：．故答案为：（2，3）．3．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，，要求x4的项的系数∴10﹣3r＝4，∴r＝2，∴x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10故答案为：104．【解答】解：直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则，解得a＝，故答案为：5．【解答】解：∵α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，∴α+β＝﹣，α•β＝，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣6．【解答】解：数列{a n}中，a1＝1，且{a n}是公比为的等比数列，T n＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝＝．则T n＝＝．故答案为：．7．【解答】解：b2004＝5000，q＝0.07，∴b2019＝b2004q15＝5000•（0.07）15≈13795.16，故答案为：13795.16．8．【解答】解：∵已知cos（）＝sin（﹣α）＝，则cos（）＝1﹣2＝1﹣2•＝，故答案为：．9．【解答】解：根据题意，，解可得：，即圆心的坐标为（1，﹣2）；又由圆与直线x+3y+15＝0相切，则r＝＝，即要求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝10；故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2＝10．10．【解答】解：∵球的半径为24cm，圆锥的高等于这个球的直径，∴圆锥的高h＝48cm，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为：cm，故圆锥的表面积S＝πr（r+）＝4π×242cm2，解得：r＝16cm，故圆锥的体积V＝＝12288πcm3，故答案为：12288π11．【解答】解：根据题意，对于集合A，是减函数，且1≤x≤2；则﹣3≤y≤﹣1，故A＝[﹣3，﹣1]；又A∩B＝A，则A⊆B，B不能为空集，设f（x）＝x2﹣5tx+1，则函数f（x）与x轴有2个交点，设两个交点的坐标为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2；则B＝{x|x2﹣5tx+1≤0}＝{x|x1＜x＜x2}，若A∩B＝A，则有x1≤﹣3，x2≥﹣1，则有，解可得t≤﹣；故答案为：t≤﹣．12．【解答】解：奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，即f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），即f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，若﹣1≤x≤0，则﹣1≤﹣x≤0，则f（﹣x）＝（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）＝﹣（﹣x），∵当0≤x≤1时，f（x）＝x，∴0≤f（x）≤1，此时f（x）＝在区间（0，1）内只有一个根，则f（x）在[﹣1，1]内f（x）＝只有一个根，又f（x）图象关于直线x＝1对称，∴在一个周期内f（x）＝有有两个根，且这两个根关于对称轴对称，（图象为草图只代表单调性）∵在（﹣4，10）内函数的对称轴为x＝﹣3，x＝1，x＝5，x＝9，即方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内有8个根，它们两两关于对称轴对称，设8个根分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1+x2＝2×（﹣3）＝﹣6，x3+x4＝2×1＝2，x5+x6＝2×5＝10，x7，x8＝2×9＝18，则所以根之和为﹣6+2+10+18＝24，故答案为：24．二、选择题13．【解答】解：先把4个商业广告排好顺序，共有种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中，根据分布计数原理，共有•种方法，故选：A．14．【解答】解：椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x轴上，可得c＝，可得焦距：2．故选：B．15．【解答】解：①，若复数z1，z2的模相等，比如z1＝1+3i，z2＝3﹣i，则z1，z2不是共轭复数，故①错；②，z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数，反之z1，z2是共轭复数可得其和为实数，故②对；③，复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数），故③对；④，已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x+y（x，y∈R），即有3＝﹣x+y，﹣2＝2x﹣y，解得x＝1，y＝4，则x+y＝5，故④错．故选：B．16．【解答】解：由（||+||）（||+3||）＝105，得：+4||•||+3＝105，由105＝3×5×7，又因为||，||都是小于9的正整数，则||＝3，||＝4，又（+）•（+3）＝33，所以+4•+3＝33，所以•＝﹣6，cosθ＝＝﹣又θ∈[0，π]所以θ＝，故选：C．三、解答题17．【解答】解：由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC cos A＝1.952+1.402﹣2×1.95×1.40cos66°20′＝3.568，所以BC≈1.89（m）答：顶杆BC约长1.89m．18．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，P A⊥平面ABCD，P A＝AC＝AB，E、F分别是CD、PD的中点．∴CD⊥P A，CD⊥AE，∵P A∩AE＝A，∴CD⊥平面P AE．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设P A＝AC＝AB＝2，则A（0，0，0），D（﹣1，，0），P（0，0，2），F（﹣，，1），E（0，），＝（﹣，1），＝（0，），设异面直线AF与PE所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线AF与PE所成角的大小为arccos．19．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+2a cos x+a2﹣6a+13＝﹣cos2x+2a cos x+a2﹣6a+14，x∈[﹣，]，设cos x＝t，则0≤t≤1，∴f（t）＝﹣t2+2at+a2﹣6a+14＝﹣（t﹣a）2+2a2﹣6a+14，0≤t≤1，当a＜0时，f（t）max＝f（0）＝a2﹣6a+14，当0≤a≤1时，f（t）max＝f（a）＝2a2﹣6a+14当a＞1时吗，f（t）max＝f（1）＝a2﹣4a+13，故M＝；（2）当a＞1时，M＝a2﹣4a+13＝（a﹣2）2+9≥9恒成立，∵当a＞1时，y＝log b M有意义，且y的最大值是﹣，∴0＜b＜1，∴log b9＝﹣，∴b＝9，∴b＝20．【解答】解：（1）∵椭圆Γ：＝1与双曲线C：m2x2﹣y2＝m2即x2﹣＝1的焦点相同，∴3m﹣m＝1+m2，且m＞0，解得m＝1，∴椭圆Γ的方程为+y2＝1，双曲线C的方程为x2﹣y2＝1，证明：（2）由（1）可知，双曲线的右顶点为（1，0），设l1，l2的方程分别为y＝k1（x﹣1），y＝k2（x﹣1），分别联立方程组，，解得，，即P（，），Q（，），∵k1•k2＝﹣1，∴k PQ＝＝＝0，∴直线PQ的倾斜角为0°，故直线PQ的倾斜角为定值，为0°，（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y＝﹣x+t，由，消y整理可得：4x2﹣6tx+3t2﹣3＝0，消x整理可得4y2﹣2ty+t2﹣3＝0，由△＝（﹣6t）2﹣16（3t2﹣3）＝4﹣t2＞0，解得﹣2＜t＜2．∴x1+x2＝，x1x2＝（t2﹣1），y1+y2＝，y1y2＝（t2﹣3），设直线AB之中点为P（x0，y0），则x0＝（x1+x2）＝由点P在直线AB上得：y0＝﹣x0+b＝，又点P在直线l上，∴＝+b，则b＝﹣t．又∵＝（x1，y1﹣2），＝（x2，y2﹣2），∴•＝x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4＝（t2﹣1）+（t2﹣3）﹣t+4，∴4•＝4t2﹣4t+10，∵9＜4＜10，∴9＜4t2﹣4t+10＜10，∴（2t﹣1）2＞0，t（t﹣1）＜0解得0＜t＜1，且t≠∴b＝﹣t∈（﹣，﹣）∪（﹣，0）．21．【解答】解：（1）数列{x n}满足x1＝1，x n+1＝x+x n，n∈N*，设P n＝，S n＝，可得x n+1＝x+x n＝x n（1+x n），即有＝，＝＝﹣，即有＝﹣，可得P5+S5＝•…+﹣+﹣+…+﹣＝+﹣＝+1﹣＝1；（2）x1＝1，x n+1＝x+x n，n∈N*，可得＝1﹣＝1﹣（﹣），可得＝2009﹣（﹣+﹣+…+﹣）＝2019﹣1+＝2018+，由x1＝1，x n+1＝x+x n＞1，可得∈（0，1），即有[]＝2018；（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足，当＜n≤（m∈N*）时，f（n）＝m，当m＝1时，0＜n≤1，可得f（1）＝1；当m＝2时，1＜n≤3时，f（2）＝f（3）＝2；当m＝3时，3＜n≤6时，f（4）＝f（5）＝f（6）＝3，…，m＝k时，可得f（n）＝k（k个k），可得＝1+（2+2）+（3+3+3）+（4+4+4+4）+…+（k+k+…+k）+…＝1+22+32+42+…+k2+…，由12+22+32+42+…+182＝＝2109，由2109﹣90＝2019，90÷18＝5，可得当n＝×18×（18+1）﹣5＝166时，满足＝2019．。
精品解析：上海市静安区2019-2020学年高三上学期期末数学试题(解析版)
静安区2019学年第一学期教学质量检测高三数学试卷一、填空题：（本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.计算lim(10.9)nn →∞-=_____. 【答案】1【解析】【分析】利用极限的定义及运算法则直接得出． 【详解】因为lim 0.90n n →∞=，所以lim(10.9)n n →∞-=1. 故答案为：1.【点睛】本题考查了极限的定义及极限的运算法则，属于基础题．2.在单位圆中，60o 的圆心角所对的弧长为_____. 【答案】3π 【解析】【分析】由弧长公式即可算出结果．【详解】由弧长公式l ＝|α|r 3π=⨯13π=， 故答案为：3π． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，是基础题．3.若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32o 和152o 则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60o【解析】【分析】直接利用角的运算的应用求出结果．【详解】直线l 1和l 2的倾斜角分别为32°和152°，所以直线l 1和l 2的夹角为180°﹣（152°﹣32°）＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的知识要点：直线的倾斜角及夹角的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.若直线l 的一个法向量为(2,1)n =r ，则若直线l 的斜率k =_____.【答案】2-【解析】【分析】根据题意，分析可得直线l 的方向向量为（1，k ），进而分析可得m r •n =r 2+k ＝0，解可得k 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设直线l 的斜率为k ，则其方向向量为m =r （1，k ），若直线l 的一个法向量为n =r （2，1），则有m r •n =r 2+k ＝0，解可得k ＝﹣2；故答案为：﹣2．【点睛】本题考查直线的斜率以及直线的法向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题．5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种细胞将分裂为_____个.【答案】128【解析】【分析】根据题意，分析可得7小时后，这种细胞总共分裂了7次，由等比数列的通项分析可得答案．【详解】根据题意，7小时后，这种细胞总共分裂了7次，则经过7小时，1个此种细胞将分裂为个27个；故答案为：128【点睛】本题考查等比数列的应用，注意分析分裂的次数，属于基础题．6.设ABC ∆是等腰直角三角形，斜边2AB =,现将ABC ∆（及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____. 【答案】23π 【解析】【分析】由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积． 【详解】等腰直角三角形的直角边为2，斜边的高为1；旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；所以几何体的体积为V ＝213⨯⨯π×1223π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题，是基础题． 7.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅uuu r uu u r 的值为_____.【答案】-3【解析】【分析】根据ABCD 是平行四边形可得出22AC BD AD AB ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，然后代入AB ＝2，AD ＝1即可求出AC BD ⋅u u u r u u u r 的值．【详解】∵AB ＝2，AD ＝1，∴()()AC BD AB AD BA BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()AB AD AD AB =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 22AD AB =-u u u r u u u r＝1﹣4＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．8.三倍角的正切公式为tan3α=_____.【答案】323tan tan tan 313tan αααα-=-. 【解析】。
静安区2019年度高三数学一模含答案
16．设
都是小于 9 的正整数，且满足
， 大小为（ ）.
，则
的夹角
（A） （B） 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相
应
位
置
写
出
必要的步骤．
17．（本题满分 14 分） 如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长
度．已知车厢的最大仰角为 60°，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为 1.95 米，AB 与水平线之间的夹角为 6°20′，AC 的长为 1.40 米，计算 BC 的长（结果 保留 3 个有效数字，单位:米）．
，求证：直线 PQ 的倾
斜角为定值，并求出此定值；
（3）设点T (0 , 2) ，若对于直线 l : y x b ，椭圆 上总存在不同的两点 A 与 B
关于直线 l 对称，且
，求实数 b 的取值范围．
21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分
8 分）
n
将 n 个数 a1 ， a2 ，…， an 的连乘积 a1 a2 an 记为 ai ，将 n 个数 a1 ， i 1 n
a2 ，…， an 的和 a1 a2 an 记为 ai ．（ n N* ） i 1
6
（1）若数列
1．函数 y log2(4 x2) 的定义域是______________．
2．已知向量 AB (1 , 2) ， AC (3 , 5) ，则向量 BC 的坐标是____________．
3．在二项式
的展开式中， 项的系数为__________．（结果用数值表
示）
4．若直线 (2a2 7a 3)x (a2 9) y 3 0与x 轴平行，则 a 的值是
静安区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(解析版)-精选
2019上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）函数y＝log2（4﹣x2）的定义域是．2．（3分）已知向量＝（1，2），＝（3，5），则向量的坐标是．3．（3分）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是．4．（3分）若直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则a的值是．5．（3分）若α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，则＝．6．（3分）在数列{a n}中，a1＝1，且{a n}是公比为的等比数列，设T n＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1，则T n＝．（n∈N*）7．（3分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为元．（结果保留两位小数）8．（3分）已知cos（）＝，则cos（）＝．9．（3分）以两条直线11：2x+y＝0．l2：x+3y+5＝0的交点为圆心，并且与直线x+3y+15＝0相切的圆的方程是．10．（3分）已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是cm3．11．（3分）集合A＝{y|y＝log x﹣x，1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣5tx+1≤0}，若A∩B＝A，则实数t的取值范围是12．（3分）若定义在实数集R上的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当0≤x ≤1时，f（x）＝x，则方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内的所有实根之和为．二、选择题13．（3分）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）A．A?A B．C?CC．A?A D．C?C14．（3分）已知椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x轴上，则其焦距为（）A．2B．2C．2D．215．（3分）已知下列4个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数③复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数）．④已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x+y（x，y∈R），则x+y＝1．则其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．（3分）设表示平面向量，||，||都是小于9的正整数，且满足（||+||）（||+3||）＝105，（+）（+3）＝33，则和的夹角大小为（）A．B．C．D．三、解答题17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为 1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为 1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位：米）18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝AB，E、F 分别是CD、PD的中点．（1）求证：CD⊥平面PAE；（2）求异面直线AF与PE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．设f（x）＝sin2x+2a cos x+a2﹣6a+13．x∈[﹣，]．（1）求函数f（x）的最大值M；（2）对（1）中的M，是否存在常数b（b＞0且b≠1），使得当a＞1时，y＝log b M有意义，且y的最大值是﹣？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．20．设m＞0，椭圆Γ：＝1与双曲线C：m2x2﹣y2＝m2的焦点相同．（1）求椭圆Γ与双曲线C的方程；（2）过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，Q（P，Q不同于右顶点），若k1?k2＝﹣1，求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点T（0，2），若对于直线l：y＝x+b，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且9＜4＜10，求实数b的取值范围．21．将n个数a1，a2，…，a n的连乘积a1?a2?…?a n记为a i，将n个数a1，a2，…，a n 的和a1+a2+…+a n记为，n∈N*）（1）若数列{x n}满足x1＝1，x n+1＝x+x n，n∈N*，设P n＝，S n＝．求P5+S5；（2）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.4]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列{x n}满足x1＝1，x n+1＝x+x n，n∈N*，求[]的值；（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足，当＜n≤（m∈N*）时，f（n）＝m，问是否存在正整数n，使得＝2019？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由（已知＝）．2019年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）函数y＝log2（4﹣x2）的定义域是（﹣2，2）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质转化为不等式进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，4﹣x2＞0，得x2＜4，得﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．比较基础．2．（3分）已知向量＝（1，2），＝（3，5），则向量的坐标是（2，3）．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】根据即可求出向量的坐标．【解答】解：．故答案为：（2，3）．【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算．3．（3分）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是10 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，，要求x4的项的系数∴10﹣3r＝4，∴r＝2，∴x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10故答案为：10【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．（3分）若直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则a的值是．【考点】I3：直线的斜率；II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5B：直线与圆．【分析】直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则，解得即可．【解答】解：直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则，解得a＝，故答案为：【点评】本题给出两条直线互相平行，求参数a的值．着重考查了两条直线平行的条件及其应用的知识，属于基础题．5．（3分）若α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，则＝﹣．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知结合韦达定理，可得α+β＝﹣，α?β＝，进而根据＝代入可得答案．【解答】解：∵α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，∴α+β＝﹣，α?β＝，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理），难度不大，属于基础题．6．（3分）在数列{a n}中，a1＝1，且{a n}是公比为的等比数列，设T n＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1，则T n＝．（n∈N*）【考点】8E：数列的求和；8J：数列的极限．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列，求出数列的和，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{a n}中，a1＝1，且{a n}是公比为的等比数列，T n＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝＝．则T n＝＝．故答案为：．【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力．7．（3分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为13795.16 元．（结果保留两位小数）【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】本题实质为一个等比数列求某一项题，建模，得知b2004＝5000，q＝0.07，计算b2019，即可【解答】解：b2004＝5000，q＝0.07，∴b2019＝b2004q15＝5000?（0.07）15≈13795.16，故答案为：13795.16．【点评】本题考查了实际问题的在实际生活中的应用，考查了等比数列的应用，属于基础题8．（3分）已知cos（）＝，则cos（）＝．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】利用诱导公式求得sin（﹣α）＝，再利用二倍角的余弦公式求得cos （）的值．【解答】解：∵已知cos（）＝sin（﹣α）＝，则cos（）＝1﹣2＝1﹣2?＝，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．9．（3分）以两条直线11：2x+y＝0．l2：x+3y+5＝0的交点为圆心，并且与直线x+3y+15＝0相切的圆的方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝10 ．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】根据题意，联立直线的方程分析可得圆心的坐标，又由直线与圆的位置关系可得r ＝＝，由圆的标准方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，，解可得：，即圆心的坐标为（1，﹣2）；又由圆与直线x+3y+15＝0相切，则r＝＝，即要求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝10；故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2＝10．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的交点，属于基础题．10．（3分）已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是12288πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】设圆锥的底面半径为r，结合已知可得圆锥的表面积S＝πr（r+）＝4π×242，求出底面半径，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵球的半径为24cm，圆锥的高等于这个球的直径，∴圆锥的高h＝48cm，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为：cm，故圆锥的表面积S＝πr（r+）＝4π×242cm2，解得：r＝16cm，故圆锥的体积V＝＝12288πcm3，故答案为：12288π【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的几何特征，球的表面积公式，难度中档．11．（3分）集合A＝{y|y＝log x﹣x，1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣5tx+1≤0}，若A∩B＝A，则实数t的取值范围是t≤﹣【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用；5J：集合．【分析】根据题意，先分析集合A，是减函数，结合x的取值范围分析可得y 的取值范围，即可得集合A；又A∩B＝A，则A?B，设f（x）＝x2﹣5tx+1，则函数f（x）与x轴有2个交点，设两个交点的坐标为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2；进而可得x1≤﹣3，x2≥﹣1，结合二次函数的性质可得，解可得t的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于集合A，是减函数，且1≤x≤2；则﹣3≤y≤﹣1，故A＝[﹣3，﹣1]；又A∩B＝A，则A?B，B不能为空集，设f（x）＝x2﹣5tx+1，则函数f（x）与x轴有2个交点，设两个交点的坐标为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2；则B＝{x|x2﹣5tx+1≤0}＝{x|x1＜x＜x2}，若A∩B＝A，则有x1≤﹣3，x2≥﹣1，则有，解可得t≤﹣；故答案为：t≤﹣．【点评】本题考查集合的包含关系的应用，涉及二次函数的性质，注意借助二次函数的性质分析集合B，属于基础题．12．（3分）若定义在实数集R上的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当0≤x ≤1时，f（x）＝x，则方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内的所有实根之和为24 ．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数对称性和奇偶性求出函数的周期性，判断函数在一个周期内方程f（x）＝根的个数以及对称关系进行求解即可．【解答】解：奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，即f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），即f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，若﹣1≤x≤0，则﹣1≤﹣x≤0，则f（﹣x）＝（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）＝﹣（﹣x），∵当0≤x≤1时，f（x）＝x，∴0≤f（x）≤1，此时f（x）＝在区间（0，1）内只有一个根，则f（x）在[﹣1，1]内f（x）＝只有一个根，又f（x）图象关于直线x＝1对称，∴在一个周期内f（x）＝有有两个根，且这两个根关于对称轴对称，（图象为草图只代表单调性）∵在（﹣4，10）内函数的对称轴为x＝﹣3，x＝1，x＝5，x＝9，即方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内有8个根，它们两两关于对称轴对称，设8个根分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1+x2＝2×（﹣3）＝﹣6，x3+x4＝2×1＝2，x5+x6＝2×5＝10，x7，x8＝2×9＝18，则所以根之和为﹣6+2+10+18＝24，故答案为：24．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的周期性，利用函数的周期性和对称，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、选择题13．（3分）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）A．A?A B．C?CC．A?A D．C?C【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】35：转化思想；49：综合法；5O：排列组合．【分析】先把4个商业广告排好顺序，再用插空法求得2个公益广告不能连续播放的方法数．【解答】解：先把4个商业广告排好顺序，共有种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中，根据分布计数原理，共有?种方法，故选：A．【点评】本题主要考查排列组合的应用，分布计数原理，不相邻问题采用插空法，属于中档题．14．（3分）已知椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x轴上，则其焦距为（）A．2B．2C．2D．2【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的焦点坐标所在的x轴，推出焦距即可．【解答】解：椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x轴上，可得c＝，可得焦距：2．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．15．（3分）已知下列4个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数③复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数）．④已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x+y（x，y∈R），则x+y＝1．则其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38：对应思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5N：数系的扩充和复数．【分析】由复数的模和共轭复数的概念可判断①；由虚数和共轭复数的概念可判断②；由复数为实数的条件可判断③；由复数的几何意义和向量的坐标表示，解方程可判断④．【解答】解：①，若复数z1，z2的模相等，比如z1＝1+3i，z2＝3﹣i，则z1，z2不是共轭复数，故①错；②，z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数，反之z1，z2是共轭复数可得其和为实数，故②对；③，复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数），故③对；④，已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x+y（x，y∈R），即有3＝﹣x+y，﹣2＝2x﹣y，解得x＝1，y＝4，则x+y＝5，故④错．故选：B．【点评】本题考查复数的概念，主要是复数的模和实数、虚数和共轭复数的概念，考查判断能力和运算能力，属于基础题．16．（3分）设表示平面向量，||，||都是小于9的正整数，且满足（||+||）（||+3||）＝105，（+）（+3）＝33，则和的夹角大小为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】解不定方程+4||?||+3＝105，由105＝3×5×7，又因为||，||都是小于9的正整数，则||＝3，||＝4，由数量积表示两个向量的夹角及（+）?（+3）＝33，得cosθ＝＝﹣又θ∈[0，π]，所以θ＝，【解答】解：由（||+||）（||+3||）＝105，得：+4||?||+3＝105，由105＝3×5×7，又因为||，||都是小于9的正整数，则||＝3，||＝4，又（+）?（+3）＝33，所以+4?+3＝33，所以?＝﹣6，cosθ＝＝﹣又θ∈[0，π]所以θ＝，故选：C．【点评】本题考了不定方程求解及数量积表示两个向量的夹角，属中档题．三、解答题17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为 1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为 1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位：米）【考点】HR：余弦定理；HU：解三角形．【专题】58：解三角形．【分析】由题意，△ABC中，已知△ABC两边AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角A＝66° 20′，求BC．【解答】解：由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC cos A＝1.952+1.402﹣2×1.95×1.40cos66°20′＝3.568，所以BC≈1.89（m）答：顶杆BC约长1.89m．【点评】本题考查了利用余弦定理解决实际中的线段长度；关键是将所求抽象为数学问题解答．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝AB，E、F 分别是CD、PD的中点．（1）求证：CD⊥平面PAE；（2）求异面直线AF与PE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）推导出CD⊥PA，CD⊥AE，由此能证明CD⊥平面PAE．（2）以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF与PE所成角的大小．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AC ＝AB，E、F分别是CD、PD的中点．∴CD⊥PA，CD⊥AE，∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面PAE．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AC＝AB＝2，则A（0，0，0），D（﹣1，，0），P（0，0，2），F（﹣，，1），E（0，），＝（﹣，1），＝（0，），设异面直线AF与PE所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线AF与PE所成角的大小为arccos．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．设f（x）＝sin2x+2a cos x+a2﹣6a+13．x∈[﹣，]．（1）求函数f（x）的最大值M；（2）对（1）中的M，是否存在常数b（b＞0且b≠1），使得当a＞1时，y＝log b M有意义，且y的最大值是﹣？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）设cos x＝t，则0≤t≤1，可得f（t）＝﹣（t﹣a）2+2a2﹣6a+14，0≤t≤1，分段讨论，即可求出，（2）当a＞1时，M＝a2﹣4a+13＝（a﹣2）2+9≥9恒成立，则可得log b9＝﹣，解得即可．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+2a cos x+a2﹣6a+13＝﹣cos2x+2a cos x+a2﹣6a+14，x∈[﹣，]，设cos x＝t，则0≤t≤1，∴f（t）＝﹣t2+2at+a2﹣6a+14＝﹣（t﹣a）2+2a2﹣6a+14，0≤t≤1，当a＜0时，f（t）max＝f（0）＝a2﹣6a+14，当0≤a≤1时，f（t）max＝f（a）＝2a2﹣6a+14当a＞1时吗，f（t）max＝f（1）＝a2﹣4a+13，故M＝；（2）当a＞1时，M＝a2﹣4a+13＝（a﹣2）2+9≥9恒成立，∵当a＞1时，y＝log b M有意义，且y的最大值是﹣，∴0＜b＜1，∴log b9＝﹣，∴b＝9，∴b＝【点评】本题考查了三角函数的化简以及性质和二次函数的性质，以及对数的意义，属于中档题20．设m＞0，椭圆Γ：＝1与双曲线C：m2x2﹣y2＝m2的焦点相同．（1）求椭圆Γ与双曲线C的方程；（2）过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，Q（P，Q不同于右顶点），若k1?k2＝﹣1，求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点T（0，2），若对于直线l：y＝x+b，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且9＜4＜10，求实数b的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆Γ：＝1与双曲线C：m2x2﹣y2＝m2的焦点相同，即可求出m 的值，（2）设l1，l2的方程分别为y＝k1（x﹣1），y＝k2（x﹣1），分别联立方程组，，即可求出点P，Q的坐标，根据斜率公式计算即可，（3）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y＝﹣x+t．联立消y整理可得：4x2﹣6tx+3t2﹣3＝0，由△＞0解得t的范围．再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标，代入直线AB，再由点P在直线l上求得b和t的关系，再根据向量的数量积公式求出t的范围，即可即可求得b的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆Γ：＝1与双曲线C：m2x2﹣y2＝m2即x2﹣＝1的焦点相同，∴3m﹣m＝1+m2，且m＞0，解得m＝1，∴椭圆Γ的方程为+y2＝1，双曲线C的方程为x2﹣y2＝1，证明：（2）由（1）可知，双曲线的右顶点为（1，0），设l1，l2的方程分别为y＝k1（x﹣1），y＝k2（x﹣1），分别联立方程组，，解得，，即P（，），Q（，），∵k1?k2＝﹣1，∴k PQ＝＝＝0，∴直线PQ的倾斜角为0°，故直线PQ的倾斜角为定值，为0°，（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y＝﹣x+t，由，消y整理可得：4x2﹣6tx+3t2﹣3＝0，消x整理可得4y2﹣2ty+t2﹣3＝0，由△＝（﹣6t）2﹣16（3t2﹣3）＝4﹣t2＞0，解得﹣2＜t＜2．∴x1+x2＝，x1x2＝（t2﹣1），y1+y2＝，y1y2＝（t2﹣3），设直线AB之中点为P（x0，y0），则x0＝（x1+x2）＝由点P在直线AB上得：y0＝﹣x0+b＝，又点P在直线l上，∴＝+b，则b＝﹣t．又∵＝（x1，y1﹣2），＝（x2，y2﹣2），∴?＝x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4＝（t2﹣1）+（t2﹣3）﹣t+4，∴4?＝4t2﹣4t+10，∵9＜4＜10，∴9＜4t2﹣4t+10＜10，∴（2t﹣1）2＞0，t（t﹣1）＜0解得0＜t＜1，且t≠∴b＝﹣t∈（﹣，﹣）∪（﹣，0）．【点评】本题考查椭圆双曲线的简单性质，考查直线与双曲线椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．21．将n个数a1，a2，…，a n的连乘积a1?a2?…?a n记为a i，将n个数a1，a2，…，a n 的和a1+a2+…+a n记为，n∈N*）（1）若数列{x n}满足x1＝1，x n+1＝x+x n，n∈N*，设P n＝，S n＝．求P5+S5；（2）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.4]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列{x n}满足x1＝1，x n+1＝x+x n，n∈N*，求[]的值；（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足，当＜n≤（m∈N*）时，f（n）＝m，问是否存在正整数n，使得＝2019？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由（已知＝）．【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；48：分析法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由题意可得＝，＝＝﹣，即有＝﹣，由累乘法和裂项相消求和即可得到所求和；（2）由＝1﹣＝1﹣（﹣），运用裂项相消求和和[x]表示的含义，即可得到所求值；（3）求得f（n）的解析式，结合自然数的平方和公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）数列{x n}满足x1＝1，x n+1＝x+x n，n∈N*，设P n＝，S n＝，可得x n+1＝x+x n＝x n（1+x n），即有＝，＝＝﹣，即有＝﹣，可得P5+S5＝?…+﹣+﹣+…+﹣＝+﹣＝+1﹣＝1；（2）x1＝1，x n+1＝x+x n，n∈N*，可得＝1﹣＝1﹣（﹣），可得＝2009﹣（﹣+﹣+…+﹣）＝2019﹣1+＝2018+，由x1＝1，x n+1＝x+x n＞1，可得∈（0，1），即有[]＝2018；（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足，当＜n≤（m∈N*）时，f（n）＝m，当m＝1时，0＜n≤1，可得f（1）＝1；当m＝2时，1＜n≤3时，f（2）＝f（3）＝2；当m＝3时，3＜n≤6时，f（4）＝f（5）＝f（6）＝3，…，m＝k时，可得f（n）＝k（k个k），可得＝1+（2+2）+（3+3+3）+（4+4+4+4）+…+（k+k+…+k）+…＝1+22+32+42+…+k2+…，由12+22+32+42+…+182＝＝2109，由2109﹣90＝2019，90÷18＝5，可得当n＝×18×（18+1）﹣5＝166时，满足＝2019．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和公式法求和，考查运算能力和推理能力，属于难题．。
上海静安区2019高三上年末质量监测试题--数学(理)
上海静安区2019高三上年末质量监测试题--数学（理）考生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分、2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题、 3． 可使用符合规定的计算器答题、【一】填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分、 1、设i 为虚数单位，假设复数ib i +-+1)1(2〔R b ∈〕的实部与虚部相等，那么实数b 的值为 . 2. 函数1cos sin 1)(--=x x x f 的定义域为 . 3. 假设二项式92)1(ax x -的展开式中，9x 的系数为221-，那么常数a 的值为 .4. 假设关于x 的一元二次方程0)2lg(222=-+-a a x x 两根异号，那么实数a 的取值范围是 .5. 假设0<a ，那么关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-02,0222a ax x a ax 的解集为 .6. 有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书3本，文学书2本.假设将这些书排成一列放在书架上，那么数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有 种.〔结果用数值表示〕 7. 函数xxx x e e e e x f --+=11)(在闭区间]21,21[-上的最小值为 . 8. 向量a、b的夹角为150︒1=3=+= . 9. 圆锥侧面积为π2cm 2，高为3cm ，那么该圆锥底面周长为 cm. 10.等差数列{}na的前10项之和为30，前20项之和为100，那么283a a += .11.α为锐角，β为钝角，32sin =α，91cos -=β，那么)(2cos βα-的值为 . 12.从5名男生和5名女生中选取4人参加比赛，要求男女生都有，那么两女生小张和小李同时被选中的概率为 .13.记{}⎩⎨⎧>≤=时当时当b a b b a a b a ,,,min ，函数{}34,12min )(222+--++=x x t tx x x f 是偶函数〔t 为实常数〕，那么函数)(x f y =的零点为 .〔写出所有零点〕 14.函数ax x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，那么a 的取值集合是 .【二】选择题〔本大题总分值16分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案、考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否那么一律得零分、（A ）lim n n a A →∞=,lim n n b B→∞=那么lim n n na Ab B →∞=(0,n b n N ≠∈) （B ） 假设数列{}n a 、{}n b 的极限都不存在，那么{}n n a b +的极限也不存在（C ） 假设数列{}n a 、{}n n a b +的极限都存在,那么{}n b 的极限也存在 （D ） 设12n n S a a a =+++，假设数列{}n a 的极限存在,那么数列{}nS 的极限也存在16.假设A 、B 为锐角△ABC 的两内角，那么点)sin cos ,cos (sin A B A B P --是…()(A)第一象限的点(B)第二象限的点(C)第三象限的点(D)第四象限的点17、假设a 、b 、c 都是复数，那么“222c b a >+”是“0222>-+c b a ”的………()(A)充要条件(B)既非充分条件又非必要条件(C)充分而非必要条件(D)必要而非充分条件 18、假设xyy x 4)(cos 22+=θ，那么x ，y 满足的条件是…………………………………()(A)y x =且0>x (B)y x =且0≠x 或y x -=且0≠x (C)y x ≠且0≠x ，0≠y (D)y x =且0<x【三】解答题〔本大题总分值78分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、(此题总分值14分)此题共有2个小题，第1小题总分值8分，第2小题总分值6分. 〔1〕a 、b 为正实数，b a ≠，0>x ，0>y .试比较y b x a22+与yx b a ++2)(的大小，并指出两式相等的条件； 〔2〕求函数x x x f 2192)(-+=，)21,0(∈x 的最小值.如图，在四棱锥ABCD P -的底面梯形ABCD 中，BC AD //，BC AB ⊥，1=AB ，3=AD ，045=∠ADC .又⊥PA 平面ABCD ，1=PA .求：〔1〕异面直线PD 与AC 所成角的大小.〔结果用反三角函数值表示〕〔2〕四棱锥ABCD P -的体积；21、(此题总分值15分)此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值9分.某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元.全部投资都从银行贷款.从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元.这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足.地铁投入营运后，平均每公里年营运收入〔扣除日常管理费等支出后〕第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长.求：〔1〕地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？〔2〕截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？〔精确到元，1亿=8101⨯〕PDCBA0>a 且1≠a ，数列{}n a 是首项与公比均为a 的等比数列，数列{}n b 满足n n n a a b lg ⋅=〔*N n ∈〕.（1） 求数列{}n b 的前n 项和nS ；（2） 如果对于*N n ∈，总有1+<n n b b ，求a 的取值范围.23、(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分.函数a ax x x f -++=3)(2，R a ∈.〔1〕求a 的取值范围，使)(x f y =在闭区间]3,1[-上是单调函数；〔2〕当20≤≤x 时，函数)(x f y =的最小值是关于a 的函数)(a m .求)(a m 的最大值及其相应的a 值；〔3〕对于R a ∈，研究函数)(x f y =的图像与函数322--=x x y 的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论.参考答案1、2-=b ；2、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠+≠∈Z k k x k x R x x ,2,22,ππππ；3、2；4、)1,21()0,21(⋃-；5、),(a a -；6、8647、21e -；8、1；9、π2 10、14；11、729239-；12、8113、1,3±±=x ；14、{}3,0,3- 15——18CDCB 19、〔1〕作差比较：y b x a 22+-y x b a ++2)(=0)()(2≥+-y x xy bx ay .………………4分所以，y b x a 22+≥yx b a ++2)(.…………………………………………6分当bx ay =时，两式相等.…………………………………………8分 〔2〕解法1：25212)32(2192421922=-++≥-+=-+xx x x x x .……………3分 当x x 23)21(2⋅=-，即51=x 时，)21,0(51∈，函数取得最大值25.……6分 解法2：x x x x x +-+=-+22522192，令t x =+52，那么)29,2(∈t ,设)(x f y =，那么5225)2(22-+-⨯=t t ty ，化简并变形得1318225+--=tt y ；因为121822182-=⨯-≤--tt ，……………3分 当且仅当)29,2(3∈=t 时等号成立，且)3,2(∈t 时t t 182--递增，)29,3(∈t 时tt 182--递减，2=t 或29时，13182-=--t t ，所以1131820≤+--<tt ，251318225≥+--=tt y ，当3=t 即51,352==+x x 时取得最大值25。
静安区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学答案【推荐】
第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．)2,2(-. 2．），（32.3．10. 4．． 5．． 6．.7．13795.16元 8．97． 9．.10．12288π cm 3． 11．. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，，∠BAC =66O20/，由余弦定理，得计算得：..答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥， 所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=，所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos ．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：(1)设，因为，所以..(2)当时，，该函数当时递减，当时递增。
要使有意义且取得最大值，关于自变量的单调性必是当时增, 当时递减，所以根据题意得：，于是，得．所以存在，使得当时，的最大值是20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1）由题意，122+=m m ，所以1=m ．所以椭圆Γ的方程为1322=+y x ，双曲线C 的方程为．（2）双曲线C 的右顶点为)0,1(，因为，不妨设01>k ，则02<k ，设直线1l 的方程为)1(1-=x k y ， 由,得，则,()，.同理，，，又，所以，.因为Q P y y =，所以直线PQ 与x 轴平行，即PQ k 为定值0，倾斜角为0． （3）设),(11y x A ，),(22y x B ，直线AB 的方程为n x y +-=，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,13,22y x n x y 整理得0336432=-+-n nx x ， △0)4(12)33(16)6(222>-=---=n n n ，故22<<-n ．2321n x x =+，4)1(3221-=n x x ，设AB 的中点为),(00y x M ，则432210n x x x =+=，400nn x y =+-=， 又),(00y x M 在直线:l b kx y +=上，所以b n n +=434，)1,1(2-∈-=nb ． 因为)2,(11-=y x ，)2,(22-=y x ，所以)2,()2,()2,()2,(22112211-+-⋅-+-=-⋅-=⋅n x x n x x y x y x TB TA2222121)2(2)2(32)1(3)2())(2(2-+---=-++--=n n n n n x x n x x2525242522<++=+-=b b n n ，所以021<<-b ．又，。
上海市静安区达标名校2019年高考一月调研数学试卷含解析
上海市静安区达标名校2019年高考一月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2B ．53C ．43D ．322．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =4．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 5．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．6．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π7．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．3-B 3C ．1-D ．19．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1-D ．()()1,00,1-10．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<11．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个12．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ） ①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数； ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
静安区2019年度高三数学一模含答案
静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．<2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式的展开式中，项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-轴平行，则a 的值是__________． 5．若、是一元二次方程的两个根，则__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为的等比数列．设，则__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率） 11．集合，，若，则实数的取值范围是__________． [12.若定义在实数集R 上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间（）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ）.（A ）m -42 （B ）2162m - （C ）822-m （D ）42-m15．已知下列4个命题：①若复数的模相等，则是共轭复数． ②都是复数，若是虚数，则的共轭复数． \③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O为坐标原点．若（），则. 则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 16．设都是小于9的正整数，且满足，，则的夹角大小为（ ）.（A ） （B ）三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）$如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．！—19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） ；设，．（1）求函数的最大值；（2）对（1）中的，是否存在常数（），使得当时，有意义，且的最大值是若存在，求出的值；若不存在，说明理由．FPA B CD E20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值； <（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且，求实数b 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21记为ini a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++ 21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni 若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测，高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．． 5．． 6．. 7．元 8．97． 9．.10．12288 cm 3． 11．. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC$ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，，BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：..答：顶杆约长米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）{解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，#所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角，设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， FP ABCDE Ga AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 、 解： (1)设，因为，所以..(2)当时，，该函数当时递减，当时递增。
(完整版)2019年上海市静安区高考数学一模试卷.docx
WORD 文档2019 年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题21．（ 3 分）函数y＝ log 2（ 4﹣x）的定义域是．2．（ 3分）已知向量＝（ 1， 2），＝（ 3， 5），则向量的坐标是．254的项的系数是．3．（ 3分）在二项式（x﹣）的展开式中，含x227a+3﹣） x+（ a9﹣） y+3＝ 0与 x 轴平行，则 a 的值是．4．（ 3分）若直线（2a25．（ 3分）若α，β是一二次方程2x+x+3 ＝ 0 的两根，则＝．6．（3分）在数列n中，a1＝ 1，且 { a n}是公比为的等比数列，设T n＝ a 3 52n{ a }1+a +a + ? +a﹣1，则T n＝．（n∈N*）7．（3 分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7% 作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004 年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004 年的月工资收入为5000元，则 2019年一月该员工的月工资收入为元．（结果保留两位小数）8．（ 3 分）已知cos （）＝，则 cos （）＝．9．（ 3 分）以两条直线11： 2x+y ＝ 0． l2： x+3y+5 ＝ 0的交点为圆心，并且与直线x+3 y+15 ＝ 0相切的圆的方程是．10．（3 分）已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于cm 3圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是．2﹣5tx+1 ≤ 0} ，若 A ∩B ＝ A，则实 11．（3 分）集合A＝ { y|y ＝ log x﹣x， 1 ≤ x≤ 2} ， B ＝ { x|x 数 t 的取值范围是12．（3 分）若定义在实数集R 上的奇函数y＝ f （ x）的图象关于直线x＝ 1 对称，且当0≤ x ≤ 1 时， f（ x）＝ x，则方程f（ x）＝在区间（﹣4，10）内的所有实根之和为．二、选题择13．（3 分）电视台在电视剧开播前连续播放 6 个不同的广告，其中 4 个商业广告 2 个公益专业资料WORD 文档广告，现要求2 个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）第 1 页（共21 页）专业资料WORD 文档A ． A ?AB ． C?CC ． A ?AD ． C?C14．（3 分）已知椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x 轴上，则其焦距为（）A ． 2B ． 2C． 2 D ． 215．（3 分）已知下列 4 个命题：①若复数z1， z2的模相等，则z1， z2是共轭复数② z1， z2都是复数，若z1+z 2是虚数，则z1不是z2的共轭复数③复数z 是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数）．④已知复数z1＝﹣1+2i ， z2＝ 1﹣i， z3＝ 3﹣2i（ i 是虚数单位），它们对应的点分别为 A ，B ， C， O 为坐标原点，若＝x+y（x，y∈R），则x+ y＝1．则其中正确命题的个数为（）A ． 1 个B ． 2 个C． 3 个 D ． 4 个16．（3 分）设表示平面向量，| |， | |都是小于9 的正整数，且满足（| |+| |）（| |+3||）＝ 105 ，（+）（+3）＝33，则和的夹角大小为（）A ．B ．C． D ．三、解答题17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计需时要计油算泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60 °，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为 1.95 米， AB 与水平线之间的夹角为 6 °20 ′，AC 的长为 1.40 米，计算BC 的长（结果保留3 个有效数字，单位：米）18．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A⊥平面ABCD ，PA＝ AC ＝ AB ，E 、第 2 页（共21 页）专业资料WORD 文档F 分别是 CD 、 PD 的中点．（ 1）求证： CD ⊥平面 PAE；（ 2）求异面直线AF 与 PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22﹣6a+13 ． x∈[﹣，] ．19．设f（ x）＝ sin x+2 acosx+ a（1 ）求函数 f （ x）的最大值 M ；（2 ）对（ 1）中的 M ，是否存在常数b（ b＞ 0 且 b ≠1），使得当 a＞ 1 时， y＝ log b M 有意义，且y 的最大值是﹣？若存在，求出 b 的值；若不存在，说明理由．2 22 2 的焦点相同．﹣y＝ m20．设m＞ 0，椭圆Γ：＝1与双曲线C：m x（ 1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（ 2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为k， k 的直线l， l ，分别交双曲线C 于点1212P ， Q（ P， Q 不同于右顶点），若 k1?k 2＝﹣1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（ 3 ）设点T（ 0 ， 2），若对于直线l： y＝ x+ b，椭圆Γ上总存在不同的两点 A 与 B 关于直线l对称，且 9＜ 4＜10，求实数 b 的取值范围．21．将n 个数a1， a 2， ?，a n的连乘积a1?a2??? a n记为a i，将n 个数a1， a2，?，a n 的和a1+a 2+ ? +a n记为，n∈N *）（ 1 ）若数列{ x n} 满足x1＝ 1， x n+1＝ x +x n， n∈N * ，设 P n＝，S n＝．求P5+S 5；（ 2 ）用 [ x]表示不超过x 的最大整数，例如[2] ＝ 2， [3.4] ＝ 3 ， [﹣1.8] ＝﹣2．若数列{x n}第 3 页（共21 页）专业资料WORD 文档满足x1＝ 1， x n+1＝ x +x n， n ∈N* ，求 [] 的值；（ 3 ）设定义在正整数集N * 上的函数f（ n）满足，当＜n≤（m∈N *）时，f（ n ）＝ m，问是否存在正整数n，使得＝2019？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知＝）．第 4 页（共21 页）专业资料WORD 文档2019 年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题2）的定义域是（﹣ 2， 2）．1．（3 分）函数y＝ log 2（ 4﹣ x【考点】33 ：函数的定义域及其求法．【专题】33 ：函数思想；4O ：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质转化为不等式进行求解即可．2【解答】解：要使函数有意义，4﹣ x ＞ 0，2得 x ＜ 4，得﹣ 2 ＜x ＜ 2，即函数的定义域为（﹣ 2 ， 2），故答案为：（﹣ 2， 2 ）【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．比较基础．2．（3 分）已知向量＝（1，2），＝（3，5），则向量的坐标是（2，3）．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【专题】11：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】根据即可求出向量的坐标．【解答】解：．故答案为：（ 2， 3）．【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算．3．（3 分）在二项式（ x25的展开式中，含x 4的项的系数是10 ．﹣）【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1 项，整理成最简形式，令x 的指数为 4 求得r ，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，，4要求x的项的系数专业资料WORD 文档第 5 页（共21 页）专业资料WORD 文档∴ 10 ﹣ 3r ＝ 4，∴ r ＝ 2，422∴ x 的项的系数是C5（﹣ 1 ）＝ 10故答案为：10【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．22﹣ 7a+3 ） x+（ a ﹣ 9） y+3 ＝ 0 与 x 轴平行，则 a 的值是．4．（3 分）若直线（ 2a【考点】I3：直线的斜率；II ：直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】11：计算题； 38 ：对应思想；4O ：定义法；5B ：直线与圆．22【分析】直线（ 2a﹣ 7a+3 ） x+（ a﹣ 9） y+3 ＝ 0与 x 轴平行，则，解得即可．22【解答】解：直线（2a ﹣ 7a+3 ） x+ （ a﹣ 9） y+3＝ 0与 x 轴平行，则，解得 a＝，故答案为：【点评】本题给出两条直线互相平行，求参数 a 的值．着重考查了两条直线平行的条件及其应用的知识，属于基础题．25．（3 分）若α，β 是一二次方程2x +x+3 ＝ 0 的两根，则＝﹣．【考点】3V ：二次函数的性质与图象．【专题】51 ：函数的性质及应用．【分析】由已知结合韦达定理，可得α+ β＝﹣，α ?β＝，进而根据＝代入可得答案．2【解答】解：∵ α，β 是一二次方程2x+x+3 ＝ 0 的两根，∴α +β＝﹣，α ?β＝，∴＝＝＝﹣，专业资料WORD 文档第 6 页（共21 页）专业资料WORD 文档故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理），难度不大，属于基础题．6．（ 3 分）在数列n ＝ 1，且 { an}是公比为的等比数列，设T n＝ a 3 5+a2n{ a } 中， a11+a +a + ?﹣1，则T n＝．（ n∈N * ）【考点】8E：数列的求和；8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题； 35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列，求出数列的和，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列 { a n} 中， a 1＝ 1，且 { a n} 是公比为的等比数列，T n＝ a1+a 3 +a 5+ ? +a 2n 1﹣＝＝．则T n＝＝．故答案为：．【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力．7．（3 分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7% 作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004 年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004 年的月工资收入为5000 元，则2019 年一月该员工的月工资收入为13795.16元．（结果保留两位小数）【考点】5C ：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题； 38 ：对应思想；4A ：数学模型法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】本题实质为一个等比数列求某一项题，建模，得知b2004＝ 5000 ， q＝ 0.07 ，计算b2019，即可【解答】解：b2004＝5000，q＝0.07，∴b 2019＝ b2004 q 1515＝ 5000? （ 0.07 ）≈ 13795.16 ，第 7 页（共21 页）专业资料WORD 文档故答案为：13795.16 ．【点评】本题考查了实际问题的在实际生活中的应用，考查了等比数列的应用，属于基础题8．（3 分）已知cos （）＝，则cos （）＝．【考点】GS ：二倍角的三角函数．【专题】35 ：转化思想；49：综合法；56 ：三角函数的求值．【分析】利用诱导公式求得sin （﹣α）＝，再利用二倍角的余弦公式求得co （s）的值．【解答】解：∵已知cos （）＝sin（﹣α）＝，则cos （）＝1﹣2＝ 1 ﹣ 2?＝，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．9．（3 分）以两条直线11：2x+y ＝ 0．l2： x+3y+5 ＝ 0的交点为圆心，并且与直线x+3 y+15 ＝ 0相切的圆的方程是（ x﹣ 1）22．＝ 10+（ y+2 ）【考点】 JE ：直线和圆的方程的应用．【专题】11：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；5B ：直线与圆．【分析】根据题意，联立直线的方程分析可得圆心的坐标，又由直线与圆的位置关系可得 r ＝＝，由圆的标准方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，，解可得：，即圆心的坐标为（ 1 ，﹣ 2）；又由圆与直线x+3y+15＝ 0 相切，则 r＝＝，22即要求圆的方程为（x﹣ 1）＝ 10 ；+ （ y+2 ）故答案为：（ x﹣ 1）22+ （ y+2 ）＝ 10 ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的交点，属于基础题．10．（3 分）已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于3圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是12288 π cm．【考点】L5 ：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；5F ：空间位置关系与距离；5Q ：立体几何．专业资料WORD 文档第 8 页（共21 页）专业资料WORD 文档【分析】设圆锥的底面半径为r，结合已知可得圆锥的表面积S＝πr（ r+）＝4π2×24，求出底面半径，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵球的半径为24cm ，圆锥的高等于这个球的直径，∴圆锥的高h＝ 48cm ，设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的母线长为：cm，22故圆锥的表面积S＝πr （ r +）＝4π×24cm ，解得： r ＝ 16cm，3故圆锥的体积V ＝＝12288πcm，故答案为：12288 π【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的几何特征，球的表面积公式，难度中档．2﹣5tx+1 ≤ 0} ，若 A ∩B＝ A，则实 11．（3 分）集合A＝ { y|y ＝ log x﹣x， 1≤ x≤2} ， B ＝ { x|x数 t 的取值范围是t≤ ﹣【考点】1E：交集及其运算．【专题】11 ：计算题； 34 ：方程思想；35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；5J：集合．【分析】根据题意，先分析集合 A ，是减函数，结合x 的取值范围分析可得2﹣5tx +1，则函数f y 的取值范围，即可得集合A；又 A ∩B ＝ A ，则A? B，设f（ x）＝ x（ x）与x 轴有2个交点，设两个交点的坐标为（x1， 0）、（x2， 0），且 x1＜ x2；进而可得x1≤﹣3， x2≥﹣1，结合二次函数的性质可得，解可得t 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于集合 A ，是减函数，且1≤ x≤ 2；则﹣3≤ y≤﹣1，故A＝ [﹣3，﹣1]；又 A∩B ＝ A，则A? B， B 不能为空集，2设 f（ x）＝ x5tx+1﹣，则函数f（ x）与 x 轴有2个交点，设两个交点的坐标为（x1， 0 ）、（ x2， 0），且 x1＜ x2；2则 B＝ { x|x﹣5tx+1 ≤ 0} ＝ { x|x1＜ x＜ x2} ，专业资料WORD 文档若 A∩B ＝ A，则有x1≤﹣3， x2≥﹣1，第 9 页（共21 页）专业资料WORD 文档则有，解可得t≤ ﹣；故答案为：t≤ ﹣．【点评】本题考查集合的包含关系的应用，涉及二次函数的性质，注意借助二次函数的性质分析集合 B ，属于基础题．12．（3分）若定义在实数集R 上的奇函数y＝ f （ x）的图象关于直线 x＝ 1 对称，且当0 ≤ x ≤ 1时， f（ x）＝ x ，则方程 f（ x）＝在区间（﹣4，10 ）内的所有实根之和为24 ．【考点】 57：函数与方程的综合运用．【专题】 31：数形结合； 4R ：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数对称性和奇偶性求出函数的周期性，判断函数在一个周期内方程f（ x）＝根的个数以及对称关系进行求解即可．【解答】解：奇函数y＝ f（ x）的图象关于直线 x＝ 1对称，即f（ 1﹣ x）＝ f （ 1+ x）＝﹣ f（ x﹣ 1），即f（ x+2 ）＝﹣ f（ x），则f（ x+4 ）＝﹣ f（ x+2 ）＝ f （ x），即函数 f （ x）是周期为 4 的周期函数，若﹣ 1≤ x≤ 0，则﹣ 1 ≤ ﹣ x ≤ 0 ，则 f（﹣ x）＝（﹣x）＝﹣ f（ x），即 f（ x）＝﹣（﹣x），∵当 0≤ x≤ 1 时， f（ x）＝ x ，∴0 ≤ f（ x）≤ 1，此时 f（ x）＝在区间（0 ， 1）内只有一个根，则 f（ x）在 [﹣ 1， 1]内 f（ x）＝只有一个根，又 f（ x）图象关于直线 x＝ 1对称，∴在一个周期内f（ x）＝有有两个根，且这两个根关于对称轴对称，（图象为草图只代表单调性）∵在（﹣ 4 ， 10）内函数的对称轴为x＝﹣ 3， x＝ 1， x＝ 5 ， x＝ 9，第 10 页（共21 页）专业资料WORD 文档即方程 f （ x）＝在区间（﹣4， 10 ）内有8 个根，它们两两关于对称轴对称，设 8 个根分别为x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7， x8，则 x1+x 2＝ 2×（﹣ 3）＝﹣ 6 ， x3 +x 4＝ 2× 1＝ 2， x5+x 6＝ 2× 5＝ 10 ， x7， x8＝ 2× 9＝ 18 ，则所以根之和为﹣6+2+10+18 ＝ 24 ，故答案为： 24 ．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的周期性，利用函数的周期性和对称，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、选择题13．（3 分）电视台在电视剧开播前连续播放 6 个不同的广告，其中 4 个商业广告 2 个公益广告，现要求 2 个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）A ． A ?AB ． C?CC ． A ?AD ． C?C【考点】D9 ：排列、组合及简单计数问题．【专题】35 ：转化思想；49：综合法；5O ：排列组合．【分析】先把 4 个商业广告排好顺序，再用插空法求得 2 个公益广告不能连续播放的方法数．【解答】解：先把 4个商业广告排好顺序，共有种方法，再把 2 个公益广告插入 5 个空（包括两头）中，根据分布计数原理，共有?种方法，故选： A ．【点评】本题主要考查排列组合的应用，分布计数原理，不相邻问题采用插空法，属于第 11 页（共21 页）专业资料WORD 文档中档题．14．（3 分）已知椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x 轴上，则其焦距为（）A ． 2B ． 2C． 2 D ． 2【考点】K4 ：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的焦点坐标所在的x 轴，推出焦距即可．【解答】解：椭圆的标准方程为＝ 1 （ m＞ 0 ），焦点在 x 轴上，可得 c＝，可得焦距： 2．故选： B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．15．（3 分）已知下列 4 个命题：① 若复数z1， z2的模相等，则z1， z2是共轭复数② z1， z2都是复数，若z1+z 2是虚数，则z1不是 z2的共轭复数③复数 z 是实数的充要条件是z＝．（是 z 的共轭复数）．④已知复数 z ＝﹣1+2i ， z ＝ 1i﹣， z ＝ 32i﹣（ i 是虚数单位），它们对应的点分别为 A ，123B ， C， O 为坐标原点，若＝ x+y（ x， y∈R ），则 x+ y＝ 1．则其中正确命题的个数为（）A ． 1 个B ． 2 个C． 3 个 D ． 4 个【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【专题】38 ：对应思想； 48：分析法；5A ：平面向量及应用；5N ：数系的扩充和复数．【分析】由复数的模和共轭复数的概念可判断① ；由虚数和共轭复数的概念可判断② ；由复数为实数的条件可判断③ ；由复数的几何意义和向量的坐标表示，解方程可判断④ ．【解答】解：① ，若复数z1， z2的模相等，比如z1＝ 1+3 i， z2＝ 3﹣i，则 z1， z2不是共轭复数，故① 错；②， z1， z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数，反之z1， z2是共轭复第 12 页（共21 页）专业资料WORD 文档数可得其和为实数，故② 对；③，复数z 是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数），故③ 对；④，已知复数z1＝﹣1+2i ， z2＝ 1﹣i， z3＝ 3﹣2i（ i 是虚数单位），它们对应的点分别为A， B ， C， O 为坐标原点，若＝ x+y（x，y∈R），即有3＝﹣x+y，﹣2＝2x﹣y，解得x＝ 1， y＝ 4 ，则x+y ＝ 5，故④错．故选： B ．【点评】本题考查复数的概念，主要是复数的模和实数、虚数和共轭复数的概念，考查判断能力和运算能力，属于基础题．16．（3 分）设表示平面向量，| |， | |都是小于9 的正整数，且满足（| |+| |）（| |+3| |）＝ 105 ，（+）（+3）＝33，则和的夹角大小为（）A ．B ．C． D ．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；5A ：平面向量及应用．【分析】解不定方程+4||?| |+3＝ 105 ，由105 ＝ 3×5×7，又因为| |， | |都是小于9 的正整数，则||＝ 3， ||＝ 4，由数量积表示两个向量的夹角及（+ ）（?+3 ）＝ 33，得 cosθ＝＝﹣又θ∈[0，π]，所以θ＝，【解答】解：由（ ||+| |）（||+3||）＝ 105 ，得：+4| |?| |+3＝ 105 ，由 105 ＝ 3 ×5×7，又因为 | |， ||都是小于9 的正整数，|则|＝ 3， ||＝ 4，又（+）（?+3）＝ 33 ，所以+4 ?+3＝ 33 ，所以?＝﹣6，第 13 页（共21 页）专业资料WORD 文档cos θ＝＝﹣又θ∈[0 ，π]所以θ＝，故选： C ．【点评】本题考了不定方程求解及数量积表示两个向量的夹角，属中档题．三、解答题17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计需时计要油算泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点 A 之间的距离为1.95 米， AB 与水平线之间的夹角为6°20 ′，AC 的长为1.40 米，计算BC 的长（结果保留3 个有效数字，单位：米）【考点】HR ：余弦定理；HU ：解三角形．【专题】58 ：解三角形．【分析】由题意，△ABC 中，已知△ABC 两边AB＝ 1.95m ，AC ＝ 1.40m ，夹角 A＝ 66 ° 20′，求 BC ．22222【解答】解：由余弦定理，得BC ＝ AB 2AB﹣×AC cosA＝ 1.95 2﹣×1.95 ×+AC+1.401.40cos66 °20 ′＝ 3.568 ，所以BC ≈ 1.89 （ m）答：顶杆BC 长约 1.89m ．【点评】本题考查了利用余弦定理解决实际中的线段长度；关键是将所求抽象为数学问题解答．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A⊥平面ABCD ，PA＝ AC ＝ AB ，E 、F 分别是CD 、 PD 的中点．（ 1 ）求证：CD ⊥平面PAE；第 14 页（共21 页）专业资料WORD 文档（ 2 ）求异面直线AF 与 PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】LM ：异面直线及其所成的角；LW ：直线与平面垂直．【专题】14 ：证明题； 31：数形结合；41：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（ 1 ）推导出CD ⊥ PA， CD ⊥ AE，由此能证明CD ⊥平面 PAE．（ 2 ）以 A 为原点，AB 为 x 轴， AE 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF 与 PE 所成角的大小．【解答】证明：（ 1）∵在四棱锥P ﹣ ABCD 中，底面ABCD 是菱形， PA⊥平面ABCD ，PA＝ AC ＝ AB ，E 、F 分别是 CD 、 PD 的中点．∴CD ⊥ PA， CD ⊥ AE ，∵PA∩ AE ＝ A，∴CD ⊥平面 PAE．解：（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴， AE 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设PA＝ AC ＝ AB ＝ 2，则 A（ 0， 0，0 ），D（﹣ 1 ，，0），P（0，0，2），F（﹣，，1），E（0，），＝（﹣，1 ），＝（0，），设异面直线AF 与 PE 所成角的大小为θ，则 cos θ＝＝＝．∴异面直线AF 与 PE 所成角的大小为arccos．第 15 页（共21 页）专业资料WORD 文档【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22﹣ 6a+13 ． x∈[﹣，] ．19．设f（ x）＝ sin x+2 acosx+ a（1 ）求函数 f （ x）的最大值 M ；（2 ）对（ 1）中的 M ，是否存在常数b（ b＞ 0 且 b ≠1），使得当 a＞ 1 时， y＝ log b M 有意义，且 y 的最大值是﹣？若存在，求出 b 的值；若不存在，说明理由．【考点】 HW ：三角函数的最值．【专题】 11：计算题；33 ：函数思想；4R ：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（ 1 ）设cosx ＝ t ，则 0 ≤ t≤ 1，可得f（ t ）＝﹣（t﹣ a）22﹣ 6a+14， 0≤ t≤ 1，+2a分段讨论，即可求出，22（ 2 ）当 a ＞1 时， M ＝ a ﹣ 4a+13 ＝（ a﹣ 2 ）+9 ≥ 9 恒成立，则可得log b9 ＝﹣，解得即可．2222【解答】解：（1）（f x）＝sin﹣ 6a+13 ＝﹣ cos﹣ 6a+14 ，x∈[﹣，x+2 acosx+a x+2 acosx+a]，设cosx＝ t，则 0≤ t≤1，2222∴f（ t）＝﹣ t﹣ 6a+14 ＝﹣（ t﹣ a）﹣ 6a+14 ， 0 ≤ t≤ 1 ，+2at+a+2a2当a＜ 0 时， f（ t）max＝ f（ 0 ）＝ a ﹣ 6a+14 ，2当0≤ a≤ 1 时， f（ t）max＝ f （ a）＝ 2a ﹣ 6a+142专业资料WORD 文档当a＞ 1 时吗， f （ t）max＝ f（ 1）＝ a ﹣ 4a+13 ，第16 页（共21 页）专业资料WORD 文档故 M ＝；22（ 2 ）当 a＞ 1 时， M ＝ a4a+13﹣＝（ a2﹣）+9 ≥ 9 恒成立，∵当 a＞ 1 时， y＝ log b M 有意义，且y 的最大值是﹣，∴0 ＜ b＜ 1 ，∴log b9＝﹣，∴b＝9，∴b ＝【点评】本题考查了三角函数的化简以及性质和二次函数的性质，以及对数的意义，属于中档题2 222 的焦点相同．20．设 m＞ 0，椭圆Γ：＝ 1 与双曲线C： m xy﹣＝ m（ 1）求椭圆Γ与双曲线 C 的方程；（ 2）过双曲线 C 的右顶点作两条斜率分别为k1， k2的直线 l1， l 2，分别交双曲线 C 于点P ， Q（ P， Q 不同于右顶点），若 k1?k 2＝﹣1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（ 3）设点 T（ 0 ， 2），若对于直线l： y＝ x+ b，椭圆Γ上总存在不同的两点 A 与 B 关于直线 l对称，且9＜ 4＜ 10 ，求实数 b 的取值范围．【考点】KL ：直线与椭圆的综合．【专题】 15 ：综合题；38：对应思想； 4R ：转化法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．2 22 2 的焦点相同，即可求【分析】（ 1）根据椭圆Γ：＝1与双曲线C： m﹣y＝ mx 出 m 的值，（ 2 ）设 l1，l 2的方程分别为y＝ k1（ x﹣1），y＝ k2（ x﹣1），分别联立方程组，，即可求出点P ， Q 的坐标，根据斜率公式计算即可，第 17 页（共21 页）专业资料WORD 文档（ 3 ）由题意设A（ x1，y1），B（ x2， y2），直线 AB 方程为：y＝﹣ x+t ．联立消y 整理可得：22﹣ 6tx+3t﹣3＝0，由△＞0解得t 的范围．再由根与系数的关系结合中点坐标公式求4x得直线AB 之中点坐标，代入直线AB ，再由点P 在直线l 上求得 b 和 t 的关系，再根据向量的数量积公式求出t 的范围，即可即可求得 b 的取值范围．2 2222【解答】解：（1）∵椭圆Γ：＝1与双曲线C： m﹣y＝m即x﹣＝1的x焦点相同，2∴ 3m ﹣ m＝ 1+m ，且m＞ 0，解得m＝ 1 ，222∴椭圆Γ的方程为+y ＝ 1，双曲线 C 的方程为x ﹣ y ＝ 1，证明：（ 2）由（ 1）可知，双曲线的右顶点为（1， 0），设 l 1， l2的方程分别为y＝ k1（ x﹣ 1），y＝ k2（ x﹣ 1），分别联立方程组，，解得，，即 P（，），Q（，），∵k1?k 2＝﹣ 1，∴ k PQ＝＝＝0，∴直线 PQ 的倾斜角为0°，故直线PQ 的倾斜角为定值，为0°，（ 3 ）设 A （ x1， y1），B（ x2， y2），直线AB 方程为：y＝﹣ x+ t，2222由，消 y 整理可得： 4x ﹣ 6tx+3t﹣ 3 ＝ 0 ，消 x 整理可得4y ﹣ 2ty+t﹣ 3 ＝ 0 ，第 18 页（共21 页）专业资料WORD 文档由△＝（﹣6t）22216﹣（ 3t 3﹣）＝ 4t﹣＞ 0，解得﹣2＜ t＜ 2．22∴x1+x 2＝， x1x2＝（ t1﹣），y1+y 2＝， y1 y2＝（ t﹣3），设直线 AB 之中点为P（ x， y），则x＝（ x1+x 2）＝000由点P 在直线AB 上得： y0＝﹣x0+b ＝，又点P 在直线l 上，∴＝+b ，则b＝﹣t．又∵＝（x1，y1﹣2），＝（x2，y2﹣2），22∴?＝x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4＝（t﹣1） +（t﹣3）﹣t+4，2∴4?＝4t﹣4t+10，∵9 ＜ 4＜10，2∴9 ＜ 4t﹣4t+10 ＜ 10 ，2∴（ 2t ﹣1）＞ 0 ， t（ t﹣1）＜ 0解得0＜ t ＜ 1，且t≠∴b ＝﹣t∈（，﹣﹣）∪（﹣， 0）．【点评】本题考查椭圆双曲线的简单性质，考查直线与双曲线椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．21．将 n 个数 a， a ， ?， an 的连乘积a?a ??? a为记a ，将 n 个数a， a ，?， a1212n i12n的和 a1+a 2+ ?+a n为记， n ∈N * ）（ 1 ）若数列{ x n} 满足x1＝ 1， x n+1＝ x +x n， n∈N * ，设P n＝，S n＝．求P5+S 5；（ 2 ）用 [ x]表示不超过x 的最大整数，例如[2] ＝ 2， [3.4] ＝ 3 ， [﹣1.8] ＝﹣2．若数列{x n}满足x1＝ 1， x n+1＝ x +x n， n ∈N* ，求 [] 的值；（ 3 ）设定义在正整数集N * 上的函数f（ n）满足，当＜n≤（m∈N *）时，专业资料。
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上海市静安区2019届高三一模数学试卷
2019.1
一、填空题
1. 函数)4(log 22x y -=的定义域是 ；
2. 已知向量)2,1(=，)5,3(=，则向量的坐标是 ；
3. 在二项式52)1
(x
x -的展开式中，4x 项的系数为 ；（结果用数值表示） 4. 若直线03)9()372(22=+-++-y a x a a 与x 轴平行，则a 的值是 ； 5. 若α、β是一元二次方程0322=++x x 的两个根，则=+
β
α
1
1
；
6. 在数列}{n a 中，11=a ，且}{n a 是公比为3
1
的等比数列，设12321-++++=n n a a a a T ，则=∞
→n n T lim (*∈N n )；
7. 某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入，假如某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为 元（结果保留两位小数） 8. 已知31)4cos(
=+απ
，则=-)22
cos(απ
； 9. 以两条直线02:1=+y x l 和053:2=++y x l 的交点为圆心，并且与直线0153=++y x 相切的圆的方程是 ；
10. 已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 3cm （结果保留圆周率π）
11. 集合}21,log |{2
1≤≤-==x x x y y A ，}015|{2≤+-=tx x x B ，若A B A = ，则实数t 的
取值范围是 ；
12. 若定义在实数集R 上的奇函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，且当10≤≤x 时，
31
)(x x f =
，则方程
3
1
)(=
x f 在区间)10,4(-内的所有实根之和为 ；
二、选择题
13. 电视台在电视剧开播前连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）种
A. 2544P P ⋅
B. 2544C C ⋅
C. 2746P P ⋅
D. 2
7
46C C ⋅ 14. 已知椭圆的标准方程为
)0(1162
2
2>=+m m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A. m -42 B. 2162m - C. 822-m D. 42-m 15. 下列四个命题：
① 若复数1z 、2z 的模相等，则1z 、2z 是共轭复数；
② 1z 、2z 都是复数，若21z z +是虚数，则1z 不是2z 的共轭复数； ③ 复数z 是实数的充要条件是z z =；（z 是z 的共轭复数）
④ 已知复数i z 211+-=，i z -=12，i z 233-=（i 是虚数单位），它们对应的点分别为A 、
B 、
C ，O 为坐标原点，若),(R y x y x ∈+=，则1=+y x 。
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
16. 设a 、b 表示平面向量，||a 、||b 都是小于9的正整数，且满足33)3)((=++b a b a ，
105|)|3||)(|||(|=++b a b a ，则和的夹角大小为（ ）
A. 6
π
B.
3
π
C.
32π D. 6
5π
三、解答题
17. 如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度，已知车厢的最大仰角为 60，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角
为'206 ，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位：米）
18. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，
E 、
F 分别是CD 、PD 的中点。
（1）求证：⊥CD 平面PAE ；
（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小。
（结果用反三角函数值表示）
19. 设136cos 2sin )(22+-++=a a x a x x f ，]2
,2[π
π-∈x 。
（1）求函数)(x f 的最大值M ；
（2）是否存在常数0>b 且1≠b ，使得当1>a 时，M y b log =有意义，且y 的最大值是3
4-？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由。
20. 设0>m ，椭圆13:
2
2=+Γm
y m x 与双曲线2222:m y x m C =-的焦点相同。
（1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；
（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k 、2k 的直线1l 、2l ，分别交双曲线于点P 、
Q （P 、Q 不同于右顶点），若121-=k k ，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出该定值；
（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且1049<⋅<TB TA ，求实数b 的取值范围。
21. 将n 个数1a 、2a 、…、n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21记为
∏=n
i i
a 1
，将n 个数1
a 、2
a
、…、n
a 的和n a a a +++ 21记为
)(1
*=∈∑N n a
i
n
i 。
（1）若数列}{n x 满足11=x ，n n n x x x +=+2
1，设∏
=+=
n
i i
n x P 111
，i n i n x S +∑==111，求55S P +；
（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-，若数列}{n x 满足11=x ，n n n x x x +=+2
1，求]1[
2019
1
∑
=+i i i
x x 的值； （3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当
)(2
)
1(2)1(*∈+≤<-N n m m n m m 时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得
∑==n
i i f 1
2019)(？若存在，求出n 的值；若不存在，
请说明理由。
（已知6)
12)(1(1
2
++=∑
=n n n i n
i ，例如
21096
37
191818
1
2=⨯⨯=
∑
=i i ）。