高中数学导数及其应用导数在研究函数中的应用函数的最大小值与导数学案

3.3.3 函数的最大(小)值与导数

学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)3.能根据函数的最值求参数的值．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值

如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．

思考：若函数f (x )在区间[a ，b ]上只有一个极大值点x 0，则f (x 0)是函数f (x )在区间[a ，

b ]上的最大值吗？

[提示] 根据极大值和最大值的定义知，f (x 0)是函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值． 2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．

(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)函数的最大值一定是函数的极大值． ( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．

( )

(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．

( ) (4)函数f (x )＝1

x

在区间[－1,1]上有最值．

( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

2．函数f (x )＝x 3

－3x 2

＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4

C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.]

3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π2，π的最大值是( ) 【导学号：97792160】

A ．π－1 B.π

2

－1 C ．π D ．π＋1

C [y ′＝1－cos x >0，故函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π2，π是增函数，因此当x ＝π时，

函数有最大值，且y max ＝π－sin π＝π.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

求函数的最值

求下列各函数的最值．

(1)f (x )＝2x 3

－3x 2

－12x ＋5，x ∈[－2,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2

)，x ∈[2,5]．

[解] (1)f ′(x )＝6x 2

－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝2， 又x ∈[－2,1]，故x ＝－1，且f (－1)＝12. 又因为f (－2)＝1，f (1)＝－8， 所以，当x ＝－1时，f (x )取最大值12. 当x ＝1时，f (x )取最小值－8. (2)∵f (x )＝3e x －e x x 2

， ∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x

x ) ＝－e x (x 2

＋2x －3) ＝－e x

(x ＋3)(x －1)．

∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x

(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2

；

x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.

[规律方法] 求函数在闭区间上最值的步骤 第一步 求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0 第二步 确定在闭区间上方程f ′(x )＝0的根 第三步 求极值、端点值，确定最值． 1．求下列各函数的最值．

(1)f (x )＝－x 3

＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2

－54x

(x ＜0)．

[解] (1)f ′(x )＝3－3x 2

＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

x

－3 (－3，

－1

(－1， 1)

1 (1,3) 3

－1)

f ′(x )

－ 0 ＋ 0 － f (x )

↘

极小值

↗

极大值

↘

－18

所以x ＝1和x ＝－1是函数在[－3，3]上的两个极值点，且f (1)＝2，f (－1)＝－2. 又因为f (x )在区间端点处的取值为f (－3)＝0，f (3)＝－18， 所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54

x

2.

令f ′(x )＝0，得x ＝－3.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

x (－∞，－3)

－3 (－3,0) f ′(x ) － 0 ＋ f (x )

↘

极小值

↗

所以x ＝－3时，f (x )取得极小值，也就是最小值， 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值.

含参数的函数的最值问题

已知a 是实数，函数f (x )＝x 2

(x －a )，求f (x )在区间[0,2]上的最大值.

【导学号：97792161】

[思路探究] 求导→讨论a 的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值． [解] f ′(x )＝3x 2

－2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.

当2a

3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .

当2a

3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0＜2a

3

＜2，即0＜a ＜3时，

f (x )在⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤2a 3

，2上单调递增，

从而f (x )max ＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

8－4a ，0＜a ≤2

，

0，2＜a ＜3，