高中数学导数及其应用导数在研究函数中的应用函数的最大小值与导数学案

3.3.3 函数的最大(小)值与导数学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)3.能根据函数的最值求参数的值．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数f (x )在区间[a ，b ]上只有一个极大值点x 0，则f (x 0)是函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值吗？[提示] 根据极大值和最大值的定义知，f (x 0)是函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值． 2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[基础自测]1．思考辨析(1)函数的最大值一定是函数的极大值． ( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( ) (4)函数f (x )＝1x在区间[－1,1]上有最值．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.]3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) 【导学号：97792160】A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1C [y ′＝1－cos x >0，故函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π是增函数，因此当x ＝π时，函数有最大值，且y max ＝π－sin π＝π.][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的最值求下列各函数的最值．(1)f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5，x ∈[－2,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．[解] (1)f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝2， 又x ∈[－2,1]，故x ＝－1，且f (－1)＝12. 又因为f (－2)＝1，f (1)＝－8， 所以，当x ＝－1时，f (x )取最大值12. 当x ＝1时，f (x )取最小值－8. (2)∵f (x )＝3e x －e x x 2， ∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)．∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.[规律方法] 求函数在闭区间上最值的步骤 第一步 求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0 第二步 确定在闭区间上方程f ′(x )＝0的根 第三步 求极值、端点值，确定最值． 1．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x(x ＜0)．[解] (1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x－3 (－3，－1(－1， 1)1 (1,3) 3－1)f ′(x )－ 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值↗极大值↘－18所以x ＝1和x ＝－1是函数在[－3，3]上的两个极值点，且f (1)＝2，f (－1)＝－2. 又因为f (x )在区间端点处的取值为f (－3)＝0，f (3)＝－18， 所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54x2.令f ′(x )＝0，得x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3 (－3,0) f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗所以x ＝－3时，f (x )取得极小值，也就是最小值， 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值.含参数的函数的最值问题已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0,2]上的最大值.【导学号：97792161】[思路探究] 求导→讨论a 的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值． [解] f ′(x )＝3x 2－2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0＜2a3＜2，即0＜a ＜3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0＜a ≤2，0，2＜a ＜3，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0，a ＞2.[规律方法] 1.含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．2．已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．[跟踪训练]2．已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．[解] 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾．求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0时，且x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )＋ 0－ f (x )－7a ＋b↗b↘－16a ＋b由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.与最值有关的恒成立问题1．比较两个函数式的大小，常用什么方法？ 提示：常用差比较法．2．函数最值和“恒成立”问题有什么联系？提示：解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．如f (x )＞0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可．对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[思路探究] (1)求出g (x )的表达式是解题的关键；(2)构造辅助函数，结合单调性求解；(3)显然g (x )的最值决定了参数a 的取值范围。

[解] (1)由题设知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x，所以g (x )＝ln x ＋1x所以g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故g (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g (x )的最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－ln x ＋x ， 设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x； 当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x. (3)因为g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立，即ln a <g (x )对任意x >0成立． 由(1)知，g (x )的最小值为1， 所以ln a <1，解得0<a <e.[规律方法] 分离参数求解不等式恒成立问题3．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围.【导学号：97792162】[解] f ′(x )＝x ＋1x＋ln x －1 ＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1(x ＞0)等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1.当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，所以g (x )≤g (1)＝－1.综上可知，a 的取值范围是[－1，＋∞)．[当 堂 达 标·固 双 基]1．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103A [函数y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)．y ′＝1－ln x x 2，由1－ln xx2＝0得x ＝e ， 当0<x <e 时，y ′>0， 当x >e 时，y ′<0.因此当x ＝e 时，函数y ＝ln x x 有最大值，且y max ＝1e＝e －1.]2．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为( )A ．2B ．4C ．18D ．20 D [f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0得x ＝±1. 当0≤x <1时，f ′(x )<0； 当1<x ≤3时，f ′(x )>0.则f (1)最小，又f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，f (3)>f (0)，所以最大值为f (3)，即M ＝f (3)， N ＝f (1)⇒M －N ＝f (3)－f (1)＝(18－a )－(－2－a )＝20.]3．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是__________．π6＋3 [y ′＝1－2sin x ＝0，解得x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋3.]4．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，对任意x ∈[1,2]都有f (x )>m ，则实数m 的取值范围是__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 [由题意知只要f (x )min>m 即可， 由f ′(x )＝3x 2－x －2＝0， 得x ＝－23(舍去)或x ＝1，易知f (x )min ＝f (1)＝72，所以m <72.]5．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值. 【导学号：97792163】[解] f ′(x )＝－x －1－x x 2＋1x ＝x －1x2. 由f ′(x )＝0，得x ＝1.∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 1 (1,2) 2∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－f (2)＝2－2ln 2＝2(ln e 3－ln 16)，而e 3＞16，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f (2)＞0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 2，最小值为0.。