初中数学培优题库试题14附答案
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)
（2）若商店按售价为每个书包 元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高 ，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用 元网购的 型口罩与小磊家用 元在药店购买的 型口罩的数量相同， 型与 型口罩的单价之和为 元，求 两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为 的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前 天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？
人教版 八年级数学上册 14.2 乘法公式 培优训练(含答案)
人教版八年级数学14.2乘法公式培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列各式中，运算结果是9m2－16n2的是()A.(3m＋2n)(3m－8n)B.(－4n＋3m)(－4n－3m)C.(－3m＋4n)(－3m－4n)D.(4n＋3m)(4n－3m)2. 下列各式中，能用完全平方公式计算的是()A．(x－y)(x＋y) B．(x－y)(x－y)C．(x－y)(－x－y) D．－(x＋y)(x－y)3. 若M·(2x－y2)＝y4－4x2，则M应为()A.－(2x＋y2)B.－y2＋2xC.2x＋y2D.－2x ＋y24. 化简(－2x－3)(3－2x)的结果是()A．4x2－9 B．9－4x2C．－4x2－9 D．4x2－6x＋95. 为了运用平方差公式计算(x＋2y－1)(x－2y＋1)，下列变形正确的是()A.[x－(2y＋1)]2B.[x＋(2y－1)][x－(2y－1)]C.[(x－2y)＋1][(x－2y)－1]D.[x＋(2y－1)]26. 计算(x＋1)(x2＋1)·(x－1)的结果是()A．x4＋1 B．(x＋1)4C．x4－1 D．(x－1)47. 如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，则这个长方形的面积为()A.a2－4b2B.(a＋b)(a－b)C .(a ＋2b )(a －b )D .(a ＋b )(a －2b )8. 若n 为正整数，则(2n ＋1)2－(2n －1)2的值( )A ．一定能被6整除B ．一定能被8整除C ．一定能被10整除D ．一定能被12整除9. 若(x ＋a )2＝x 2＋bx ＋25，则()A ．a ＝3，b ＝6B ．a ＝5，b ＝5或a ＝－5，b ＝－10C ．a ＝5，b ＝10D ．a ＝－5，b ＝－10或a ＝5，b ＝1010. 如果a ，b ，c 是ABC △三边的长，且22()a b ab c a b c +-=+-，那么ABC △是( )A. 等边三角形．B. 直角三角形．C. 钝角三角形．D. 形状不确定．二、填空题（本大题共6道小题）11. 多项式x 2＋1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是________(任写一个符合条件的即可)．12. 填空：()()22552516a a a b +-=-13. 如果(x ＋my )(x －my )＝x 2－9y 2，那么m ＝________．14. 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a b >)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.15. 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a 、b 的恒等式___________.a bb a16.根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是____________________.三、解答题（本大题共4道小题）17. 运用完全平方公式计算：(1)(2a ＋3b )2； (2)(12m ＋4)2；(3)(－x －14)2； (4)(－13＋3b )2.18. 王红同学计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)的过程如下：解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1.请根据王红的方法求(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．19. 认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应地，我们可以计算出多项式的展开式，如：(a ＋b )1＝a ＋b ，(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，…. 下面我们依次对(a ＋b )n 展开式的各项系数进一步研究发现，当n 取正整数时可以单独列成如图所示的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”．仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)(a ＋b )n 展开式中共有多少项？ (2)请写出多项式(a ＋b )5的展开式．20. 计算：2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C [解析] 因为结果是9m 2－16n 2，9m 2应是相同的项的平方，所以相同项应为3m 或－3m ，16n 2应是相反项的平方，相反项应为－4n 和4n.2. 【答案】B3. 【答案】A[解析] M 与2x －y 2的相同项应为－y 2，相反项应为－2x 与2x ，所以M 为－2x －y 2，即－(2x ＋y 2).4. 【答案】A[解析] 原式＝(－2x －3)(－2x ＋3)＝(－2x)2－32＝4x 2－9.5. 【答案】B6. 【答案】C[解析] (x ＋1)(x 2＋1)(x －1)＝(x ＋1)(x －1)(x 2＋1) ＝(x 2－1)(x 2＋1) ＝x 4－1.7. 【答案】A[解析] 根据题意得(a ＋2b )(a －2b )＝a 2－4b 2.8. 【答案】B[解析] 原式＝(4n 2＋4n ＋1)－(4n 2－4n ＋1)＝8n ，则原式的值一定能被8整除．9. 【答案】D[解析] 因为(x ＋a)2＝x 2＋bx ＋25，所以x 2＋2ax ＋a 2＝x 2＋bx ＋25.所以⎩⎨⎧2a ＝b ，a 2＝25，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝10或⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝－10.10. 【答案】A【解析】已知关系式可化为2220a b c ab bc ac ++---=，即2221(222222)02a b c ab bc ac ++---=， 所以2221[()()()]02a b b c a c -+-+-=，故a b =，b c =，c a =.即a b c ==．选A ．二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】2x (或－2x 或14x 4) 【解析】x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2；x 2－2x ＋1＝(x －1)2；14x 4＋x 2＋1＝(12x 2＋1)2.12. 【答案】()()2254542516a b a b a b +-=- 【解析】()()2254542516a b a b a b +-=-13. 【答案】±3[解析] (x ＋my)(x －my)＝x 2－m 2y 2＝x 2－9y 2，所以m 2＝9.所以m＝±3.14. 【答案】22()()a b a b a b +-=-【解析】左图中阴影部分的面积为22a b -，右图中阴影部分的面积为1(22)()()()2b a a b a b a b +-=+-，故验证了公式22()()a b a b a b +-=-(反过来写也可)15. 【答案】224()()ab a b a b =+--【解析】22()()4a b a b ab -=+-或224()()ab a b a b =+--16. 【答案】(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)原式＝4a 2＋12ab ＋9b 2. (2)原式＝14m 2＋4m ＋16. (3)原式＝x 2＋12x ＋116. (4)原式＝19－2b ＋9b 2.18. 【答案】解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1 ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1 ＝… ＝264－1＋1 ＝264.因为264的个位数字是6，所以(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1的个位数字是6.19. 【答案】解：(1)由已知可得：(a ＋b)1展开式中共有2项， (a ＋b)2展开式中共有3项， (a ＋b)3展开式中共有4项， ……则(a ＋b)n 展开式中共有(n ＋1)项． (2)(a ＋b)1＝a ＋b ， (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，…则(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5.20. 【答案】41122n --【解析】原式211111************n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4411121222n n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．。
初中数学培优试题及答案
初中数学培优试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √42. 一个数的相反数是它本身的数是：A. 0B. 1C. -1D. 23. 如果一个角的补角是锐角，那么这个角是：A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角4. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么它的周长是：A. 7B. 10C. 11D. 145. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数C. 非负数D. 非正数6. 一个数的立方是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是7. 一个数的平方是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是8. 一个数的倒数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是9. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是10. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数D. 非正数二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的平方根是它本身，这个数可以是______。
2. 如果一个角的补角是90°，那么这个角是______。
3. 一个等腰三角形的两边长分别为5和8，那么它的周长是______。
4. 一个数的立方是它本身，这个数可以是______。
5. 一个数的倒数是它本身，这个数可以是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求这个三角形的斜边长。
2. 一个数的相反数是-7，求这个数。
3. 一个等腰三角形的两边长分别为6和8，求这个三角形的周长。
4. 已知一个数的平方是25，求这个数。
5. 一个数的立方是-8，求这个数。
答案：一、选择题1. B2. A3. A4. C5. C6. D7. D8. B9. A10. C二、填空题1. 0或12. 90°3. 194. 0, 1, -15. 1或-1三、解答题1. 斜边长为5cm（根据勾股定理，3²+4²=5²）。
初中数学培优考试试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…D. 3/42. 若方程2x-3=5的解为x=2，则方程3x+4=？的解为（）A. x=1B. x=2C. x=3D. x=43. 下列各式中，正确的是（）A. （a+b）^2=a^2+2ab+b^2B. （a-b）^2=a^2-2ab+b^2C. （a+b）^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3D. （a-b）^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^34. 下列各式中，完全平方公式应用错误的是（）A. （3x+2）^2=9x^2+12x+4B. （2x-1）^2=4x^2-4x+1C. （a-2b）^2=a^2-4ab+4b^2D. （x+y）^2=x^2+y^25. 下列各式中，正确的是（）A. （-a）^2=a^2B. （-a）^3=-a^3C. （-a）^4=a^4D. （-a）^5=-a^56. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a+c=8，则b=（）A. 4B. 5C. 6D. 77. 下列函数中，奇函数是（）A. f(x)=x^2B. f(x)=|x|C. f(x)=x^3D. f(x)=1/x8. 下列各式中，正确的是（）A. 2sin60°=√3B. 2cos45°=√2C. 2tan30°=1/√3D. 2cot60°=1/√39. 下列各式中，正确的是（）A. （a+b）^2=a^2+2ab+b^2B. （a-b）^2=a^2-2ab+b^2C. （a+b）^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3D. （a-b）^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^310. 下列各式中，正确的是（）A. （-a）^2=a^2B. （-a）^3=-a^3C. （-a）^4=a^4D. （-a）^5=-a^5二、填空题（每题5分，共50分）11. 若方程3x-5=2的解为x=3，则方程2x+7=？的解为x=？12. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a+c=8，则b=？13. 下列函数中，奇函数是f(x)=？14. 下列各式中，正确的是2sin60°=？15. 下列各式中，正确的是2cos45°=？16. 下列各式中，正确的是2tan30°=？17. 下列各式中，正确的是2cot60°=？18. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a+c=8，则b=？19. 下列函数中，奇函数是f(x)=？20. 下列各式中，正确的是2sin60°=？三、解答题（每题20分，共60分）21. 已知a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a+c=8，求b的值。
九年级数学竞赛培优专题及答案 14 平行线分线段成比例(含答案)
专题14平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，E，F分别是AD，BC的中点，且AF 交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断PQ与AD（或BC）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD，AE于G，H，则BG︰GH：HM等于（）A．3︰2︰1 B．4︰2︰1 C．5︰4︰3 D．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M作BC的平行线，构造基本图形．【例3】如图，□ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA ，BC 的延长线于Q ，R ，交CD ，AD 于S ，T ． 求证：PQ •PT ＝P R •PS ．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ •PT ＝P R •PS ，需证PQPS＝PR PT ，由于PQ ，PT ，P R ，PS 在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ．（1）如图1，如果P ，E ，F 分别是BC ，AC ，BD 的中点，求证：AB ＝PE ＋PF ；（2）如图2，如果P 是BC 上的任意一点（中点除外），PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB ＝PE ＋PF 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB ＝PE ＋PF ，即要证明PE AB ＋PF AB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．图2图1（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC是任意三角形．（1）如图1，点M，P，N分别是边AB，BC，CA的中点，求证：∠MPN＝∠A；（2）如图2，点M，N分别在边AB，AC上，且AMAB＝13，ANAC＝13，点P1，P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M，N分别在边AB，AC上，且P1，P2，…，P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．能力训练A级1．设K＝a b cc+-＝a b cb-+＝a b ca-++，则K＝＿＿＿＿．（镇江市中考试题）2．如图，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，则EF＝＿＿＿＿．第2题第3题第4题第5题图1 图2 图33．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰29．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ；第9题 第10题 第11题第6题 第7题第8题（2）求OEAD＋OEBC的值；（3）求证：1AD＋1BC＝2EF．（宿迁市中考试题）12．如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上的一点，CE的延长线与BC的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，MB与AD交于点N．求证：∠AFN＝∠DME．（全国初中数学联赛试题）B级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB，CD，它们相距15cm，分别自两杆上高出地面4m，6m的A，C处，向两侧地面上的E，D和B，F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为＿＿＿＿m．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）第7题 第8题 第9题第5题 第6题第2题 第3题第1题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD+＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）12．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，过D 点的直线PQ 交边AC 于点P ，交边AB 的延长线于点Q ．（1）如图1，当PQ ⊥AC 时，求证：11AQ AP +； 第11题第10题（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）专题14 平行线分线段成比例例1aba b+提示：由AP DQ aPF QF b==,推得PQ∥AD。
初中数学中考培优题（含答案）
1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m.()()28.122.122=--x x028.06.12=+-x x()36.08.02=-x2.01=x ，4.12=x （舍去）答：花边的宽度是0.2 m.2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。
调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。
⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得[(600－10³(x －40))](x －30)＝10000解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时进台灯数为600－10³(x －40)＝200当x ＝50时600－10³(x －40)＝500⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为yy ＝［600－10（x －40）］²（x －30）答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。
⑵3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。
若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8,x =9, x =10不到50人一共4x +15＜50 所以x =8所以应该是4³8+15=47人4、某商场销售某种彩电，每台进价为2500元，市场调查表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每台降低50元时，平均每天就能多售出4台。
初中数学二元一次方程组提高题与常考题和培优题(含解析)
初中数学二元一次方程提高题与常考题和培优题(含解析)一．选择题（共13小题）1．已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4y m+n+1=6是二元一次方程，则m，n的值为（）A．m=1，n=﹣1 B．m=﹣1，n=1 C．D．2．x=﹣3，y=1为下列哪一个二元一次方程式的解？（）A．x+2y=﹣1 B．x﹣2y=1 C．2x+3y=6 D．2x﹣3y=﹣63．已知x，y满足方程组，则x+y的值为（）A．9 B．7 C．5 D．34．若二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，则a+b之值为何？（）A．B．C．7 D．135．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（）A．B．C．D．6．如果是方程x﹣3y=﹣3的一组解，那么代数式5﹣a+3b的值是（）A．8 B．5 C．2 D．07．父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（）A．B．C．D．8．小明在某商店购买商品A、B共两次，这两次购买商品A、B的数量和费用如表：购买商品A的数量（个）购买商品B的数量（个）购买总费用（元）第一次购物4393第二次购物66162若小明需要购买3个商品A和2个商品B，则她要花费（）A．64元B．65元C．66元D．67元9．足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能是（）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或510．电影《刘三姐》中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩．罗秀才唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得均？”刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才．”若用数学方法解决罗秀才提出的问题，设“一少”的狗有x条，“三多”的狗有y条，则解此问题所列关系式正确的是（）A ．B ．C ．D ．11．若方程组的解是，则方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．12．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为（）A．B．C．D．13．如图，用12块相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，则每个小长方形瓷砖的面积是（）A．175cm2B．300cm2C．375cm2D．336cm2二．填空题（共13小题）14．方程组的解是．15．已知a、b满足方程组，则=．16．若方程组与的解相同，则a=，b=．17．已知是方程组的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为．18．若（a﹣2b+1）2与互为相反数，则a=，b=．19．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2=．20．我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为．21．如图，图1和图2都是由8个一样大小的小长方形拼成的，且图2中的小正方形（阴影部分）的面积为1cm2，则小长方形的周长等于．22．如果4x a+2b﹣11﹣2y5a﹣2b﹣3=8是关于x，y的二元一次方程，那么a﹣b=．23．一副三角扳按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为．24．如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于．25．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、图②两种方式摆放，根据图中数据，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积大小为．26．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是．三．解答题（共14小题）27．解方程组：．28．解方程组：．29．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值．30．观察下列方程组，解答问题：①；②；③；…（1）在以上3个方程组的解中，你发现x与y有什么数量关系？（不必说理）（2）请你构造第④个方程组，使其满足上述方程组的结构特征，并验证（1）中的结论．31．根据图中提供的信息，列方程或方程组求杯子和热水瓶的单价．32．某班学生集体去看演出，观看演出需购买甲种门票或乙种门票，甲种门票每张24元，乙种门票每张18元．该班35名学生每人购买一种门票共花费750元，求该班购买甲、乙两种门票的张数．33．某公园的门票价格规定如下表：购票人数50人以下51～100人100人以上票价13元/人11元/人9元/人某学校七年级1班和2班两个班共104人去游园，其中1班不足50人，2班超过50人．（1）若以班为单位分别购票，一共应付1240元，求两班各有多少人？（2）若两班联合购票可少付多少元？34．“最美女教师”张丽莉，为抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款，我市某中学九年级10班40名同学参加了捐款活动，共捐款400元，捐款情况如下表：表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．请你用你学过的知识算出捐款10元和15元的人数各是多少名？35．某天蔬菜经营户用120元批发了西兰花和胡萝卜共60kg到菜市场零售，西兰花和胡萝卜当天的批发价和零售价如表所示：品名西兰花胡萝卜批发价（元/kg） 2.8 1.6零售价（元/kg） 3.8 2.5如果他当天全部卖完这些西兰花和胡萝卜可获得利润多少元．36．4月23日“世界读书日”期间，玲玲和小雨通过某图书微信群网购图书，请根据他们的微信聊天对话，试一试：求出每本《英汉词典》和《读者》杂志的单价．37．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？38．某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．求该校的大小寝室每间各住多少人？39．某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：技术上场时间（分钟）出手投篮（次）投中（次）罚球得分篮板（个）助攻（次）个人总得分数据46662210118 60注：表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个．40．在平面直角坐标系中，若横坐标、纵坐标均为整数点称为格点，若一个多边形的顶点都是格点，则称为格点多边形．记格点多边形的面积为S，其内部的格点数记为n，边界上的格点数记为l，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，n=0，l=4．奥地利数学家皮克发现格点多边形的面积可表示为S=n+al+b，其中a，b为常数．（1）利用图中条件求a，b的值；（2）若某格点多边形对应的n=20，l=15，求S的值；（3）在图中画出面积等于5的格点直角三角形PQR．初中数学二元一次方程提高题与常考题和培优题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2016•毕节市）已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4y m+n+1=6是二元一次方程，则m，n的值为（）A．m=1，n=﹣1 B．m=﹣1，n=1 C．D．【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．【解答】解：∵方程x2m﹣n﹣2+4y m+n+1=6是二元一次方程，∴，解得：，故选A【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．2．（2016•台湾）x=﹣3，y=1为下列哪一个二元一次方程式的解？（）A．x+2y=﹣1 B．x﹣2y=1 C．2x+3y=6 D．2x﹣3y=﹣6【分析】直接利用二元一次方程的解的定义分别代入求出答案．【解答】解：将x=﹣3，y=1代入各式，A、（﹣3）+2×1=﹣1，正确；B、（﹣3）﹣2×1=﹣5≠1，故此选项错误；C、2×（﹣3）+3‧1=﹣3≠6，故此选项错误；D、2×（﹣3）﹣3‧1=﹣9≠﹣6，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，正确代入方程是解题关键．3．（2016•宁夏）已知x，y满足方程组，则x+y的值为（）A．9 B．7 C．5 D．3【分析】方程组两方程相加求出x+y的值即可．【解答】解：，①+②得：4x+4y=20，则x+y=5，故选C【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．4．（2016•台湾）若二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，则a+b之值为何？（）A．B．C．7 D．13【分析】将其中一个方程两边乘以一个数，使其与另一方程中x的系数互为相反数，再将两方程相加，消去一个未知数，达到降元的目的，求出另一个未知数，再用代入法求另一个未知数．【解答】解：①×2﹣②得，7x=7，x=1，代入①中得，2+y=14，解得y=12，则a+b=1+12=13，故选D．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，熟练运用加减消元是解答此题的关键．5．（2016•临沂）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可得等量关系：①男生人数+女生人数=30；②男生种树的总棵树+女生种树的总棵树=78棵，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后再列出方程组．6．（2016•吴中区一模）如果是方程x﹣3y=﹣3的一组解，那么代数式5﹣a+3b的值是（）A．8 B．5 C．2 D．0【分析】把x=a，y=b代入方程，再根据5﹣a+3b=5﹣（a﹣3b），然后代入求值即可．【解答】解：把x=a，y=b代入方程，可得：a﹣3b=﹣3，所以5﹣a+3b=5﹣（a﹣3b）=5+3=8，故选A【点评】本题考查了代数式的求值，正确对代数式变形，利用添括号法则是关键．7．（2017•河北一模）父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据题意可得两个等量关系：①爸爸的身高+儿子的身高=3.2米；②父亲在水中的身高（1﹣）x=儿子在水中的身高（1﹣）y，根据等量关系可列出方程组．【解答】解：设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，由题意得：，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，解决此题的关键是知道父亲和儿子没在水中的身高是相等的．8．（2016•黔东南州）小明在某商店购买商品A、B共两次，这两次购买商品A、B的数量和费用如表：购买商品A的数量（个）购买商品B的数量（个）购买总费用（元）第一次购物4393第二次购物66162若小明需要购买3个商品A和2个商品B，则她要花费（）A．64元B．65元C．66元D．67元【分析】设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，由题意得等量关系：①4个A的花费+3个B的花费=93元；②6个A的花费+6个B的花费=162元，根据等量关系列出方程组，再解即可．【解答】解：设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得，解得：．答：商品A的标价为12元，商品B的标价为15元；所以3×12+2×15=66元，故选C【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程组．9．（2016•齐齐哈尔）足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能是（）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5【分析】设该队胜x场，平y场，则负（6﹣x﹣y）场，根据：胜场得分+平场得分+负场得分=最终得分，列出二元一次方程，根据x、y的范围可得x的可能取值．【解答】解：设该队胜x场，平y场，则负（6﹣x﹣y）场，根据题意，得：3x+y=12，即：x=，∵x、y均为非负整数，且x+y≤6，∴当y=0时，x=4；当y=3时，x=3；即该队获胜的场数可能是3场或4场，故选：C．【点评】本题主要考查二元一次方程的实际应用，根据相等关系列出方程是解题的关键，要熟练根据未知数的范围确定方程的解．10．（2016•泰安模拟）电影《刘三姐》中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩．罗秀才唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得均？”刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才．”若用数学方法解决罗秀才提出的问题，设“一少”的狗有x条，“三多”的狗有y条，则解此问题所列关系式正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据一少三多四下分，不要双数要单数，列出不等式组解答即可．【解答】解：设“一少”的狗有x条，“三多”的狗有y条，可得：，故选：B．【点评】此题考查二元一次方程的应用，关键是根据一少三多四下分，不要双数要单数列出不等式组．11．（2016•高阳县一模）若方程组的解是，则方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】根据加减法，可得（x+2）、（y﹣1）的解，再根据解方程，可得答案．【解答】解：∵方程组的解是，∴方程组中∴故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是先求（x+2）、（y ﹣1）的解，再求x、y的值．12．（2016•乐山模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．【解答】解：根据题意得：，故选A【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．13．（2016•富顺县校级模拟）如图，用12块相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，则每个小长方形瓷砖的面积是（）A．175cm2B．300cm2C．375cm2D．336cm2【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意可知x+y=40，大矩形的长可表示3x或3y+2x，从而得到3x=3y+2x，然后列方程组求解即可．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm．根据题意得：解得：．故xy=30×10=300cm2．故选：B．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据矩形的对边相等列出方程组是解题的关键．二．填空题（共13小题）14．（2016•永州）方程组的解是．【分析】代入消元法求解即可．【解答】解：解方程组，由①得：x=2﹣2y ③，将③代入②，得：2（2﹣2y）+y=4，解得：y=0，将y=0代入①，得：x=2，故方程组的解为，故答案为：．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．15．（2016•通辽）已知a、b满足方程组，则=3．【分析】方程组利用加减消元法求出解得到a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：，①×3+②得：7a=28，即a=4，把a=4代入②得：b=5，则原式=3．故答案为：3【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．16．（2016•富顺县校级模拟）若方程组与的解相同，则a= 33，b=．【分析】先求出x，y的值，再组成一个含a，b的新方程组．解这个方程组即可．【解答】解：解方程组得，代入方程组得，解得，故答案为：33，．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确求出x，y的值，组成一个新的方程组．17．（2016•成都）已知是方程组的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为﹣8．【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：把代入方程组得：，①×3+②×2得：5a=﹣5，即a=﹣1，把a=﹣1代入①得：b=﹣3，则原式=a2﹣b2=1﹣9=﹣8，故答案为：﹣8【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．18．（2016•富顺县校级模拟）若（a﹣2b+1）2与互为相反数，则a=3，b=2．【分析】根据已知得出（a﹣2b+1）2+=0，得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：∵（a﹣2b+1）2与互为相反数，∴（a﹣2b+1）2+=0，（a﹣2b+1）2=0且=0，即，解得：a=3，b=2故答案为：3，2．【点评】本题考查了相反数，二元一次方程组，偶次方，算术平方根的应用，解此题的关键是得出关于x、y的方程组．19．（2016•浦东新区二模）定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2=4．【分析】已知等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出所求式子的值．【解答】解：根据题中的新定义得：，解得：，则1﹡2=1×2+2×1=2+2=4，故答案为：4【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2016•丰台区二模）我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为．【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程组即可．【解答】解：设大和尚x人，小和尚y人，由题意可得．故答案为．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程组．21．（2016•龙岩模拟）如图，图1和图2都是由8个一样大小的小长方形拼成的，且图2中的小正方形（阴影部分）的面积为1cm2，则小长方形的周长等于16cm．【分析】仔细观察图形，发现本题中2个等量关系为：小长方形的长×3=小长方形的宽×5，（小长方形的长+小长方形的宽×2）2=小长方形的长×小长方形的宽×8+1．根据这两个等量关系可列出方程组，即可求出小长方形的周长．【解答】解：设这8个大小一样的小长方形的长为xcm，宽为ycm．由题意，得，解得．小长方形的周长为2×（3+5）=16，故答案为16cm．【点评】此题主要考查了二元二次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的对边相等及正方形的面积=8个小长方形的面积+小正方形的面积是关键．22．（2016春•单县期末）如果4x a+2b﹣11﹣2y5a﹣2b﹣3=8是关于x，y的二元一次方程，那么a﹣b=﹣2．【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．【解答】解：因为4x a+2b﹣11﹣2y5a﹣2b﹣3=8是关于x，y的二元一次方程，可得：，解得：，所以a﹣b=﹣2，故答案为：﹣2【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．23．（2016春•镇赉县期末）一副三角扳按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为．【分析】根据∠1的度数比∠2的度数大50°，还有平角为180°列出方程，联立两个方程即可．【解答】解：根据∠1的度数比∠2的度数大50°可得方程x﹣y=50，再根据平角定义可得x+y+90=180，故x+y=90，则可得方程组：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．24．（2016•广陵区二模）如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于 6.8．【分析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=5.7，小矩形的2个宽+一个长=4.5，设出长和宽，列出方程组即可得答案．【解答】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：，解得：x+y=3.4．一个小矩形的周长为：3.4×2=6.8，故答案为：6.8．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，做题的关键是：弄懂题意，找出等量关系，列出方程组．25．（2016•河南模拟）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、图②两种方式摆放，根据图中数据，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积大小为24．【分析】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，根据图①、图②给出的数据即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可求出x、y的值，再用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可得出结论．【解答】解：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，根据题意得：，解得：，∴图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为52﹣4×=24．故答案为：24．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．26．（2016•楚雄州模拟）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是292．【分析】设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的根数为y个，根据“所用火柴棍数=三角形个数×2+1+正六边形个数×5+1”联立正三角形的个数比正六边形的个数多6个得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．【解答】解：设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的根数为y 个，由题意得，解得：．故答案为：292．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是列出关于x、y的二元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合数量关系得出关于两种图形个数的方程（或方程组）是关键．三．解答题（共14小题）27．（2016•百色）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①×8+②得：33x=33，即x=1，把x=1代入①得：y=1，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．28．（2016•威海一模）解方程组：．【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：原方程组可化为，①×3+②，得11x=22，即x=2，将x=2代入①，得6﹣y=3，即y=3，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．29．（2016•莆田模拟）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值．【分析】方程组两方程相加表示出x+y，根据x与y互为相反数得到x+y=0，求出k的值即可．【解答】解：，①+②得：3（x+y）=k﹣1，即x+y=，由题意得：x+y=0，即=0，解得：k=1．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．30．（2016•漳州模拟）观察下列方程组，解答问题：①；②；③；…（1）在以上3个方程组的解中，你发现x与y有什么数量关系？（不必说理）（2）请你构造第④个方程组，使其满足上述方程组的结构特征，并验证（1）中的结论．【分析】（1）观察已知方程组，得到x与y的数量关系即可；（2）归纳总结得到第④个方程组，求出方程组的解，验证即可．【解答】解：（1）在以上3个方程组的解中，发现x+y=0；（2）第④个方程组为，①+②得：6x=24，即x=4，把x=4代入①得：y=﹣4，则x+y=4﹣4=0．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．31．（2016•龙岩模拟）根据图中提供的信息，列方程或方程组求杯子和热水瓶的单价．【分析】根据图知道，一个保温瓶和一个杯子的价钱是43元，2个保温瓶和3个杯子的价钱是94元；先用43×2求出2个保温瓶和2个杯子的价钱，再用2个保温瓶和3个杯子的价钱减去2个保温瓶和2个杯子的价钱就是一个杯子的价钱，进而求出一个保温瓶的价钱．【解答】解：设杯子的单价为x元，则热水瓶单价为y元，则解得，答：杯子的单价为8元，则热水瓶单价为35元．【点评】此题考查方程组的应用，关键是根据图，得出保温瓶与杯子的价钱之间的数量关系，再根据数量关系的特点，选择合适的方法进行计算．32．（2016•长春模拟）某班学生集体去看演出，观看演出需购买甲种门票或乙种门票，甲种门票每张24元，乙种门票每张18元．该班35名学生每人购买一种门票共花费750元，求该班购买甲、乙两种门票的张数．【分析】设该班购买甲种门票x张，乙种门票y张，根据“该班一共35人，甲种门票每张24元，乙种门票每张18元，每人购买一种门票共花费750元”列方程组求解可得．【解答】解：设该班购买甲种门票x张，乙种门票y张，根据题意，得：，。
初中培优试卷数学
一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b、c是方程x²-5x+6=0的两根，则a+b+c的值为（）A. 2B. 5C. 6D. 72. 若x²-3x+2=0，则x²-3x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 若x²-5x+6=0，则x³-5x²+6x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若a、b是方程2x²-5x+2=0的两根，则a²+ab+b²的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 85. 若x²-2x+1=0，则x³-2x²+x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 若x²-3x+2=0，则x²+3x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 若x²-5x+6=0，则x²+5x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 若a、b是方程x²-5x+6=0的两根，则a²-5a+6的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 若x²-2x+1=0，则x²-2x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 若a、b是方程2x²-5x+2=0的两根，则a²-5a+2的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题3分，共30分）11. 若x²-3x+2=0，则x²+2x的值为______。
12. 若x²-5x+6=0，则x²-6x的值为______。
13. 若a、b是方程x²-5x+6=0的两根，则a²-5a+6的值为______。
14. 若x²-2x+1=0，则x²+2x的值为______。
15. 若a、b是方程2x²-5x+2=0的两根，则a²-5a+2的值为______。
初一培优数学试题及答案
初一培优数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. -1C. 1D. 2答案：C2. 一个数的相反数是-5，那么这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A3. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是：A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°答案：A4. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 0D. 以上都是答案：D5. 一个三角形的两个内角分别是30°和60°，那么第三个内角的度数是：A. 90°B. 60°C. 30°D. 120°答案：A6. 计算下列表达式的值：(3x - 2) + (2x + 1) =A. 5x - 1B. 5x + 1C. 3x - 1D. 3x + 1答案：B7. 一个数的平方是36，那么这个数是：A. 6B. -6C. 6或-6D. 36答案：C8. 一个数的立方是-8，那么这个数是：A. 2B. -2C. 8D. -8答案：B9. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是：A. 2B. -2C. 1/2D. 1答案：A10. 一个数的平方根是4，那么这个数是：A. 4B. -4C. 16D. -16答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的立方等于它本身，这个数是_______。
答案：0或1或-12. 如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是_______。
答案：非负数3. 一个数的相反数是它本身，这个数是_______。
答案：04. 一个数的平方等于它本身，这个数是_______。
答案：0或15. 一个数的立方等于它本身，这个数是_______。
答案：0或1或-1三、解答题（每题10分，共50分）1. 计算：(2x + 3)(x - 4) = _______。
初二数学培优试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知方程x^2 - 4x + 3 = 0，那么它的解是（）A. x1 = 1，x2 = 3B. x1 = 2，x2 = 2C. x1 = 3，x2 = 1D. x1 = -1，x2 = -32. 若a > 0，b < 0，那么下列不等式中正确的是（）A. a > bB. a < bC. -a > -bD. -a < -b3. 下列函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（）A. y = √(x - 1)B. y = √(x^2 - 1)C. y = √(x + 1)D. y = √(x^2 + 1)4. 已知一次函数y = kx + b，其中k ≠ 0，若函数图象经过点(2, 3)，则k和b 的值分别为（）A. k = 2，b = 1B. k = 1，b = 2C. k = -2，b = 1D. k = -1，b = 25. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，且∠BAC = 40°，则∠B和∠C的度数分别为（）A. ∠B = ∠C = 50°B. ∠B = ∠C = 70°C. ∠B = ∠C = 40°D. ∠B = ∠C = 30°6. 下列各数中，能被3整除的是（）A. 729B. 256C. 1234D. 9877. 已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 5cm，BC = 12cm，那么AC的长度为（）A. 13cmB. 15cmC. 17cmD. 19cm8. 若一个数x满足不等式2x - 1 < 5，那么x的取值范围是（）A. x < 3B. x ≤ 3C. x > 3D. x ≥ 39. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若函数图象开口向上，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 010. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于x轴的对称点Q的坐标是（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)二、填空题（每题5分，共50分）1. 若方程2x - 3 = 5的解为x = 3，则方程3x + 4 = 11的解为x = _______。
人教版初中数学八年级上单元试卷第章 整式的乘法与因式分解【培优卷】(解析版)
第14章整式的乘法与因式分解培优卷一、单选题1. ( 3分) 某种品牌的洗面奶，外包装标明净含量为500±10g，表明了这种洗面奶的净含量x的范围是（）A.490＜x＜510B.490≤x≤510C.490＜x≤510D.490≤x＜510【答案】B【考点】有理数的加法【解析】【解答】解：根据题意得：500﹣1≤x≤500+10，即490≤x≤510，故答案为：B【分析】由题意用有理数的加法法则可得490≤x≤510。
2. ( 3分) 方程3x（x﹣1）＝4（x﹣1）的根是（）A.43B.1 C.43和1 D.43和﹣1【答案】C【考点】因式分解﹣运用公式法，因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】原方程变形整理后得：（x﹣1）（3x﹣4）＝0，x﹣1＝0或3x﹣4＝0，解得：x1＝1，x2＝43，故答案为：C．【分析】将方程移项后进行因式分解，即可得到方程的两个根。
3. ( 3分) 下列说法错误的是（）A.两条射线组成的图形叫角B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.0是单项式【答案】A【考点】单项式，直线的性质：两点确定一条直线，线段的性质：两点之间线段最短，角的概念【解析】【解答】解：A、两条有公共端点的射线组成的图形叫角，此选项符合题意；B、两点之间线段最短，此选项不符合题意；C、两点确定一条直线，此选项不符合题意；D、数字0是单项式，此选项不符合题意；故答案为：A．【分析】根据角的定义、两点之间距离、直线的性质以及根据单项式的定义逐一判断即可．4. ( 3分) 任意给定一个非零数x，按下列箭头顺序执行方框里的相应运算，得出结果后，再进行下一方框里的相应运算，最后得到的结果是（）→平方→→→结果A.xB.x2C.x+1D.x−1【答案】D【考点】整式的混合运算【解析】【解答】根据题意得：（x2+x）÷x-2=x2÷x+x÷x-2=x+1-2=x-1，故答案为：D.【分析】根据程序先列出算式，然后计算即可.5. ( 3分) 下列各式计算正确的是（）A.（a+1）2=a2+1B.a2+a3=a5C.a8÷a2=a6D.3a2﹣2a2=1【答案】C【考点】同底数幂的除法，完全平方公式及运用【解析】【解答】解：A、（a+1）2=a2+2a+1，故本选项错误；B、a2+a3≠a5，故本选项错误；C、a8÷a2=a6，故本选项正确；D、3a2﹣2a2=a2，故本选项错误；故选C．【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及同类项的合并进行各项的判断，继而可得出答案．是一个完全平方式，则k的值为（）6. ( 3分) 已知多项式x2+kx+ 14A.±1B.﹣1C.1D.±12【答案】A【考点】完全平方公式及运用是一个完全平方式，【解析】【解答】解：∵多项式x2+kx+ 14∵x2+kx+ 14=（x± 12）2，∵k=±1，故答案为：A【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，得到k=±1.7. ( 3分) 关于x、y的多项式x2−4xy+5y2+8y+15的最小值为（）A. -1B.0C.1D.2【答案】A【考点】完全平方公式及运用，偶次幂的非负性【解析】【解答】解：原式＝x2−4xy+5y2+8y+15=x2−4xy+4y2+y2+8y+16-1=(x−2y)2+(y+4)2-1∵ (x−2y)2≥0，(y+4)2≥0，∵原式≥－1，∵原式的最小值为－1，故答案为：A.【分析】利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可.8. ( 3分) 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A.x2+5x-1=x（x+5）-1B.x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3xC.x2-9=（x+3）（x-3）D.（x+2）（x-2）=x2-4【答案】C【考点】因式分解的定义【解析】【解答】A.右边不是积的形式，故A错误；B.右边不是积的形式，故B错误；C.x2-9=（x+3）（x-3），故C正确．D.是整式的乘法，不是因式分解选C【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解9. ( 3分) 式子(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)化简的结果为（）A.21010−1B.21010+1C.22020−1D.22020+1【答案】C【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：设S= (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)，∵（2—1）S=（2—1）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)∵S= (22−1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)= (24−1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)= (21010−1)(21010+1)= 22020−1，故答案为：C.【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可.10. ( 3分)2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A.8B.6C.2D.0【答案】D【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∵ 332−1的个位数字为0，∵ 2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故答案为：D．【分析】先将2变形为（3-1），再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．二、填空题目11. ( 4分) 若m a=2，m b=3，m c=4，则m2a+b﹣c=________．【答案】 3【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方【解析】【解答】解：∵m a=2，m b=3，m c=4，∵m2a+b﹣c=（m a）2•m b÷m c=4×3÷4=3．故答案为：3．【分析】根据同底数幂的乘法与除法法则则及幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．12. ( 4分) 比较大小: 2√2________ √7. (填“>”、“<"或“=")【答案】>【考点】实数大小的比较【解析】【解答】解：(2√2)2=8，(√7)2=7，∵8>7，∴2√2>√7．故答案为：>．【分析】首先分别求出两个数的平方的大小；然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出两个数的大小关系即可．13. ( 4分) 若x＋y＝1，xy＝－7，则x2y＋xy2＝________．【答案】-7【考点】提公因式法因式分解【解析】【解答】解：∵x＋y＝1，xy＝－7，∵原式＝xy(x＋y)＝－7，故答案为：－7【分析】先将多项式提取公因式xy，将多项式分解成xy(x+y)，再将已知条件中的值代入计算出即可。
《常考题》初中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》测试卷(课后培优)
一、选择题1．多项式291x 加上一个单项式后﹐使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（ ）A ．6x ±B ．-1或4814xC ．29x -D ．6x ±或1-或29x - D解析：D【分析】根据完全平方公式计算解答．【详解】解：添加的方法有4种，分别是：添加6x ，得9x 2+1+6x=（3x+1）2；添加﹣6x ，得9x 2+1﹣6x=（3x ﹣1）2；添加﹣9x 2，得9x 2+1﹣9x 2=12；添加﹣1，得9x 2+1﹣1=（3x ）2，故选：D ．【点睛】此题考查添加一个整式得到完全平方式，熟记完全平方式的特点是解题的关键． 2．如果多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，则a 的值为（ ）A ．52-B ．52C ．5D ．-5B解析：B 【分析】 把多项式的乘积展开，合并同类项，令含y 的一次项的系数为0，可求出a 的值．【详解】()2y a +()5y -=5y-y 2+10a-2ay=-y 2+(5-2a)y+10a ，∵多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，∴5-2a=0，∴a=52． 故选B ．【点睛】 本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于将多项式的乘积展开，令含y 的一次项的系数为0，得到关于a 的方程．3．计算()201920180.52-⨯的值（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- D 解析：D【分析】 将原式变形为201920181-22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再利用同底数幂的乘法逆运算变为2018201811--222⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后运用乘法交换律及积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】 解：原式=201920181-22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=2018201811--222⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2018201811-2-22⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=201811-2-22⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =()20181-1-2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=1×1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=12- 故选：D ．【点睛】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算是解题的关键．4．将11n n x x +--因式分解，结果正确的是（ ）A ．()121n xx -- B ．()11n x x -- C ．()1n x x x -- D ．()()111n x x x -+- D解析：D【分析】先提公因式x n-1，再用平方差公式进行分解即可.【详解】x n+1−x n-1=x n-1(x 2-1)=x n−1(x+1)(x−1)，故选：D【点睛】此题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键. 5．化简()2003200455-+所得的值为（ ） A ．5-B ．0C ．20025D ．200345⨯ D 解析：D【分析】首先把52004化为（-5）2004，然后再提公因式（-5）2003，继而可得答案．【详解】解：()2003200455-+=（-5）2003+（-5）2004=（-5）2003（1-5）=4×52003，故选：D ．【点睛】此题主要考查了提公因式分解因式，关键是正确确定公因式．6．下列运算正确是（ ）A ．b 5÷b 3＝b 2B ．（b 5）3＝b 8C ．b 3b 4＝b 12D ．a （a ﹣2b ）＝a 2+2ab A解析：A【分析】根据幂的乘方，同底数幂乘法和除法，单项式乘多项式运算法则判断即可．【详解】A 、b 5÷b 3＝b 2，故这个选项正确；B 、（b 5）3＝b 15，故这个选项错误；C 、b 3•b 4＝b 7，故这个选项错误；D 、a （a ﹣2b ）＝a 2﹣2ab ，故这个选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法和除法，以及单项式乘多项式，重点是掌握相关的运算法则．7．当2x =时，代数式31ax bx ++的值为6，则2x =-时，31ax bx ++的值为（ ） A ．6-B ．5-C ．4D ．4- D 解析：D【分析】根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，变形得：-8a-2b=-5，再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可．【详解】解：当x=2时，代数式ax 3+bx+1的值为6，则8a+2b+1=6，即8a+2b=5，∴-8a-2b=-5，则当x=-2时，ax 3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4，故选：D ．【点睛】本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．8．已知1x =，1y =，则代数式222x xy y ++的值为（ ）． A ．20B ．10 C．D．解析：A【分析】利用完全平方公式计算即可得到答案．【详解】∵1x =，1y =，∴x+y=∴222x xy y ++=2()x y +=2=20，故选：A ．【点睛】此题考查完全平方公式，熟记完全平方公式并运用解决问题是解题的关键．9．计算()()202020213232 -⨯的结果是( ) A ．32- B ．23- C ．23 D ．32D 解析：D【分析】利用积的乘方的逆运算解答．【详解】()()202020213232 -⨯ =20202020233322⎛⎫⎛⎫-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2020233322⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭=32． 故选：D ．【点睛】此题考查积的乘方的逆运算，掌握积的乘方的计算公式是解题的关键．10．下列各式运算正确的是（ ）A ．235a a a +=B ．1025a a a ÷=C ．()32626b b =D ．2421a a a -⋅= D 解析：D【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A 、a 2与3a 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、1028a a a ÷=，故本选项错误；C 、()32628b b =，故本选项错误； D 、24221a a a a --⋅==，正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．二、填空题11．如图是一个简单的数值运算程序，当输入n 的值为3时，则输出的结果为______．870【分析】将n ＝3代入数值运算程序计算判断结果与30大小小于或等于30再代入计算大于30输出即可得到输出结果【详解】解：当n ＝3时根据数值运算程序得：32−3＝9−3＝6＜30当n ＝6时根据数值解析：870【分析】将n ＝3代入数值运算程序计算，判断结果与30大小，小于或等于30再代入计算，大于30输出，即可得到输出结果．【详解】解：当n ＝3时，根据数值运算程序得：32−3＝9−3＝6＜30，当n ＝6时，根据数值运算程序得：62−6＝36−6＝30，当n ＝30时，根据数值运算程序得：302−30＝900−30＝870＞30，则输出结果为870．故答案为：870【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．若x 、y 为有理数，且22(2)0x y ++-=，则2021()xy的值为____．﹣1【分析】根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出x=-2y=2代入求值即可【详解】∵且∴x+2=0y-2=0∴x=-2y=2∴=-1故答案为：-1【点睛】此题考查代数式的求值计算正确掌握绝对值的非解析：﹣1【分析】根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出x=-2，y=2，代入求值即可．【详解】 ∵22(2)0x y ++-=，且220,(2)0x y +≥-≥，∴x+2=0，y-2=0，∴x=-2，y=2， ∴2021()x y=-1， 故答案为：-1．【点睛】此题考查代数式的求值计算，正确掌握绝对值的非负性及偶次方的非负性求出x=-2，y=2是解题的关键．13．计算：2221111112310⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⋯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________【分析】运用平方差公式进行计算即可【详解】解：====故答案为：【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键 解析：1120【分析】运用平方差公式进行计算即可．【详解】 解：2221111112310⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⋯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1111111+1111122331010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=132491122331010⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =111210⨯ =1120． 故答案为：1120． 【点睛】 此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键．14．若23x =，25y =，则22x y +=____________．75【分析】逆用积的乘方可得再逆用幂的乘方即可求解【详解】解：故答案为：75【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用掌握积的乘方和幂的乘方是解题的关键解析：75【分析】逆用积的乘方可得22222x y x y +=⋅，再逆用幂的乘方即可求解．【详解】解：()2222222223575x y x y x y +=⋅=⋅=⨯=，故答案为：75．【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用，掌握积的乘方和幂的乘方是解题的关键． 15．已知25m =，2245m n +=，则2n =_______．【分析】将变形整体代入即可求解【详解】解：∵=∴故答案为：【点睛】本题主要考察了同底数幂的乘法幂的乘方解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法幂的乘方的逆运算解析：95． 【分析】 将2245m n +=变形()222=22222m n n n m m+⋅=⋅，整体代入即可求解． 【详解】解：∵()222=22222m n n n m m+⋅=⋅=25245n ⋅= ∴9245255n =÷=． 故答案为：95． 【点睛】 本题主要考察了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方的逆运算．16．若21202x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则20202021x y 的值为_________．【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出x 和y 的值再由幂的运算法则进行计算【详解】解：∵且∴即∴故答案是：【点睛】本题考查幂的运算解题的关键是掌握幂的运算法则 解析：12 【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出x 和y 的值，再由幂的运算法则进行计算．【详解】解：∵20x +≥，2102y ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，且21202x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， ∴20x +=，102y -=，即2x =-，12y =， ∴()202120202020202020211111222222x y ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案是：12． 【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．17．若2249x mxy y -+是一个完全平方式，则m =______【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值【详解】∵是一个完全平方式∴故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式的简单应用明确完全平方公式的基本形式是解题的关键解析：12±【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．【详解】∵2249x mxy y -+是一个完全平方式，∴22312m =±⨯⨯=±．故答案为：12±．【点睛】本题考查了完全平方公式的简单应用，明确完全平方公式的基本形式是解题的关键． 18．已知香蕉，苹果，梨的价格分别为a ，b ，c （单位：元/千克）、用20元正好可以买三种水果各1千克：买1千克香蕉，2千克苹果，3千克梨正好花去42元，若买b 千克香需w 元，则w =___________．（结果用含c 的代数式表示）【分析】根据题意得：通过计算得到b 和c 的关系式；再将b 和c 的关系式代入到得a 和c 的关系式经计算即可得到答案【详解】根据题意得：∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了三元一次方程组整式运算的知识；解题的解析：222644c c -+-【分析】根据题意得：20a b c ++=，2342a b c ++=，通过计算得到b 和c 的关系式；再将b 和c 的关系式代入到20a b c ++=，得a 和c 的关系式，经计算即可得到答案．【详解】根据题意得：20a b c ++=，2342a b c ++=∴204223a b c b c =--=--∴222b c =-∴20202222a b c c c c =--=-+-=-∴()()2222222644w a b c c c c =⨯=--=-+- 故答案为：222644c c -+-．【点睛】本题考查了三元一次方程组、整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握三元一次方程组、整式乘法运算的性质，从而完成求解．19．分解因式：2221218ax axy ay -+=_________．【分析】先提取公因式再利用完全平方公式继续分解即可【详解】故答案为：2a(x-3y)2【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解一个多项式有公因式首先提取公因式然后再用其他方法进行因式分解同解析：22(3)a x y -【分析】先提取公因式2a ，再利用完全平方公式继续分解即可．【详解】222ax 12axy 18ay -+222(6)9a x xy y =-+22(3)a x y =-，故答案为：2a(x-3y)2．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 20．若9m ＝4，27n ＝2，则32m ﹣3n ＝__．2【分析】根据指数的运算把32m ﹣3n 改写成同底数幂除法再用幂的乘方的逆运算即可【详解】解：32m ﹣3n ＝32m÷33n ＝＝9m÷27n ＝4÷2＝2；故答案为：2【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂 解析：2【分析】根据指数的运算，把32m ﹣3n 改写成同底数幂除法，再用幂的乘方的逆运算即可．【详解】解：32m ﹣3n ，＝32m ÷33n ，＝23(3)(3)m n＝9m ÷27n ，＝4÷2，＝2；故答案为：2.【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法的逆运算，根据指数的运算特点，把原式改写成对应的幂的运算是解题关键． 三、解答题21．计算（1）（65x 2y －4xy 2）•13xy （2）[（x ＋3y ）•（x －3y ）－（x －y ）2]÷（－2y ） 解析：（1）25x 3y 2－43x 2y 3；（2）5y －x 【分析】（1）按照多项式乘单项式的计算法则进行计算求解；（2）整式的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．【详解】解：（1）（65x 2y －4xy 2）•13xy ＝25x 3y 2－43x 2y 3 （2）[（x ＋3y ）•（x －3y ）－（x －y ）2]÷（－2y ）＝[x 2－9y 2－（x 2－2xy ＋y 2）］÷（－2y ）＝（x 2－9y 2－x 2+2xy-y 2）÷（－2y ）＝（－10y 2＋2xy ）÷（－2y ）＝5y －x【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．22．如图1，将一个长为4a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a ，b 的式子表示）（2）若2a+b=7，且ab=6，求图2中的空白正方形的面积；（3）观察图2，用等式表示出（2a-b ）2，ab 和（2a+b ）2的数量关系．解析：（1）2a-b ；（2）1；（3）22(2)(2)8a b a b ab +=-+【分析】（1）观察由已知图形，求出小长方形的长为2 a ，宽为b ，那么图2中的空白部分的正方形的边长是小长方形的长—小长方形的宽；（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和．图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积 - 四个小长方形的面积；（3）通过观察图形知：（2 a +b ）2 ,（2 a -b ）2 , 8 a b ．分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积，据此即可解答．【详解】解：()1长为4a ，宽为2b 的长方形分成四个小长方形，则小长方形的长为422a a ÷=，宽为22b b ÷=，图2的空白部分的边长=小长方形的长 - 小长方形的宽，即图2的空白部分的边长是2a b -；()2由图2可知，S 空白小正方形=()()222=28a b a b ab -+-， 27a b +=，且6ab =，∴S 空白小正方形=()()222=28a b a b ab -+-=()2786=1-⨯； ()3由图2可以看出，大正方形面积=空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积， 即：22(2)(2)8a b a b ab +=-+．【点睛】此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式求值的理解与掌握．关键是通过观察图形找出各图形之间的关系．23．如图，将一张长方形铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为acm 的大正方形，两块是边长都为bcm 的小正方形，五块是长、宽分别是acm bcm 、的全等小长方形，且a b >．（1）用含a b 、的代数式表示切痕的总长为_ cm ；（2）若每块小长方形的面积为212cm ，四块正方形的面积和为280cm ，试求+a b 的值． 解析：（1）()66a b +；（2）8【分析】（1）根据切痕长有两横两纵列出算式，再根据合并同类项法则整理即可；（2）根据小矩形的面积和正方形的面积列出算式，再利用完全平方公式整理求出a+b 的值，即可得到结论．【详解】解：（1）切痕总长=2[（b+2a ）+（2b+a ）]，=6a+6b ；故答案为：()66a b +；（2）依题意得，222280,12a b ab +==，2240,a b ∴+=()2222,a b a ab b +=++()24021264a b ∴+=+⨯=， 0,a b +>8a b +=．【点睛】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形周长和面积展开分析．24．化简求值：()()()2262x y x y y y x x ⎡⎤⎣++⎦--÷，其中2,3x y ==-． 解析：2x-3y ，13【分析】先根据整式的运算法则进行化简，然后将a 与b 的值代入原式即可求出答案．【详解】解：原式()222462x y y xy x =-+-÷()2462x xy x =-÷ 23x y =-当2,3x y ==-时，原式()2233=⨯-⨯-4913=+=．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键． 25．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算： 281156415497-⨯=-==2241731576527497-⨯=-==不难发现，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）答案不唯一，如选择6，13，20这三个数，按照已知等式方法计算即可； （2）设中间那个数为n 2(7)(7)n n n --+，根据平方差公式及合并同类项法则计算即可．【详解】解：(1)答案不唯一，如：在图中框出如图，213620169120497-⨯=-=；(2)证明：设中间那个数为n ，则：2(7)(7)497n n n --+==∴2(7)(7)7n n n --+．．【点睛】此题考查数字计算规律探究，掌握有理数混合运算法则，整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题的关键．26．已知多项式35ax bx +-，当2x =-时，该多项式的值是7，则当2x =时，该多项式的值是多少？解析：-17【分析】首先把x=-2代入多项式35ax bx +-，整理成关于a 、b 的等式，再把x=2代入，观察两个式子的联系，进一步求得数值即可．【详解】解：x ＝-2时， 35ax bx +-=7，即-8a -2b -5=7，所以8a+2b =-12，当x=2时，35ax bx +-=8a+2b -5=-12-5=-17，所以该多项式的值是-17.【点睛】本题考查了代数式求值，注意代入数值的特点，发现前后式子的联系，整体代入解决问题. 27．计算：（1）2(1)(1)(2)x x x +--+ （2）(34)(34)x y x y -++- 解析：（1）3x +；（2）229816-+-x y y ．【分析】（1）先分别利用完全平方公式和多项式乘多项式运算法则计算，再去括号、合并同类项即可得到结果；（2）原式变形后，运用平方差公式和完全平方公式计算即可求出结果．【详解】计算：⑴ 原式2221(2)x x x x =++-+- 22212x x x x =++--+3x =+，（2）原式[3(4)][3(4)]x y x y =--+-229(4)x y =--229816=-+-x y y ．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，掌握运算法则及灵活运用乘法公式是解题的关键． 28．化简：（1）()34322223x y x y z x y -÷；（2）2(4)3(1)(3)x x x x -+-+．解析：（1）223xy xz -；（2）2529x x --【分析】（1）按照多项式除以单项式的法则计算即可；（2）先按整式乘法法则去括号，再合并同类项即可．【详解】解：（1）原式3422322223x y x y x y z x y =÷-÷ 223xy xz =-．（2）原式()2228323x x x x =-++- 2228369x x x x =-++-2529x x =--．【点睛】本题考查了整式的混合运算，准确掌握并运用法则是解题关键．。
九年级数学培优题含详细答案
九年级培优竞赛1．在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．(1)求点C 的坐标；(2)若抛物线y ＝－14x 2＋ax ＋4经过点C ． ①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P(点C 除外)使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】C 的坐标为（3，﹣1）；（2）①抛物线的解析式为y=﹣12x 2+12x+2； ②存在点P ，△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，符合条件的点有P 1（﹣1，1），P 2（﹣2，﹣1）两点．【解析】试题分析：（1）过点C 作CD 垂直于x 轴，由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ，根据旋转的旋转得到AB=AC ，且∠BAC 为直角，可得∠OAB 与∠CAD 互余，由∠AOB 为直角，可得∠OAB 与∠ABO 互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA 可证明三角形ACD 与三角形AOB 全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB ，CD=OA ，由A 和B 的坐标及位置特点求出OA 及OB 的长，可得出OD 及CD 的长，根据C 在第四象限得出C 的坐标；（2）①由已知的抛物线经过点C ，把第一问求出C 的坐标代入抛物线解析式，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，确定出抛物线的解析式；②假设存在点P 使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i ）A 为直角顶点，过A 作AP 1垂直于AB ，且AP 1=AB ，过P 1作P 1M 垂直于x 轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP 1，利用AAS 可证明三角形AP 1M 与三角形ACD 全等，得出AP 1与P 1M 的长，再由P 1为第二象限的点，得出此时P 1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii ）当B 为直角顶点，过B 作BP 2垂直于BA ，且BP 2=BA ，过P 2作P 2N 垂直于y 轴，如图所示，同理证明三角形BP 2N 与三角形AOB 全等，得出P 2N 与BN 的长，由P 2为第三象限的点，写出P 2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii ）当B 为直角顶点，过B 作BP 3垂直于BA ，且BP 3=BA ，如图所示，过P 3作P 3H 垂直于y 轴，同理可证明三角形P 3BH 全等于三角形AOB ，可得出P 3H 与BH 的长，由P 3为第四象限的点，写出P 3的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P 的坐标． 试题解析：（1）过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2），∴OA=CD=1，OB=AD=2，∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，∴C的坐标为（3，﹣1）；（2）①∵抛物线y=﹣12x2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1），∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣92+3a+2，解得：a=12，则抛物线的解析式为y=﹣12x2+12x+2；②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，则延长CA至点P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图所示，∵AP1=CA，∠MAP1=∠CAD，∠P1MA=∠CDA=90°，∴△AMP1≌△ADC，∴AM=AD=2，P1M=CD=1，∴P1（﹣1，1），经检验点P1在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP2⊥BA，且使得BP2=AB，得到等腰直角三角形ABP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图，同理可证△BP2N≌△ABO，∴NP2=OB=2，BN=OA=1，∴P2（﹣2，﹣1），经检验P2（﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP3⊥BA，且使得BP3=AB，得到等腰直角三角形ABP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图，同理可证△BP3H≌△BAO，∴HP3=OB=2，BH=OA=1，∴P3（2，﹣3），经检验P3（2，﹣3）不在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；则符合条件的点有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）两点．考点：1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形．2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点P为BC边上一点，把△PBD 沿PD翻拆，点B落在点E处，设PE交AC于F，连接CD(1)求证：△PCF的周长=2CD；(2)设DE交AC于G，若53PEEF=，CD=6，求FG的长【答案】（1）证明见解析；（2）FG的长为152 14．【解析】试题分析：.(1)连接CE，根据三角形的角边关系可以得到∠FCE=∠FEC，从而FC=FE，△PCF的周长＝2CD；(2) 由.(1)结论CP+PF+CF=2CD，和PF5EF3=，CD=6，求出CF=EF=322，作GK⊥EF于点K，易得FG的长为152 14．试题解析：.(1)连接CE，∵CA=CB,D 为AB 中点，∴∠BCD=∠ACD=45°，由翻折可知∠B=∠DEP=45°，∴∠DCF=∠DEF=45°，CD=BD=DE ，∴∠DCE=∠DEC ，∴∠DCE-∠DCA=∠DEC-∠DEF ，即∠FCE=∠FEC ，∴FC=FE ，∴CF+PF=PE=BP ，∴，∴△PCF；(2)∴设PF=5x,EF=CF=3x ，在Rt △FCP 中,PF 2=CP 2+CF 2，∴CP=4x ，∵，∴作GK ⊥EF 于点K ，∵tan ∠GFE=tan ∠ 设GK=4a,FK=3a,EK=4a ， G F D AB PC KFDAB PC∴EF=7a=322， a=3214， FG=5a=15214， ∴FG 的长为15214． 考点：三角形综合．3．如图，抛物线y=－x 2+4x+5交x 轴于A 、B （以A 左B 右)两点，交y 轴于点C.(1)求直线BC 的解析式；(2)点P 为抛物线第一象限函数图象上一点，设P 点的横坐标为m ，△PBC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；(3)在(2)的条件下，连接AP ，抛物线上是否存在这样的点P ，使得线段PA 被BC 平分，如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P 的坐标.【答案】(1) y=5x -+ (2) S=252522m m -+ (3)存在，P(2,9)或P(3,8) 【解析】试题分析：（1）令y=0，解关于x 的一元二次方程即可得到点A 、B 的坐标，再令x=0求出点C 的坐标，设直线BC 解析式为y=kx+b （k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）过点P 作PH ⊥x 轴于H ，交BC 于F ，根据抛物线和直线BC 的解析式表示出PF ，再根据S △PBC =S △PCF +S △PBF 整理即可得解；（3）设AP 、BC 的交点为E ，过点E 作EG ⊥x 轴于G ，根据垂直于同一直线的两直线平行可得EG ∥PH ，然后判断出△AGE 和△AHP 相似，根据相似三角形对应边成比例可表示出EG 、HG ，然后表示出BG ，根据OB=OC 可得∠OCB=∠OBC=45°，再根据等角对等边可得EG=BG ，然后列出方程求出m 的值，再根据抛物线解析式求出点P 的纵坐标，即可得解．试题解析：（1）当y=0时，x 1=5，x 2=－1，∵A 左B 右，∴A(-1，0),B(5，O)当x=0时，y=5，∴C （0,5），设直线BC 解析式为y=kx+b,∴5005k b k b +=⎧⎨⨯+=⎩ ∴15k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 解析式为:y=5x -+；(2)作PH ⊥x 轴于H ，交BC 于点F ，P(m ，-m 2+4m+5)，F(m,-m+5)PF=-m 2+5m ，S △PBC =S △PCF +S △PBF(3)存在点P ，作EG ⊥AB 于G,PH ⊥AB 于H ，∴EG ∥PH ，∴△AGE ∽△AHP ，∵P(m ，-m +4m+5)，AH=m-(-1)=m+1，HB=5-m ，GB=152mm ++-，∵OC=OB=5，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴EG=BG，∴2452m m-++=152mm++-，∴m1=2m2=3，当m=2时，P(2,9)，当m=3时，P(3,8)，∴存在这样的点P, 使得线段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8)．考点：二次函数综合题．4．如图：在等腰△ABC中,AB=AC，AD上BC，垂足为D，以AD为直径作⊙0，⊙0分别交AB、AC于E、F.(1)求证：BE=CF；(2)设AD、EF相交于G，若EF=8，BC=10,求⊙0的半径．【答案】(1)证明见解析；（2）⊙O的半径为5．【解析】试题分析：（1）连接DE，DF，由AB=AC，且AD为BC边上的高，利用三线合一得到D为BC的中点，AD为顶角平分线，再由AD为圆O的直径，利用直角所对的角为直角得到一对直角相等，利用AAS得到三角形EBD与三角形FCD全等，由全等三角形的对应边相等得到BE=CF，得证；（2）由EB=CF，AB=AC，得出AE=AF，确定出AE：AB=AF：AC，且夹角相等，得到三角形AEF与三角形ABC相似，由相似三角形的对应边成比例得到AG：AD=8：10，设AG=8x，AD=10x，连接OE，在直角三角形OEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出圆O的半径．试题解析：(1)连接DE、DF，∵AB=AC,AD⊥BC，∴∠B＝∠C,BD=CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA=∠DFA=90°，∴△DBE≌△DCF，∴BE=CF；(2)∵BE=CF，∴AE=AF，AE AFAB AC=且∠BAC=∠BAC，∴△AEF∽△ABC，∴设AG=8x,AD=10x，连接EO，在Rt△OEG中，∴OE2=OG2+EG2，∴(5x)2=(3x)2+42，x=1，∴5x=5，∴⊙O的半径为5．考点：1.相似三角形的判定与性质，2.全等三角形的判定与性质，3.勾股定理，4.圆周角定理．5．正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】思路分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（-4，0），点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P ，D ，B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于点F ，连结EF ，BF ．90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x+4 （2）①见解析x （3）存在，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）【解析】解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=-1，则直线AB的函数解析式为y=-x+4；（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BDO≌△COD，∴∠BDO=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，②如图，连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DPE=45°，∴∠DFE=∠DPE=45°，第11页，总68页∵DF 是⊙Q 的直径， ∴∠DEF=90°，∴△DEF 是等腰直角三角形， ∴DE ，即x ； （3）当BD ：BF=2：1时，如图，过点F 作FH ⊥OB 于点H ，∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°， ∴∠DBO=∠BFH ，又∵∠DOB=∠BHF=90°， ∴△BOD ∽△FHB ， ∴=2， ∴FH=2，OD=2BH ，∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°， ∴四边形OEFH 是矩形， ∴OE=FH=2， ∴EF=OH=4-OD ， ∵DE=EF ， ∴2+OD=4-OD ， 解得：OD=，∴点D 的坐标为（0，）， ∴直线CD 的解析式为y=x+， 由，得：， 则点P 的坐标为（2，2）； 当时， 连结EB ，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP ，OB OD BDHF HB FB==12124343134314334y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩22x y =⎧⎨=⎩12BD BF =试卷第12页，总68页而∠ADB=∠DEB+∠DBE ，∠EDP=∠DAP+∠DPA ， ∵∠DEP=∠DPA ，∴∠DBE=∠DAP=45°，∴△DEF 是等腰直角三角形， 如图，过点F 作FG ⊥OB 于点G ，同理可得：△BOD ∽△FGB ， ∴， ∴FG=8，OD=BG ， ∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°， ∴四边形OEFG 是矩形， ∴OE=FG=8， ∴EF=OG=4+2OD ， ∵DE=EF ，∴8-OD=4+2OD ， OD=， ∴点D 的坐标为（0，-）， 直线CD 的解析式为：， 由，得：， ∴点P 的坐标为（8，-4），综上所述，点P 的坐标为（2，2）或（8，-4）．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ．点D 、E 、F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，连接DE ，DF ，动点P ，Q 分别从点A 、B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，点P 沿AFD 的方向运动到点D 停止；点Q 沿BC 的方向运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．在运动过程中，过点Q 作BC 的垂线交AB 于点M ，以点P ，M ，Q 为顶点作12OB OD BD GF GB FB ===1243431433y x =--14334y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩84x y =⎧⎨=-⎩第13页，总68页平行四边形PMQN ．设平行四边形边形PMQN 与矩形FDEC 重叠部分的面积为y （cm 2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P 运动的时间为x （s ）（1）当点P 运动到点F 时，CQ= cm ；（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度；（3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式． 【答案】（1）5 （2）（cm ） （3）当3≤x＜4时，y=-x 2+x 当4≤x＜时，y=-6x+33 当≤x≤7时，y=6x-33 【解析】 解：（1）当点P 运动到点F 时， ∵F 为AC 的中点，AC=6cm ， ∴AF=FC=3cm ，∵P 和Q 的运动速度都是1cm/s ， ∴BQ=AF=3cm ，∴CQ=8cm-3cm=5cm ， 故答案为：5．（2）设在点P 从点F 运动到点D 的过程中，点P 落在MQ 上，如图1，则t+t-3=8， t=， 11234214112112112试卷第14页，总68页BQ 的长度为×1=（cm ）； （3）∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点， ∴DE=AC=×6=3， DF=BC=×8=4， ∵MQ ⊥BC ，∴∠BQM=∠C=90°， ∵∠QBM=∠CBA ， ∴△MBQ ∽△ABC ， ∴， ∴， MQ=x ， 分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，y=PN•PD =x （7-x ） 即y=-x 2+x ； ②当4≤x＜时，重叠部分为矩形，如图3， 11211212121212BQ MQBC AC =86x MQ =343434214112第15页，总68页y=3[（8-X ）-（X-3））] 即y=-6x+33； ③当≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，y=3[（x-3）-（8-x ）] 即y=6x-33．8．已知：如图①，在平行四边形ABCD 中，AB=12，BC=6，AD ⊥BD ．以AD 为斜边在平行四边形ABCD 的内部作Rt △AED ，∠EAD=30°，∠AED=90°．（1）求△AED 的周长；（2）若△AED 以每秒2个单位长度的速度沿DC 向右平行移动，得到△A 0E 0D 0，当A 0D 0与BC 重合时停止移动，设运动时间为t 秒，△A 0E 0D 0与△BDC 重叠的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）如图②，在（2）中，当△AED 停止移动后得到△BEC ，将△BEC 绕点C 按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B 的对应点为B 1，E 的对应点为E 1，设直线B 1E 1与直线BE 交于点P 、与直线CB 交于点Q ．是否存在这样的α，使△BPQ 为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）S 与t 之间的函数关系式为：112试卷第16页，总68页S= （3）存在，α=75°【解析】 解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC=6．在Rt △ADE 中，AD=6，∠EAD=30°，∴AE=AD•cos30°=3，DE=AD•sin30°=3， ∴△AED 的周长为：6+3+3=9+3．（2）在△AED 向右平移的过程中：（I ）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D 0NK ．∵DD 0=2t ，∴ND 0=DD 0•sin30°=t，NK=ND 0•tan30°=t ，∴S=S △D0NK =ND 0•NK=t•t=t 2；（II ）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D 0E 0KN ．∵AA 0=2t ，∴A 0B=AB-AA 0=12-2t ， ∴A 0N=A 0B=6-t ，NK=A 06-t ）．∴S=S 四边形D0E0KN =S △ADE -S △A0NK =×（6-t ）×（6-t ）=-t 2；（III ）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D 0IJKN ．222(0 1.5) 4.5)--6)6t S t t ≤≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩333312123321231231233363332第17页，总68页∵AA 0=2t ，∴A 0B=AB-AA 0=12-2t=D 0C ， ∴A 0N=A 0B=6-t ，D 0N=6-（6-t ）=t ，BN=A 0B•cos30°=（6-t ）； 易知CI=BJ=A 0B=D 0C=12-2t ，∴BI=BC-CI=2t-6， S=S 梯形BND0I -S △BKJ =[t+（2t-6）]• （6-t ）-•（12-2t ）•（12-2t ）=-t 2+20t-42．综上所述，S 与t 之间的函数关系式为：S=． （3）存在α，使△BPQ 为等腰三角形．理由如下：经探究，得△BPQ ∽△B 1QC ，故当△BPQ 为等腰三角形时，△B 1QC 也为等腰三角形． （I ）当QB=QP 时（如答图4），则QB 1=QC ，∴∠B 1CQ=∠B 1=30°， 即∠BCB 1=30°， ∴α=30°；（II ）当BQ=BP 时，则B 1Q=B 1C ，若点Q 在线段B 1E 1的延长线上时（如答图5），∵∠B 1=30°，∴∠B 1CQ=∠B 1QC=75°，12312312331336332223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t t S t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩试卷第18页，总68页即∠BCB 1=75°， ∴α=75°．9．如图1，已知直线y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴交于另一个点C ，对称轴与直线AB 交于点E ，抛物线顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3，求点F 的坐标；（3）点P 从点D 出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t 值．【答案】（1）y=-x 2-2x+3；（2）（3212--，3212--） （3）当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形 【解析】 试题分析：（1）先由直线AB 的解析式为y=x+3，求出它与x 轴的交点A 、与y 轴的交点B 的坐标，再将A 、B 两点的坐标代入y=-x 2+bx+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设第三象限内的点F 的坐标为（m ，-m 2-2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D 的坐标，再设抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，连接FG ，根据S △AEF =S △AEG +S △AFG -S △EFG =3，列出关于m 的方程，解方程求出m 的值，进而得出点F 的坐标；（3）设P 点坐标为（-1，n ）．先由B 、C 两点坐标，运用勾股定理求出BC 2=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB 2+BC 2=PC 2，据此列出关于n 的方程，求出n 的值，再计算出PD 的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t 值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t 值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t 值．试题解析：（1）∵y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当y=0时，x=-3，即A 点坐标为（-3，0）， 当x=0时，y=3，即B 点坐标为（0，3），将A （-3，0），B （0，3）代入y=-x 2+bx+c ，得930c 3b c --+==⎧⎨⎩， 解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3； （2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），则m＜0，-m2-2m+3＜0．∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴对称轴为直线x=-1，顶点D的坐标为（-1，4），设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（-1，0），AG=2．∵直线AB的解析式为y=x+3，∴当x=-1时，y=-1+3=2，∴E点坐标为（-1，2）．∵S△AEF=S △AEG+S△AFG-S△EFG=12×2×2+12×2×（m2+2m-3）-12×2×（-1-m）=m2+3m，∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，解得：1321 2m--=，23212m-+=（舍去），当3212m--=时，-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=3212--，∴点F的坐标为（3212--，3212--）；（3）设P点坐标为（-1，n）．∵B（0，3），C（1，0），∴BC2=12+32=10．分三种情况：①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，第19页，总68页化简整理得6n=16，解得n=83，∴P点坐标为（-1，83），∵顶点D的坐标为（-1，4），∴PD=4-83=43，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t1=43；②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2，即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，化简整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，∴P点坐标为（-1，2）或（-1，1），∵顶点D的坐标为（-1，4），∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t2=2，t3=3；③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2，即10+（1+1）2+（n-0）2=（0+1）2+（n-3）2，化简整理得6n=-4，解得n=-23，∴P点坐标为（-1，-23），试卷第20页，总68页第21页，总68页 ∵顶点D 的坐标为（-1，4）， ∴PD=4+23=143， ∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴t 4=143； 综上可知，当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形．考点: 二次函数综合题.10．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点P 是边BC 上的任意一点，E 是BC 延长线上一点，联结AP ，作PF AP ⊥交DCE ∠的平分线CF 上一点F ，联结AF 交边CD 于点G ．（1）求证：AP PF =；（2）设点P 到点B 的距离为x ，线段DG 的长为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当点P 是线段BC 延长线上一动点，那么（2）式中y 与x 的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．【答案】（1）证明见解析；（2）()42022x y x x -=≤≤+；（3）改变，()24>22x y x x -=+. 【解析】试题分析：（1）欲证AP PF =利用原图无法证明，需构建三角形且使之全等，因此在边AB 上截取线段AH ，使AH PC =，连接PH ，证明AHP ∆与PCF ∆全等即可．（2）由APM ∆∽GAN ∆列式化简即可得.（3）在AD 延长线上取点N ，令ND DG =，∴NDG ∆是等腰直角三角形.∴22,2NG DG y AN y ===+ .同理，2,2PM x AM x ==- ，∵45,45APM PAM NAG PMA ANG ∠=︒+∠=∠∠=∠=︒ ，∴APM ∆∽GAN ∆.∴AM NG PM AN =，即2222x y yx -=+. 整理，得()24>22x y x x -=+.试卷第22页，总68页 试题解析：（1）在边AB 上截取线段AH ，使AH PC =，连接PH ，由正方形ABCD ，得90B BCD D AB BC AD ∠=∠=∠=︒==，，∵90APF ∠=︒，∴APF B ∠=∠.∵APC B BAP APF FPC ∠=∠+∠=∠+∠，∴PAH FPC ∠=∠.又∵90BCD DCE ∠=∠=︒，CF 平分DCE ∠，∴45FCE ∠=︒.∴135PCF ∠=︒. 又∵AB BC AH PC ==，，∴BH BP =，即得45BPH BHP ∠=∠=︒.∴135AHP ∠=︒，即得AHP PCF ∠=∠.在AHP ∆和PCF ∆中，PAH FPC AH PC AHP PCF ∠=∠=∠=∠，，，∴AHP ∆≌PCF ∆，∴AP PF =．（2）在AD 上取点N ，令ND DG =，∴NDG ∆是等腰直角三角形.∴22,2NG DG y AN y ===- .同理，2,2PM x AM x ==- ，∵45,135APM PAM NAG PMA ANG ∠=︒-∠=∠∠=∠=︒ ，∴APM ∆∽GAN ∆.∴AM NG PM AN =，即2222x y y x-=-. 整理，得()42022x y x x -=≤≤+. （3）改变，()24>22x y x x -=+. 考点：1.正方形的性质；2. 等腰直角三角形的判定和性质；3.全等三角形的判定与性质；4.由实际问题列函数关系式.11．如图，已知直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于A 、C 两点，抛物线y=-2x 2+bx+c(a ≠0)经过点A 、C.（1）求抛物线的解析式;（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;（3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形? 若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=-2x2+2x+4；（2）Q（0，4）或（1，4）-4）或-4）；（3）存在，点F坐标为（0M，点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．【解析】试题分析：1）根据直线y=-2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出PD、CD，然后根据S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，列式求出△APC的面积，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ 的点Q的纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y=-2x+4上，设点M的坐标为（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．试题解析：（1）令x=0，则y=4，令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，所以，点A（2，0），C（0，4），∵抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C，∴24204b cc-⨯++=⎧⎨⎩＝，解得24bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4；（2）∵y=-2x2+2x+4=-2（2第23页，总68页∴点P的坐标为（12，92），如图，过点P作PD⊥y轴于D，又∵C（0，4），∴PD=12，CD=91422-=，∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，=12×（12+2）×92-12×2×4-12×12×12=4514 88--=32，令y=0，则-2x2+2x+4=0，解得x1=-1，x2=2，∴点B的坐标为（-1，0），∴AB=2-（-1）=3，设△ABQ的边AB上的高为h，∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，∴12×3h=4×32，解得h=4，∵4＜92，∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，即点Q的纵坐标为4或-4，当点Q的纵坐标为4时，-2x2+2x+4=4，解得x1=0，x2=1，此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），当点Q的纵坐标为-4时，-2x2+2x+4=-4，解得x1=1172+，x2=1172-，试卷第24页，总68页此时点Q的坐标为（1172+，-4）或（1172-，-4）综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（1172+，-4）或（1172-，-4）；（3）存在．理由如下：如图，∵点M在直线y=-2x+4上，∴设点M的坐标为（a，-2a+4），①∠EMF=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|=|-2a+4|，即a=-2a+4或a=-（-2a+4），解得a=43或a=4，∴点F坐标为（0，43）时，点M的坐标为（43，43），点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；②∠MFE=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|=12|-2a+4|，即a=12（-2a+4），解得a=1，-2a+4=2×1=2，此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），或a=12-（-2a+4），此时无解，综上所述，点F坐标为（0，43）时，点M的坐标为（43，43），点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．考点: 二次函数综合题.12．已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．点M从A开始，以每秒1个第25页，总68页试卷第26页，总68页单位的速度向点B 运动；点N 从点C 出发，沿C →D →A 方向，以每秒1个单位的速度向点A 运动，若M 、N 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动时间为t 秒，过点N 作NQ ⊥CD 交AC 于点Q ． （1）设△AMQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．（2）在梯形ABCD 的对称轴上是否存在点P ，使△PAD 为直角三角形？若存在，求点P 到AB 的距离；若不存在，说明理由．（3）在点M 、N 运动过程中，是否存在t 值，使△AMQ 为等腰三角形？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由．【答案】（1）233=-62S t t +（0＜t ≤2），233=-123S t t +（2≤t ＜4）；（2）233；（3）t=65，12-63，2. 【解析】试题分析：（1）求出t 的临界点t=2，分别求出当0＜t ≤2时和2≤t ＜4时，S 与t 的函数关系式即可，（2）作梯形对称轴交CD 于K ，交AB 于L ，分3种情况进行讨论，①取AD 的中点G ，②以D 为直角顶点，③以A 为直角顶点，（3）当0＜t ≤2时，若△AMQ 为等腰三角形，则MA=MQ 或者AQ=AM ，分别求出t 的值，然后判断t 是否符合题意．试题解析：（1）当0＜t ≤2时，如图：过点Q 作QF ⊥AB 于F ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，∵AB ∥CD ，∴QF ⊥CD ，∵NQ ⊥CD ，∴N ，Q ，F 共线，∴△CQN ∽△AFQ ，∴ CN NQ AF QF=， ∵CN=t ，AF=AE-CN=3-t ，∵NF=3，∴QF=33t 3-，第27页，总68页 13(323t - 23362t + 当2≤t ＜4时，如图：△FQC ∽△PQA ，∵DN=t-2，∴FD=DN •cos ∠FDN=DN •t-2）， ∴t-2） ∴FQ=FC •tan ∠FCQ=FC •tan30°=t+2）， ∴ 13[326t -23=-123t + （2）作梯形对称轴交CD 于K ，交AB 于L ，情况一：取AD 的中点G ，GD=1，过G 作GH ⊥对称轴于H ，GH=1.5，∵1.5＞1，∴以P 为直角顶点的Rt △PAD 不存在，情况二：以D 为直角顶点：KP1 ∴P 1情况三：以A 为直角顶点，LP 2综上：P 到AB PAD 为Rt △， （3）0＜t ≤2时， 若MA=MQ ，∴试卷第28页，总68页若AQ=AM ，则t=23233t -， 解得t=12-63， 若QA=QM ，则∠QMA=30°而0＜t ≤2时，∠QMA ＞90°，∴QA=QM 不存在；2≤t ＜4（图中）若QA=QM ，AP ：AD=3：2，∴t=2，若AQ=AM ，23-33（t+2）=t ， ∴t=23-2，∵23-2＜2，∴此情况不存在若MA=MQ ，则∠AQM=30°，而∠AQM ＞60°不存在．综上：t=65，12-63，2时，△AMQ 是等腰三角形． 考点: 1.等腰梯形的性质；2.等腰三角形的判定；3.直角三角形的性质. 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，3-）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP’C，那么是否存在点P ，使四边形POP’C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.【答案】（1）y=x 2﹣2x ﹣3；（2）存在，（2102+，32-）；（3）（32，-154），758. 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；第29页，总68页（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C 为菱形，那么P 点必在OC 的垂直平分线上，据此可求出P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P 点的坐标；（3） 由于△ABC 的面积为定值，当四边形ABPC 的面积最大时，△BPC 的面积最大；过P 作y 轴的平行线，交直线BC 于Q ，交x 轴于F ，易求得直线BC 的解析 式，可设出P 点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC 的解析式求出Q 、P 的纵坐标，即可得到PQ 的长，以PQ 为底，B 点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC 的面积，由此可得到关于四边形ACPB 的面积与P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC 的最大面积及对应的P 点坐标．试题解析：（1）将B 、C 两点的坐标代入得 9303b c c ++=-⎧⎨⎩＝解得：23b c =-⎧⎨=-⎩； 所以二次函数的表达式为：y=x 2﹣2x ﹣3.（2）存在点P ，使四边形POPC 为菱形；设P 点坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），PP′交CO 于E若四边形POP′C 是菱形，则有PC=PO ；连接PP′，则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC=32∴y=32-； ∴x 2﹣2x ﹣3=32- 解得:12102x +=，22102x -=（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为（2102+，32-） （3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，x 2﹣2x ﹣3），易得，直线BC 的解析式为y=x ﹣3则Q 点的坐标为（x ，x ﹣3）；S 四边形ABPC=S △ABC+S △BPQ+S △CPQ=12AB•OC+12QP•OF+12QP•BF 21143(3)322x x =⨯⨯+-+⨯试卷第30页，总68页 23375()228x =--+ 当32x =时，四边形ABPC 的面积最大 此时P 点坐标为（32，-154）四边形ABPC 的面积的最大值为758. 考点: 二次函数综合题.14．如图，直角坐标系中Rt △ABO ，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到Rt △A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．【答案】（1）y=-x 2+x+2；（2）P （1，2）；（4）四边形PB′A′B 为等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等.【解析】试题分析：（1）利用旋转的性质得出A ′（-1，0），B ′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S 四边形PB′A′B =S △B′OA′+S △PB′O +S △POB ，再假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍，得出一元二次方程，得出P 点坐标即可；（3）利用P 点坐标以及B 点坐标即可得出四边形PB′A′B 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．试题解析：（1）（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的， 又A （0，1），B （2，0），O （0，0），∴A′（-1，0），B′（0，2）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c （a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B ，∴0=2=c 042a b c a b c ⎧-+=++⎪⎨⎪⎩，解得：112a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x 2+x+2．（2）∵P 为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=-x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，12×1×2+1212-x2+x+2）+1=-x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：12×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=-x2+2x+3，即x2-2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=-12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．考点: 二次函数综合题．15．已知在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=-2x²+bx+c的图像经过点A（-3,0）和点B（0,6）。
数学培优网初中试卷答案
一、选择题1. 下列各数中，是负数的是（）A. -3B. 0C. 3D. -3.5答案：A2. 下列各数中，是偶数的是（）A. 2B. 3C. 5D. 7答案：A3. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a + 1 > b + 1B. a - 1 < b - 1C. a - 2 > b - 2D. a + 2 < b + 2答案：C4. 已知x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 2或3D. 4答案：C5. 在直角坐标系中，点P(-2, 3)关于y轴的对称点为（）A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (2, -3)D. (-2, 3)答案：A二、填空题6. 若a > b，且a - b = 5，则a + b的值为______。
答案：107. 下列等式中，正确的是______。
A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^2答案：A8. 在梯形ABCD中，AD // BC，且AD = 4cm，BC = 6cm，AB = 3cm，CD = 5cm，则梯形的高为______cm。
答案：29. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，且BC = 8cm，底边BC上的高为______cm。
答案：4√310. 在平行四边形ABCD中，AB = 5cm，BC = 4cm，则对角线AC的长度为______cm。
答案：9三、解答题11. 解方程：2x - 3 = 7。
解：2x - 3 = 72x = 7 + 32x = 10x = 10 / 2x = 5答案：x = 512. 计算下列表达式的值：3(2x - 4) - 5(x + 2)。
解：3(2x - 4) - 5(x + 2)= 6x - 12 - 5x - 10= 6x - 5x - 12 - 10= x - 22答案：x - 2213. 已知三角形ABC中，AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，求三角形ABC的面积。
七年级培优数学试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 如果a > b，那么下列不等式中正确的是（）A. a - b > 0B. a + b > 0C. a - b < 0D. a + b < 0答案：A2. 下列数中，是偶数的是（）A. 0.5B. 1.1C. 2.2D. 3.3答案：C3. 一个长方形的长是8cm，宽是4cm，它的周长是（）A. 16cmB. 24cmC. 32cmD. 40cm答案：B4. 下列代数式中，含有字母的是（）A. 5 + 2B. 3x + 4C. 7 - 8D. 9 × 3答案：B5. 若x + 3 = 5，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A6. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 长方形C. 平行四边形D. 梯形答案：A7. 下列数中，是质数的是（）A. 14B. 15C. 16D. 17答案：D8. 下列方程中，有唯一解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x = 6C. 4x - 2 = 10D. 5x + 5 = 20答案：B9. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，它的面积是（）A. 24cm²B. 28cm²C. 32cm²D. 36cm²答案：A10. 下列运算中，结果是正数的是（）A. (-3) × (-4)B. (-2) × (-5)C. (-1) × (-6)D. (-4) × (-7)答案：B二、填空题（每题5分，共25分）11. 若x - 2 = 5，则x = _______。
答案：712. 0.25 + 0.5 = _______。
答案：0.7513. 下列数中，是奇数的是 _______。
答案：714. 下列图形中，是圆的是 _______。
答案：圆15. 若a = 3，b = 4，则a² + b² = _______。
初中数学培优班试卷及答案
1. 下列各数中，有理数是（）。
A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $-3.14$D. $i$2. 已知 $a=5$，$b=-2$，则 $a^2 + b^2$ 的值为（）。
A. 17B. 23C. 29D. 333. 下列函数中，一次函数是（）。
A. $y=2x^2+3$B. $y=x+1$C. $y=\sqrt{x}$D. $y=3x^3+2$4. 若 $\angle A$ 是等腰三角形 $ABC$ 的顶角，则 $\angle BAC$ 的度数可能是（）。
A. $40^\circ$B. $50^\circ$C. $60^\circ$D. $70^\circ$5. 在平面直角坐标系中，点 $P(2,3)$ 关于 $y$ 轴的对称点坐标是（）。
A. $(-2,3)$B. $(2,-3)$C. $(-2,-3)$D. $(2,3)$6. 已知 $x^2 - 5x + 6 = 0$，则 $x$ 的值为（）。
A. $2$ 或 $3$B. $1$ 或 $4$C. $2$ 或 $1$D. $3$ 或 $2$7. 下列各组数中，成等差数列的是（）。
A. $1, 3, 5, 7$B. $1, 4, 9, 16$C. $2, 4, 8, 16$D. $1, 5, 10, 20$8. 若 $a$、$b$、$c$ 成等比数列，且 $a+b+c=12$，$abc=27$，则 $b$ 的值为（）。
A. $3$B. $6$C. $9$D. $12$9. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）。
A. 正方形B. 等腰三角形C. 圆D. 长方形10. 若 $\sin \theta = \frac{1}{2}$，则 $\cos \theta$ 的值为（）。
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$C. $\frac{1}{2}$D. $-\frac{1}{2}$11. 若 $x^2 - 4x + 3 = 0$，则 $x^2 - 6x + 9$ 的值为______。
初一培优数学试题及答案
初一培优数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是正数？A. -5B. 0C. 3D. -7答案：C2. 计算下列哪个表达式的结果为负数？A. 5 - 3B. 2 + (-4)C. 6 × 2D. 8 ÷ 2答案：B3. 下列哪个分数是最简分数？A. 4/8B. 3/6C. 5/10D. 7/14答案：A4. 哪个数的绝对值最大？A. 2B. -3C. 0D. 4答案：B5. 哪个数的平方最小？A. 2B. -3C. 0D. 4答案：C6. 下列哪个方程的解是x = 2？A. 2x - 4 = 0B. 3x + 6 = 0C. 4x - 8 = 0D. 5x + 10 = 0答案：A7. 哪个不等式的解集是x > 3？A. x - 3 > 0B. x + 3 > 0C. x - 3 < 0D. x + 3 < 0答案：A8. 下列哪个图形的周长最长？A. 边长为3的正方形B. 长为4，宽为2的长方形C. 直径为5的圆D. 边长为4的等边三角形答案：C9. 哪个数是无理数？A. 2B. 1/2C. πD. 0.7510. 下列哪个图形的面积最大？A. 边长为4的正方形B. 长为5，宽为3的长方形C. 半径为3的圆D. 底为4，高为5的三角形答案：C二、填空题（每题4分，共40分）11. 计算：(-3) × (-2) = ______。
答案：612. 计算：(-4) ÷ 2 = ______。
13. 计算：|-5| = ______。
答案：514. 计算：√9 = ______。
答案：315. 计算：(1/2) + (1/3) = ______。
答案：5/616. 计算：(2/3) × (3/4) = ______。
答案：1/217. 计算：(-2)² = ______。
答案：418. 计算：(-3)³ = ______。
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初中数学培优题库试题14附答案1．(柳州) 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.(1)求菱形ABCD的周长；(2)若AC＝2，求BD的长．2. (沈阳) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是______．3．(甘肃省卷)已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．4．(南京)如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形．5．(2019·原创)如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．(1)求证：CP＝AQ；(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．6．(盐城)在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．7．(2019·原创)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，(1)AB＝2，AO＝5，求BC的长；(2)∠DBC＝30°，CE＝CD，∠DCE＜90°，若OE＝22BD，求∠DCE的度数．8. (南通) 如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.(1)求证：AE＝CF；(2)若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长；(3)求线段OF长的最小值．9．(绍兴)小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ.(1)小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2，此时她证明了AE＝AF.请你证明．(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明．(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1.请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．参考答案1．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝2， ∴菱形ABCD 的周长为2×4＝8；(2)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝2，AB ＝2， ∴AC⊥BD，AO ＝1，∴BO＝AB 2－AO 2＝22－12＝3， ∴BD＝2 3.2．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°.∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED 是平行四边形， 又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED 是矩形； (2)解：4.3．(1)证明：∵点F ，H 分别是BC ，CE 的中点， ∴FH∥BE，FH ＝12BE.∴∠CFH＝∠CBG.又∵点G 是BE 的中点，∴FH＝BG. 又∵BF＝CF ，∴△BGF≌△FHC.(2)解：如解图，连接EF ，GH ，当四边形EGFH 是正方形时，可知EF⊥GH 且EF ＝GH ，∵在△BEC 中，点G ，H 分别是BE ，EC 的中点， ∴GH＝12BC ＝12AD ＝12a ，且GH∥BC，∴EF⊥BC.又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF ＝GH ＝12a ，∴S 矩形ABCD ＝AB·AD＝12a·a＝12a 2.4．证明： (1)证法1：∵OA＝OB ＝OD.∴点A 、B 、D 在以点O 为圆心，OA 长为半径的圆上．∴∠BOD＝2∠BAD. 又∠C＝2∠BAD， ∴∠BOD＝∠C.证法2：如解图1，作AO 的延长线OE. ∵OA＝OB ，∴∠ABO＝∠BAO. 又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO， ∴∠BOE＝2∠BAO. 同理∠DOE＝2∠DAO.∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)， 即∠BOD＝2∠BAD. 又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.(2)如解图2，连接OC. ∵OB＝OD ，CB ＝CD ，OC ＝OC ， ∴△OBC≌△ODC.∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠D CO. ∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝ ∠BCO＋∠DCO，∴∠BOC＝12∠BOD，∠BCO＝12∠BCD.又∠BOD＝∠BCD. ∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC.∴OB＝BC ＝CD ＝DO ， ∴四边形OBCD 是菱形．5．(1)证明： ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠FDQ ＝∠EBP＝90°，AE∥CF，AD ＝BC ， ∴∠E＝∠F，又∵BE＝DF ，∴△EBP≌△FDQ(ASA)， ∴BP＝DQ ，∴BC－BP ＝AD －DQ ， ∴CP＝AQ ；(2)解：∵∠AEF＝45°，∴∠AQE＝45°，BE ＝BP ， ∴AE＝AQ ， EP ＝2，又∵PQ＝22，∴EQ＝EP ＋PQ ＝32， ∴AE＝AQ ＝3，∴AB＝AE －BE ＝3－1＝2， 由(1)得CP ＝AQ ，∴BC ＝BP ＋CP ＝BP ＋AE ＝1＋3＝4， ∴S 矩形ABCD ＝AB·BC＝2×4＝8.6．(1)证明： 连接AC ，交BD 于点O ，如解图． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠ABE＝∠ADF＝135°，∴在△ABE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE＝∠ADF，BE ＝DF ，∴△ABE≌△ADF(SAS )．第6题解图(2)解：四边形AECF 是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA＝OC ，OB ＝OD ， 又∵BE＝DF ， ∴OB＋BE ＝OD ＋DF ， ∴OE＝OF ，∴AC 与EF 互相垂直平分，∴四边形AECF 是菱形．7．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝90°，AC ＝2AO ＝2 5.∴在Rt△ACB 中，BC ＝AC 2－AB 2＝4.(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DCB＝90°，BD ＝2OD ，AC ＝2OC ，AC ＝BD.∴OD＝OC ＝12BD. ∵∠DBC＝30°，∴在Rt△BCD 中，∠BDC＝90°－30°＝60°，CD ＝12BD. ∵CE＝CD ，∴CE＝12BD. ∵OE＝22BD ，∴在△OCE 中，OE 2＝12BD 2. 又∵OC 2＋CE 2＝14BD 2＋14BD 2＝12BD 2， ∴OC 2＋CE 2＝OE 2.∴∠OCE＝90°.∵OD＝OC ，∴∠OCD＝∠ODC＝60°.∴∠DCE＝∠OCE－∠OCD＝30°.8．(1)证明：由旋转得，∠EDF＝90°，ED ＝DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC＝90°，AD ＝CD ，∴∠ADC＝∠EDF，即∠ADE＋∠EDC＝∠EDC＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADE＝∠CDF，DE ＝DF ，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE＝CF ；(2)解：如解图1，过F 作OC 的垂线，交BC 的延长线于P ，∵O 是BC 的中点，且AB ＝BC ＝25，A ，E ，O 三点共线， ∴OB＝5，由勾股定理得：AO ＝5，∵OE＝2，∴AE＝5－2＝3，由(1)知△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF，CF ＝AE ＝3，∵∠BAD＝∠DCP，∴∠OAB＝∠PCF，∵∠ABO＝∠P＝90°，∴△ABO∽△CPF，∴AB OB ＝CP PF ＝255＝2， ∴CP＝2PF ，设PF ＝x ，则CP ＝2x ，由勾股定理得：32＝x 2＋(2x)2，x ＝355或－355(舍去)， ∴FP＝355，OP ＝5＋655＝1155， 由勾股定理得OF ＝（355）2＋（1155）2＝26， (3)解：如解图2，由于OE ＝2，因此E 点可以看作是在以O 为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA 到G 点，使得AG ＝OC ，连接GE ，∵AE＝CF ，∠GAE＝∠OCF，∴△GAE≌△OCF，∴GE＝OF ，当GE 最小时，为O 、E 、G 三点共线，OG ＝OB 2＋GB 2＝（5）2＋（35）2＝52，∴OF＝GE ＝OG －OE ＝52－2，∴OF 长的最小值是52－2.9．解：(1)在菱形ABCD 中，∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，∵∠EAF＝∠B，∴∠C＋∠EAF＝180°，∴∠AEC＋∠AFC＝180°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴∠AFC＝90°，∠AFD＝90°，∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.(2)由(1)知，∠PAQ＝∠EAF＝∠B，∴∠EAP＝∠EAF－∠PAF＝∠PAQ－∠PAF＝∠FAQ，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEP＝∠AFQ＝90°，∵AE＝AF，∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.(3)不唯一，举例如下：层次1：①求∠D的度数．答案：∠D＝60°.②分别求∠BAD，∠BCD的度数．答案：∠BAD＝∠BCD＝120°.③求菱形ABCD的周长．答案：16.④分别求BC，CD，AD的长．答案：4，4，4.层次2：①求PC＋CQ的值．答案：4.②求BP＋QD的值．答案：4.③求∠APC＋∠AQC的值．答案：180°.层次3：①求四边形APCQ的面积．答案：4 3.②求△ABP与△AQD的面积和．答案：4 3.③求四边形APCQ周长的最小值．答案：4＋4 3.④求PQ的中点运动的路径长．答案：2 3.。