数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．
【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（，2），
∴DO=AD=3，
∴A点坐标为：（，5），
∴k=5 ；
（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，
∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）
∴2= ，解得x= ，
∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，
∴菱形ABCD平移的距离为，
同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
菱形ABCD平移的距离为，
综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．
2．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；
（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，
理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，
∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，
∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，
∴﹣1≤y1﹣y2≤1，
即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”
（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，
∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），
∴顶点坐标为：（1，a﹣1），
又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，
∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，
∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，
∴0≤a≤1
（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，
∵y= +2x﹣4
∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，
当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，
∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，
∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，
∴1≤a≤2；
∴a的最大值是2，a的最小值1
【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即
0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.
3．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．
（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）
（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，
①求反比例函数的解析式；
②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点
P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．
【答案】（1）减小
（2）解：①如图所示，作P1B⊥OA1于点B，
∵A1的坐标为（2，0），
∴OA1=2，
∵△P1OA1是等边三角形，
∴∠P1OA1=60°，
又∵P1B⊥OA1，
∴OB=BA1=1，
∴P1B= ，
∴P1的坐标为（1，），
代入反比例函数解析式可得k= ，
∴反比例函数的解析式为y= ；
②如图所示，过P2作P2C⊥A1A2于点C，
∵△P2A1A2为等边三角形，
∴∠P2A1A2=60°，
设A1C=x，则P2C= x，
∴点P2的坐标为（2+x， x），
代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，
解得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），
∴OC=2+ ﹣1= +1，P2C= （﹣1）= ﹣，
∴点P2的坐标为（ +1，﹣），
∴当1＜x＜ +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，
故△P1OA1的面积将减小，
故答案为：减小；
【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不
变，故△P1OA1的面积将减小；（2）①由A1的坐标为（2，0），△P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段，的长是一元二次方程的两根，，．
（1）直接写出点的坐标________点 C的坐标________；
（2）若反比例函数的图象经过点，求k的值；
（3）如图过点作轴于点；在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：如图，过点作，垂足为，
∵，
∴，
设，
∵ =12，
∴EC=12-x，
在RtΔBEC中，，
∴
整理得：，
解得：（不合题意舍去），，∴，，
∴，
把代入，得
（3）解：存在．
如图2，
若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，
则，即，
解得：OP=2或OP=6，
∴P（0，2）或P（0，6）；
如图3，
若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，
则，即，
解得：OP=12，
∴P（0，12）；
如图4，
若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，
则，即，
解得：OP=4+2 或OP=4-2 （不合题意舍去），
∴P（0，4+2 ）；
如图5，
若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，
则，即，
解得：OP=-4+2 或-4-2 （不合题意舍去），
则P点坐标为（0，4-2 ）
故点的坐标为：或或或或【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程，
解得：，
所以，
所以，；
【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程的两根，从而得出OA=OC=6，进而得出A,C两点的坐标；
（2）如图，过点作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质得出，设，EC=12-x，在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点P在
OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根
据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P 点的坐标；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比
例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。

5．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试
说明理由．
【答案】（1）①当x=4时，
∴点B的坐标是（4，1）
当y=2时，由得得x=2
∴点A的坐标是（2，2）
设直线AB的函数表达式为
∴解得
∴直线AB的函数表达式为
②四边形ABCD为菱形，理由如下：如图，
由①得点B（4，1），点D（4，5）
∵点P为线段BD的中点
∴点P的坐标为（4，3）
当y=3时，由得，由得，
∴PA= ，PC=
∴PA=PC
而PB=PD
∴四边形ABCD为平行四边形
又∵BD⊥AC
∴四边形ABCD是菱形
（2）四边形ABCD能成为正方形
当四边形ABCD时正方形时，PA=PB=PC=PD（设为t，t≠0），当x=4时，
∴点B的坐标是（4，）
则点A的坐标是（4-t，）
∴，化简得t=
∴点D的纵坐标为
则点D的坐标为（4，）
所以，整理得m+n=32
【解析】【分析】（1）①分别求出点A，B的坐标，运用待定系数法即可求出直线AB的表达示；
②由特殊的四边形可知，对角线互相垂直的是菱形和正方形，则可猜测这个四边形是菱形或是正方形，先证明其为菱形先，则需要证明四边形ABCD是平行四边形，运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些；再判断对角线是否相等，若不相等则不是正方形；（2）要使m，n有具体联系，根据A,B，C，D分别在两个函数图象，且
由正方形的性质，可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ，即可得到只关于m和n的等式．
6．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0），如果m=2n，则称双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y=
（m＞0）是双曲线y= （n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y= （n＞0）是双曲线y= （m＞0）的“半双曲线”，
（1）请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是________；双曲线y= 的“半双曲线”是________；
（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；
（3）如图2，已知点M是双曲线y= （k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴
平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP，且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围．
【答案】（1）y=
；y=
（2）解：如图1，
∵双曲线y= 的“半双曲线”是y= ，
∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1，
∴△AOB的面积为1
（3）解：解法一：如图2，
依题意可知双曲线的“半双曲线”为，
设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴CM= ，CN= ．
∴MN= ﹣ = ．
同理PM=m﹣ = ．
∴S△PMN= MN•PM=
∵1≤S△PMN≤2，
∴1≤ ≤2．
∴4≤k≤8，
解法二：如图3，
依题意可知双曲线的“半双曲线”为，
设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），
∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．
连接OM，
∵，
∴△PMN∽△OCM．
∴．
∵S△OCM=k，
∴S△PMN= ．
∵1≤S△PMN≤2，
∴1≤ ≤2．
∴4≤k≤8．
【解析】【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义
∴双曲线y= ，的“倍双曲线”是y= ；
双曲线y= 的“半双曲线”是y= ．
故答案为y= ，y= ；
【分析】（1）直接利用“倍双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利用双曲线上的点设出M的横坐标，进而表示出M，N的坐标；方法一、用三角形的面积公
式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论．
7．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象
限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2 ，sin∠AOC= ，反比例函数y= 的图象经过点C以及边AB的中点D．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）四边形OABC的面积．
【答案】（1）解：过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，
∵OC=2 ，sin∠AOC= = ，
∴MC=4，
由勾股定理得：OM= =2，
∴C的坐标为（2，4），
代入y= 得：k=8，
所以这个反比例函数的解析式是y=
（2）解：
过B作BE⊥x轴于E，则BE=CM=4，AE=OM=2，过D作DN⊥x轴于N，
∵D为AB的中点，
∴DN= =2，AN= =1，
把y=2代入y= 得：x=4，
即ON=4，
∴OA=4﹣1=3，
∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12
【解析】【分析】（1）过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，解直角三角形求出CM，根据勾股定理求出OM，求出C的坐标，即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出OA，根据平行四边形的面积公式求出即可．
8．如图，已知直线l：y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b为常数）与y轴、x轴分别交于A 点、B点，双曲线C：y= （x＞0）．
（1）当k=﹣1，b=2 时，求直线l与双曲线C公共点的坐标；
（2）当b=2 时，求证：不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点（设为P），并求公共点P的坐标（用k的式子表示）．
（3）①在（2）的条件下，试猜想线段PA、PB是否相等．若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由；
②若直线l与双曲线C相交于两点P1、P2，猜想并证明P1A与P2B之间的数量关系．【答案】（1）解：联立l与C得，
①﹣②，得﹣x+2 ﹣ =0
化简，得x2﹣2 x+3=0
解得x1=x2= ，y1=y2= ，
直线l与双曲线C公共点的坐标为（，）
（2）解：证明：联立l与C得，
①﹣②，得
kx+2 ﹣ =0，
化简，得
kx2+2 x﹣3=0，
a=k，b=2 ，c=﹣3，
△=b2﹣4ac=（2 ）2﹣4k×（﹣3）=12k﹣12k=0，
∴kx2+2 x﹣3=0只有相等两实根，即不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点；
x=﹣，y= ，
即P（﹣，）
（3）解：①PA=PB，理由如下：
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；
当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），
P（﹣，），
PA= ，
PB= ，
∴PA=PB．
②P1A=P2B，理由如下：
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；
当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），
联立l与C得，
①﹣②，得
kx+b﹣ =0，
化简，得
kx2+bx﹣3=0，
解得P1（，）P2（，）
P1A2=（）2+（）2，P2B2=（）2+
（）2，
∴P1A2=P2B2，
∴P1A=P2B
【解析】【分析】（1）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标；（2）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可的一元二次方程，根据判别式，可得答案；（3）①根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据两点间距离公式，可得答案；②根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标，根据两点间距离公式，可得答案．
9．已知一次函数y=− x−12的图象分别交x轴，y轴于A，C两点。

（1）求出A，C两点的坐标；
（2）在x轴上找出点B,使△ACB∽△AOC，若抛物线过A，B，C三点，求出此抛物线的解析式；
（3）在(2)的条件下，设动点P、Q分别从A，B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C，A运动，连接PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在，求出所有m值；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）解：
在一次函数y=− x−12中，当x=0时，y=−12；
当y=0时,x=−16,即A(−16,0),C(0,−12)
（2）解：过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求。

则OC2=OA⋅OB,此时OB=9,可求得B(9,0)；
此时经过A. B. C三点的抛物线的解析式为y= x2+ x−12
（3）解：当PQ∥BC时,如图(1),△APQ∽△ACB；则有：
= ,即 = ，
解得m= .
当PQ⊥AB时,△APQ∽△ACB；有：
= ,即 = ，
解得m= .
【解析】【分析】（1）令直线的解析式y=0，可得A的坐标，令x=0，可得C的坐标（2）要使△ACB∽△AOC，则B点必为过C点且垂直于AC的直线与x轴的交点.那么根据射影定理不难得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式.（3）本题可分两种情况进行求解：①当PQ∥BC时，△APQ∽△ACB；②当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB.可根据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值.
10．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，4），与x 轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC.
（1）请直接写出二次函数的解析式.
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0),
∴
解得
∴抛物线表达式：
（2）解：△ABC是直角三角形.
令y=0,则
解得x1=8,x2=-2,
∴点B的坐标为(-2,0),
由已知可得,
在Rt△ABO中
AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中
AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∴BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中
AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵A(0,4),C(8,0),
AC= =4 ,
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),
②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( ,0)或( ,0)
③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),
综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、( ,0)、(3,0)、 ,0)
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，过点作轴交抛物线于点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，求的面积；（3）若点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点的坐标和的最大面积．
【答案】（1）解：抛物线交轴于点，交轴于点
和点，
，得，
此抛物线的表达式是
（2）解：抛物线交轴于点，
点的坐标为，
轴，点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，点的纵坐标是5，点到的距离是10，
当时，，得或，
点的坐标为，
，
的面积是：
（3）解：设点的坐标为，如图所示，
设过点，点的直线的函数解析式为，
，得，
即直线的函数解析式为，
当时，，
，
的面积是：，点是直线下方的抛物线上一动点，
，
当时，取得最大值，此时，点的坐标是，，
即点的坐标是，时，的面积最大，此时的面积是．
【解析】【分析】（1）根据题意可以求得、的值，从而可以求得抛物线的表达式；（2）根据题意可以求得的长和点到的距离，从而可以求得的面积；（3）根据题意可以求得直线的函数解析式，再根据题意可以求得的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题
12．已知如图，二次函数的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B 点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O.
（1）求B点的坐标及二次函数的解析式；
（2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围；
（3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上，求出旋转中心P的坐标.
【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，
∴∠ADC=∠AEB=90°
∵二次函数与y轴交于点C，
点C坐标为（0，2）
∵点A坐标（3，3）
∴DA=AE=3
∵∠DAC+∠CAE=90°
∠EAB+∠CAE=90°
∴∠DAC=∠EAB
∴△ACD≌△ABE
∴EB=CD=3-2=1
OB=3+1=4
∴点B的坐标为（4，0）
将A（3，3）B（4，0）代入二次函数中得：
解得：
二次函数的解析式为：
（2）解：将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式得：
m1=1；m2= （舍）
∴m=1
∴点Q坐标为(1,4)
由勾股定理得：BC=2
设圆的圆心为N
∵圆经过点O，且∠COB=90°
∴BC是圆N的直径，
∴圆N的半径为，N的坐标为（2,1）
由勾股定理得，QN=
半径r= ，则≤QM≤
（3）解：当点A的对称点，点O的对称点在抛物线上时，如图
设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3
得：
解得：
∴的坐标为（）
∴旋转中心P的坐标为
当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，如图
设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3
得：
解得：
∴的坐标为（）
∴旋转中心P的坐标为
综上所述，旋转中心P的坐标为或
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，求证△ACD≌△ABE，进而求得点B坐标，再将A、B两点坐标代入二次函数解析式，即可解答；（2）将点Q （m，m+3）代入二次函数解析式，求得m的值，进而且得点Q坐标，根据圆的性质得到BC是圆N的直径，利用勾股定理即可求得BC，进而求得N的坐标，再利用勾股定理求得QN的长，确定取值范围即可；（3）分两种情况：当点A的对称点，点O的对称点
在抛物线上时，利用旋转180°可知，∥，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，利用列出式子，即可求得m的值，利用旋转中心和线段中点的特点，即可求得旋转中心P的坐标；当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，同理可求得m的值以及旋转中心P 的坐标.
13．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）
（1）求抛物线的解析式
（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点
①当点N在何处时，△CAN的周长最小？
②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．
【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3
（2）解：①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小．
设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b，则：，解得：，故直线AC'的表达式为：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣2，故点N（1，﹣2）；
②如图2，过点C作CG⊥ED于点G．
设NG=n，则NE=3﹣n．
∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE，则tan∠NCG=n=tan∠MNE
，故ME=﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n时，ME，则m
的最小值为：；
如下图所示，当点N与点D重合时，m取得最大值．
过C作CG⊥ED于G．
∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．
∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．
∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．
故：m≤5．
【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，
则此时△CAN的周长最小，即可求解；②如图2，ME=﹣n2+3n，求出ME最大值，则可求出m的最小值；当点N与点D处时，m取得最大值，求解即可．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点Q在边AB上，连接CQ，将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，延长QN交直线CD于点M．
（1）求证：MC＝MQ
（2）当BQ＝1时，求DM的长；
（3）过点D作DE⊥CQ，垂足为点E，直线QN与直线DE交于点F，且，求BQ的长．
【答案】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC AB
即∠MCQ=∠CQB，
∵△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN
∴∠CQN=∠CQB，
即∠MCQ=∠MQC，
∴MC=MQ．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，
∴∠CNM=∠B=90°，
设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x，
在Rt△CNM中，MB2=BN2+MN2，
即（x+6）2=42+（x+5）2，
解得：x= ，
∴DM= ，
∴DM的长2.5．
（3）解：解：分两种情况：
①当点M在CD延长线上时，如图所示：
由（1）得∠MCQ=∠MQC，
∵DE⊥CQ，
∴∠CDE=∠F，
又∵∠CDE=∠FDM，
∴∠FDM=∠F，
∴MD=MF．
过M点作MH⊥DF于H，则DF=2DH，
又，
∴，
∵DE⊥CQ MH⊥DF，
∴∠MHD=∠DEC=90°，
∴△MHD∽△DEC
∴，
∴DM=1，MC=MQ=7，
∴MN＝
∴BQ＝NQ＝
②当点M在CD边上时，如图所示，类似可求得BQ=2．
综上所述，BQ的长为或2．
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=90°，AB=CD=6，CD∥AB，得出∠MCQ=∠CQB，由折叠的性质得出△CBQ≌△CNQ，求出BC=NC=4，NQ=BQ=1，∠CNQ=∠B=90°，∠CQN=∠CQB，得出∠CNM=90°，∠MCQ=∠CQN，证出MC=MQ．（2）设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x，在Rt△CNM中，由勾股定理得出方程，解方程即
可．（3）分两种情况：①当点M在CD延长线上时，由（1）得：∠MCQ=∠CQM，证出∠FDM=∠F，得出MD=MF，过M作MH⊥DF于H，则DF=2DH，证明△MHD∽△CED，得
出，求出MD= CD=1，MC=MQ=7，由勾股定理得出MN即可解决问题．
②当点M在CD边上时，同①得出BQ=2即可．
15．如图，直线y=mx+n与双曲线y= 相交于A（﹣1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
（3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得S△PAB=S△DAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵点A（﹣1，2）在双曲线y= 上，
∴2= ，
解得，k=﹣2，
∴反比例函数解析式为：y=﹣，
∴b= =﹣1，
则点B的坐标为（2，﹣1），
∴，
解得，m=﹣1，n=1
（2）解：对于y=﹣x+1，当x=0时，y=1，
∴点C的坐标为（0，1），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为（0，﹣1），
∴△ABD的面积= ×2×3=3
（3）解：对于y=﹣x+1，当y=0时，x=1，
∴直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为（0，1），
当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），
S△PAB= ×|1﹣a|×2+ ×|1﹣a|×1=3，
解得，a=﹣1或3，
当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），
S△PAB= ×|1﹣b|×2+ ×|1﹣b|×1=3，
解得，b=﹣1或3，
∴P点坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（0，﹣1）或（0，3）
【解析】【分析】（1）由点A（﹣1，2）在双曲线上，得到k=﹣2，得到反比例函数解析式为，从而求出b的值和点B的坐标，把A、B坐标代入直线y=mx+n，求出m、n的值；（2）由一次函数的解析式求出点C的坐标，由点D与点C关于x轴对称，得到点D的坐标，从而求出△ABD的面积；（3）由一次函数的解析式得到直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），求出S△PAB=3，求出a的值，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），求出S△PAB=3，求出b的值，从而得到P点坐标.。