无套利理论的基本思想

S0=？
aS0 (bS0)
当前
未来
准备工作：
（1）假设：“当前”和“未来”既无通货膨胀，也无银行业利息；
（2）效用函数的构建：
一名投资—消费者A，他所追求的目标是他的消费效用最大。 为此，定义一个静态的效用函数uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc),其中，c是他所消费的价值。 同时假定，u是c的增函数（对A来说，钱花得越多越好）。
部分是生产者。消费者追求的是消费的最大效用，生产者追求的是 生产的最大利润，他们的经济活动分别形成了市场上对商品的需求 和供给。在这个体系下，需求和供给达到均衡，而每个消费者和每 个生产者也都达到了他们的最大化要求。
Warlas把这一思想表达为这样的数学问题：假定市场上有n种 商品，每一种商品的供给S和需求D都是这n种商品的价格函数。于 是这n种商品的供给与需求之间的平衡就得到了n个方程。由于n种 商品需要一个计量单位（商品之间的比价），因此，只有n-1种商 品的价格是独立的。为此， Warlas加入了一个财务均衡关系，即 所有商品供给的总价值应该等于所有商品需求的总价值。这一关系， 目前称为“瓦尔拉斯法则”。
aq+(1-q)b=1
然而，“当前”的期权价格应该就是在这种可能性估计下 的“未来”的期权价格的平均值：
C0=qCa+(1-q)Cb
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3.无套利假设下的几种期权定价方法比较
（１）假设的强度有差异 虽然以上三种观点的期权定价结果完全一样，但第三种观点在模 型的假设上要比前两种观点要强。例如，在前两种观点中，要求a 和b是不相等的；而在第三种还要求1在a和b之间，否则不可能解 释为一种状态发生的概率。 而通常说的无套利假设是指要求最高的无套利假设。 Black-Scholes的期权定价模型主要也是采用第三个观点。其中， 最为重要的一点是在于他们假设（１）时间的变化是连续的，股 价的变化也是连续的（用数学上的几何布朗运动来表示）；（２） 有一种其价值作指数增长的无风险证券来作为股价的参照物。 需要注意的是，Black-Scholes的原始论文中用的是第一个观 点：股票交易与期权交易的适当组合可以对冲风险，从而成为一种 无风险证券。由此，得到一个偏微分方程，其解就是BlackScholes定价公式。
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三、无套利理论的基本思想
（一）无套利理论的提出
现代理论金融经济学研究的中心问题是金融资产定价问题。 Arrow & Debreu模型回答了普通商品的定价问题：假定消费者追求 最大消费效用、生产者追求最大生产利润、然后在一定条件下，存 在一个一般经济均衡的价格体系，使得商品的供需达到平衡。对于 金融资产的定价似乎也应该走这条路。但是，由于金融市场的最主 要的特征在于未来的不确定性，沿“均衡定价论”的道路前进步履 十分艰难。
这样，我们给出无套利假设下的几个假设： （１）系数a和b必然有一个大于１，另一个小于１； （２）投资者总有一定的资金可以支配，且股市允许卖空； （３）“当前”与“未来”的货币价值一样时，不存在未来价值高于
当前价值的证券组合。 在以上假设下，就存在一种未来的可能估计，使得“未来”的股价 的平均值恰好就等于“当前”的股价。 有上文知道，a>1,b<1,必然存在q(在０和１之间）使得，
“复制”方法：一份期权相当于y元银行存款与z份股票的组合。于是，这种
组合的“未来价值”与期权价值一致。 由线性定价法则可以得到两个方程：
Ca=y+zaS0 Cb=y+zbS0 由此，求得y和z的值。 而当前价格C0=？利用无套利假设，C0=y+zS0，可以求出。
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（3）概率意义下的期权定价思想 为什么？——在假定“未来”可能有的两种情况时，并未规定它们 的可能性（概率）有多大。并且，投资可以根据自己所掌握的信息 对这两种可能性作出自己的估计（主观概率）。
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（２）第二种观点隐含着一种“完全市场”的假设。因为，只有在 “完全市场”中，每一种价值取决于股价变化的衍生证券，都可以 通过某种股市交易策略来“复制”，从而它们的价格就可以由股价 和交易策略根据线性定价法则来决定。 （３）资产定价基本理论。
第三种观点表达成严格的数学形式后，就称为资产定价基本 理论。也就是说，（完整的）无套利假设等价于存在对未来的不确 定性的一种估计，使得任何时候的股价都等于未来股价的平均值。
一阶逻辑：逻辑客体之间的同一层次的相互关系（即谓词逻辑） 高阶逻辑：不同层次的相互关系 （2）归纳推理——根据过去的经验，推出一般的规律；这源于根据 过去的经验，我们曾经作过正确的判断。例如，金融学领域的调 查、统计分析、计量经济学模型等，都是用归纳逻辑。
但是，归纳逻辑在一定意义上是靠不住的（常见例子），但为 什么还要去用呢？这主要因为：一是事物本身具有一定的统计特 征、二是人们思维的惯性。
虽然，现代金融学融汇了大量的数学和逻辑工具，但从金融学 的发展来看，现有的数学方法远远满足不了金融学的发展需要，这 使得我们对许多重要的金融问题的研究还显得力不从心。
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二、一般均衡理论的基本思想
1.L.Warlas的一般经济均衡理论，且是唯一的对经济整体提出的理论。 在一个经济体中有许多经济活动者，其中一部分是消费者，一
对A来说，由于有“当前”和“未来”两个时刻，还需要通过 当前的确定消费和将来的不确定消费，来构成一个综合的效用函 数。
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（一）投资—消费模型的构建（续）
S0=？
aS0 (bS0)
当前
未来
第一、未来消费效用函数的构建。如前面讨论，我们看到， 衍生证券的定价与股票的两种状态发生的概率是没有关系的。但 是在这里，当A要进行决策时，就不得不根据他所掌握的信息， 对“未来”有一个估计。于是他估计股票价值为aS0的概率为p,而 为bS0的概率就是1-p。这个（p,1-p）可能是确实要发生的“客 观概率”，也可能是A根据自己掌握的信息来判断的“主观概 率”。根据所谓的“von Neumann-Morgenstern”的期望效用理论， A的未来不确定消费的效用就等于其不确定效用的数学期望，具 体而言，如果A在状态a的消费价值为ca,在状态b的消费价值为cb, 那么，其未来消费的效用就是p*u(ca)+(1-p)*u(cb).这里，我们 假定未来的消费效用函数与当前消费效用函数是一样的。
金融资产定价的基本思想
——一般均衡理论与无套利理论
刘庆富
复旦大学金融研究院
2009 年 2 月
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主要讲授内容：
一、数学公理化方法的优势和缺陷 二、一般均衡理论的基本思想 三、无套利理论的基本思想 四、一般均衡理论与无套利理论的关系
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一、数学公理化方法的优势和缺陷
我们知道数学具有普适性、灵活性，简单性，高效可计算性 等优点，它使得我们金融学的理解和思考更为深入。但金融经济 学所用的数学有它自己的特点： 1.数学公理化方法是用演绎逻辑而非归纳推理： （1）演绎逻辑——从作为前提的“已知”事实“必然地”推出结论
当前
未来（执行时刻）
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假定期权的执行价格为K，那么期权在“未来”可能出现两 种价格：
Ca=max(aS0-K,0) Cb=max(bS0-K,0) 这种“期权可能定价”体现了几个假设： （1）无套利假设，或者说：提出期权定价问题，已经默认 “每一种（未来价值不确定的）期权都有其（当前确定的 ）价格”这一公理。 （2）线性定价法则，例如：若干份A证券与若干份B证券在 一起的证券组合的总价值，应该等于A证券价格的同样倍 数与B证券价格的同样倍数之和；或一个证券组合的价值 应该等于它的组成证券的价值之和 （3）对于任何一种证券，都可以自由买卖；且允许卖空。
1958年，Modigliani & Miller 提出了无套利假设来作为“公理” 来作为金融资产定价的出发点。事实上，这条“公理”其实只是 “均衡定价论”的推论，即达到一般均衡的价格体系一定是无套利 的。
这一理论十分有效：Black-Schels-Merton理论、Ross的APT理 论几乎完全基于此。不过“套利定价理论”只能就事论事，由此无 法建立全市场的理论框架，它只能作为“均衡定价论”的补充。
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四、一般均衡理论与无套利理论的关系
下面，我再对无套利假设从另外一个角度来进行 讨论。我们已经看到，通过线性定价法则或（和）无 套利假设，可以用基本证券来为衍生品证券定价。这 样的定价方法曾经长期为人们所不解。原因在于：
传统的定价理论的观点——根据经济活动着的需求和
供给，在一般经济均衡框架中形成的；
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期权在它被执行时的价格很清楚：
如果股票的市价高于期权规定的的执行价格，那么期权的 价格C就是市价S与执行价格K之差；如果股票的市价低 于期权规定的的执行价格，那么期权是无用的，其价格 为零。从而，
期权的价格：CT=max(ST-K,0)
现在，我们要问：期权在其被执行前应该怎样定价？
S0=？
aS0 (bS0)
注：完全市场是指满足如下条件的市场:(1)同质产品；(2) 众多的买者与卖者；
(3)买者和卖者可以自由进入市场；(4)所有买者和卖者都掌握当前物价的完 全信息，并能预测未来物价；(5)就总成交额而言，市场各个经济主体的购 销额是无关紧要的；(6)买者与卖者无串通合谋行为；(7)消费者追求效用最 大化，生产者追求利润最大化；(8)商品可转让。
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（2）无套利假设下的“复制”思想
为什么？——由CT=max(ST-K,0)可以看出，期权的“未来”价值虽 然是不确定的，但是它完全依赖于股票的不确定性；由此来看，期 权本身可以通过股票交易和银行存款的组合来“复制”。
假设： C0为“当前”的期权价格，S0为“当前”的股票价格 Ca(Cb)为T期的期权价格，aS0(bS0)为T期的的股票价格
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2.数学公理化方法是用外延逻辑而非内涵逻辑： （1）外延逻辑——所涉及的对象和集合都是由它们的外延（即由它们
同性质的成员）来确定的。 （2）内涵逻辑——根据对象规定的内涵（概念所反映的事物的特性或