第三讲 无套利定价原理

125 PB
112.5 109 风险证券B 1.0506
100 95
B2
90.25
风险证券A
1.025
1
1.025
1.0506 1.0506
（2）证券在中期价格为95时：
99.75 x 90.25 1.0506 112.5 y 109 1.0506
• 根据无套利定价原理的推论
0.1×98＋0.1×96＋1.1×93＝121.7
• 问题2的答案：
市场价格为120元，低估B，则买进B，卖出静态组合 （1）买进1张息票率为10％，1年支付1次利息的 三年后到期的债券； （2）卖空0.1张的1年后到期的零息票债券； （3）卖空0.1张的2年后到期的零息票债券； （4）卖空1.1张的3年后到期的零息票债券； 如果市场价格为123元，问套利者又如何套利？
确定状态下无套利定价原理的应用
• 案例1：
假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年 后的同一天支付100元的面值。如果A的当前价 格为98元。另外，假设不考虑交易成本。
问题：（1）B的价格应该为多少呢？ （2）如果B的市场价格只有97.5元，问如 何套利呢？
答案
• 应用同损益同价格原理：
–B的价格也为98元 –如果B的市场价格只有97.5元，卖空A，买 进B 问题：如果B的市场价格只有99元，如何套 利？
1.025
1
1.025
1.0506 1.0506
动态策略调整方法：
–多期的静态复制策略 –从后往前应用静态复制策略
110.25 105
125
B1
100 95
99.75
PB
112.5 109
B2
风险证券B 1.0506
90.25
风险证券A
1.025
1
1.025
1.0506 1.0506
（1）证券在中期价格为105时：
• 这个自融资交易策略的成本为：
98×0.98＝96.04
如果市价为99元，如何套利
• 构造的套利策略如下：
（1）卖空1份Z0×2 债券，获得99元，所承担的义务 是在2年后支付100元； （2）在获得的99元中取出96.04元，购买0.98份 Z0×1；
（3）购买的1年期零息票债券到期，在第一 年末获得98元； （4）再在第1年末用获得的98元购买1份第2 年末到期的1年期零息票债券； （5）在第2年末，零息票债券到期获得100 元，用于支付步骤（1）卖空的100元；
(1) 从现在开始1年后到期的债券Z0×1 支付:100 价格:98 第1年末
(2) 1年后开始2年后到期的债券Z1×2 支付:100 价格:98 第2年末
(3) 从现在开始2年后到期的债券Z0×2 支付:100 价格:？ 第2年末
• 动态组合复制策略：
（1）先在当前购买0.98份的债券Z0×1； （2）在第1年末0.98份债券Z0×1 到期，获得 0.98×100＝98元； （3）在第1年末再用获得的98元去购买1份 债券Z1×2；
–金融产品在市场的合理价格是这个价格使 得市场不存在套利机会
那什么是套利机会呢？
套利机会指存在下列三种情形之一
（1）存在两个不同的资产组合，它们在未来每一种 状态对应的现金流都相同，但它们的成本却不同； （2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组 合在所有的可能状态下的现金流都不低于第二个组 合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组 合的现金流要大于第二个组合的损益。 （3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状 态下，这个组合的现金流都不小于零，而且至少存 在一种状态，在此状态下这个组合的现金流要大于 零。
有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1、2 和3时，但分别为125，112.5和109元。 另外，假设不考虑交易成本，资金借贷的年利率为 5.06％，半年利率为2.5％。
问题：
（1）B的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为110元，如何套利？
证券未来损益图
110.25 100
99.75 90.25 风险证券A
方程无解！
动态组合复制ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
–我们把1年的持有期拆成两个半年，这样 在半年后就可调整组合 –假设证券A在半年后的损益为两种状态， 分别为105元和95元 – 证券B的半年后的损益不知道
110.25 105
125
B1
100 95
99.75
PB
112.5 109
B2
风险证券B 1.0506
90.25
风险证券A
解得： x = 0.368，y＝73.94 • 此时B的价格为：
B2 ＝0.368×95＋73.94×1.025＝108.90
110.25 105 118.90 99.75
125 PB
112.5 109 风险证券B 1.0506
100 95
108.90
90.25
风险证券A
1.025
1
1.025
1.0506 1.0506
套利结果
现金流 交易策略 当前 (1)卖空1份Z0×2 (2)购买0.98份Z0×1 (3)在第 1年末 购买 1份 Z1×2 合计： 99-96.04 2.96 = 99 -0.98×98 96.04 =0.98×100 98 -98 0 = 第1年末 第 2 年 末 -100
100 0
• 如果市价为95元，如何套利？
(1)买进B
(2)卖空A (3)借入资金15 元 合计
-110
100 15 5
• 当B为120元时，如何构造套利组合？
案例5：
假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元 1年后的市场出现三种可能的状态：状态1、2和3。 状 态 1 、 2 和 3 时 ， A 的 未 来 损 益 分 别 为 110.25 ， 99.75，90.25元。
在半年后将组合调整为：
(1)证券A的损益为105时：
–再买进0.19份的证券A，需要现金19.95元 （0.19×105＝19.95） –持有的现金13.56，加上利息变为： 13.56×1.025＝13.90。 – 半年后的组合变为：
案例3：
• 假设从现在开始1年后到期的零息票债券的 价格为98元，从1年后开始，在2年后到期的 零息票债券的价格也为98元（1年后的价 格）。另外，假设不考虑交易成本。
问题：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券 的价格为多少呢？ （2）如果现在开始2年后到期的零息票债 券价格为99元，如何套利呢？
• 看未来现金流图：
10
10
110
1年末
2年末
3年末
• 静态组合复制策略：
（1）购买0.1张的1年后到期的零息票债券，其损 益刚好为100×0.1＝10元； （2）购买0.1张的2年后到期的零息票债券，其损 益刚好为100×0.1＝10元； （3）购买1.1张的3年后到期的零息票债券，其损 益刚好为100×1.1＝110元；
无套利定价原理
（1）同损益同价格
–如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相 同的价格。
（2）静态组合复制定价：
–如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个 资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证 券的“复制组合”
（3）动态组合复制定价
–如果一个自融资交易策略最后具有和一个证券相同的 损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。
110.25 x 99.75 1.0506 125 y 112.5 1.0506
解得：
x = 1.19，y＝－6.05 • 此时B的价格为：
B1＝1.19×105－6.05×1.025＝118.90
110.25 105 118.90 99.75
第三讲
无套利定价原理
无套利定价思想
如果市场是有效率的话，市场价格必然 由于套利行为作出相应的调整，重新回到均 衡的状态。这就是无套利的定价原则。
根据这个原则，有效的金融市场上，
任何一项金融资产的定价，应当使得利用该
项金融资产进行套利的机会不复存在。。
一价定律
• 经济学中有个基本定律称为"一价定律"。意 思是说两份相同的资产在两个市场中报价必 然相同,否则市场参与者可以进行所谓无风险 套利,即在一个市场中低价买进,同时在另一个 市场中高价卖出。 • 最终,原来定价低的市场因对该资产需求增加 而使其价格上涨,而原来定价高的市场中因对 其需求下降而使该资产价格会下跌，直至最 后两个市场的价格相等。
不确定状态下的无套利定价原理的应用
• 不确定状态：
– – – – 资产的未来损益不确定 假设市场在未来某一时刻存在有限种状态 在每一种状态下资产的未来损益已知 但未来时刻到底发生哪一种状态不知道
案例4：
假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元 1年后的市场出现两种可能的状态：状态1和状态2。 状态1时，A的未来损益为105元，状态2时，95元。 有一证券B，它在1年后的未来损益是：状态1时120元， 状态2时110元。另外，假设不考虑交易成本，资金借 贷也不需要成本。
自融资策略的现金流表
现金流 交易策略 当前 (1)购买0.98份Z0×1 (2) 在 第 1 年 末 购 买 1 份 Z1×2 合计： -96.04 -98×0.98=96.04 第1年末 0.98×100= 98 -98 0 100 100 第2年末
• 这个自融资交易策略的损益：
–就是在第2年末获得本金100元，这等同于 一个现在开始2年后到期的零息票债券的损 益。
125
1.0506
PB
1
112.5 109 1.0506 1.0506 资金借贷
风险证券B
• 构造静态组合：
– x 份A和 y 份资金借贷构成B
110.25 99.75 x 90.25
1.0506 125 1.0506 112.5 y 1.0506 109
105 x 95
1.025 118.90 y 108.90 1.025
• 解得：
x＝1，y＝13.56
• B的当前价格为：
B＝1×100＋13.56×1＝113.56
解题过程用图表示就是：
操作：买进0.19份A 组合为： (1)持有1.19份A (2)持有现金-6.05 110.25 105 100 原始组合： (1)持有1份A (2) 持 有 现 金 13.56 95 99.75 109 90.25 组合的支付为： 125
• 解得：
X = 1, y = 15
• 所以：
B的价格为： 1*100+15*1 = 115
当B为110元时，如何构造套利组合？
• 套利组合：
买进B，卖空A，借入资金15元。
套利结果
期初时刻的 现金流 期末时刻的现金流
第一种 状态 120
-105 -15 0
第二种状 态 110
-95 -15 0
问题：
（1）B的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为110元，如何套利？
证券未来损益图
105 100 95
风险证券A
120 PB 110
风险证券B
1 1 1
资金借贷
• 静态组合策略：
– 要求 x 份的证券A和 y 份的资金借贷构成B
105 1 120 x y 95 1 110
案例2：
• 假设面值100元的零息票债券的当前市 场价格为：
① 1年后到期的零息票债券的价格为98元； ② 2年后到期的零息票债券的价格为96元； ③ 3年后到期的零息票债券的价格为93元； 另外，假设不考虑交易成本。
• 问题：
（1）面值100元、息票率为10％，1年支付1 次利息的三年后到期的债券的价格为多少 呢？ （2）如果面值100元、息票率为10％，1年 支付1次利息的三年后到期的债券价格为 120元，如何套利呢？
112.5
操作：卖出0.632份 A 组合为： (1)持有0.368份A (2)持有现金73.94
上述解题过程也可以作如下解释：
• 构造如下的组合：
–（1）1份证券A；（2）持有现金13.56。
110.25 1.0506 124.5 1 99.75 13.56 1.0506 114 90.25 1.0506 104.5
例：
• 某股票在A市场交易价格为100元，在B 市场价格交易为98元。不考虑交易成本 ，则在B市场以98元卖入买入股票，同 时在A市场以100元卖出，可以获得无风 险利润2元。
预期
无风险套利的定义
–套利是指纯粹的无风险。 –套利是自融资组合，不需要初始投资
“无套利定价”原理
• “无套利定价”原理