浙江工业大学《线性代数》(B)大纲

教学内容与基本要求：（括号中为建议时数）
第一章 行列式 教学内容:
1． n 阶行列式的定义；（1） 2．行列式的性质；（1） 3．行列式按行（列）降阶展开；（1） 4．克莱默法则。（1） 基本要求： 1.会通过化简为三角形求值，或化简后展开、降阶； 2.对于不定阶数的行列式（n 阶），会根据其特点运用递推法或数学归纳法（如 范德蒙（Van de Mond）行列式）。 3.克莱默法则：理解克莱默法则的两个条件和两个结论，了解其证明，会用 来解非奇异的线性方程组。掌握其关于齐次方程组的推论。
3. 较好——理解、掌握：准确理解概念的含义及其主要内涵，理解相关 概念之间的逻辑关系，理解有关定理的内容（及其推论），能证明之并在有关的 讨论中运用之。掌握有关的算法和公式，能进行流畅而规范的计算。同时，对主 要的计算，知道相应的计算机应用软件。学得较好的学生在多数主要内容上应达 到此要求。
4. 好——深刻理解、熟练掌握：对有关的概念能深刻理解、举一反三， 形成较完整的概念逻辑链；对有关的理论能较完整地把握，并能较顺畅地进行有 关的论证；对有关的公式和计算法则能较熟练地掌握，能进行一些有一定灵活性 的计算。知道并至少会用一种计算机软件实现上述计算。有志于考研究生的学生 在多数主要内容上应达到此要求。
2． 知道用对称初等变换来实施合同变换的方法。
第七章 二次型
教学内容：
1．二次型的概念、矩阵形式及其标准化；（2） 2.二次型的正定性；（2） 基本要求： 一、二次型及其矩阵：了解二次型的定义；了解二次型的矩阵形式。 二、二次型的标准化： 1.理解二次型标准化的概念及其与合同变换的关系； 2. 会用正交变换将二次型标准化； 3. 会用拉格朗日（Lagrange）配方法来进行标准化； 4. 知道用初等变换将二次型标准化的方法 三、二次型的正定性： 1．理解二次型正定性的定义； 2．会根据定义或用惯性指数法、特征值法、顺序主子式法判定二次型的正 定性； 3．知道正定矩阵的主要性质。 几点说明： 1． 本大纲的配套教材为我校教师自编的教材《线性代数》（唐明、王定江、 冯鸣、李川生编著）。 2． 本大纲主要针对 32 学时的课程安排。由于所给的课程学时偏紧，大纲 中没有安排习题课。 3． 教材的第八章（线性空间与线性变换）对本科生不作要求，故未列入大 纲。其中关于空间的基变换和坐标变换的基础内容为考研数学（一）所要求，故 在教材第五章的附录中作一些介绍，也不作大纲要求。 4． 教材中各章附录所介绍的内容仅供教师选讲所用，均不作大纲要求。 5． 教材中每一章的习题分为 A、B、C 三类： A 类为基本题，布置给学生的课外练习题应不少于 A 类题的一半； B 类题为概念题，意在帮助学生复习和深化概念，一般不作为课外练习题； C 类题有一定难度，是为要求较高的专业和有志于考研的学生准备的，一般 不作大纲要求，也不作为课外练习题。 6．由于无法安排时间进行计算机实习，我们只在教材中以附录形式介绍了 一个常用的数值计算软件——MATLAB，向学生作个引荐。
基本教学内容、目的与任务 根据对本科大学生的基本要求和实际状况，以及本课程的教学时数，本课程主要学习行 列式、矩阵、向量空间三个数学工具，解决线性方程组、二次型两个应用问题。 通过学习，应使学生理解和初步掌握行列式、矩阵的基本概念、主要性质和基本运算， 初步理解向量空间的概念、向量的线性关系、线性变换，了解欧氏空间的线性结构和度量结 构，基本完整地掌握线性方程组的求解方法和理论，初步掌握二次型的标准化和正定性判定。 同时，结合这些基本内容，简略地介绍一些应用背景和最常用的计算机应用软件。这些知识 和技能，将为工科各专业的后续课程以及未来的进一步学习和应用打下必要的基础。 本大纲主要阐述对一般本科学生的基本要求。那些学有余力并有志于考研究生的学生， 应在学好基本内容的基础上，参照考研大纲作适当的补充提高。
二、用行初等变换解方程： 1．熟练掌握用行初等变换解方程组的一般方法；理解这一过程与高斯消去
法的关系； 2．会用流程图表述上述的一般过程。
三、方程组解集的结构： 1.齐次方程的解集：熟练掌握齐次方程组的基础解系和通解的求法；理解秩
的有关定理，会用这一理论作简单的论证； 2.非齐次方程的解集：了解非齐次方程的解集与齐次方程组的解集之间的关
系；熟练掌握非齐次方程组的通解的结构与求法。
第五章 向量空间 教学内容：
1.向量空间及其线性结构；（1） 2.向量的内积与正交性；（2） 基本要求： 一、向量空间：
1. 知道一个非空向量集合构成线性空间的定义（完备性、规范性）； 2. 理解向量空间的线性结构：基、维数、坐标； 3.理解线性子空间的概念；理解一组向量的生成子空间的概念； 4.理解齐次线性方程组的解空间的概念。 二、向量的内积与正交性： 1.了解向量的内积、范数、夹角等概念； 2.理解向量正交的概念；了解正交规范组、正交规范基的概念； 3.知道施密特（Schmidt）正交化的思路和公式； 4.掌握正交阵的定义及其性质；知道正交变换的概念及其性质。
第六章 特征值问题与矩阵变换 教学内容：
1．方阵的特征值和特征向量；（1） 2．方阵的相似变换及对角化；（1） 3. 用正交变换将实对称阵对角化；（1） 4. 合同变换；（1）
基本要求： 一、方阵的特征值问题：
1． 理解方阵的特征值、特征向量的定义及其主要性质； 2． 熟练掌握特征值和特征向量的求法；知道特征子空间的概念； 3． 知道方阵的运算对特征值和特征向量的影响。 二、方阵的对角化问题： 1． 理解方阵相似变换的定义；理解相似变换的主要性质。 2． 了解方阵对角化的定义；理解方阵可对角化的充要条件，掌握其实施方 法，了解其应用； 3． 了解实对称阵的定义及其性质；会用正交变换将其对角化。 三、合同变换： 1． 知道合同变换的定义及其基本性质；
参考书目： 1.同济大学：线性代数，北京：高等教育出版社，2003.7，第四版，2004.2， 第四次印刷； 2.居余马、胡金德等：线性代数，北京：清华大学出版社，1995.1，第一版， 1997.3，第五次印刷； 3.胡金德：线性代数复习指导，北京：国家行政学院出版社，1999.4，第一 版，1999.4，第一次印刷；
四、矩阵的初等变换： 1．理解矩阵的行（列）初等变换及矩阵等价的概念；熟练掌握矩阵的行初
等变换及其三种等价形态（行阶梯形、行最简形、标准形）。 2．理解初等阵的定义及其性质；理解初等阵与初等变换的关系；理解可逆
阵的初等分解定理及其推论。 3．熟练掌握用初等变换求逆阵和解非奇异方程组的方法。
第三章 向量的线性关系与秩 教学内容：
第二章 矩阵 教学内容：
1．矩阵概念的引入，一些常用的特殊矩阵；（1） 2．矩阵的代数运算：加法、数乘、乘法、转置、方阵取行列式、方阵求逆
——运算法则、运算律、有关的说明、定理等；（3） 3．分块矩阵：矩阵运算在分块时的法则；（1） 4．初等变换与初等阵。（1） 基本要求： 一、矩阵的概念： 1．知道由线性方程组引出矩阵的思路。 2．理解矩阵的概念（包括矩阵的元素、规格、阶数），掌握矩阵的表示法。 3．了解一些常用的特殊矩阵，如行（列）矩阵、零矩阵、方阵、上（下） 三角阵、主（次）对角阵、数量阵、单位阵等。 二、矩阵的代数运算： 1．理解矩阵相等的概念。 2．熟练掌握矩阵的加法、数乘运算及其运算律，理解矩阵线性运算的概念。 3．熟练掌握矩阵的乘法运算及其运算律；理解矩阵的规格在运算中的作用； 理解矩阵一般不可交换和不可消去的原理；理解线性变换和线性方程组的矩阵形 式；掌握方阵的幂运算，知道方阵的多项式。 4．熟练掌握矩阵的转置及其运算律；理解对称阵的定义及其性质。 5．熟练掌握取方阵的行列式的运算及其运算律；理解伴随阵的概念。 6．熟练掌握方阵可逆的定义及其充要条件；掌握用伴随阵求逆阵的方法； 熟练掌握可逆阵的性质及求逆的运算律；掌握逆阵的可消去性、方阵的负整数次 幂，掌握用逆阵解线性方程组和简单矩阵方程的方法。 三、分块矩阵： 1．了解分块矩阵的概念。 2．掌握分块矩阵的加法、数乘、转置等运算；掌握分块矩阵的乘法。 3．了解分块对角阵，掌握分块对角阵的六种代数运算。知道分块三角阵。
第四章 线性方程组 教学内容：
1．线性方程组的分类及其判定；（1） 2．用行初等变换解线性方程组的一般过程；（1） 3．线性方程组的解集的结构及有关理论。（1） 基本要求： 一、方程组的分类： 1．掌握线性方程组的三种形式及其相互转化。 2．理解三类线性方程组的分类原理及其判定方法；会对含参数系数的方程 组进行分类讨论。
关的公式、法则、方法等也有所知，会作较简单的计算。这是最低要求。 2. 一般——了解、会（能）：这是对大多数学生、大多数内容的一般要
求。具体要求是：概念正确、清晰，性质和定理的条件、结论清楚无误，了解其 证明的大致思路及相关的推论。明白计算的法则和公式，会顺利而正确地进行有 关计算，了解并会运用相应的运算律。
浙江工业大学
《线性代数（B）》教学大纲
（2005 年 5 月）
线性代数是研究有限维向量空间和线性变换的数学分支，它的思想、方法和结论在众多 科学技术领域都有着广泛的应用，而且它的集成化思维方式符合现代科学思维方式的发展趋 势，对训练和提高学生在抽象思维、逻辑推理、数学表达等方面的能力也非常有益。随着现 代科学技术日新月异的发展，尤其是计算机技术的飞速发展和广泛应用，线性代数知识已成 为本科大学生所必备的素养之一。因此，线性代数是全校各专业学生的一门必修课程。
对要求程度的表述 本规定中把课程内容大致地分为理论和计算两个方面。对每一方面的要求程度 分为四个层次，分别表述如下：
要求程度 初步（低） 一般（较低） 较好（较高） 好（高）
理论方面表述 计算方面表述
知道 知道
了解 会
理解 掌握
深刻理解 熟练掌握
具体要求为： 1. 初步——知道：对有关的概念、性Βιβλιοθήκη Baidu、定理、理论，能知其然；对有
1． 维向量及其线性运算、线性表示、线性相关；（1） 2．一组向量的线性关系：线性相关性的概念、判定、主要性质和定理；（1） 3．两个向量组之间的线性表示与等价；向量组的极大无关组与秩；（1） 4．矩阵的秩：定义、判定；（1） 基本要求： 一、n 维向量：借助几何直观，理解 n 维向量的概念；熟练掌握向量的线性运算； 理解线性组合、线性表示等概念。 二、向量的线性关系： 1．理解一组向量线性相关、线性无关的定义和充要条件；熟练掌握判别一 组向量线性相关性的基本方法；会用定义和充要条件进行简单的论证。 2．理解关于表示唯一性的定理；理解两个扩充定理及其推论；理解无关向 量的个数不超过向量维数的原理； 三、向量组的秩： 1．理解两个向量组之间的线性表示关系及表示矩阵的概念；理解两个向量 组等价的定义，知道向量组等价与矩阵等价的区别与联系。 2．理解向量组的极大无关组的定义和性质，了解极大无关组之间等价并等 量的原理；理解向量组的秩的定义。 四、矩阵的秩： 1．理解矩阵的秩的定义；了解“三秩一致性”原理。 2．理解初等变换的保秩性；熟练掌握用初等变换求秩的方法；掌握用行列 式求秩的方法。 3．掌握用矩阵的初等变换求向量组的秩和极大无关组的方法。 4．知道矩阵的秩与矩阵运算的关系。