直线方程的一般式
3.2.3直线的一般式方程(最新)
所以 a 1; 综上, a 0 或 a 1.
练习3：直线x+m2y+6=0与直线 (m-2)x+3my+2m=0没有公共点,求实数m的值.
解：当m=0时, l1 : x 6 0, l2 : 2 x 0,
P0 ( x0 , y0 )
也具有形式Ax+By+C=0(B=0).
综上，都具有形式：Ax+By+C=0.
二、方程Ax+By+C=0表示直线
A C x , 1、当B≠0时, 方程可化为 y B B A 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
C 在y轴上的截距是 的直线. B
2、当B=0时，
4 x 3 y 12 0.
练习1：根据下列条件, 写出直线的方程, 并 把它化成一般式:
1 ⑴ 经过点 A(8, 2) , 斜率是 ; 2 ⑵ 经过点 B (4, 2) , 平行于 x 轴;
⑶ 经过点 P (3, 2) , P2 (5, 4) ; 1
x 2y 4 0 y20 x y 1 0
y
l
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;
y
l
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
3.2.3直线的一般式方程
讲授新课
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
y y1 k ( x x1 )
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
课堂小结
点斜式 斜率和一点坐标 斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
两点坐标 截距式
x y 1 a b
直线方程的一般式与特殊式的互化。
课堂抢答
⒈根据下列条件写出直线的方程，并且 化成一般式：
讲授新课
注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
①按含x项、含y项、常数项顺序排列； ②x项的系数为正； ③x，y的系数和常数项一般不出现分数；
无特别说明时，最好将所求直线方程的结 果写成一般式。
课堂练习
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角
4 的正切值是 ， 3
则直线l的点斜式方程是y-0=(-4/3)(x+4) ___________ y=(-4/3)x-16/3 直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
讲授新课
例2 把直线 化成斜截式，求
出直线的斜率以及它在y轴上的截距。
3 解：将直线的一般式方程化为斜截式： y x 3 ， 5
3 它的斜率为： ，它在y轴上的截距是3 5
讲授新课
直线的一般式方程
求满足下列条件的直线l的方程: (1)与直线3x+4y-12=0平行,且与直线2x+3y+6=0 在y轴上的截距相同; (2)与直线x+2y-1=0垂直,且与直线x+2y-4=0在x轴 上的截距相同.
直线和二元一次方程是一一对应。
3.新知：直线方程的一般式
定义：我们把关于 x , y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线 的一般式方程，简称一般式。
4.
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合;（5）过原点; （6）与x轴和y轴相交; y
3.
问题情境二
数学家笛卡尔接着 思考？
当A.B不全为0,每一
个关于x , y的二 元一次方程都表 示直线吗？
对于方程Ax+By+C=0
A C 当B 0时, 方程可以化为y - x - , B B 这是直线方程的斜截式,
A C 表示斜率为 - , 截距是 - 的直线, B B 当B 0时, 方程Ax By C 0化为Ax C 0,
（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知
直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法
例2 把直线 l : 3x 5 y 15 0 化成斜截式，求出直 线的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
3 解：将直线的一般式方程化为斜截式： y x 3 ， 5
直线的一般式方程
直线的一般式方程直线一般式方程适用于所有的二维空间直线。
它的基本形式是Ax+By+C=0 （A，B不全为零）。
因为这样的特点特别适合在计算机领域直线相关计算中用来描述直线。
方程表达式直线的一般式方程能够表示坐标平面内的任何直线。
（A，B不全为零即A^2+B^2≠0）该直线的斜率为(当B=0时没有斜率)平行于x轴时，A=0，C≠0；平行于y轴时，B=0，C≠0；与x轴重合时，A=0，C=0；与y轴重合时，B=0，C=0；过原点时，C=0；与x、y轴都相交时，A*B≠0。
结论两直线平行时：普遍适用：，方便记忆运用：(A2B2C2≠ 0）两直线垂直时：两直线重合时：两直线相交时：两直线一般式垂直公式的证明：设直线l1：A1x+B1y+C1=0直线l2：A2x+B2y+C2=0（必要性）∵l1⊥l2∴k1×k2=-1∵k1=-A1/B1，k2=-A2/B2 ∴(-A1/B1)(A2/B2)=-1 ∴（B1B2）/(A1A2)=-1∴B1B2=-A1A2∴A1A2+B1B2=0（充分性）∵A1A2+B1B2=0∴B1B2=-A1A2∴（B1B2）(1/A1A2)=-1∴(A1/B1)(A2/B2)=-1∴(-A1/B1)(-A2/B2)=-1∵k1=-A1/B1, k2=-A2/B2∴k1×k2=-1∴l1⊥l2方程求解一般式方程在计算机领域的重要性常用的直线方程有一般式、点斜式、截距式、斜截式、两点式等等。
除了一般式方程，它们要么不能支持所有情况下的直线（比如跟坐标轴垂直或者平行），要么不能支持所有情况下的点（比如x坐标相等，或者y坐标相等）。
所以一般式方程在用计算机处理二维图形数据时特别有用。
已知直线上两点求直线的一般式方程已知直线上的两点P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)， P1 P2两点不重合。
对于AX+BY+C=0：当x1=x2时，直线方程为x-x1=0当y1=y2时，直线方程为y-y1=0当x1≠x2，y1≠y2时，直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) 故直线方程为y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)即x2y-x1y-x2y1+x1y1=(y2-y1)x-x1(y2-y1)即(y2-y1)x-(x2-x1)y-x1(y2-y1)+(x2-x1)y1=0即(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0 ①可以发现，当x1=x2或y1=y2时，①式仍然成立。
直线的一般式方程
问题2：
平面内的任意一条直线是否都可以用形如 的二元一次方程 Ax+ By+ C = 0 （A、B不全等于0）
来表示？
直线的一般式方程
直线方程不同形式的转化
知识运用
典型例题
直线 + 2)x -(2m -1)y - 3m - 4） 0必与 (m （ = 以点P（2，1），Q（4，6）为端点的线 段相交于一点，求m的取值范围。
直线方程小结
直线方程 点斜式
斜截式 两点式 截距式
方程形式
使用条件
y- y1=k(x – x1) (1) 由一点和斜率决定. (2)不能表示和x轴垂直的直线 方程(x=x1). y=kx+b (3)斜截式是点斜式的特殊情况。
y y1 x x1 (1)由两个点决定。 y2 y1 x2 x1 (2)不能表示与数轴平行的直 线方程（ x=x1，y=y1) (3)截距式是两点式的特殊情况。 x y + = 1 (4)截距式还不能表示过原点 a b 的直线。
直线的一般式方程
直线的一般式方程直线是数学中基本的几何图形之一，在代数几何学中，我们经常使用方程来表示直线。
一般式方程是一种常见的直线表示方法，它可以通过两个未知数的线性关系来描述一条直线。
在本文中，我们将探讨直线的一般式方程的定义、推导和应用。
一、一般式方程的定义直线的一般式方程是一个包含两个未知数的线性方程，通常可表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是已知的常数，且A和B不同时为0。
该方程描述的是平面上所有满足该线性关系的点，即直线上的所有点。
二、推导一般式方程我们可以通过已知的直线上的两个点来推导一般式方程。
假设直线通过点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，我们可以假设直线上的任意一点为R(x, y)。
由于P、Q和R共线，我们可以使用向量的方法来表达它们之间的关系。
向量PR = (x - x1, y - y1)，向量PQ = (x2 - x1, y2 - y1)。
由于P、Q和R共线，它们的向量满足一个重要的性质，即向量PR 与向量PQ的叉乘为0。
根据向量的叉乘公式，我们可以得到如下的方程：(x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0。
展开并整理上述方程，我们可以得到直线的一般式方程：x(y2 - y1) - y(x2 - x1) + x1y2 - x2y1 = 0。
将x(y2 - y1)记作A，-y(x2 - x1)记作B，x1y2 - x2y1记作C，可得到一般式方程Ax + By + C = 0。
这样，我们就从已知的两个点推导出了直线的一般式方程。
三、一般式方程的应用一般式方程在几何学和代数学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 直线的交点计算: 当两条直线分别由各自的一般式方程给出时，我们可以通过联立方程组求解交点的坐标。
将两个一般式方程联立，消去未知数后求解，即可得到交点的坐标。
2. 直线的垂直与平行关系判断: 两条直线垂直时，它们的斜率乘积为-1。
3.2.1 直线的一般式方程
y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k 2 纵截距为3 令y 0 则
B(0,3)
A(6,0)
0
x
x 6
即横截距为－6
针对性练习：课本P99 练习1、2、3
课堂小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
y y0 k ( x x0 )
轴
平行
；
时，方
2.当 A 0，B 0，C为任意实数 程表示的直线与x轴垂直；
3.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直 重合 线与x轴———————— ；
4.当A 0，B 0，C 0 时，方程 表示的直线与y轴重合 ；
5.当 C 0, A, B不同时为0 时，方程
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求①BC边所在直线的方程 ②AC边所在直线的方程
y C .
. A
O
x
. B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求③BC边上中线所在直线的方程
y C .
. A
O
.M
. B
x
中点坐标公式
y
A(x1，y1)
.
C
. A
O
.
M
x
.
B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求①BC边所在直线的方程
②AC边所在直线的方程
两点式 截距式
③BC边上中线所在直线的方程 两点式
④BC边上垂直平分线所在直线的方程? 点斜式
⑤BC边上高所在直线的方程?
点斜式
直线的一般式方程
②倾斜角α=90°,k不存在
A=1
B=0
x x0 0 即x 0 y x0 0
C
2.所有二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不 同时为0)都表示直线吗？ 解:对y的系数B进行分类讨论
①当B≠0时
A C y x B B
A C 表示斜率是 ,在y轴上的截距是 的直线. B B C ②当B=0时 x （A 0) y l A
4.求满足下列条件的直线方程：
①与直线2x-3y+1=0平行，且过点P(1,2)；
②与直线2x-3y+1=0垂直，且过点P(1,2)；
4.求满足下列条件的直线方程： ①与直线3x+4y+8=0平行，且过点P(3,-2)； ②与直线3x+4y+8=0垂直，且过点P(3,-2)；
小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
作业布置
截距式 (1)3 x y 5 0• •
＋4＝0 垂直，则 l 的方程是( )
练： 1、把下列直线的一般式 方程化为斜截式、 (2)7 x 6 y 4 0
2.(2009· 安徽高考)直线 l 过点(－1,2)且与直线 2x －3y
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解:将原方程移项,得2y = x+6 两边除以2，得斜截式
y
3
-6 o
x
因此,直线L的斜率k=1/2,它在y轴上的截距是 3 令y=0，可得 x= -6即直线L在x轴上的截距是- 6
[点评] 求截距的方法：
(1)令 x ＝0，解出 y 的值，即得直线 l 在 y 轴上的截距． (2)令 y ＝0，解出 x 的值，即得直线 l 在 x 轴上的截距.
直线的一般式方程
x轴上截距a y轴上截距b (a≠0，b≠0)
不能表示倾斜角 为0。、90。的x=x0
x=x1 y=y1
x=a y=b y=kx
巩固练习：
写出满足下列条件的直线方程 :
1.斜率是 3 , 经过点A(8, 2); 3
2.经过点B(2, 0),且与x轴垂直; 3.斜率为 4, 在y轴上的截距为7; 4.经过点A(1,8), B(4, 2); 5.在y轴上的截距是2, 且与x轴平行; 6.在x轴, y轴上的截距分别是4, 3.
思考2:二元一次方程的一般形式是什么？
Ax+By+C=0
直线的一般式方程
新知探究
思考1：平面直角坐标系中的每一条直线都可 以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗？
任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0,y0). 当直线l斜率为k时，方程为y-y0=k(x-x0)是关于 x,y的二元一次方程； 当直线l斜率不存在时, 方程为 x-x0=0也是关于 x,y的二元一次方程，其中y的系数为0.
复习回顾
1.直线的点斜式方程 3.直线的两点式方程
y y0 k(x x0 )
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
2.直线的斜截式方程 4.直线的截距式方程
y=kx+b
x y 1 ab
直线方程的形式及其适用范围
方程名称 方程形式
确定条件 适用范围
点斜式 y y0 k(x x0)
且A1A2＋B1B2＝0，求证: l1⊥l2.
解 :由A1A2 B1B2 0,
(1)设B1B2
0, 有直线l1的斜率k1
A1 B1
,
直线l2的斜率k2
A2 B2
,且
A1 B1
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)；点斜式：y-y0=k(x-x0)；截距式：x/a+y/b=1；斜截式：y=kx+b；两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)。
直线方程表达形式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】K=-A/B，b=-C/BA1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。
直线的一般式方程
直线方程的一般式前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x 、y 这两个变量，并且x 、y 的次数都是一次的，即它们都是关于x 、y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？1．直线的一般式方程(1)定义：关于x 、y 的二元一次方程__Ax ＋By ＋C ＝0__(其中A 、B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－CB＝b (y 轴上的截距)；②当B ＝0，A ≠0时，则－CA＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．[归纳总结] AB >0时，k <0，倾斜角α为钝角；AB <0时，k >0，倾斜角α为锐角；A ＝0时，k ＝0，倾斜角α＝0°；B ＝0时，k 不存在，倾斜角α＝90°．2．直线方程的一般式与其他形式的互化 一般式化斜截式的步骤： ①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB ．一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③再化为截距式：x －C A ＋y－C B ＝1．预习自测1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( D ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0[解析] A 、B 不能同时为0，则A 2＋B 2≠0． 2．直线2x ＋y ＋4＝0的斜率k ＝( B ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12[解析] A ＝2，B ＝1，则k ＝－AB＝－2．3．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线都恒过点( C ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)D ．(2,1) [解析] 直线方程可化为y －1＝k (x －3) ∴无论k 为何值时，都过定点(3,1)．4．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0垂直，则a 的值为__－1或0__.[解析] 由题意，得2a ＋a (a －1)＝0 解得a ＝－1或0．命题方向1 ⇨直线的一般式方程典例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)、B (2，－1)两点； (6)在x 、y 轴上的截距分别是－3，－1．[思路分析] 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． [解析] (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0． (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0．(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0. 〔跟踪练习1〕已知直线l 经过点A (－5,6)和点B (－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程． [解析] 直线过A (－5,6)、B (－4,8)两点 由两点式得y －68－6＝x ＋5－4＋5整理得2x －y ＋16＝0∴2x －y ＝－16，两边同除以－16得，x －8＋y16＝1．故所求直线的一般式方程为2x －y ＋16＝0，截距式方程为x －8＋y16＝1. 命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用典例2 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等． 则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0，∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0； 若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0． ∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0． (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0a －2≤0，∴a ≤－1． 综上可知a 的取值范围是a ≤－1．『规律方法』 (1)在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况．(2)由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x ＝0得纵截距；令y ＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．〔跟踪练习2〕设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值： (1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0．[解析] (1)∵直线l 的斜率存在，∴直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2.由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5．(2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1．由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1． 命题方向3 ⇨平行与垂直的应用典例3 求过点A (2,2)且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线l ：3x ＋4y －20＝0平行； (2)与直线l ：3x ＋4y －20＝0垂直．[解析] 解法一：已知直线l ：3x ＋4y －20＝0的斜率k ＝－34．(1)过A (2,2)与l 平行的直线方程为 y －2＝－34(x －2)．即3x ＋4y －14＝0．(2)过A 与l 垂直的直线的斜率k 1＝－1k ＝43方程为y －2＝43(x －2)．即4x －3y －2＝0为所求．解法二：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c ＝0 ∴c ＝－14.∴所求直线为3x ＋4y －14＝0． (2)设所求直线方程为4x －3y ＋λ＝0 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0 ∴λ＝－2.∴所求直线为4x －3y －2＝0．『规律方法』 1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0．2．直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0若l 1⊥l 2则：A 1A 2＋B 1B 2＝0；若A 1A 2＋B 1B 2＝0则l 1⊥l 2．若l 1∥l 2，则A 1B 2－A 2B 1＝0，反之若A 1B 2－A 2B 1＝0，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 3.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，再由直线所过的点确定C 1；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确定C 2．〔跟踪练习3〕(1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0(2)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( A ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0[解析] (1)所求直线与直线x －2y －2＝0平行，故所求直线的斜率k ＝12，又直线过点(1,0)，利用点斜式得所求直线方程y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．(2)由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l的典例4 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值.[错解] 由1×3－m (m －2)＝0，得m ＝－1或3．[错因分析] 因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等，所以上述解法忽略检验截距是否相等．[正解] 由1×3－m (m －2)＝0得，m ＝－1或m ＝3． 当m ＝－1时，l 1：x －y ＋6＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0． 两直线显然不重合，即l 1∥l 2．当m ＝3时，l 1：x ＋3y ＋6＝0，l 2：x ＋3y ＋6＝0． 两直线重合．故m 的值为－1．[警示] (1)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则A 1B 2－A 2B 1＝0⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合．所以，由A 1B 2－A 2B ＝0求出参数值后，需检验两直线是否重合． (2)在直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 2＋B 2≠0； (3)直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，斜率为k ＝－AB .〔跟踪练习4〕直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于( C )A ．2或3B ．2C ．3D ．－3[错解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.故选A ．[错因分析] 错解忽视了当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0且－(m 2－4)＝0．[思路分析] 直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 与B 满足的条件是A 与B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.当A ＝B ＝0时，方程变为C ＝0，不表示任何图形．[正解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3，当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，则m ＝2不合题意，仅有m ＝3，故选C ．1．点线接合关系若点P 在曲线(直线)C 上，则点P 的坐标满足曲线(直线)C 的方程，反之也成立． 典例5 已知直线ax ＋3y ＋2a －1＝0过点(－1,1)，则a ＝__－2__. [解析] 由条件得，－a ＋3＋2a －1＝0 ∴a ＝－2． 〔跟踪练习5〕已知2a 1＋3b 1＝1,2a 2＋3b 2＝1，则过点A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)的直线方程为__2x ＋3y ＝1__． [解析] 由条件知，点A ，B 的坐标满足方程2x ＋3y ＝1，又经过A ，B 两点有且仅有一条直线，∴过A ，B 的直线方程为2x ＋3y ＝1．2．过直线定点典例6 直线(2λ＋1)x ＋(1－λ)y ＋λ－4＝0恒过定点__(1,3)__.[解析] 分离参数得λ(2x －y ＋1)＋(x ＋y －4)＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3所以无论λ取何值，直线都过定点(1,3)． 〔跟踪练习6〕直线(t ＋2)x ＋(1－t )y ＋3－t ＝0过定点__⎝⎛⎭⎫－23，－53__． [解析] 分离参数得：(x －y －1)t ＋2x ＋y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0x －y －1＝0得⎩⎨⎧x ＝－23y ＝－53.∴直线过定点⎝⎛⎭⎫－23，－53． 1．直线3x －2y －4＝0的截距式方程为( D ) A ．4x 3－y2＝1B ．x 13－y 12＝1C ．3x 4－y－2＝1D ．y 43＋y－2＝1[解析] 由3x －2y －4＝0，得3x －2y ＝4，即x 43＋y－2＝1，故选D ．2．已知点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，则a 等于( A ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2[解析] ∵点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，∴2×3＋a －7＝0，∴a ＝1．3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a 、b 、c 应满足( B ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0[解析] 如图由图可知，直线的斜率k ＝－a b <0，∴ab >0，又直线在y 轴上的截距为－cb >0，∴bc <0，故选B ．4．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝__2__；若l 1∥l 2，则b ＝__－98__.[解析] 由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2，则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b2＝－1，解得b ＝2，当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34，解得b ＝－2k 1·k 2＝－98．A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·南安一中高一检测)直线x －y ＋2＝0的倾斜角是( B ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90[解析] 由x －y ＋2＝0，得y ＝x ＋2． 其斜率为1，倾斜角为45°．2．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( D ) A ．－2B ．－3C ．－2或－3D ．2或3[解析] ∵两直线平行，∴2×3＝m (m ＋1)，∴m 2＋m －6＝0 解得m ＝2或m ＝－3，经检验满足题意．3．直线3x －2y －4＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是( D ) A ．34，－12B ．13，12C ．34，－2D ．43，－2[解析] 将3x －2y －4＝0化成截距式为x 43＋y－2＝1，故该直线在x 轴、y 轴上的截距分别是43，－2．4．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值为( D ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2[解析] 由题意，得(－a2)×(－1)＝－1，a ＝－2．5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[解析] 解法一：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0．解法二：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．6．直线l ：(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒过定点( B ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1，－1)D ．(1,1)[解析] 由(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0，得k (x －y －2)＋x ＋y ＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝0x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1． ∴直线l 过定点(1，－1)． 二、填空题7．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为__2或－3__.[解析] 若m ＝－1，则l 1的斜率不存在，l 2的斜率为13，此时l 1与l 2不平行；若m ≠－1，则l 1的斜率为k 1＝－2m ＋1，l 2的斜率为k 2＝－m 3.因为l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，即－2m ＋1＝－m3，解得m ＝2或－3.经检验均符合题意．8．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫32，＋∞__. [解析] 直线方程可化为y ＝(3－2t )x －6 ∴3－2t ≤0，∴t ≥32．三、解答题9．求与直线3x －4y ＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 的方程. [解析] 解法一：由题意知：可设l 的方程为3x －4y ＋m ＝0 则l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－m 3，m4．由－m 3＋m4＝1知，m ＝－12．∴直线l 的方程为：3x －4y －12＝0． 解法二：设直线方程为x a ＋yb＝1由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－b a ＝34. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3．∴直线l 的方程为：x 4＋y－3＝1．即3x －4y －12＝0．10．(2018·武威一中高一期末)当0<a <2时，直线l 1：ax －2y ＝2a －4与l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4和两坐标轴围成一个四边形，问a 取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值.[解析] 如图，由已知l 1：a (x －2)－2(y －2)＝0，l 2：2(x －2)＋a 2(y －2)＝0． ∴l 1、l 2都过定点(2,2)，且l 1在y 轴上的截距为2－a ，l 2在x 轴上的截距为a 2＋2． ∴四边形面积：S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(2＋a 2)＝a 2－a ＋4＝(a －12)2＋154，又0<a <2，故当a ＝12时，S min ＝154．B 级 素养提升一、选择题 1．若直线y ＝－33x ＋4与直线l 垂直，则l 的倾斜角为( B ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°[解析] ∵直线l 与y ＝－33x ＋4垂直，∴k l ＝3． 直线倾斜角θ的正切值tan θ＝3，故θ＝60°．2．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( D ) A ．12abB ．12|ab |C ．12abD ．12|ab |[解析] ∵ab ≠0，∴令y ＝0，得x ＝1a令x ＝0，得y ＝1b∴三角形的面积S ＝12·1|a |·1|b |＝12|ab |．3．方程y ＝k (x ＋4)表示( C ) A ．过点(－4,0)的一切直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且不平行于x 轴的一切直线[解析] 方程y ＝k (x ＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C ． 4．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( D ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C ．⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ≠－1D ．⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1[解析] 根据两直线平行可得m 1＝1m ，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m ＝1时，n ≠－1；m ＝－1时，n ≠1．二、填空题5．(2016～2017·合肥高一检测)已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为__3x ＋4y ±24＝0__.[解析] 设直线l 方程为3x ＋4y ＋b ＝0令x ＝0得y ＝－b 4； 令y ＝0得x ＝－b 3． 由条件知12·⎪⎪⎪⎪－b 4·⎪⎪⎪⎪－b 3＝24． 解之得b ＝±24．∴直线l 方程为3x ＋y ±24＝0．6．若直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1在y 轴上截距等于1，则实数m 的值__3__.[解析] 直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1的方程可化为(m ＋1)x ＋(m ＋1)(m －2)y ＝m ＋1由题意知m ＋1≠0，(m －2)y ＝1，由题意得1m －2＝1 ∴m ＝3．C 级 能力拔高1．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．[解析] (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，所以l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．(2)将方程化为斜截式方程：y ＝ax －a －35.要使l 经过第一、三、四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0－a －35<0，解得a >3．2．求满足下列条件的直线方程.(1)经过点A (－1，－3)，且斜率等于直线3x ＋8y －1＝0斜率的2倍；(2)过点M (0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12．[解析] (1)因为3x ＋8y －1＝0可化为y ＝－38x ＋18所以直线3x ＋8y －1＝0的斜率为－38则所求直线的斜率k ＝2×(－38)＝－34． 又直线经过点(－1，－3)因此所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1) 即3x ＋4y ＋15＝0．(2)设直线与x 轴的交点为(a,0)因为点M (0,4)在y 轴上，所以由题意有4＋a 2＋42＋|a |＝12 解得a ＝±3所以所求直线的方程为x 3＋y 4＝1或x －3＋y 4＝1 即4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0．。
直线方程的一般式
x y + =1 a b
不垂直于x 不垂直于x、y 轴的直线， 轴的直线，不 过原点的直线
问题：上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？ 问题：上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？ ? x+ ? y+ ? =0
y − y1= k( x − x1 )
4 已知直线过点A(6,-4),斜率为 − ,求直线的点斜式、 求直线的点斜式、 例1 .已知直线过点 已知直线过点 斜率为 求直线的点斜式 3 斜截式、一般式和截距式方程. 斜截式、一般式和截距式方程
把直线l的一般式方程 化成斜截式， 例2.把直线 的一般式方程 –2y+6= 0化成斜截式，求 把直线 的一般式方程x 化成斜截式 出直线l的斜率和它在 轴与y轴上的截距，并画图. 出直线 的斜率和它在x轴与 轴上的截距，并画图 的斜率和它在 轴与 轴上的截距
kx+ (−1) y + y1 − kx1 = 0
kx+ (−1) y + b = 0
(y2 − y1)x+(x1 − x2)y+ x1(y1 − y2)+ y1(x2 − x1) =0
y = kx + b
y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1
x y + =1 a b
bx + ay + ( − ab) = 0
对于任意一个二元一次方程:Ax+By+C=0(A,B不同时为零 不同时为零) 对于任意一个二元一次方程 不同时为零
A C = 1)当B ≠0时,方程可变形为: y A − B x − B C
直线方程的一般式
直线方程的一般式1 直线方程直线方程是代数学中的一类常见方程，用于表示直线的位置和形状，与圆、椭圆等等曲线的方程一样，直线的几何型也是经典几何学中的主要概念，它也用于代数学和几何学中的诸多领域。
直线方程的一般式表示为y=ax+b(a!=0)，其中a和b是两个实数系数，x和y为两个变量，即在坐标平面上的横坐标和纵坐标，它们可以代表直线上的任意一个点。
即：2 直线与坐标轴上的点直线上每一点都有一个唯一的坐标，一般形式上一条直线可以由两个不共线的两个点A(X1, Y1)和B(X2, Y2)表示，直线方程就是用两个点构成的直线表示方法。
又如，当上图中的直线与坐标轴交点相应的横坐标分别为-3和3，纵坐标为4和-4，即A(-3,4)，B(3,-4)，可以推出直线的斜率为1/-1：3 直线方程的斜率斜率是指一条直线与水平坐标轴的夹角，用其倒数或斜率系数表示，斜率系数可由以下公式推出：斜率k= (y2-y1)/(x2-x1)又如，上例中A(-3,4)，B(3,-4)，由上式可推出斜率系数k= (-4-4)/(3+3)= -1/1 = -1。
因此用直线的两个点的坐标配合斜率系数，可以推出原直线方程的一般式表示：y=ax+b4 直线方程的特殊形式当a=1时，直线方程的一般式可简化为y=x+b，又称斜率系数为1的直线方程；当a=0时，直线方程的一般式可以变为y=b，两侧没有变量，此直线方程又称斜率系数为0的变量表达式，这类方程表示的是一条垂直于X轴的直线；5 直线方程的求解由直线方程的一般式表示可知：a的解可以从斜率系数获得，b的解可以从坐标点求出。
求解流程：（1）根据坐标点及斜率系数算出斜率；（2）由斜率系数求a；（3）由一个点求出b；（4）将a和b代入直线方程的一般式即可。
6 直线方程的应用直线方程在日常生活当中具有重要应用，可以用来解决很多实际问题，比如图像图案的设计、统计曲线的拟合分析、科学计算等等。
此外，直线方程还可以用来求解一些变量之间的关系，可以运用曲线拟合的方法去求解两组数据之间的联系，这样就可以从中了解数据是否存在规律。
直线方程的一般式 课件
解法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c＝0 ∴c＝－14.∴所求直线为3x＋4y－14＝0． (2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0 ∴λ＝－2.∴所求直线为4x－3y－2＝0．
『规律方法』 1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋ By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0．
则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即 3x＋y＝0； 若 a≠2，由题设 l 在两轴上的截距相等，∴aa－ ＋21＝a－2 即 a＋1＝1，∴a＝0，方程即 x＋y＋2＝0． ∴l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0． (2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2 ∴欲使 l 不经过第二象限，当且仅当－ a－a2＋≤10>0或－ a－a2＋≤10＝0，∴a≤－1． 综上可知 a 的取值范围是 a≤－1．
[正解] 由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3． 当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0． 两直线显然不重合，即l1∥l2． 当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0． 两直线重合．故m的值为－1．
[警示] (1)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 A1B2 －A2B1＝0⇔l1∥l2 或 l1 与 l2 பைடு நூலகம்合．
命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用
典例 2 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
直线方程的一般式
新课:
方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）叫做 直线的一般式方程. 任何一条直线的方程不管是用点斜式, 还是用斜截式表示的，都可以化成一般式。
例1.已知直线l:3x-4y+5=0,求l的斜率和在y 轴上的截距. Ax＋By＋C＝0
当B ≠ 0
A C y = − x− B B
A 则k = − , B
复习: 直线方程的几种形式: y − y0 = k ( x − x0 ) 点斜式方程 斜截式方程 过点M 0 ( x0 , y 0 ), 斜率为k
y = kx + b
斜率为k , 在y轴上截距为b
直线与二元一次方程的关系： 直线的方程都是二元一次方程； 任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条 直线。
C b=− B
小结:求斜率的方法: k = tan α
y2 − y1 = x2 − x1
A =− B
求满足下列条件的直线方程,且化成一般式: (1)已知直线 l 过两点M1( 5,- 3 ) , M2( 1, - 2 ); (2)已知直线 l 的斜率 k = -3 ,在 y 轴上截距为2; (3)已知直线 l 经过点M0( -3, 2 ) ,且斜率为 k = - 0.5; (4)已知直线 l 的斜率 k = -3,在 x 轴上的截距为2;
直线过点 ( 2 ，）， 0 , − 3） 0 ( −3−0 3 3 ∴ k= = ∴ y = x −3 0−2 2 2 即 3x − 2 y − 6 = 0
即 y - 3=0 即 x+2=0
(6) y =3 (7) x = - 2
特殊位置的直线方程 直线的名称 平行于x轴的直线 直线的方程
y = b (b ≠ 0 )
请你练一练
空间直线的一般式方程
空间直线的一般式方程
在三维空间中，直线可以用一般式方程来描述。
一般式方程是一个包含两个未知数的方程，通常写作：
Ax + By + Cz + D = 0
其中，A、B、C是直线的方向向量的坐标，D是常数项。
通过这个方程，可以描述空间中的任意一条直线。
要求一条直线的一般式方程，需要知道直线上的一点和直线的方向向量。
假设给定点为P(x1, y1, z1)，直线的方向向量为v(a, b, c)，则该直线的一般式方程可以表示为：
a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0
其中，x、y、z是直线上任意一点的坐标。
这个方程可以进一步化简为：
ax + by + cz + d = 0
其中，a = A，b = B，c = C，d = -(a*x1 + b*y1 + c*z1)。
通过这个方程，可以方便地求出直线上任意一点的坐标。
如果已知另外两个点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，可以通过它们的坐标求出直线的方向向量v，进而求得该直线的一般式方程。
- 1 -。
直线方程的五种形式是什么 包括哪五种
直线方程的五种形式是什么包括哪五种
直线方程主要包括一般式、点斜式、斜截式、两点式、截距式五种，详细形式如下，一起来看吧！
直线方程的五种形式
1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y －y0＝k(x－x0)。
2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b
3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。
4：截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1
5：一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式。
直线方程相关学问点
求对称图形
⑴点（x1,y1）关于点(x0,y0)对称的点：（2x0-x1,2y0-y1)
⑴点（x0,y0）关于直线Ax+By+C=0对称的点：
( x0-2A(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) ，y0-2B(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) )
⑴直线y=kx+b关于点（x0,y0）对称的直线：y-2y0=k(x-2x0)-b
⑴直线1关于不平行的直线2对称：定点法、动点法、角平分线法
求对称轴
⑴两点的对称点：①求中点坐标
⑴两点的对称轴：①求中点坐标②求线段斜率③求与线段垂直的对称轴斜率④点斜式
⑴两条平行线的对称轴：①设P（x,y）在对称轴上②设方程d(Pl1)=d(Pl2)
⑴两条相交且不垂直的直线的对称轴：①角平分线斜率公式②k0k1=-1③求交点④点斜式。
直线的一般式方程
拓
展
课堂小结
1. 直线方程常见的几种形式. 2. 比较各种直线方程的形式特点和适用范围. 3. 求直线方程应具有多少个条件？ 4. 学习本节用到了哪些数学思想方法？ 5. 二元一次方程的每一个解与坐标平面中的点有什 么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？
课后作业
1. 阅读教材P.97到P.99； 2. 课后练习.
复习引入
4. 截距式方程：
x y 1 a b
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴交点(0, b)) 不适合过原点的直线]
讲授新课
研读教材P.97－P.98:
1. 平面直角坐标系中的每一ห้องสมุดไป่ตู้直线都可以用一个关于
x, y的二元一次方程表示吗？
2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 3. 直线的一般式方程是什么？
Ax＋By＋C＝0 (A、B不同时为0)
例
4 例1.已知直线经过点A(6, －4), 斜率为 , 求直线的 3 点斜式和一般式方程.
题
例2. 设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且
分
|PA| ＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线
PB的方程是________．
析
思
1：已知直线 在方程Axl＋ By ＋C＝0 A＋ 、B B1、 CC 为何值 拓展2 l2分别是 l中， y＋ 3 1、 1: A1x 1＝0(A1、
直线的一般式方程
复习引入
1. 点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点(x0, y0)及斜率k存在) 2. 斜截式方程： y＝kx＋b [已知斜率k存在及截距 b(与y轴交点(0, b)] 3. 两点式方程： y y1 x x1 y 2 y1 x 2 x 1
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