高中数学1.2.1任意角的三角函数(二)
2019 2020高中数学第1章三角函数121任意角的三角函数第2课时三角函数线及其应用教案新人教A版
三角函数线及其应用课时第21．有向线段(1)定义：带有方向的线段．OMMP. (2)表示：用大写字母表示，如有向线段，2．三角函数线PPPMxM. ，过垂直于作轴，垂足为作图：①(1)α的终边与单位圆交于AxT. α0)作的终边或其反向延长线于点轴的垂线，交②过(1，(2)图示：MPOMAT，分别叫做角α、结论：有向线段(3)的正弦线、余弦线、正切线，统称为三、角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？xy轴上当角的终边落在轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在提示：时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．π8π1．角和角有相同的( )77A．正弦线 B．余弦线．不能确定D ．正切线C．π8πC [角和角的终边互为反向线，所以正切线相同．]772．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )OMAT′．正弦线′，正切线 A OMAT′．正弦线′，正切线 B MPAT，正切线C．正弦线MPAT′，正切线′D．正弦线MPAT，C，正切线为正确．C [α为第三象限角，故正弦线为]3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为．y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，0的余弦线长度为时，α的终边落在1 [若角α1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．【例1ππ10π17.(3)－；(2)；(1)364 [解]如图．MPOMAT为正切线．其中为正弦线，为余弦线，三角函数线的画法x轴的垂(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．xA)的终边(α作正切线时，应从(1，0)点引为第一或第四象限角轴的垂线，交α(2)ATT.于点，即可得到正切线或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)π5 1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．8 ]如图：[解π5????MP－＝，sin??8π5????OM－，cos＝??8π5????AT－. ＝tan??8) ＞cos β，那么下列结论成立的是( 【例2】 (1)已知cos αβsin α＞sin ．若Aα、β是第一象限角，则α＞tan β是第二象限角，则B．若α、βtanα＞sin βC．若α、β是第三象限角，则sin＞tan β．若α、β是第四象限角，则tan αDππ4π2π4π22π4 的大小．，tan和tan和(2)利用三角函数线比较sin和sin，coscos553533在规定象限内画观察正弦线或正、β的余弦线出α→思路点拨：(1) 切线判断大小满足cos α＞cos β2π4π观察图形，(2)作出和的正弦线、余弦线和正切线→比较大小35 错误；A，故βsin ＜αsin 时，βcos ＞αcos 可知，(1)由图[ D)1(图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]图(4)2π2π2π4π4πMPOMATMPOM′，＝′，tan＝，＝′cos＝＝解：如图，(2)sin，cos，333554πAT′.＝tan 5．MPMP′|，符号皆正，| 显然|′|＞2π4π∴sin＞sin；352π4πOMOM′|，符号皆负，∴cos＞cos；|＜| |352π4πATAT′|，符号皆负，∴tan＜tan|＞||.35(1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2π2π2πabc＝tan，则( ＝cos， 2．已知sin＝，)777abcacb＜．．＜B＜＜A babcac＜．D＜．C＜＜D[由如图的三角函数线知：2π2ππATMP＞，因为＝＜，784MPOM，＞所以．2π2π2π所以cos＜sin＜tan，777bac.]所以＜＜πππ3π3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，4224上述长度关系又如何？ππMPOMAT，，余弦线为，正切线为α＜时，角α的正弦线为[解] 如图所示，当＜42π3πATMPOMMPOM′，′时，角α显然在长度上，的正弦线为＞′，余弦线为＞＜；当＜α24ATATMPOM′.′＞′＞′正切线为′，显然在长度上，]探究问题[aaa (|α≥|≤1)的不等式？，sin α≤1．利用三角函数线如何解答形如sinaaa(|，sin α≤|≤1)的不等式：提示：对形如sin α≥图①yOMaay轴的垂线交单位圆于两作)，过点(0画出如图①所示的单位圆；在，轴上截取＝PPOPOPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为和点和和′；写出终边在′，并作射线aa的角α的范围．α的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin ≥sin 满足不等式α≤aaa|≤1)的不等式？≤α(|．利用三角函数线如何解答形如2cos α≥，cosaaa|≤1)的不等式：≤cos α对形如提示：cos ≥，α(|图②．xaaxOM轴的垂线交单位圆于两，0)＝，过点画出如图②所示的单位圆；在(轴上截取作OPOPPPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为满′，作射线′；写出终边在点和和和aa cos α的角α≥足不等式cos α≤的范围．的角α的范围，其余部分即为满足不等式3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．【例132. αα|≤(1)cos α＞－≤；(3)|sin ；(2)tan 223的写出角α确定对应确定角α的终→思路点拨：→――方程的解边所在区域取值范围[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是3π3π???kkk?Z，＜α＜2π2＋π－∈. α???44??(2)如图，由正切线知角α的取值范围是ππ???kkk?Zπ＋∈π，α≤. α???62??111(3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤.222如图，由正弦线知角α的取值范围是ππ???kkk?∈，π＋Zπ－α≤≤.α???66??2”，求α的取值范围．的不等式改为“cos α＜ 1．将本例(1)2[解]如图，由余弦线知角α的取值范围是π7π???kkk?Z＜2，π2＋π＋∈＜α. α???44??132．将本例(3)的不等式改为“－≤sin θ＜”，求α的取值范围． 22π117π3π2π????－＝－，sin且－≤sin θ＝]由三角函数线可知sin＝sin，sin＝[解??62633223，故θ的取值集合是＜ 2ππ2π7π????kkkk????k＋22π2，＋π＋π，2π－ (．∈Z)∪????6633yx－1的定义域．．利用本例的方法，求函数＝2sin 3x－1≥0，2sin ]要使函数有意义，只需解[1x≥.即sin 2π5π??kk??k＋＋，2π2π∈Z)． (由正弦线可知定义域为??66利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．(3)在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的提醒：所有角的集合．．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小1 问题，难点是对三角函数线概念的理解． ．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题2 ；三角函数线的画法，见类型1(1) ；利用三角函数线比较大小，见类型2(2)3.利用三角函数线解简单不等式，见类型(3)．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值3的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之 重． ．利用三角函数线解三角不等式的方法41．下列判断中错误的是( )A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定B ．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C ．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上π5πB [A正确；B 错误，如与有相同正弦线；C 正确，因为α与π＋α的终边互为反66向延长线；D 正确．]πOMMP 分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( 2．如果， )5MPOMMPOM ＜0＜．B0＜＜．A ．MPOMMPOM 0＞＞＞＞0 DC ．．ππOM 的余弦线和正弦线满足α＝[角β＝的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角D 54MP 0.]＞＞baba，则cos 4 ，3．若．＝sin 4，的大小关系为＝ππ35ba＜，＜＜ [因为424 ，如图4弧度角的正弦线和余弦线()画出ba.]＜cos 4，即观察可知sin 4＜的集合．α的终边范围，并由此写出角α．在单位圆中画出适合下列条件的角413. α≤－(1)sin α；≥(2)cos 223yOBABOA＝(1)作直线[α的终边在如图①所交单位圆于解，两点，连接]，，则角2π2???kkk?∈Zπ，≤π≤απ＋2＋2.α)含边界，角的取值集合为α(示的阴影区域内???33??图①图②1xCDOCOD，则角α＝－(2)作直线交单位圆于，两点，连接，的终边在如图②所示的2．24???kkk?∈，Zπ≤α≤＋2π2π＋π.阴影区域内(α的取值集合为，角含边界)α???33??。
高中数学第一章三角函数1_2_1任意角的三角函数第二课时三角函数线及其应用学案含解析新人教A版必修4
第二课时三角函数线及其应用[提出问题]在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，过A(1,0)作AT⊥x轴，交终边或其反向延长线于点T.问题1：根据上面的叙述画出α分别取135°，30°，225°和－60°时的图形．提示：问题2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？提示：可以，|sin α|＝|MP|，|cos α|＝|OM|，|tan α|＝|AT|.[导入新知]1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线三角函数线的四个注意点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．[例1] 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．[解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .[类题通法] 三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .[活学活用]作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线．解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .[例2] 分别比较sin 3与sin 5；cos 3与cos 5；tan 3与tan π5的大小．[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x 轴非负半轴为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox ，垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT .同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′.由图形可知，MP >M ′P ′，符号相同，则sin2π3>sin 4π5；OM >OM ′，符号相同，则cos 2π3>cos 4π5；AT <AT ′，符号相同，则tan 2π3<tan 4π5.[类题通法]利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．[活学活用] 设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？解：如图所示，当π4<α<π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT >MP >OM ；当π2<α<3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′>M ′P ′>OM ′.[例3] (1)sin α<－12；(2)cos α>32.[解] (1)如图①，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6，故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z .(2)如图②，过点⎝⎛⎭⎪⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos ∠xOP ′＝32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6， 故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z .[类题通法]利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．[活学活用]利用三角函数线求满足tan α≥33的角α的范围． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k ²π＋π6≤α<k ²π＋π2，k ∈Z2.三角函数线的概念[典例] 已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．y 轴的非负半轴上 B ．y 轴的非正半轴上 C ．x 轴上 D ．y 轴上[解析] 由题意可知，sin α＝±1，故角α的终边在y 轴上． [答案] D [易错防范]1．本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有向线段时，sin α＝1，从而误选A. 2．若搞错正弦线和余弦线的位置，则易错选C.3．解决此类问题要正确理解有向线段的概念，既要把握好有向线段是带有方向的线段，有正也有负，同时也要把握准正弦线和余弦线的位置．[成功破障]已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上 答案：C[随堂即时演练]1．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、四象限的角平分线上D ．第一、三象限的角平分线上 答案：C2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM答案：D3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________． 答案：14．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________． 答案：sin 1>cos 15．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，利用单位圆证明：sin θ＋cos θ＞1.证明：如图所示，设角θ的终边交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M .因为sin θ＝MP ＝|MP |，cos θ＝OM ＝|OM |，所以sin θ＋cos θ＝|MP |＋|OM |＞|OP |，而|OP |＝1，所以sin θ＋cos θ＞1.[课时达标检测]一、选择题1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定答案：C2．已知α的余弦线是单位长度的有向线段，那么α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y ＝x 上 D ．以上都不对 答案：A3．若π4＜θ＜π2，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．tan θ＜cos θ＜sin θB ．sin θ＜tan θ＜cos θC ．cos θ＜tan θ＜sin θD ．cos θ＜sin θ＜tan θ答案：D4．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b答案：C5．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]答案：A 二、填空题6．利用单位圆，可得满足sin α＜22，且α∈(0，π)的α的集合为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 7．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，22 三、解答题9．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线和正切线．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线和正切线．解：如图：α＝7π6的余弦线、正弦线和正切线分别为OM ，MP 和AT .10．利用单位圆中的三角函数线，求满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0的x 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ＞12.如图所示，由三角函数线可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π k ∈Z ，2k π－π3<x ＜2k π＋π3 k ∈Z .此交集为图形中的阴影重叠部分，即2k π≤x ＜2k π＋π3(k ∈Z)．故x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z .11．试利用单位圆中的三角函数线证明：当0<α<π2时，sinα<α<tan α.证明：如图，单位圆与α的终边OP 相交于P 点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，连接AP ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作AT ⊥x 轴交OP 于点T ，则sin α＝MP ，α＝AP ，tan α＝AT ，由S 扇形OAP <S △OAT，即12OA ²AP <12OA ²AT ，所以AP <AT .又MP <PA <AP ，因此MP <AP <AT ，即sin α<α<tanα.。
最新人教版数学必修4第一章1.2.1 任意角的三角函数(第二课时)解学设计
课题：任意角的三角函数（第二课时）一、教材分析●教学内容《任意角的三角函数》是普通高中课程标准实验教科书（必修4）第一章《三角函数》第二节的内容，课程标准安排本节内容授课时间为三课时，本节课作为第二课时.三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数的相关公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图象和性质，可以说，三角函数线是研究三角函数的有利工具.●地位与作用本小节给出了任意角的三角函数的代数定义和几何定义，这里用一个课时学习其几何定义-----三角函数线.三角函数线是三角函数定义的又一种表现形式，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，又为继续学习三角函数的各种性质，如定义域、值域、单调性、最值等提供了另一种工具，具有承上启下的作用.由于本节内容是概念性的基础内容，所以其重要性不言而喻.二、学情分析就学生而言，已经学习了三角函数的定义，三角函数在各象限的符号、诱导公式一和单位圆的相关知识，对有向线段的相关知识也有所认知，已经具备了对三角函数线探究的能力.三、目标分析依据课程标准的要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：●知识目标①理解三角函数线的定义, 理解“有向线段”的定义；②掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值；③能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.●能力目标借助多媒体演示让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和探索的能力；并逐步形成自觉运用几何方法解决代数问题的能力，提高学生抽象概括、形象表述等数学核心素养.●情感、态度与价值观激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长.通过数形结合思想的应用，体会到由数转化为形所带来的美感.四、教学重点、难点●重点：三角函数线的作法及其简单应用.●难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数分别用它们的几何形式表示出来.五、教学方法与教学手段1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”—问题串导引教学.2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.3．教学手段：引导学生学会用三角函数的几何定义解决三角代数问题的方法，学会运用数形结合思想解决三角问题.六、教学过程教学环节教学内容学生活动设计意图复习引入复习引入：1.三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么:（1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；（2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；（3)叫做α的正切，记作tanα，即学生回答巩固上节课的学习成果；为本节课的学习做好铺垫.tanα=（x≠0）2.三角函数在各象限的符号：yx oαsin yxoαcosyxoαtan+--+--++-+-+设置疑问点明主题以前我们学习指数函数和对数函数时，都是先学习函数的定义，然后画出图象，利用图象来研究函数的性质.三角函数是特殊的函数，当然也是一样的探讨顺序，当我们了解了三角函数的定义后，如何才能精确地画出三角函数的图象呢？那就必须知道三角函数定义的几何表示----三角函数线.学生思考用问题情境引出课题，可以增强学生的好奇心,激发学生的求知欲.思考1：若角α为第一象限角，能否借助单位圆用几何图形表示角α的正弦值？学生回实验探索辨析研讨利用定义y=αsin.取角α的终边与单位圆的交点为P,过点P作x轴的垂线，设垂足为M，则sin y MPα==.思考2：若角α为第二、三、四象限角，能否借助单位圆用几何图形表示角α的正弦值？(动画演示)由图可知sin y MPα==±，那么能否几何图形表示，这条线段既能表示角α的正弦值的数值，又能体现其在各象限的符号？于是,有向线段MP叫做角α的正弦线.即αsin=MP.角α的终边与x轴重合时，正弦线答动画演示学生观察概念引入，指导学生学会用三角函数的几何定义解决三角函数的代数问题的方法，引导学生建立有向线段（的数量）与三角函数值之间的对应.实验探索辨析研讨变成一个点，此时正弦值为0.思考3:哪条有向线段能表示角α的余弦值？cos x OMα==.有向线段OM叫做角α的余弦线.角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，此时余弦值为0 ．思考4：若角α为第一象限角，用哪条有向线段表示角α的正切值？ATxy==αtan.学生思考学生回答学生回答通过类比正弦线、快速的寻找出余弦函数值的几何形式--余弦线.实验探索辨析研讨思考5：若角α为第四象限角，此时用哪条有向线段表示角α的正切值？ATxy==αtan.有向线段AT叫做角α的正切线.思考6：当角α的终边在坐标轴上，正切线又如何？当角α的终边与x轴重合时，正切线变成一个点，tanα=0；当角α的终边与y轴重合时，正切线不存在，tanα不存在.教师引导学生回答学生回答七、教学反思关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是先交待三种三角函数线，再讲应用；另一个设想是，先指出正弦线、余弦线及它们的应用，然后再引入正切线及三线综合运用.本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维的培养．我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，让学生去猜、去找三角函数的几何形式，而不是教师包办代替．数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面.将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用.通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．可以说有了三角函数线，有关三角函数的问题都能解决，至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好,而函数的周期性等，用图像更为直观.本节课还是有许多的不足之处，比如：没能大胆放开手让学生进行自主活动，学生的探究活动还是过少，如果三角函数线的寻找过程能让学生分组讨论得到，本节课将会更加充实.。
1.2.1任意角的三角函数(二)
茅盾中学 沈晓强
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2014年7月7日星期一
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首页 例1、作出下列各角的正弦线, 余弦线, 正 切线 : 教学过程 5 (1) ; ( 2) ; 引入 3 6 进行 2 13 小结 (3) ; ( 4) ; 3 6 作业
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2、求下列三角函数值 :
(1) sin( 1050 );
0
19 ( 2 ) tan . EXIT 3
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首页 三角函数的几何意义 :
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三角函数线
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引入 进行 小结 作业
教学过程
§ 1.2.1 任意角的三角函数 (二)
1.2.1任意角的三角函数(2)
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例1 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672 ) = tan(48 2 360 ) tan 48， 而 48是第一象限角，所以 tan(672 ) 0 ； sin 0 . （3）因为 是第四象限角，所以 4 4
y
T M O P
α的终边
y
A(1, 0) x
M A(1, 0) O PT
x
α的终边
因 P(x，y)，所以线段OM的长度为 | x | ， 线段MP的长度为 | y | .
|MP|=|y|=|sinα|;
|OM|=|x|=|cosα|
思考:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的 取值与P点的坐标一致? 以坐标轴的方向来规定OM,MP的方向，以 使他们与P点的坐标联系起来。
p15练习(7)题
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
p17练习(2)题
cos x x x OM r 1
y MP AT tan AT x OM OA
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、 AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线 、正切线．
1.2.1任意角的三角函数课件高中数学人教A版必修4第一章
反思与感悟
利用诱导公式一可把负角的三角函数
化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三
角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化
正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
明目标、知重点
跟踪训练3
求下列各式的值：
23π
(1)cos－ 3 ＋tan
解
17π
4 ；
π
π
原式＝cos3＋－4×2π＋tan4＋2×2π
角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广
后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角
函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
明目标、知重点
探究点一 锐角三角函数的定义
思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知
a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，
反思与感悟
准确确定三角函数值中角所在象限是基
础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问
题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、
四余弦”来记忆.
明目标、知重点
跟踪训练2
已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( C )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
明目标、知重点
； 叫做α的正切，记作
②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则
2
2
x
＋y
有sin α＝
，cos α＝
，tan α＝
1.2.1(2)单位圆与三角函数线(高中数学人教A版必修四).ppt
π 5π (2)如图所示，在 0～2π 内作出正切值等于 1 的角：4和 4 ， 则在图中所示的阴影区域内的每个角 x(不包括终边在 y 轴上的 角)均满足 tanx≤1.
π 5π π 所以所求的角 x 的集合为： {x|2kπ＋2<x≤ 4 ＋2kπ 或－2＋ π π π 2kπ<x≤4＋2kπ，k∈Z}＝{x|kπ－2<x≤kπ＋4，k∈Z}．
cos OM tan AT
O P
A(1,0)
α的终边
终边落在第四象限
y
α
sin MP
M A(1,0)
O
P
T
x
cos OM tan AT
α的终边
α的终边 y P α
M
三角函数线
y α的终边 P T x
A(1,0) T
α
O y
O
M A(1,0)
x
sin MP cos OM
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
用 途
三角函数线的具体作用 :
1.比较两个三角函数值的大小
实例
剖析
3π 例1、作出 2π 的正弦线、余弦线和正切线.. 4 3
解：在直角坐标系中作单位圆如图示 2
y y
以x轴的正半轴为始边作出 的角， 3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴，垂足
为M，由单位圆与x轴的正半轴的交点A作 x轴的垂线, 与OP的反向延长线交于T点，
P
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-2-1任意角的三角函数-2
(1)sinβ________sinα. (2)cosα________cosβ. (3)tanβ________tanα. 答：(1)> (2)> (3)>
(1)三角函数线的特征：①三角函数线的位置：正弦线 为角α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段，余弦线在x 轴上，正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三 条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外．②三 角函数线的方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的 交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与 角α的终边或其反向延长线的交点．③三角函数线的正负： 三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴 反向的，为负值．
在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由 此写出角α的集合．
(1)sinα≥ 23；(2)cosα≤－12.
解：直线y＝
3 2
交单位圆于A，B两点，连接OA与OB，则
OA与OB围成的区域(图(1)的阴影部分)即为角α的终边范围．
故满足条件的角的集合为{α|
π 3
＋2kπ≤α≤
2π 3
＋2kπ，k∈
解析：因为π4<1<2π，如图所示：
由三角函数线可得sin1> 22>cos1，故sin1－cos1>0. 答案：>
(2)下列关系式中正确的是( ) A．sin10°<cos10°<sin160° B．sin160°<sin10°<cos10° C．sin10°<sin160°<cos10° D．sin160°<cos10°<sin10°
【解】 如图(1)． ∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12. ∴函数定义域为2kπ－π3，2kπ＋3π(k∈Z)．
1.2.1任意角的三角函数(二)
终边相同的角三角函数值相同
讲授新课
2.诱导公式
终边相同的角三角函数值相同
sin(2k ) sin ( k Z) cos(2k ) cos ( k Z) tan(2k ) tan ( k Z)
讲授新课
3. 例题与练习
例3. 求下列三角函数的值：
1.2.1任意角的 三角函数
复习引入
1. 三角函数的定义
阅读教材P.13，完成探究.
复习引入
1. 三角函数的定义 练习. 已知角的终边上一点P( 3, 1)，
求 cos ，sin , tan 的值.
复习引入
2. 三角函数的符号
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1. 例题与练习 例1. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则
(1) sin( ); 4 9 (3) cos 4
(2) tan(3 ).
练习. 教材P.15练习第7题第⑵、⑷.
课堂小结
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域； 3．三角函数的符号及诱导公式.
课后作业
1. 阅读教材P.11-P.17；
2. 《学案》P..
角是第三象限角，反之也成立.
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1. 例题与练习 例1. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则
角是第三象限角，反之也成立.
练习. 教材P.15练习第6题.
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1. 例题与练习
cos x tan x 例2. 求函数 y cos x tan x
的值域.
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2.诱导公式
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1.2.1 任意角的三角函数(2)
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当 为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作 业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在 射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x
人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(2)(学生版)
学习重点：三角函数线的定义
学习难点：利用三角函数线解决问题
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈
问题1：研究任意角的三角函数定义时，将角放置在平面直角坐标系内有何规定？若角的终边上任意一点P(x，y),到原点的距离为r，则角的正弦、余弦、正切值如何表示？它们在四个象限内的符号有何规律？
问题2：何为有向线段？有向线段MO与OM相同吗？若有向线段MO= - 2，则有向线段
cos=OM,tan=AT ?
二、知识建构与应用：
1.（1）有向线段：。
有向线段的数量：。
（2）单位圆：。
2.请在下边作出终边在不同象限时的三角函数线:
三、例题
例1作出下列各角的三角函数线
（1） （2）
例2利用三角函数线比较下列各组数的大小：
（1） 与 （2)tan 与tan
例3利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角的范围。
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）sinα=，（2）sin≥；(3)tan
思考:
1．根据单位圆上的三角函数线，探究：
（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；
（2）正弦函数、余弦函数在 上的单调性；
（3）正切函数在区间 上的单调性。
2．当角 , 满足什么条件时有sin =sin ？
3．若sin >cos ,则 的取值范围是.
四、巩固练习
OM=,有向线段的数值由什么来确定，其中的负号意味着什么？
问题3：什么是单位圆？设任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则OP=;过点P作x轴的垂线，垂足为M,过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然与y轴平行，设它与角的终边或其反向延长线相交于点T，请说明为什么OM = x,MP = y ?为什么sin=MP,
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
O P=1
在 O M P中 ， O M +M P>O P
y
P M x
o
即 ： s in + c o s > 1
2013-1-11
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
4
MP是正弦线 OM是余弦线
P
y
o
AT是正切线
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
o M
A x T
8
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
练习： 不查表，比较大小
(1) sin 2 3 和 sin 4 5 (2) cos 2 3 和 cos 4 5 (3) ta n 2 3 和 ta n 4 5
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
例 1 .作 出 下 列 各 角 的 三 角 正 弦 线 , 余 弦 线 , 正 切 线 , 并 根 据 三 角 函 数 线 求 它 的 正 弦 值 ,余 弦 值 ,正 切 值 . (1)
4
(2)
4 3
y
T P A M x
4 3
2
s in 1 cos
1 cos s in
证 明 ： 如 图 连 接 AP 在 直 角 CPA中 ，
PCA APM
y
P x MA
2
C
2
o
在 直 角 AM P中 ， MA OA OM 1 cos ta n A P M MP MP s in
1.2.1任意角的三角函数(2)
例2 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 ⑴ sin ; ⑵ tan 2. 2
角的终边
y 1 y
P
1
O 1
1 y 2
1 角的终边 x
P
1
M1
O
- P 1
1
A
x
T
1 变题： 写出满足条件 ≤cosα＜ 2 2 的集合. y
3 的角α 2
3
Q
1
P
6
x
-1
4 3
引入：角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特 征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找 出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.
[探索]
三角函数线
三种三角函数能否找到一种几何表示呢？
y MP sin MP (正弦线) r OP x OM cos OM (余弦线) r OP
课后完成《世纪金榜》P8~P10
预习下节内容：同角三角函数的基本关系
O R -1
S1
11 6
2 |2k ＜α≤ 2k ，或 6 3 4 11 2k ，k Z ≤α＜ 2k 3 6
1. 求函数 f (x ) = 2 cos x - 1 的定义域.
解：如右图所示
探究：当0＜α＜π/2时，总有 sinα＜α＜tanα. S△POA＜S扇形AOP＜S△AOT
y AT tan AT (正切线) x OA
三角函数线
α的终边 P A M o y y P α的终边 T
x T
o
M A x
(Ⅱ) y
y (Ⅰ)
T M o P
M A A x
课时4 任意角的三角函数(2)
§1.2.1 任意角的三角函数（2）
学习目标
1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
自主学习
问题一：回顾任意角α的三角函数定义：
问题二：回顾各象限角的三角函数符号，回答下列问题：
（1） 若sin 0
cos 0θθ>⎧⎨<⎩，则θ为第_____象限角。
反之正确吗？_________
（2） 若θ为第三象限角，则cos θ___0; 反之正确吗？___________
问题三：若30α=︒，则sin α=_______;反之成立吗？为什么？
问题四：由三角函数定义知：终边相同的角的同一三角函数值相等。
用公式表示
为：____________________________________________________.
利用这些公式可把任意角三角函数转化为___________范围内角的三角函数，从而判断出三角函数的符号或求出它的值。
问题五：如何用有向线段来表示各象限内角的三角函数值？请画图说明。
自我检测
1. 设α是三角形的一个内角，在sin α，cos ,tan ,tan
2ααα中，哪些有可能是负
值？
2.判断下列各三角函数值的符号。
（1）cos 16
5π (2) sin -450︒（） (3) tan 17
-8π（）
3.分别在四个直角坐标系中作出下面四个角的正弦线、余弦线和正切线。
（1）3π
（2）56
π （3）2-3π （4）136π-
问题反馈。
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义
解析:角
α
的终边在
y
轴的非负半轴上,则
α=2kπ+
π 2
(������∈Z),所以
tan α 无意义.
答案:A
【做一做 1-2】 若角 α 的终边与单位圆相交于点
2 2
,-
2 2
,
则 sin ������的值为( )
A.
2 2
B.
−
2 2
C.
1 2
D.
−1
解析:x=
2 2
,
������
=
−
2 2
,
则sin
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)∵-670°=-2×360°+50°,
∴-670°是第一象限角,
∴sin(-670°)>0.
又1 230°=3×360°+150°,
∴1 230°是第二象限角,
∴cos 1 230°<0,
∴sin(-670°)cos 1 230°<0.
(2)∵
5π 2
<
8
<
(2)∵
5π 4
是第三象限角,
4π 5
是第二象限角,
11π 6
是第四象限角,∴
sin
5π 4
<
0,
cos
4π 5
<
0,
tan
11π 6
<
0,
∴sin
54π·cos
45π·tan
11π 6
<
0,
式子符号为负.
(3)∵191°角为第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0,
高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？一、任意角的三角函数1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做________，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做________，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做________，记作tan α，即y x＝tan α(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝y r，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.cos α＝x r，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.tan α＝y x，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝y x：交叉正负．” 形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z. 答案：相等四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP ，OM 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP ＝y ＝sin α，OM ＝x ＝cos α.过点A (1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ，则有向线段AT 就是角α的正切线，即AT ＝tan α.3．填写下表中三角函数的定义域、值域：函数定义域值域 y ＝sin α y ＝cos α y ＝tan α答案：1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y ＝sin α R [－1，1] y ＝cos α R[－1，1]y ＝tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈ZR任意角的三角函数的定义1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P 在终边上的位置无关． (2)三角函数值是一个比值，没有单位．三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函数线对于三角函数线，须明确以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．三角函数的定义域1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．基础巩固1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：42．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－3 23．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．答案：454．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角． 答案：第三或第四5．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 答案：二6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．答案：π4或54π7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1能力升级8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－255，cos α<0，则k ＝________．解析：∵sin α＝－255，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a＝－255，∴k ＝2. 答案：210．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值X 围是________． 解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π11．解不等式2＋2cos x ≥0. 解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－22，利用单位圆，借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．12．若π4＜θ＜π2，则下列不等式中成立的是( )A ．sin θ＞cos θ＞tan θB ．cos θ＞tan θ＞sin θC ．sin θ＞tan θ＞cos θD ．tan θ＞sin θ＞cos θ解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cosθ.答案：D13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域是( C )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}14．若0＜α＜π2，证明：(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π2，|OP |＝1，∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， ∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ，即sin α＜α＜tan α.15．已知f (n )＝cosn π5(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．解析：角n5π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，…f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。