第一章 数学模型

第一章 数学模型 一. 模 型

为了一定的目的，人们对原型的一个抽象

例如: 航空模型对飞机的一个抽象， 城市交通图对交通系统的一个抽象 二. 数 学 模 型

用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。 例1：牛顿定律

物体受外力作用时，物体所获加速度大小与合外力的大小成正比，并与物体质量成反比，加速度方向与合外力方向相同。

引入变量 x(t)表示在t 时刻物体的位置，F 表示合外力大小，m 表示物体质量。则受力物体满

足如下运动规律，数学模型 例2：哥尼斯堡七桥问题 问题：能否从某地出发，

通过每座桥恰好一次，回到原地？

由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。 三. 数学模型的特征

1. 实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。

2. 应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。

3. 综合性：数学与其他学科知识的综合。

第二章 数学建模举例数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。 下面给出几个数学建模的例子，重点说明： 如何做出合理的、简化的假设；

如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题；

如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。

例 1. 管道包扎

问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。 假设：

1. 直圆管，粗细一致。

2. 带子等宽，无弹性。

3. 带宽小于圆管截面周长。

4. 为省工, 用缠绕的方法包扎管道.

参量、变量： W ：带宽，C ：圆管截面周长，θ：倾斜角 （倾斜角）包扎模型 θsin C W =

（截口）包扎模型 22||W C OB -=

进一步问, 如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？ 设管道长 L, 圆管截面周长 C, 带子宽 W, 带子长 M.

带长模型 22/W C W LC M -+= 问题:

1. 若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm , 则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上?

2

2dt

x d m F

= D

A

C B

2. 现有带长M1=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。缠绕时允许带子互相重叠一部分。应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001)

例2. 桌子摆放

问题：在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？

建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。

假设：

1.桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。

2.地面的起伏是连续变化的。

3 地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。

参数，变量。

1. 如何描述“桌子的四个脚同时着地”？

记 x A ， x B、 x C、 x D分别为脚 A，B, C, D与地面的距离。

则当x A =x B= x C=x D =0时，桌子的四个脚同时着地。

2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？

定位：桌子的对称中心O位于平面坐标原点

移动：桌子围绕中心转动。记θ为 AC与X轴的夹角, 则可用θ表示桌子移动的位置。θ0≤≤. 于是桌子转动时，4个桌脚与地面的距离是è的函数。由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。

令 f(θ)= x A(θ ) + x C(θ ), g(θ)= x B(θ )+ x D(θ )

如果在位置θ*桌子四脚落地, 则有 f(θ*) = g(θ*) = 0.

根据假设 2 知 f(θ) 和 g(θ)是连续函数，

根据假设 3 有 f(θ) • g(θ)≡0，∀θ.

根据假设1有 f(θ1)=g(θ0) 和 g(θ1)=f(θ0), 其中θ1=θ0+ 900

模型：

已知f(θ) 和 g(θ)是连续函数，f(θ) • g(θ)≡0，∀θ.

若 f(θ0) = 0, g(θ0) > 0, 则存在θ*使得f(θ*) = g(θ*)=0。

证明：因为 f(θ1)=g(θ0)>0, g(θ1)=f(θ0)=0, 其中θ1=θ0+ 900

令 h(θ) = f(θ) - g(θ), 则 h(θ) 连续且 h(θ0) < 0, h(θ1) > 0. 所以，根据连续函数的介值定理知，存在θ*, θ0≤θ*≤θ1, 使得 h(θ*) =0. 又由f(θ*) •g(θ*)≡0，得f(θ*) = g(θ*)=0。问题：

1. 将例2的假设1改为“桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形ABCD”，试构造数学模型证实结论同样成立。

2. 小王早上8：00从A城出发于下午5：00到达B城。次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回并于下午5：00准时到达A城。试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。

例 3：交通路口红绿灯

十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？

假设

1. 车辆相同，从静止开始做匀加速运动。

2. 车距相同，启动延迟时间相等。

3. 直行，不拐弯，单侧，单车道。

4. 秩序良好，不堵车。

参数，变量：车长L，车距D，加速度a，启动延迟T，在时刻 t 第 n 辆车的位置 S n（t）用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。于是, 当