第一章 数学模型
化工问题的建模与数学分析方法化工数学
第一章数学模型——典型问题
§5 催 化 剂 颗 粒 模 型
pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c A t
DA
1 xs
(xs x
cA ) x
rA
c p
T t
k
1 xs
(xs x
T x
)
HrA
第一章数学模型——典型问题
➢ 物理过程特征分析
颗粒内部：传热快，传质慢 颗粒外部：传质快，传热慢 因此，传质阻力在粒内，传热阻力在粒外 固体热容大，气体浓度小 因此，保留温度变化项，忽略浓度变化项
第一章数学模型——典型问题
§8 分批结晶器与连续结晶器的粒数衡算模型
➢ 成核动力学
B
dn dt
kN
(c)b
➢ 晶体生长动力学
G
dl dt
kG
(c) g
第一章数学模型——典型问题
➢ 晶体生长的物理图像
n t=0 G
G
Gn
0
l0
l
dl
图1.12 无成核时晶种生长的粒度分布曲线
n
t=t2
t=0
t=t1
选取
z x / l , tv / l , c cA / cAin
得
c
c z
Dac
1 Pe
2c z 2
0 : c(0, z) 0
z
0
:
c
1 Pe
c z z0
1
z 1 : c 0 z
第一章数学模型——建模方法
Da k l , v
Pe vl DA
XA
1 cA(t,l) cAin
第一章数学模型——建模方法
例1 均相釜式反应器数学模型
化学工程发展史上的几个重要阶段
第一章线性规划-模型和图解法
a22 am2
a1n
a2n amn
(P1,
P2 ,
, Pn )
用向量表示时，上述模型可写为：
max(min)Z CX
s.t
n j 1
Pj x j
(, )b
X 0
线性规划问题可记为矩阵和向量的形式：
max(min)Z CX
s.t
AX
X
(, )b 0
max(min)Z CX
x21 x23
x14
x23
x32
x41
xij 0(i 1, ,4;
15
x22 x31 12
x23 x32
j 1, ,4)
10 20
二。线性规划问题的数学模型 下面从数学的角度来归纳上述三个例子的共同点。 ①每一个问题都有一组变量---称为决策变量，一般记为
x1, x2 , , xn. 对决策变量每一组值：(x1(0) , x2(0) , xn(0) )T 代表了
表1-3
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
表1-4
单位；元/100m2
1个月 2个月 3个月 4个月
2800 4500 6000 7300
表1-2
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
max(min) Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
s.t
a21x1
a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
《数学模型电子教案》课件
《数学模型电子教案》PPT课件第一章：数学模型概述1.1 数学模型的定义与分类1.2 数学模型的构建步骤1.3 数学模型在实际应用中的重要性1.4 数学模型与数学建模的区别与联系第二章：数学模型建立的基本方法2.1 直观建模法2.2 解析建模法2.3 统计建模法2.4 计算机模拟建模法第三章：线性方程组与线性规划模型3.1 线性方程组的求解方法3.2 线性规划的基本概念与方法3.3 线性规划模型的应用案例3.4 线性规划模型的求解算法第四章：微分方程与差分方程模型4.1 微分方程的基本概念与分类4.2 微分方程的求解方法4.3 差分方程的基本概念与分类4.4 差分方程的求解方法与应用第五章：概率论与统计模型5.1 概率论基本概念与随机变量5.2 概率分布与数学期望5.3 统计学基本概念与推断方法5.4 统计模型的应用案例第六章：最优化方法与应用6.1 无约束最优化问题6.2 约束最优化问题6.3 最优化方法的应用案例6.4 遗传算法与优化问题第七章：概率图与贝叶斯模型7.1 概率图的基本概念7.2 贝叶斯定理及其应用7.3 贝叶斯网络与推理方法7.4 贝叶斯模型在实际应用中的案例分析第八章：时间序列分析与预测模型8.1 时间序列的基本概念与分析方法8.2 自回归模型（AR）与移动平均模型（MA）8.3 自回归移动平均模型（ARMA）与自回归积分滑动平均模型（ARIMA）8.4 时间序列预测模型的应用案例第九章：排队论与网络流量模型9.1 排队论的基本概念与模型构建9.2 排队论在服务系统优化中的应用9.3 网络流量模型的基本概念与方法9.4 网络流量模型的应用案例第十章：随机过程与排队网络模型10.1 随机过程的基本概念与分类10.2 泊松过程与Poisson 排队网络10.3 马克威茨过程与随机最优控制10.4 排队网络模型的应用案例第十一章：生态学与种群动力学模型11.1 生态学中的基本概念11.2 种群动力学模型的构建11.3 差分方程在种群动力学中的应用11.4 种群动力学模型的案例分析第十二章：金融数学模型12.1 金融市场的基本概念12.2 金融数学模型概述12.3 定价模型与风险管理12.4 金融数学模型在实际应用中的案例分析第十三章：社会经济模型13.1 社会经济系统的基本特征13.2 经济数学模型的构建方法13.3 宏观经济模型与微观经济模型13.4 社会经济模型的应用案例第十四章：神经网络与深度学习模型14.1 人工神经网络的基本概念14.2 深度学习模型的构建与训练14.3 神经网络在数学建模中的应用案例14.4 当前神经网络与深度学习的发展趋势第十五章：数学模型在工程中的应用15.1 工程问题中的数学建模方法15.2 数学模型在结构工程中的应用15.3 数学模型在流体力学中的应用15.4 数学模型在其他工程领域中的应用案例重点和难点解析本《数学模型电子教案》PPT课件涵盖了数学模型概述、建模方法、线性方程组与线性规划、微分方程与差分方程、概率论与统计、最优化方法、概率图与贝叶斯模型、时间序列分析、排队论与网络流量模型、随机过程、生态学与种群动力学模型、金融数学模型、社会经济模型、神经网络与深度学习模型以及数学模型在工程中的应用等多个领域。
数学模型教案
数学模型教案引言：数学模型是数学与实际问题相结合的产物，是解决实际问题的有力工具。
在数学教学中，引入数学模型可以增强学生对数学的兴趣，提高解决问题的能力。
本教案旨在通过引导学生建立数学模型，培养他们的逻辑思维和问题解决能力，使数学变得更加有趣和实用。
一、教学目标1.了解数学模型的概念和基本原理；2.掌握建立数学模型的方法和步骤；3.培养学生运用数学模型解决实际问题的能力；4.促进学生的逻辑思维和抽象思维的发展。
二、教学内容1.数学模型的概念和分类；2.建立数学模型的方法和步骤；3.应用数学模型解决实际问题。
三、教学过程1.引入在现实生活中，我们经常遇到各种各样的问题，例如交通拥堵、疾病传播等。
这些问题是很复杂的，我们是否可以运用数学来解决呢？请思考一下。
2.概念讲解数学模型是对实际问题进行抽象和描述的数学表达式或方程组。
数学模型可以分为确定性模型和随机性模型。
确定性模型可以精确描述实际问题，而随机性模型则考虑了随机因素。
3.案例分析以交通拥堵问题为例，引导学生思考如何建立数学模型。
首先，我们需要确定影响交通流量的主要因素，例如道路长度、车流量、车速等。
然后，我们可以根据这些因素建立一个数学方程，来描述道路流量和速度之间的关系。
4.模型建立在教师的引导下，学生分组进行数学模型的建立。
教师可以提供不同的实际问题，例如疾病传播、环境污染等，让学生自行分析问题，找出关键因素，并建立相应的数学模型。
5.模型求解学生通过对建立的数学模型进行求解，得出相应的结果。
教师可以引导学生运用数学知识，例如代数方程、概率统计等，来解决实际问题。
6.模型评价学生对建立的数学模型进行评价，并讨论模型的准确性和适用性。
教师引导学生思考模型存在的局限性，并提出改进的意见。
四、教学评价通过教师的指导和学生的积极参与，预期达到以下评价标准：1.学生对数学模型的概念和基本原理有一定的了解；2.学生能够独立建立数学模型，并进行求解；3.学生运用数学模型解决实际问题的能力有所提高；4.学生具备一定的逻辑思维和问题解决能力。
第一章_线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一 个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的 一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万 吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示：
线性规划问题及其数学模型
一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量
例： 目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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一般线性规划问题的标准形化
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目标函数最大 线性规划问题的标准形式 • 标准形式为: 约束条件等式 决策变量非负
Max Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 .......................................... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 b1 , b2 ,...bm 0 x1 , x2 ,..., xn 0
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如何安排生产 使利润最甲
乙
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什么是线性规划？
在工业、农业、国防、建筑、交通运输、科研、商业 等各种活动中，常常要求对资源进行统一分配、全面规划 和合理调度，以便从各种可能安排方案中找出最优的计划 或设计，用以指导生产。在这类问题中，一方面有期望达 到最优要求的目标（例如希望产值最高或消耗最少），另 一方面又要受到一定条件的限制（例如人力、物力、财力 的限制），如何安排才能使成效最高，消耗既定资源取得 的收益最大，或达到既定收益所消耗的资源最少。这可以 借助线性规划（Linear Programming，LP）来解决。
高中数学第一章三角函数1
1．6 三角函数模型的简单 应用
[学习目标] 1.了解三角函数是描述周期性变化现象 的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题 (重点)． 2.通过观察、分析已知数据，能建立三角函数 模型来刻画实际问题并解决实际问题(重点、难点)．
1．三角函数模型的作用． 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学 模型，可以用来研究很多问题，在刻画变化规律、预测其 未来方面发挥着重要作用． 2．y＝|sin x|的最小正周期为π，y＝|tan x|的最小正 周期为π．
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0
(1)试画出散点图； (2)观察散点图，从 y＝ax＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y ＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟 合模型的解析式．
解：(1)由题图知，A＝300. T＝610－－3100＝510， 所以 ω＝2Tπ＝100π.
因为－3100，0是该函数图象的第一个点(五点作图 法)，
所以－ φω＝－3100， 所以 φ＝3ω00＝π3 ， 所以 I＝300sin100πt＋π3 (t≥0)．
(2)问题等价于 T≤1100， 即2πω ≤1100， 所以 ω≥200 π， 所以最小的正整数 ω 为 629.
(1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数表达式(其中 t 以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年 3 月 1 日动物种群数量．
解：(1)设动物种群数量 y 关于 t 的解析式为
y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
－A＋b＝700，
则
解得 A＝100，b＝800.
1.1 72线性规划问题及其数学模型
4 3 2
最优解
8 0 3 4
x1
无穷多最优解(多重最优解)
即可行域的范围延伸到无 例： max z=x1+x2
穷远，目标函数值可以无 穷大或无穷小。 ≤4 s.t. -2x1+ x2 一般来说，这说明模型有 x1 - x2 ≤2 错，忽略了一些必要的约 束条件。 ≥0, x2≥0 x1 x2
无穷 多个最优解
2.可行域为非封闭的无界区域
x2 x2 x2
z
z
x1 x1
Z
x1
唯一最优解
无穷多个最优解
无界解
3、可行域为空集
x2
空集 x1
无可行解
两个变量的LP问题的解的启示：
(1)可行域非空时，它是有界或无界凸多边形 （凸集） ，顶点个数只有有限个。 (2)求解LP问题时，解的情况有： 唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 (3)若可行域非空且有界则必有最优解， 若可行域无界，则可能有最优解，也可能无最优解。 (4)若最优解存在，则最优解或最优解之一一定是 可行域的凸集的某个顶点。 (5)若在两个顶点上同时取到最优解，则这两点的 连线上 任一点都是最优解
由图解法得到的结论：
求解线性规划问题最优解的方法：
确定可行域 = 凸集(凸多边形) 确定可行域顶点 = 求基可行解 寻找最优解， 如果最优解存在，则必在可行域的某一顶点 = 在基可行解中寻找
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
只能解决低维问题，对高维无能为力。
1.3 线性规划问题的标准型式
m i nZ
C
j 1
n j1
n
j
Xj
数学模型统计默写
数学模型统计默写第三四五章的数学模型统计默写第一章一、名词解释1.渗透速度：水流在过水断面上的平均流速。
2.实际速度：地下水在孔隙中的流动速度。
3.水力坡度：大小等于梯度值，方向沿着等水头面的法线，指向水头降低方向的矢量。
4.贮水系数：当水头变化1m时，从单位水平面积（1m2),高度为承压含水层厚度的柱体中释放或贮存的水量。
5.贮水率：单位体积承压含水层（1m3),当水头下降1m时释放的水量。
6.渗透系数：水力坡度等于1时的渗透流速。
7.渗透率：多孔介质能使液体或气体通过介质本身的能力。
8.导水系数：水力梯度为1时,通过整个含水层厚度的单宽流量。
二、填空题1．地下水动力学是研究地下水在孔隙岩石、裂隙岩石、和岩溶岩石中运动规律的科学。
2.通常把具有连通性的孔隙岩石称为多孔介质，而其中的岩石颗粒称为骨架。
3．地下水在多孔介质中存在的主要形式有吸着水、薄膜水、毛管水和重力水，而地下水动力学主要研究重力水的运动规律。
4．在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是无效的，但对贮水来说却是有效的。
5.地下水的过水断面包括空隙和固体颗粒所占据的面积，渗透流速是过水断面上的平均速度，而实际速度是空隙面积上的平均速度。
6.在渗流场中，把大小等于梯度值，方向沿着等水头面的法线，并指向水头降低方向的矢量，称为水力坡度。
7.渗流运动要素包括流量Q、渗流速度v 、压强p和水头H等。
8.根据地下水运动方向与空间坐标轴的关系，将地下水运动分为一维、二维和三维运动。
9.渗透率是表征岩石渗透性能的参数，而渗透系数是表征岩层透水能力的参数。
10.影响渗透系数大小的主要因素是岩石的性质以及渗透液体的物理性质。
11.导水系数是描述含水层出水能力的参数，它是定义平面一、二维流中的水文地质参数。
12.均质与非均质岩层是根据岩石透水性与空间坐标的关系划分的，而各向同性和各向异性岩层是根据岩石透水性与水流方向关系划分的。
13.当地下水流斜向通过透水性突变界面时，介质的渗透系数越大，则折射角就越大。
第01次课--第一章 线性规划
(如果取≥0)
x1 , x2 , , xn (, )0
约束条件 （1-3）
决策变量
30
非负约束条件
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型
标准形式
max Z c1 x1 c2 x2
cn xn
顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最
优解，即有无穷最优解。
28
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型
图解法的优缺点分析
• 直观、简便 • 变量数多于三个以上时，无能为力
通用普遍的 求解方法 （代数方法）
？
单纯形法
模型的标准形式
？
29
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型 线性规划的数学模型的一般形式：
2
国防科技大学
第一章 线性规划与单纯形法
在军事活动，以及生产、管理、经营等社 会活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用 有限的人力、物力、财力等资源，以得到最好的 效果。
3
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型
例 兵力运送问题 设有A、B两种型号的直升机，每次A能运 载35人，需驾驶员2人，B能运载20人，需驾
目标函数取 最大值
j 1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 n a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 简记做 aij x j bi (i 1, 2, , m) j 1 x 0 ( j 1, 2, , m) a x a x a x b j mn n m m1 1 m 2 2 约束条件为等式， x , x , , x 0 且右端项为非负 1 2 n 值
运筹学
12X1 + 6X2 ≤ 600 X1≥0，X2 ≥0 使 max f(x)=7X1 + 5X2
3.合理配料模型
例1-5 用三种原料A1、A2、A3配制一种食品，要求该食品中 蛋白质、脂肪、碳水化合物和维生素的含量分别不低于150、 200、250、300个单位，这三种原料的单价及每单位原料所含各 种成份的数量如表1-6所示。问如何配制这种食品，使成本最低？
X2 = 18 maxf(x) = 2600
第三节
解的结构
线性规划的解有三种情况：有最优解、有解但无 最优解和无可行解。有最优解又有两种情况：有惟一 的最优解和有无穷多个最优解。 当线性规划的约束条件中出现矛盾约束时，即二 元一次不等式组无解时，线性规划问题无可行解。
在例2－1中，加一个约束条件： 求x1,x2
令f(x)=-f(x) ′ 则maxf(x)=-min[-f(x)] =-minf(x) ′
例1-14 将下列线性规划数学模型化为标准形式: 求 x1,x2,x3
2x1 +
x2 + x3
≤ 8
满足
x1
-
x2
x2
+
x3
≥ 3
3x1 -
– 2x3 ≤ -5
≥0,X3是自由变量
X1≥0，x2
使 maxf(x) = x1 – 2x2 + 3x3
解:令X3=X4-X5，其中X4≥0，X5≥0， 在第一个约束条件的左边加入一个松驰变量X6，化为等式； 在第二个约束条件的左边减去一个松驰变量X7，化为等式； 在第三个约束条件的左边加入一个松驰变量X8，化为等式； 并且等式两边同乘以-1； 将求 maxf(x) = X1 - 2X2 + 3X3 化为求
管理运筹学讲义：线性规划
1
相关数据如表所示： • •
10
11
12
问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 第一节 线性规划一般模型 (1)决策变量。要决策的问题是甲、乙两种产品的产量，因此有两个决策变量：设x1为甲 产品产量，x2为乙产品产量。 (2)约束条件。生产这两种产品受到现有生产能力的制约，用量不能突破。 生产单位甲产品的零部件需耗用A车间的生产能力1工时， 生产单位乙产品不需耗用A车间的生产能力， A车间的能力总量为8工时，则A车间能力约束条件表述为 x1 ≤8 同理，B和C车间能力约束条件为 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 第一节 线性规划一般模型 (3)目标函数。目标是利润最大化，用Z表示利润，则 maxZ= 3x1 +5 x2 (4)非负约束。甲乙产品的产量不应是负数，否则没有实际意义，这个要求表述为 x1 ≥0， x2 ≥0 第一节 线性规划一般模型 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、A3,其一级承销商有4个，分布在 城市B1、B2、B3、B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj的每吨饮料运费为 Cij，为发挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。 第一节 线性规划一般模型 (1)决策变量。设从Ai到Bj的运输量为xij， (2)目标函数。运费最小的目标函数为 minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34 (3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足： 供应平衡条件 第一节 线性规划一般模型 • 用一组非负决策变量表示一个决策问题， • 存在一定的等式或不等式的线性约束条件， • 有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的线性函数。可能是最大化，也可能是最小 化。 • 线性规划一般模型的代数式 为： 第二节 线性规划的图解法 • 图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。 • 一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，三维的线性规划则要在立体图上求解， 这就比较麻烦，而维数再高以后就不能图示了。 第二节 线性规划的图解法
数学模型-第01章(第五版)
R ~大皮半径 r ~小皮半径
Sk1R2 V k2R3 VkS3/2 (2)
sk1r2, vk2r3 vks3/2 (3)
(1),(2),(3)
Vn3/2v
消去S, s, k
解释
定性分析 V 比 nv 大 (n>1)——大饺子包得馅多. 定量结果
应用 若100个饺子包1kg馅, 50个饺子能包多少馅？
分析
建立馅、皮与数学概念的联系 ：馅——体积，皮——表面积
体积V、面积S 一个大饺子
体积v、面积s
n个小饺子
S
s s…s
V
vv
v
V和 nv 哪个大? 定性分析 V比 nv大多少? 定量结果
假设 1.皮的厚度一样 2.饺子的形状一样
建模
Sns(1)
两个 k1 (及k2) 一样
体积与面积的联系——半径（特征半径 ）
一 1.2 数学建模的重要意义
章 1.3 建模示例之一 包饺子中的数学
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
建
立 数 学
模
1.5 建模示例之三 椅子能在不平的 地面上放稳吗
1.6 数学建模的基本方法和步骤 1.7 数学模型的特点和分类
型 1.8 怎样学习数学建模——学习课程
和参加竞赛
1.1 从现实对象到数学模型
数学建模
计算机技术
知识经济
为教育改革注入强大活力
• 数学教育本质上是一种素质教育. • 数学教育应培养两种能力：算数学(计算、推导、
证明…)和用数学(分析、解决实际问题). 传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者. • 让学生参加将数学应用于实际的尝试, 参与发现 和创造的过程.
数学建模引入教学符合教育改革的需要
小学数学教案数学模型
小学数学教案数学模型
主题：学习理解数学模型的基本概念
年级：四年级
目标：
1. 理解数学模型的定义和作用；
2. 能够用数学模型解决实际问题。
教学过程：
1. 导入（5分钟）
- 通过提问引导学生思考：什么是数学模型？为什么我们需要数学模型？
- 介绍今天的学习目标和重点。
2. 概念讲解（10分钟）
- 通过示例解释数学模型的定义：数学模型是通过数学方法把实际问题简化成数学问题的工具。
- 引导学生思考数学模型在解决实际问题中的作用和重要性。
3. 练习（15分钟）
- 给学生提供一个实际生活中的问题，例如：如果一个商店每天卖出的苹果数量是每天前一天卖出的2倍，那么5天后这家商店到底卖出了多少苹果？
- 让学生尝试用数学模型解决这个问题，并讨论他们的答案和解题思路。
4. 拓展应用（10分钟）
- 给学生提供更多的实际问题，让他们尝试用数学模型进行解决。
- 引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并找出解决问题的方法。
5. 总结（5分钟）
- 总结今天的学习内容，强调数学模型在解决实际问题中的重要作用。
- 鼓励学生在日常生活中多加运用数学模型解决实际问题。
评价：
- 通过观察学生在练习和拓展应用环节的表现，评价学生是否掌握了数学模型的基本概念和解题能力。
作业：
- 布置作业让学生练习用数学模型解决实际问题，并在下节课上交。
数学模型程序代码-Matlab-姜启源-第一章-建立数学模型
数学模型程序代码-M a t l a b-姜启源-第一章-建立数学模型-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第1章 建立数学模型1.（求解，编程）如何施救药物中毒p10~11人体胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律（模型）：d ,(0)1100d (,0)d ,(0)0d xx x ty x y y tλλμλμ⎧=-=⎪⎪>⎨⎪=-=⎪⎩ 其中，x (t )为t 时刻胃肠道中的药量，y (t )为t 时刻血液系统中的药量，t =0为服药时刻。
1.1（求解）模型求解p10~11要求：① 用MATLAB 求解微分方程函数dsolve 求解该微分方程（符号运算）。
② 用MATLAB 的化简函数simplify 化简所得结果。
③ 结果与教材P11上的内容比较。
提示：dsolve 和simplify 的用法可用help 查询。
建议在命令窗口中操作。
1.2（编程）结果分析p11已知λ=0.1386, μ=0.1155，将上题中得到x (t )和y (t )两条曲线画在同一个图形窗口内。
参考图形如下。
MATLAB命令plot, fplot, hold on/off, grid on/off, xlabel, ylabel, text 。
★ 编写的程序和运行结果：2.（编程，验证）商人们怎样安全过河p8~9三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？[模型构成]决策：每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。
要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。
x k第k次渡河前此岸的商人数y k第k次渡河前此岸的随从数x k , y k=0,1,2,3; k=1,2,⋯过程的状态s k=(x k , y k)允许状态集合S={(x, y)|x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}u k第k次渡船上的商人数v k第k次渡船上的随从数u k , v k=0,1,2; k=1,2,⋯决策d k=(u k , v k)允许决策集合D={(u , v)|u+v =1, 2}状态转移律s k+1=s k+(-1)k d k[多步决策问题]求d k∈D(k=1, 2, ⋯, n), 使s k∈S, 并按转移律由s1=(3,3) 到达s n+1=(0,0)。
数学模型简介
评注和思考：
建模的关键 ： 和 f(), g()的确定 考察四脚呈长方形的椅子，是否还有相同的结论
2、商人安全过河问题
问题(智力游戏) 随从们秘密约定, 在河的任一岸, 一旦随从 的人数比商人多, 就杀人越货。但是乘船渡河的 方案由商人决定。商人们怎样才能安全过河?
用数学语言把椅子位臵和四只脚着地的关系表示出来
椅子位臵： 利用正方形(椅脚连线)的对称性 B B´ 用表示对角线与x轴的夹角
两个距离： A,C 两脚与地面距离之和为f() B,D 两脚与地面距离之和为g()
C´
A´
C
O
D´
A
x
D
正方形ABCD 绕O点旋转
地面为连续曲面 椅子在任意位臵 至少三只脚着地
1、尽量使用实数优化模型，减少整数约束和整 数变量的个数。因为求解离散优化问题比连续优 化问题难得多 2、尽量使用光滑优化，避免使用非光滑函数（ 是指存在不可微点的函数）。如绝对值函数、符 号函数、多个变量求最大（小）值、四舍五入、 取整函数等，通常采用连续、可微问题处理起来 比较简单。
3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和线性 x 变量的个数。如： 5 改为 x 5 y 。
3、席位公平的数学建模问题
三个系的学生共有200名（甲系100，乙系60， 丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个 系分别为10，6，4席。 1、由于学生转系，三个系的学生人数分别为 103、 63、 34, 问20席又该如何分配？ 2、若代表增加为21席，又如何分配？
（1）问题提出
系别 学生 比例
p1/n1– p2/n2=5 p1/n1– p2/n2=5
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
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第一章 数学模型 一. 模 型为了一定的目的，人们对原型的一个抽象例如: 航空模型对飞机的一个抽象， 城市交通图对交通系统的一个抽象 二. 数 学 模 型用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。
例1：牛顿定律物体受外力作用时，物体所获加速度大小与合外力的大小成正比，并与物体质量成反比，加速度方向与合外力方向相同。
引入变量 x(t)表示在t 时刻物体的位置，F 表示合外力大小，m 表示物体质量。
则受力物体满足如下运动规律，数学模型 例2：哥尼斯堡七桥问题 问题：能否从某地出发，通过每座桥恰好一次，回到原地？由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。
三. 数学模型的特征1. 实践性：有实际背景，有针对性。
接受实践的检验。
2. 应用性：注意实际问题的要求。
强调模型的实用价值。
3. 综合性：数学与其他学科知识的综合。
第二章 数学建模举例数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。
下面给出几个数学建模的例子，重点说明： 如何做出合理的、简化的假设；如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题；如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。
例 1. 管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。
假设：1. 直圆管，粗细一致。
2. 带子等宽，无弹性。
3. 带宽小于圆管截面周长。
4. 为省工, 用缠绕的方法包扎管道.参量、变量： W ：带宽，C ：圆管截面周长，θ：倾斜角 （倾斜角）包扎模型 θsin C W =（截口）包扎模型 22||W C OB -=进一步问, 如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？ 设管道长 L, 圆管截面周长 C, 带子宽 W, 带子长 M.带长模型 22/W C W LC M -+= 问题:1. 若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm , 则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上?22dtx d m F= DAC B2. 现有带长M1=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。
缠绕时允许带子互相重叠一部分。
应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001)例2. 桌子摆放问题：在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。
假设：1.桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。
2.地面的起伏是连续变化的。
3 地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。
参数，变量。
1. 如何描述“桌子的四个脚同时着地”？记 x A ， x B、 x C、 x D分别为脚 A，B, C, D与地面的距离。
则当x A =x B= x C=x D =0时，桌子的四个脚同时着地。
2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？定位：桌子的对称中心O位于平面坐标原点移动：桌子围绕中心转动。
记θ为 AC与X轴的夹角, 则可用θ表示桌子移动的位置。
θ0≤≤. 于是桌子转动时，4个桌脚与地面的距离是è的函数。
由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。
令 f(θ)= x A(θ ) + x C(θ ), g(θ)= x B(θ )+ x D(θ )如果在位置θ*桌子四脚落地, 则有 f(θ*) = g(θ*) = 0.根据假设 2 知 f(θ) 和 g(θ)是连续函数，根据假设 3 有 f(θ) • g(θ)≡0，∀θ.根据假设1有 f(θ1)=g(θ0) 和 g(θ1)=f(θ0), 其中θ1=θ0+ 900模型：已知f(θ) 和 g(θ)是连续函数，f(θ) • g(θ)≡0，∀θ.若 f(θ0) = 0, g(θ0) > 0, 则存在θ*使得f(θ*) = g(θ*)=0。
证明：因为 f(θ1)=g(θ0)>0, g(θ1)=f(θ0)=0, 其中θ1=θ0+ 900令 h(θ) = f(θ) - g(θ), 则 h(θ) 连续且 h(θ0) < 0, h(θ1) > 0. 所以，根据连续函数的介值定理知，存在θ*, θ0≤θ*≤θ1, 使得 h(θ*) =0. 又由f(θ*) •g(θ*)≡0，得f(θ*) = g(θ*)=0。
问题：1. 将例2的假设1改为“桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形ABCD”，试构造数学模型证实结论同样成立。
2. 小王早上8：00从A城出发于下午5：00到达B城。
次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回并于下午5：00准时到达A城。
试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。
例 3：交通路口红绿灯十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？假设1. 车辆相同，从静止开始做匀加速运动。
2. 车距相同，启动延迟时间相等。
3. 直行，不拐弯，单侧，单车道。
4. 秩序良好，不堵车。
参数，变量：车长L，车距D，加速度a，启动延迟T，在时刻 t 第 n 辆车的位置 S n（t）用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。
于是, 当S n(30)>0时, 表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。
模型1.停车位模型： S n（0）=–(n-1)(L+D)2. 启动时间模型: t n =(n-1)T3. 行驶模型: S n(t)=S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t>t n参数估计 L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s解: S n(30)=-7(n-1)+(30-(n-1))2>0 得 n≤19 且 t19=18<30=t 成立。
答案: 最多19辆车通过路口.改进：考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，停止加速, 按最高限速运动穿过路口。
最高限速：校园内v*=15公里/小时=4米/秒，长安街上v*=40公里/小时=11米/秒，环城路上 v*=60公里/小时=17米/秒取最高限速 v*=11m/s，达到最高限速时间t n*=v* /a+t n =5.5+n-1限速行驶模型:S n(t)=S n(0)+1/2 a(t n *–t n )2+v*(t-t n*), t>t n*=S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t n*>t>t n= S n(0) t n>t解：S n(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1))>0 得 n≤17 且 t17 *=5.5+16=21.5<30=t 成立。
结论: 该路口最多通过17辆汽车.问题1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。
10. 调查的位置，走向，车道数，时间。
调查数据（至少三次）：绿灯时间，通过的车数。
分析数据不同的原因。
20. 分析模型的假设与实际是否一致；模型的参数与实际是否一致。
30. 分析模型的计算结果与观测结果是否一致？为什么？不一致时，如何修改模型。
2. 分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间。
3. 给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型。
例 4：人员疏散建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。
假设1. 有一排k间教室，走道只有一个出口。
2 .人员撤离时，有序、单行、（间隔）均匀、匀速。
3. 室内人员排成一队列的时间不计，第一个人到达教室门口的时间不计(t0=0)。
参数：第 k 间教室人数为 n k+1, 教室距离为 L k, 门宽为D，行进速度为 v，人体间隔为 d。
如果只有第k间教室有人需要撤离，第 k间教室疏散时间为 T k模型K=1 情形：T1=(n1d+L1)/vK=2 情形：当第二间教室人不需等待时，即 (L2+D)≥(n1+1)d， T12= T2=(n2d+L1+L2+D)/v,当第二间教室人需要等待时，即 (L2 +D)<(n1+1)d, 等待时间 T= (n1+1)d/v- (L2 +D)/v, T12= T2 +T=[(n1+ n2+1 )d+L1] /v,讨论模型：T=(nd+L)/v,分析：v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗.令d=0, 则有T=L/v。
疏散时间与人数无关!? 假设中忽略了人体的厚度!!补充假设 4. 人体厚度相同w模型 T=(n(d+w)+L)/v,分析 若d=0, 则 T = (nw+L)/v 合理吗？ 继续补充假设 5. 速度与间隔有关v=v （d ） 模型 T=[n(d+w)+L]/v(d),其中v=v(d)应满足v(d)是d 的单调非减函数，v(0)=0 且 当d 充分大时， v=v max . 结论： 存在间隔 d* 和相应的速度 v*, 使得疏散的时间最短。
讨论：1. 给出函数v(d)应满足的一个充分条件，保证存在唯一的间隔d* ，使得疏散的时间最短。
2. 通过实验观测给出函数v(d).观测数据：间隔d （厘米）—运动速度v （米/秒） 拟合函数 ddd v +=6.7583.7)(Matlab 程序x=[2.5 50 100 200 500];y=[1.9 3.4 4.9 5.6 6.1]; %数据点 b0=[2 3]; %参数初值fun=inline(‘b(1).*x./(b(2)+x)’,’b ’,’x ’); %拟合函数[b, r, j]=nlinfit(x,y,’fun ’,b0) %非线性拟合函数的系数、残差 nlintool(x,y,’fun ’,b0) %拟合曲线图 问题1. 如果n=400，L=30m ，w=0.2m, 求最短的疏散时间。
2. 给出 当 K=3 时的人员疏散模型.例5. 赛程安排五支球队在同一场地上进行单循环比赛。
共进行十场比赛。
如何安排赛程对各队来说都是公平的。
B 1 C 9 2 D 3 5 7 E 6 8 10 4 A B C D1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AB BC AD DE BD AE CD BE AC CE间隔场次数A B C D E 1 0 4 0 1 2 2 1 0 1 2 2 0 1 1问题：赛程如何做到公平安排？如何安排比赛的赛程，使相邻比赛各队最小的间隔场次达到可能的最大？例6. 一个农民有一头重量大约是200磅的猪，在上一周猪每天增重约5磅。
五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65美分/磅， 饲养每天需花费45美分。
求出售猪的最佳时间使得净收益最大。
假设：1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。