理论力学课件力偶

§2-2 平面力偶
3. 平面内的等效力偶
下面的变化不会改变力偶的作用效果:
F
F
F'
F
F'
F'
在平面内移动 在平面内转动
改变力的大小以及力偶臂 d的 大小，但是保持两者的乘积 Fd 不变.
§2-2 平面力偶
表示力偶的常用图形符号
F
M M
F'
§2-2 平面力偶
4. 平面力偶系的合成 平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，
解： 用解析法
F Rx F ix F1 c o s 3 0 F 2 c o s 6 0 F3 c o s 4 5 F 4 c o s 4 5 1 2 9 .3 N F Ry F iy F1 sin 3 0 F 2 sin 6 0 F3 sin 4 5 F 4 sin 4 5 1 1 2 .3 N
汇交力系平衡的解析条件：
FR FR2x FR2y 0
解： AB、BC杆为二力杆.
取销钉B.
Fx 0 FBA cos θ FBC cos θ 0
F F
BA
BC
Fy 0
F sin θ F sin θ F 0
BA
BC
FBA FBC 11.35kN
Baidu Nhomakorabea
选压块C
Fx 0
FCB cosθ FCx 0
F F cotθ Fl 11.25kN
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
共点力系可以合成为一个力，合 力作用在力系的公共作用点，它等 于这些力的矢量和，并可由这力系 的力多边形的封闭边表示。
二、平面汇交力系平衡的几何条件
平衡条件 Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的力多边形自行封闭.
1. 力偶 2. 力偶矩 3. 平面力偶的等效定理 4. 平面力偶系的合成 5. 平面力偶系的平衡条件
§2-2 平面力偶
1. 力偶
z
F Od
F'
x
大小相等、方向相反但不共线 的两个平行力组成的力系，称为
力偶.
力偶所在的平面称为 力偶作
y 用面.
力偶中两力作用线之间的垂直距
离d 称为 力偶臂.
用符号 (F,F’) 表示力偶.
解： CD为二力杆，取 A杆B，画受力图.
用几何法，画封闭力三角形.
按比例量得
FC 28.3kN , FA 22.4kN
用解析法如何求解？
例2-3 已知：图示平面共点力系, F1 2,00 N ,F2 300 N F3 10,0 N F.4 250 N 求：此力系的合力.
2.欲将轮子拉过障碍物，水平拉力 F至 少多大？
3.力
F沿什么方向拉动轮子最省力，及此时力
多F 大？？
解: 1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
θ arccos R h 30 R
FA 11.4kN
FB sin θ F
FB 10kN
FA FB cos θ P 用解析法如何求解？
§2-1 平面汇交力系
一、平面汇交力系合成的几何法－－力多边形规则
FR1 F1 F2
FR 2

FR 1

FR 3

3
F
i 1
i
11
FR1 F1 F2 3
FR2 FR1 FR3 Fi i 1
.. . .. . .. .
n
FR FRn1 Fn Fi i 1
F
a Fy
Fxb Fya
F sina b F cosa a
Fx
B
M AF M AFx M A Fy
b
Fxb 0
F sina b
O
A
a
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
例题 2
三角形分布载荷作用在水平梁AB上，如图所示，最大载 荷集度为q ,梁长l , 试求该力系的合力。
Fix FR
作用点为力的汇交点.
F2 Rx

F2 Ry
cos( FR
,
j)

Fiy FR
四、平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
例2-1
已知： P 20kN, R 0.6m, h 0.08m
求：
1.水平拉力 F 5时kN，轮子对地面及障碍物的压力？
0.2
§2-2 平面力偶
课堂练习 下面哪个图中的力系与图 (a)等效?
10N
9N·m
3N·m
15N
0.4m
0.4m
0.4m
0.6m
15N 10N
0.6m (A)
(a)
5N
7.5N
0.6m
(B) 5N
0.3m
0.4m
0.4m
7.5N
0.6m
(C)
5N
0.6m
5N
(D)
7.5N·m
第 二 章 平面汇交力系与平面力偶系
合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
M Mi
§2-2 平面力偶
5. 平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有
各力偶矩的代数和等于零。
Mi 0
注意：力偶只能由力偶来平衡！！
§2-2 平面力偶
例题 3
如图所示,工件上作用有三个 力偶， M1=M2=10N·m， M3=20N·m，l=200mm. 计算 两个螺拴A,B处的光滑水平 约束反力。
M F OD F' OC F CD F d
力偶的两个要素：力偶矩的大小、力偶在作用面的的转向
§2-2 平面力偶
3. 平面力偶的等效定理
在同一平面内，力偶矩相等的两个力偶等效
力偶的性质 1. 力偶无合力，即合力为0;
2. 力偶对其作用面内任一点的之矩均等于力偶 矩，而与矩心的位置无关. 3. 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任一移动和转动，并可任意改变力的大小和力 偶臂的长度，而不改变它对刚体的作用效应.
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
1. 力对点的矩（力矩）
z
矩心 O
B F
O
O d d : 力臂 y
矩心 O
A
B F
d d : 力臂
A
x
MO (F ) Fd 2AOAB
单位 : N m 或 kN m
符号 绕矩心旋转: 逆时针 “+” 顺时针 “－”
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
q
A
B
l
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
[解] 1. 计算合力的大小 FR a，研究对象； b，取微元体
c,选定坐标轴或者力矩正向（重要），向下为正，逆时针
为正
A x
qx
FR
q
B
l dx
qx
qx l
dFx

q
x l
dx
FR
l
0 dFx
lx q dx 0l
qx2 xl 2l
力对刚体的作用效应：
位移 转动
力矢量 力矩
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
例题 1 求力 F 对点 O 和 A 的矩
F
a
B
b
O
A
a
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
[解]
F
a
MO F F d
是否容易计算力臂 d ?
B
d
b
O
A
a
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
[解]
MO F M O Fx M O Fy
平面汇交力系的合力对平面内 任意一点的矩等于各分力对该点之 矩的代数和。
Pierre Varignon 法国数学家 1654~1722
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
2 Varignon 定理 (合力矩定理)
MO (F ) MO (F1) MO (F 2 ) ...... MO (F n )
x0
ql 2
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
[解]
2.求合力作用线位置。
qx
FR
q
M
A
dFx


q
x l
dx
x
A
h
l
x dx
B
MA

l 0

q
x2 l
dx
ql2 3
M A FR FR h
根据合力矩定理
M A FR M A

FR
1. 力对点的矩（力矩）
z
B F
Od
r
y
A
B
F
O
d

r
A
x
r Radius Vector 矢径
矢量：MO F r F
大小: MO (F ) r F
r F r F sin ~ r 和 F 的夹角
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
2 Varignon 定理 （合力矩定理）
第三次课
第二章 平面力系
第 二 章 平面力系 §2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法
汇交力系：若所有力的作用线交于一点，则该力系称为汇 交力系。
第 二 章 平面力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 1、平面汇交力系合成的几何法——力多边形规则 2、平面汇交力系平衡的几何条件
2.欲将轮子拉过障碍物，水平拉力 F至 少多大？
碾子拉过障碍物， 应有 FA 0
用几何法解得 F P t a n θ = 1 1 . 5 5 k N
3.力
F沿什么方向拉动轮子最省力，及此时力
多F 大？？
解得 Fmin P sin θ 1 0 k N
例2-2
已知： AC CB,,F各杆10自kN重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
2 Cx
2h
Fy 0 F C B s in F C y 0
FCy 1.5kN
作业2：习题2-4， 2-5
第 二 章 平面汇交力系与平面力偶系
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
1. 力对点的矩 2. 合力矩定理
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
1. 力对点的矩（力矩）
FR
F2 Rx

F2 Ry
171.3N
F cos θ Rx 0.7548
FR F cos β Ry 0.6556 F
R
θ 40.99 , β 49.01
例2-4 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB，BC受力.
解： AB、BC杆为二力杆，取滑轮B （或点B），画受力图.建图示
A M1 M3 M2
B
l
§2-2 平面力偶
[解] 选择工件作为研究对象 注意：力偶只能由力偶来平衡！！
A M1 M3 M2
l l
FA
B
A
M1 M3 M2
B
FB
FA FB
M 0 FAl M1 M 2 M3 0
FA

M1

M2 l

M3
10 10 20 200N
力、力偶(弯矩）是静力学的两个基本要素
§2-2 平面力偶
1. 力偶
F1 F2
§2-2 平面力偶
2. 力偶矩
B
F
d
O
D
C A
F'
用符号 M 表示力偶矩的大小
M M (F , F ') F d 2 AABC
正符号: 逆时针 “+”; 顺时针 “-”
力偶对其所在平面内任意点O的矩均相等且等于力偶矩
h


ql 2 3
FR

ql 2
h 2l 3
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
[解]
3.结论
1) 三角形分布载荷合力的大
qx
FR
q
小等于三角形分布载荷的 面积: (1/2)ql
A
h
l
x dx
B 2) 合力作用线通过三角形的几
何中心
• 第三次课完
第 二 章 平面汇交力系与平面力偶系
§2-2 平面力偶
坐标系
Fx 0 FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fy 0 F F cos30 F cos60 0
BC
1
2
F F P
1
2
F 7.321kN BA
F 27.32kN BC
例2-5 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm，忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力.
小结
1、汇交力系的合力 （1）几何法求合力
力多边形法则
（2）解析法求合力
FR FR2x FR2y 0
cos(FR , i) FRx / FR cos(FR , j) FRy / FR
第 二 章 平面汇交力系与平面力偶系
小结
2、汇交力系的合力平衡条件
汇交力系平衡的几何条件：
力多边形自行封闭
三、平面汇交力系合成的解析法
合力 FR 在x轴，y轴投影分别为
FRx FR cos
FRy FR cos
合力等于各力矢量和


FR Fi
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fix
FRy Fiy
合力的大小为：
FR
方向为：
cos(FR
,i )

F2
F1 A
FR
Fi
O
r
Fn
根据
FR F1 F2 ..... Fn
上式左右乘上矢径 r
由此:
r FR r (F1 F2 ..... Fn )
MO (F ) MO (F1) MO (F 2 ) ...... MO (F n )
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算