中考数学专题复习 方案设计问题

方案设计问题

方案设计型题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案,要求判断哪个方案较优.它包括测量方案设计、作图方案设计和经济类方案设计等.

题型之一 利用方程、不等式进行方案设计

例1 (2014·益阳)某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A 、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售时段 销售数量 销售收入

A 种型号

B 种型号 第一周 3台 5台 1 800元 第二周

4台

10台

3 100元 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本) (1)求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；

(2)若超市准备用不多于5 400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？

(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1 400元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.

【思路点拨】(1)根据“3台A 型+5台B 型”的销售收入=1 800以及“4台A 型+10台B 型”的销售收入=3 100，列方程组得各自售价；

(2)设购进A 型a 台，则B 型(30-a)台，利用金额不超过5 400建立不等式求解； (3)根据(2)中30台得利润为为1 400，建立方程，求解.

【解答】(1)设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元.依题意，得

35 1 800,410 3 100x y x y +=+=⎧⎨⎩．解得250,

210.x y ==⎧⎨

⎩

答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元.

(2)设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇(30-a)台.依题意，得 200a+170(30-a)≤5 400,解得a ≤10.

答：超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5 400元. (3)依题意有：

(250-200)a+(210-170)(30-a)=1 400,解得a=20, 此时，a>10.

即在(2)的条件下超市不能实现利润1 400元的目标.

方法归纳：列方程(组)或不等式组设计方案问题的关键是找到题目中的等量关系或者不等关系，然后根据结果设计方案.

1.(2013·自贡)某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满. (1)求该校的大小寝室每间各住多少人？

(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案?

2.已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物. 根据以上信息，解答下列问题：

（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

（2）请你帮该物流公司设计租车方案；

（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次.请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.

3.(2014·衡阳)某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品.已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买一件.

(1)若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；

(2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；

(3)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率.

题型之二利用函数进行方案设计

例2 (2013·桂林)在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村长提出两种购买垃圾桶方案：方案1：买分类垃圾桶，需要费用3 000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1 000元，以后每月的垃圾处理费用500元；设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，设方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月.

(1)直接写出y1、y2与x的函数关系式；

(2)在同一坐标系内，画出函数y1、y2的图象；

(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？

【思路点拨】(1)根据题意可直接写出y与x的函数关系式；

(2)分别过两点画图象；

(3)根据图象得到方案.

【解答】(1)y1=250x+3 000，y2=500x+1 000.

(2)如图：

(3)由(2)得当x＞8时，方案1省钱；

当x=8时，两种方案一样；

当x＜8时，方案2省钱.

方法归纳：运用一次函数判断何种方式更合算，通常用分类讨论的方法列出方程和不等式，求自变量取值范围，但如果题目中有画好的函数图象，也可以直接观察图象解决.

1.我市某医药公司把一批药品运往外地，现有两种运输方式可供选择：

方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；

方式二：使用快递公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元.

(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1，y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系；

(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？

2.(2014·凉山)我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1 000株用以绿化校园.甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲、乙两种树苗的成活率分别是90%和95%.

(1)若购买这两种树苗共用去28 000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？

(2)要使这批树苗的成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？

(3)在(2)的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用.

3.某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案：甲家是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费.如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？

4.(2014·丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月